Bagi Solusi Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA 17 Maret 2010 (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 1 / 20
Rumusan Masalah Bagi Tentukan solusi dengan f fungsi nonlinear. f (x) = 0 (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 2 / 20
Pencarian Akar Bagi 1 Tertutup (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 3 / 20
Pencarian Akar Bagi 1 Tertutup Bagi 2 (Bisection) (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 3 / 20
Pencarian Akar Bagi 1 Tertutup Bagi 2 (Bisection) (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 3 / 20
Pencarian Akar Bagi 1 Tertutup Bagi 2 (Bisection) 2 Terbuka (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 3 / 20
Pencarian Akar Bagi 1 Tertutup Bagi 2 (Bisection) 2 Terbuka Iterasi Titik Tetap ( xed point Interation) (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 3 / 20
Pencarian Akar Bagi 1 Tertutup Bagi 2 (Bisection) 2 Terbuka Iterasi Titik Tetap ( xed point Interation) Newton-Raphson (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 3 / 20
Pencarian Akar Bagi 1 Tertutup Bagi 2 (Bisection) 2 Terbuka Iterasi Titik Tetap ( xed point Interation) Newton-Raphson Secant (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 3 / 20
Syarat Cukup Bagi Theorem Misalkan f kontinu pada [a, b]. Jika f (a) f (b) < 0, maka terdapat paling sedikit c 2 (a, b) sedemikian sehingga f (c) = 0 (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 4 / 20
Gra k Bagi y y=f(x) a b x (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 5 / 20
Kelemahan Bagi Hanya mampu menemukan sebuah akar (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 6 / 20
Solusi Kelemahan Bagi Hanya mampu menemukan sebuah akar Bila syarat cukup tidak terpenuhi karena selang terlalu lebar, maka seolah-olah tidak mempunyai akar (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 6 / 20
Solusi Bagi Ambil Selang yang cukup kecil (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 7 / 20
Solusi Solusi Bagi Ambil Selang yang cukup kecil Membuat gra k (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 7 / 20
Solusi Solusi Bagi Ambil Selang yang cukup kecil Membuat gra k Mencetak nilai fungsi pada selang yang tetap (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 7 / 20
Bagi x f (x) = e x 5x 2-0.50-0.643469-0.40-0.129680-0.30 0.290818-0.20 0.618731-0.10 0.854837 0.00 1.000000 0.10 1.055171 0.20 1.021403 0.30 0.899859 0.40 0.691825 0.50 0.398721 0.60 0.022119 0.70-0.436247 0.80-0.974459 0.90-1.590397 Contoh (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 8 / 20
Bagi Solusi Bagi Bagi 1 Tentukan f (x) 2 Tentukan selang [a, b] 3 Bagi dua di c = a+b 2 4 Jika f (c) = 0, maka proses selesai dan c adalah akar persamaan tersebut. 5 Jika f (a) f (c) < 0, maka b = c. Lakukan kembali proses dari no. 3. 6 Jika f (a) f (c) > 0, maka a = c. Lakukan kembali proses dari no. 3. 7 Lakukan proses tersebut sampai toleransi terpenuhi (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 9 / 20
Bagi Toleransi Bagi Iterasi dihentikan jika: ja bj < ε (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 10 / 20
Bagi Toleransi Bagi Iterasi dihentikan jika: ja bj < ε atau f (c) < ε m (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 10 / 20
Bagi Toleransi Bagi Iterasi dihentikan jika: ja bj < ε atau f (c) < ε m atau c r+1 c r < δ c r+1 (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 10 / 20
Bagi Flowchart START Bagi f( c) Input a dan b c = (a + b)/2 f(c) b = c Ya f(a)(c)<0 Tid ak a = c Tidak a bs( a b )<eps Tidak Ya f( c)<eps_m Tidak Ya a bs((c r+1 c r)/c r +1)<d Ce ta k c Finish Ya (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 11 / 20
Bagi Solusi Contoh Bagi Carilah akar persamaan dengan toleransi ε = 0, 0001: 1 e x 5x 2 = 0 2 x 3 3x + 1 = 0 (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 12 / 20
Bagi Jawab Bagi Iterasi ke-1 f (x) = x 3 3x + 1 f (0) = 1 dan f (1) = 1. selang lokasi akar [0, 1] c = 0 + 1 = 0.5 2 f (0.5) = (0.5) 3 3 (0.5) + 1 = 0.375 f (0) f (0.5) < 0! b = c = 0.5 j0 0.5j = 0.5 > ε toleransi belum terpenuhi, lanjutkan ke iterasi ke-2 (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 13 / 20
Bagi Jawab Bagi Iterasi ke-2 c = 0 + 0.5 = 0.25 2 f (0.25) = (0.25) 3 3 (0.25) + 1 = 0.265 63 f (0) f (0.25) > 0! a = c = 0.25 j0.25 0.5j = 0.25 > ε Toleransi belum terpenuhi, lanjutkan ke iterasi ke-3 (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 14 / 20
Bagi Jawab Bagi Iterasi ke-3 c = 0.25 + 0.5 = 0.375 2 f (0.375) = (0.375) 3 3 (0.375) + 1 = 7. 226 6 10 2 f (0.25) f (0.375) < 0 maka b = c = 0.25 j0.25 0.375j = 0.125 > ε (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 15 / 20
Bagi Jawab Bagi Iter a b c f (a) f (b) f (c) ε 1 0 1 0.5 1 1 0.375 0.5 2 0 0.5 0.25 1 0.375 0.265 0.25 3 0.25 0.5 0.375 0.265 0.375 0.07 2 0.125 4 0.25 0.375 5 6 7 (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 16 / 20
Bagi Jumlah Iterasi Bagi Sampai berapa iterasi? nwar (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 17 / 20
Bagi Jumlah Iterasi Bagi Sampai berapa iterasi? Theorem jika f kontinu pada [a, b] dengan f (a) f (b) < 0 dan bx 2 (a, b) sedemikian sehingga f (bx) = 0 dan c r = a r+b r 2, maka jbx c r j < jb r a r j 2 dan jbx c r j < jb aj 2 r+1. (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 17 / 20
Solusi Bagi 1 bagi dua selalu berhasil menemukan akar, tetapi kecepatan konvergensi rendah 2 memiliki kecepatan konvergensi yang tinggi. 3 Algoritma hampir serupa, hanya beda dalam mencari c. (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 18 / 20
Solusi y Bagi a c b x (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 19 / 20
Solusi Bagi f (b) b f (a) = f (b) 0 a b c f (b) (b a) c = b f (b) f (a) (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 20 / 20