MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07

XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07

PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. STANDAR KOMPETENSI : 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah. KOMPETENSI DASAR : 6. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi 6. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah 6. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi 6.4 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya TUJUAN PEMBELAJARAN :. Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan.. Menghitung turunan fungsi yang sederhana dengan menggunakan definisi turunan. Menentukan sifat-sifat turunan fungsi 4. Menentukan turunan fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat turunan 5. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan Rantai 6. Menentukan fungsi monoton naik dan turun dengan menggunakan konsep turunan pertama XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07

7. Menentukan titik ekstrim grafik fungsi 8. Menentukan persamaan garis singgung dari sebuah fungsi 9. Mengidentifikasi masalah-masalah yang bisa diselesaikan dengan konsep ekstrim fungsi 0. Merumuskan model matematika dari masalah ekstrim fungsi. Menyelesaiakan model matematika dari masalah ekstrim fungsi. Menafsirkan solusi dari masalah nilai ekstrim KEGIATAN BELAJAR : I. Judul sub kegiatan belajar :. Pengertian Turunan Fungsi. Rumus-rumus Turunan Fungsi. Turunan Fungsi Trigonometri 4. Dalil Rantai 5. Garis Singgung 6. Fungsi Naik dan Turun 7. Menggambar grafik fungsi II. Uraian materi dan contoh PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI Definisi turunan : Fungsi f : x y atau y = f (x) mempunyai turunan yang dinotasikan y = f (x) atau dy = df(x) dan di definisikan : dx dx y = f (x) = lim f(x + h) f(x) atau dy = lim f (x + x) f(x) h 0 h dx h 0 h Notasi kedua ini disebut notasi Leibniz. XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 4

Contoh : Tentukan turunan dari f(x) = 4x Jawab f(x) = 4x f( x + h) = 4(x + h) = 4x + 4h - f ( x h) f ( x) Sehingga: f (x) = h (4x 4h ) (4x ) = lim h 0 h 4x 4h 4x ) = lim h 0 h 4h = lim h 0 h = lim 4 h 0 = 4 lim 0 h Contoh ; Tentukan turunan dari f(x) = x Jawab : f(x) = x f(x + h) = (x + h) = (x + xh + h ) = x + 6xh + h f ( x h) f ( x) Sehingga : f (x) = lim h 0 h (x 6xh h = lim h 0 h 6xh h = lim h 0 h = lim 6 x h h 0 ) x XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 5

= 6x+.0 = 6x Latihan Dengan definisi di atas tentukan nilai turunan berikut:. f(x) = 6 x. f(x) = 5x +x. f ( x) x 4. f ( x) x 5. f(x) = x RUMUS-RUMUS TURUNAN. Turunan f(x) = ax n adalah f (x) = anx n- dy atau = anx n- dx. Untuk u dan v suatu fungsi,c bilangan Real dan n bilangan Rasional berlaku a. y = v± u y = v ± u b. y = c.u y = c.u c. y = u.v y = u v + u.v u ' u' v uv' d. y y v v e. y = u n y = n. u n-.u Contoh: Soal ke- Jika f(x) = x + 4 maka nilai f (x) yang mungkin adalah. Pembahasan f(x) = x + 4 f (x) =.x = 6x XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 6

Soal ke- Nilai turunan pertama dari: f(x) = (x) + x 8x + 4 adalah Pembahasan f(x) = x + x 8x + 4 f (x) =.x +.x 8 = 6x + 4x -8 Soal ke- Turunan ke- dari f(x) = (x-)(4x+) adalah Pembahasan f(x) = (x-)(4x+) f(x) = x + x 8x f(x) = x 5x f (x) = 4x 5 Soal ke- 4 Jika f(x) = (x ) maka nilai f (x) adalah Pembahasan f(x) = (x ) f (x) = (x ) () f (x) = 6(x ) f (x) = 6(x )(x ) f (x) = 6(4x 4x+) f (x) = 4x 4x + 6 Soal ke- 5 Turunan pertama dari f(x) = (5x ) adalah Pembahasan f(x) = (5x ) f (x) = (5x ) (0x) f (x) = 0x (5x ) f (x) = 00x 0x XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 7

Soal ke- 6 Turunan pertama dari f(x) = (x 6x) (x + ) adalah Pembahasan f(x) = (x 6x) (x + ) Cara : Misal : U = x 6x U = 6x 6 V = x + V = Sehingga: f (x) = U V + U V f (x) = (6x 6)(x+) + (x +6x). f (x) = 6x + x 6x + x 6x f (x) = 9x Cara : f(x) = (x 6x) (x + ) f (x) = x - +6x 6x x f (x) = 9x +x x f (x) = 9x Latihan soal. Tentukan turunan dari:. f(x) = x -. f(x) = 5 x. f(x) = 4 x 4. f(x) = 4 x x x 5. f(x) = (x + ) (x ) ( x ) 6. f(x) = x XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 8

7. f(x) = ( x ) 8. f(x) = 4 x 5x TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Dengan menggunakan definisi turunan kita bias menentukan turunan dari :. f(x) = sin x Yaitu : f(x) = sin x f(x + h) = sin (x + h) f ( x h) f ( x) f (x) = lim h o h sin( x h) sin( x) = lim h 0 h ( cos x h)sin h = lim h 0 h sin h = lim cos (x h)lim h 0 h 0 h = cos (x). = cos x. f(x) = cos x Yaitu : f(x) = cos x f(x + h) = cos ( x + h ) f ( x h) f (x) = lim h o h f ( x) XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 9

= = cos( x h) cos( x) lim h 0 h sin (x h)sin lim h 0 h sin h = lim ( sin (x h)lim ) h 0 h 0 h = - sin x ). ( = - sin x Jadi diperoleh rumus turunan fungsi trigonometri :. a. f(x) = sin x f (x) = cos x b. f(x) = cos x f (x) = - sin x. a. f(x) = sin (ax + b) f (x) = a cos (ax + b ) b. f(x) = cos (ax + b) f (x) = - a sin (ax + b ) dan jika u suatu fungsi maka:. a. f(x) = sin u f (x) = u cos u b. f(x) = cos u f (x) = - u sin u Contoh 4: Tentuka turunan dari: a. f(x) = sin x + cos x b. f(x) = sin (5x ) c. f(x) = tan x jawab: a. f(x) = sin x + cos x f (x) = cos x - sin x b. f(x) = sin (5x ) f (x) = 5 cos (5x ) sin x c. f(x) = tan x = cos x missal : u = sin x u = cos x XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 0 h

v = cos x v = - sin x u' v uv' f (x) = v cos x.cos x sin x.( sin x) = cos x cos x sin x = cos x = cos x = sec x Latihan soal : Tentukan turunan dari fungsi berikut :. f(x) = sin x cos x. f(x) = sin x. f(x) = cos (x + ) 4. f(x) = tan x 5. f(x) = sec x 6. f(x) = sin x. cos x 7. f(x) = cos x x 8. f(x) = sin x DALIL RANTAI UNTUK MENENTUKAN TURUNAN Apabila y = f(g(x)) maka y = f (g(x)). g (x) Dari rumus y = f(g(x)) y = f (g(x)). g (x) du Jika g(x) = u g (x) = dan f(g(x)) = f(u) y = f(u) dx dy = f (u) = f (g(x)) du Maka f (x) = f (g(x)). g (x) dapat dinyatakan ke notasi Leibniz menjadi XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07

dy dy du. dx du dx Dan bentuk tersebut dapat dikembangkan jika y = f ( u(v)) maka: dy dy du dv.. dx du dv dx Contoh 5: Dengan notasi Leibniz tentukam yurunan dari : a. y = (x x) 4 b. y = cos 5 ( x ) Jawab: a. y = (x x) 4 missal : u = x x Sehingga : y = u 4 du dx = x dy 4 u du 4 ( x x) = dy dy du 4. = ( x x).(x ) dx du dx 8 = 4 x x x b. y = cos 5 ( Misal: v = x ) x dv = - dx XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07

u = cos v y = u 5 dy du du dv = - sin v = - sin ( = 5u 4 = 5(cos v) 4 x Sehingga : dy dy du dv. = 5(cos v) 4. - sin ( x dx du dv dx ). - = 0 (cos v) 4 sin ( x ) = 0 (cos( x ) ) ) 4 sin ( x Latihan soal :. Dengan rumus turunan y = f ( g(x)) adalah f (x) = f (g(x) ). g (x) Tentukan turunan dari: a. y = ( 4x + 5) b. y = sin ( x -. Dengan notasi Leibniz tentukan turunan fungsi berikut : a. y = ( 6 x ) b. y = cos ( 4x - ) c. y = sin - (x + ) ) ) XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07

GARIS SINGGUNG PADA KURVA. Gradien garis singgung y Perhatikan gambar di bawah ini Gradien garis AB adalah y y m = x x f ( a h) f ( a) = ( a h) a f ( a h) f ( a) = h y=f(x) B((a+h),f(a+h)) AB A(a,f(a)) g x=a x=a+h x Apabila garis ABdiputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A (h 0) maka tali busur ABmenjadi garis singgung (g) pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a))dengan gradient f ( a h) f ( a) mg lim h 0 h m f '( a) g XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 4

Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a)) atau A (x,y) adalah y y = m (x x) Contoh 6: Diketahui kurva y = x x + 4 dan titik A (,4) a. Tentukan gradien garis singgung di titik A. b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A. Jawab: y = x x + 4 y = x a. Gradien di titik A (,4) m = y x= =. = 6 = b. Persamaan garis singgung di titik A (,4) y y = m (x x) y 4 = (x ) y 4 = x 9 y = x 5 Latihan soal. Tentukan gradien garis singgung pada kurva: a. y = x 6x di titik (-,7) b. y = sin x di titik (, ). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva a. y = x x di titik (,) b. y = x -x di titik dengan absis c. y = (-x)(x +) di titik dengan ordinat. Suatu garis singgung pada kurva y = + x x sejajar dengan garis 4x + y =, tentukan : a. Titik singgung b. persamaan garis singgung XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 5

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN y f(x) y f(x) f(x) f(x) x x x 0 x x 0 Gb. gb.. Fungsi f(x) disebut fungsi naik pada interval a x b, jika untuk setiap x dan x dalam interval a x b berlaku : x > x f(x) > f(x) (gb. ). Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a x b, jika untuk setiap x dan x dalam interval a x b berlaku : x > x f(x) < f(x) (gb. ). Fungsi f disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f (a) > 0 4. Fungsi f disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f (a) < 0 Contoh 7 : Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x + 9x + 5x + 4 merupakan : a. Fungsi naik b. Fungsi turun XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 6

Jawab: f(x) = x + 9x + 5x + 4 f (x) = x + 8x + 5 a. Syarat fungsi naik (x) > 0 x + 8x + 5 > 0 x + 6x + 5 > 0 (x+) (x+5) > 0 Harga batas x = -, x = -5 f b. Syarat fungsi turun (x) < 0 x + 8x + 5 < 0 x + 6x + 5 < 0 (x+) (x+5) < 0 Harga batas x = -, x = -5 f Jadi fungsi naik pada interval x < - 5 atau x > - Latiha soal. Tentukan pada interval mana fungsi berikut merupakan fungsi naik atau fungsi turun. a. f(x) = x 6x b. f(x) = -5 - x + 4x 0x + -5 - Jadi fungsi naik pada interval -5 < x < - c. f(x) = (x -) (x+). Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x 6x + x + 6 tidak pernah turun. XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 7

NILAI STASIONER y A B D C 0 x=a x=b x=c x=d x Perhatikan grafik fungsi y = f(x) disamping Pada titik A,B,C dan D dengan absis berturut-turut x = a, x = b, x = c dan x = d menyebabkan (x) = 0 maka f(a), f(b), f(c) dan f(d) merupakan nilai nilai stasioner. f Jenis jenis nilai stasioner. Nilai stasioner di titik A. Pada : x < a diperoleh x = a diperoleh x > a diperoleh f f f (x) > a (x) = a (x) < a + + 0 a Fungsi yang mempunyai sifat demikian dikatakan fungsi f(x) mempunyai nilai stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik maksimum. XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 8

. Nilai stasioner di titik B dan D. a. Pada : x < b diperoleh f (x) < 0 x = b diperoleh (x) = 0 x > b diperoleh (x) < 0-0 - b f f Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada x = b dan titik (b,f(b)) disebut titik belok. b. Pada : x < d diperoleh (x) > 0 x = d diperoleh f (x) = d x > d diperoleh (x) > d f f + 0 + d fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik (d,f(d)) disebut titik belok Pada titik B atau D sering hanya disingkat nilai stasioner belok.. Nilai stasioner di titik C Pada : x < c diperoleh f (x) < 0 x = c diperoleh f (x) = 0 x > c diperoleh f (x) > 0-0 + c XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 9

Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(c) pada x =c dan titik (c,f(c)) disebut titik balik minimum. Contoh 7: Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x +x Jawab : f(x) = x + x (x) = x + = (x + ) Nilai stasioner didapat dari f (x) = 0 (x + ) = 0 x = - f(-) = (-) + (-) = - Jadi diperoleh titik stasioner (-,-) f x - - 0 f (x) ( x + ) - 0 + Bentuk grafik Titik balik minimum Dengan menggunakan uji turuna kedua : f c a. 0 f c b. 0 f c c. 0, maka f(c) adalah nilai balik maksimum fungsi f, maka f(c) adalah nilai balik minimum fungsi f, maka belum dapat disimpulkan, berarti f mungkin mencapai nilai balik maksimum, nilai balik minimum, atau tidak mencapai nilai ekstrim. Dalam kasus f c penentuan jenis-jenis nilai stasioner kembali ini 0 menggunakan uji turuna peprtama. XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 0

Latihan. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya pada fungsi berikut : a. f(x) = x 6x b. f(x) = x 9x + x c. f(x) = 4 4 x x d. f(x) = x 4 8x -9 e. f(x) = ( x ) x 4 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) ada beberapa langkah sebagai berikut :. Tentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu x ( jika mudah ditentukan ), yaitu diperoleh dari y = 0.. Tentukan titik potong dengan sumbu y, yaitu diperoleh dari x = 0.. tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya. 4. tentukan nilai-nilai y untuk nilai x besar positif dan untuk x yang besar negative. Contoh 8: Diketahui persamaan y = f(x) = x x, tentukan : a. Tentukan titik potong dngan sumbu x dan sumbu y. b. Nilai stasioner dan titik stasioner. c. Nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar negative. d. Titik Bantu Jawab: a. i. Grafik memotong sumbu x, bila y = 0. Y = 0 = x x XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07

0 = x ( x ) 0 = x ( - x ) ( + x) Titik potong sumbu x adalah (0,0), (,0), (- ii. memotong sumbu y, jika x = 0 y = x x y =.0-0 y = 0 titik potong sumbu y adalah (0,0) b. Syarat stasioner adalah : f (x) = 0 (x) = x ( - x ) ( x) ( + x) x =, x = - untuk x =, f() = () () = x = -, f(-) = (-) (-) = - nilai stasionernya : y = dan y = - titik stasioner : (,) dan (-,-) f,0) c. y = x x, untuk nilai x besar maka bilangan dapat diabaikan terhadap x, sehingga y = -x. Jika x besar positif maka y = besar negative dan jika x besar negative maka y besar positif. XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07

d. Titik Bantu x - -, y - 8-8 y - - - Soal latihan Gambarlah grafik :. y = x + 9. y = x 4 x. y = (x ) 4. x (8 x) XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07

Materi Pokok : Turunan dan Turunan Berantai. Jika f(x) = sin² ( x + π/6 ), maka nilai f (0) =. a. b. c. d. ½ e. ½ Soal Ujian Nasional tahun 007. ) adalah f (x) =. a. sin² ( x² ) sin ( 6x² 4 ) b. x sin² ( x² ) sin ( 6x² 4 ) c. x sin² ( x² ) cos ( 6x² 4 ) d. 4x sin³ ( x² ) cos² ( x² ) e. 4x sin³ ( x² ) cos ( x² ) Soal Ujian Nasional tahun 006. Turunan dari f(x) = cos (x 5x) adalah f (x) =. a. cos (x 5x).sin( x 5x) b. (6x 5).cos (x 5x) XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 4

c. cos (x 5x).sin( x 5x) (6x 5) tan(x d. (6x 5) tan(x 5x) cos (x e. 5x) cos (x 5x) 5x) Soal Ujian Nasional tahun 005 kurikulum 004 4. Turunan pertama f(x) = cos³ x adalah. a. f '( x) cos xsin x b. f '( x) cos xsin x c. f '( x) sin x cos x d. f '( x) sin x cos x e. f '( x) cos x Soal Ujian Nasional tahun 005 5. Jika f(x) = ( x )² ( x + ), maka f (x) =. a. 4 ( x ) ( x + ) b. ( x ) ( 5x + 6 ) c. ( x ) ( 6x + 5 ) d. ( x ) ( 6x + ) XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 5

e. ( x ) ( 6x + 7 ) Soal Ujian Nasional tahun 004 6. Turunan pertama dari fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) = x 5 adalah f, maka f (x) =. a. b. c. d. e. x x 5 x 5 6 x 5 x x 5 6x x 5 Soal Ujian Nasional tahun 004 7. Diketahui f(x) = 4x 9 pertama dari f(x), maka nilai f () =., Jika f (x) adalah turunan a. 0, b.,6 c.,5 d. 5,0 e. 7,0 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 6

Soal Ujian Nasional tahun 00 8. Diketahui a. / b. /7 c. /5 d. e. 4 x 4 f ( x), Nilai f (4) =. x Soal Ujian Nasional tahun 00 9. Jika f(x) = a. b. c. d. e. sin x sin sin d x, maka ( f (sin x ))... dx cos x sin x sin sin x sin sin x x x sin x.cos x x x Soal Ujian Nasional tahun 00 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 7

0. Turunan pertama fungsi f9x) = (6x )³ (x ) adalah f (x). Nilai dari f () =. a. 8 b. 4 c. 54 d. 6 e. 6 Soal Ujian Nasional tahun 00. Diketahui f(x) = sin³ ( x). Turunan pertama fungsi f adalah f (x) =. a. 6 sin² ( x) cos ( x) b. sin² ( x) cos ( x) c. sin² ( x) cos ( x) d. 6 sin ( x) cos (6 4x) e. sin² ( x) sin (6 4x) Soal Ujian Nasional tahun 000 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 8

Materi Pokok : Aplikasi Turunan. Perhatikan gambar! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah. a. (,5 ) b. (,5/ ) c. (,/5 ) d. ( 5/, ) e. ( /5, ) Soal Ujian Nasional tahun 007. Persamaan garis singgung kurva y = ³ ( 5 + x ) di titik dengan absis adalah. XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 9

a. x y + = 0 b. x y + = 0 c. x y + 7 = 0 d. x y + 4 = 0 e. x y + 8 = 0 Soal Ujian Nasional tahun 006 4. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya ( 4x 60 + 000/x )ribu rupiah per hari. Biaya minmum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah. a. Rp. 00.000,00 b. Rp. 400.000,00 c. Rp. 560.000,00 d. Rp. 600.000,00 e. Rp. 800.000,00 Soal Ujian Nasional tahun 006 5. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam ( 4x 800 + 0/x ) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, maka produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu jam. a. 40 b. 60 c. 00 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 0

d. 0 e. 50 Soal Ujian Nasional tahun 005 kurikulum 004 6. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus s = f(t) = t ( s dalam meter dan t dalam detikk ). Kecepatan partikel tersebut pada saat t = 8 adalah m/det. a. /0 b. /5 c. / d. e. 5 Soal Ujian Nasional tahun 005 kurikulum 004 7. Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan ( 5x x² ) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah. a. 0 b. 0 c. 40 d. 50 e. 60 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07

Soal Ujian Nasional tahun 005 8. Persamaan garis inggung pada kurva y = x + 6x + 7 yang tegak lurus garis x y + = 0 adalah. a. x + y + 5 = 0 b. x + y 5 = 0 c. x y 5 = 0 d. 4x y + 9 = 0 e. 4x + y + 9 = 0 Soal Ujian Nasional tahun 004 9. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah 4 cm². Agar volume kotak tersebut mencapai maksimum, maka panjang rusuk persgi adalah cm. a. 6 b. 8 c. 0 d. e. 6 Soal Ujian Nasional tahun 004 0. Garis singgung pada kurva y = x² 4x + di titik (,0 ) adalah. a. y = x b. y = x + c. y = x XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07

d. y = x + e. y = x Soal Ujian Nasional tahun 00. Grafik fungsi f(x) = x³ + ax² + bx +c hanya turun pada interval < x < 5. Nilai a + b =. a. b. 9 c. 9 d. e. 4 Soal Ujian Nasional tahun 00. Sebuah tabung tanpa tutup bervolume 5 cm³. Luas tabung akan minimum jika jari jari tabung adalah cm. a. 8 b. c. d. 4 6 8 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07

e. 8 Soal Ujian Nasional tahun 00. Garis l tegak lurus dengan garis x + y + = 0 dan menyinggung kurva y = x² x 6. Ordinat titik singgung garis l pada kurva tersebut adalah. a. b. 4 c. d. e. 4 Soal Ujian Nasional tahun 00 4. Persamaan garis singgung kurva y = x kurva dengan absis adalah. a. y = x b. y = x + c. y = x d. y = x + e. y = x + Soal Ujian Nasional tahun 00 x 5. Fungsi y = 4x³ 6x² + naik pada interval. a. x < 0 atau x > b. x > di titik pada XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 4

c. x < d. x < 0 e. 0 < x < Soal Ujian Nasional tahun 00 6. Nilai maksimum fungsi f(x) = x³ + x² 9x dalam interval x adalah. a. 5 b. 7 c. 9 d. e. Soal Ujian Nasional tahun 00 7. Nilai maksimum dari y 00 x pada interval 6 x 8 adalah. a. 64 b. 6 c. 0 d. 8 e. 6 Soal Ujian Nasional tahun 000 8. Persamaan garis yang menyinggung kurva f(x) = x - 4x + pada titik yang berabsis - adalah... XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 5

a. y = x + b. y = x + 7 c. y = -x - d. y = -x - e. y = -x - 9. Fungsi f yang dirumuskan dengan f(x) = x -6x + 9x + turun pada interval... a. - < x < b. 0 < x < c. < x < 6 d. < x < 4 e. < x < 0. Diketahui fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = x + x x. Nilai minimum fungsi f dalam interval 0 x adalah a. 8 b. 9 c. d. e. 8. Nilai maksimum dari f(x) = x + 5x - 4x dalam interval - x - adalah a. 8 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 6

b. 7 c. 9 d. e. 7. Turunan pertama dari y = x cos x adalah a. x cos x( cos x x sin x ) b. x cos x + x cos x sin x c. x ( cos x x sin x) d. x cos x x sin x e. x ( cos x x sin x ). Persamaan garis singgung kurva y = 5x + x pada titik (, ) adalah... a. y = x b. y = x c. y = x 6 d. y = x + 6 e. y = x + 4. Grafik fungsi f(x) = x(6 x) naik dalam interval... a. < x < 6 b. 6 < x < c. x < atau x > 6 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 7

d. x < e. x < 6 atau x > 6 atau x > 5. Jika f(x) = x 4-7x + x + 5 maka f ( a. 0 b. c. d. e. 4 ) =... 6. Jika k, l, m adalah konstanta serta f(x) = k 5mx maka f (l) =... a. k b. k 5ml c. -5ml d. -5m e. l 7. Jika y = a. tan x b. cot x c. sin x, maka sin x y dy =... dx XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 8

d. cos x e. sin x 8. Jika f(x) = tan ( x ), maka f =... a. 6 tan (x-) sec (x-) + 8 sec 4 (x-) b. 6 tan (x-) sec (x-) + 8 sec (x-) c. 6 tan (x-) sec (x-) + 8 sec 4 (x-) d. 8 tan (x-) sec (x-) + 6 sec 4 (x-) e. 8 tan(x-) sec (x-) + 8 sec 4 (x-) 9. Jika y = sin ( -x ) maka a. sin (-x) b. -cos (-x) c. -6sin (-x) d. -6cos (-x) e. -6sin (-x) cos (-x) dy dx = XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 9

XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 40