Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik asal. X 2 + y 2 = 1 Panjang busur AP = t Keliling C = 2π y Jika t = π, maka P setengah C P(,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) A (1,0) t = 2π, maka P(1,0) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t
Fungsi sinus dan kosinus t bilangan real menetukan titik P(,y), maka: sin t = y cos t = Sifat dasar sinus dan kosinus Daerah hasil atau dan y (antara 1 dan -1) atau [- 1,1] Keliling Lingkaran = 2π, nilai t dan t + 2π menentukan titik P(,y) yang sama; sin (t + 2π) = sin t cos (t + 2π) = cos t
Titik P1 dan P2 berkorespondensi dengan t dan t, masing-masing simetri terhadap sumbu. Jadi koordinat dari P1 dan P2 adalah sama, dan y hanya berbeda tanda. Sin (-t) = -sin t cos (-t) = cos t P1(,y) y t (1,0) P2(,-y) -t
Titik P3 dan P4 berkorespondensi dengan t dan π/2 t simetri terhadap garis y =, sehingga koordinat saling tukar. Sin (π/2 t) = cos t Sehingga sin 2 t + cos 2 t = 1 cos (π/2 t) = sin t y (0,1) t P4(y,) P3(,y) t (1,0) Y= -t
t= π/4, maka: 1 = 2 + y 2 = cos 2 π/4 + cos 2 π/4 y (0,1) P 1 B π/4 Y= -t
Sama sisi, sisi r = 1, garis tinggi h=½ membagi 2 sisi r. Sin 30 = ½ = cos 60 Cos 30 = ½ = sin 60 Tg 30 = 1/3 = cotg 60 sec 30 = 2/3 = cosec 60 cosec 30= 2 = sec 60 cotg 30 = = tg 60
Grafik Sinus dan Kosinus t Sin t Cos t 0 0 0 Tambahkan gambar grafik.. π/6 ½ 3 /2 π/4 2/2 2 /2 π/3 3/2 1/2 π/2 1 0 2π/3 1 3/2-1/2 3π/4 2 /2-2 /2 5π/6 1/2-3 /2 π 0-1 4 hal: 1. Sin t dan cos t berkisar -1 sampai 1. 2. Kedua grafik berulang pada interval yang berdampingan di sepanjang 2π. 3. Grafik y = sin t simetri terhadap titik asal, dan y = cos t simetri terhadap sumbu y. 4. Grafik y = sin t sama seperti y = cos t, tetapi digeser π/2 satuan ke kanan
Periode dan amplitude Fungsi trigonometri o Fungsi f dikatakan periodic jika terdapat suatu bilangan p sedemikian rupa sehingga: o F(+P) = f() o P = periode f. o Fungsi sinus adalah periodic karena sin (+12π) = sin. o Sin (+4π) = sin (-2π) = sin(+12π) = sin o Fungsi sinus dan cosinus periodic dengan 2π. o Fungsi sin(at) memiliki periode 2π/a: o Sin[a(t+ 2π )] = sin[at + 2π] = sin (at) a
Berapakah fungsi periodic berikut? a. Sin (2πt) b. cos (2t) c. sin (2πt/12) Jawab: a.
Derajat Radian 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 120 2π/3 135 3π/4 150 5π/6 180 π 360 2π 180 0 = π = 3.1415927 radian 1 radian 57.295 0 1 0 = 0.0174533 radian
Fungsi trigonometri sudut yang lebih besar 90 atau yang negatif dapat diperoleh: Sin (-α) = -sinα = -y/r Cos (-α) = cos α = /r Tg (-α) = -tg α Sin (180-α) = y/r = sin α Cos (180-α) = -/r = cos α Tg (180-α) = ctg α Sin (90 + α) = /r = cos α Cos (90 + α) = -y/r = -sin α Tg (90 + α) = -cotg α Sin (α± k2π) = sin α; k = 1,2,3
Fungsi dari jumlah sudut Cos (α-β) = cos α. Cos β + sin α. Sinβ Cos (α+β) = cos α. Cos β - sin α. Sinβ Sin (α-β) = sin α. Cos β - cos α. Sinβ sin (α+β) = sin α. Cos β + cos α. Sinβ Identitas sudut ganda Sin 2 = 2 sin cos Cos 2 = cos 2 sin 2
Limit Luas lingkaran adalah it dari poligon-poligon beraturan ketika n (banyaknya sisi poligon) meningkat tanpa batas. grafik fungsi y = f() untuk a b. grafik berupa garis lurus, maka mudah dicari dengan rumus jarak. Bagaimana dengan grafik melengkung?
Makna Limit secara Intuisi Bahwa ; berarti bahwa ketika dekat tetapi berlainan dari c, maka f() dekat ke L. Limit dihubungkan dengan perilaku fungsi di dekat c, bukan di c. makna dekat? Seberapa dekat adalah dekat?. Tak terdefinisi jika = 1, karena
Diagram skematis 1,25 3,813 1,1 3,310 1,01 3,030 1,001 3,003 1,0? 0,999 2,997 0,99 2,970 0,9 2,710 0,75 2,313 1,25 1,01 1, 001 0,999 0,99 1,1 0,9 0,75 3,813 3,310 3,030 3,003 2,997 2,970 2,710 2,313 y
= 1 2 +1+1 = 3 1. 6. 2. 3. 4. 5.
LIMIT SATU SISI c + ( mendekati c dari kanan) c - ( mendekati c dari kiri) LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN berarti bahwa ketika dekat tetapi pada sebelah kanan c, maka f() dekat ke L. berarti bahwa ketika dekat tetapi pada sebelah kiri c, maka f() dekat ke L.
4 3 2 1-4 -3-2 -1 1 2 3 4
Pengkajian Mendalam Tentang Limit Gunakan plot dari y = f() = 3 2 untuk menentukan seberapa dekat seharusnya ke 2 untuk menjamin bahwa f() berada di dalam 0,05 dari 12. Jawab: 11,95<f()<12,05. Garis y = 11.95 dan 12,05. y = 3 2,, sehingga Interval untuk = 1,99583 < < 2,00416
14 13 12 11 10 y= 12,05 y= 11,95 y = 3 2 12,15 12,1 12,05 12 11,95 11,9 11,85 y= 12,05 y= 11,95 y = 3 2 1,6 1,8 2 2,2 2,4 1,98 1,99 2 2,01 2,02 2,03 = 1,99583 < < 2,00416
Pengertian presisi Limit f = L, berarti bahwa untuk tiap ε > 0 yang diberikan betapapun kecilnya, c terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian rupa sehinggga f L < ε asalkan bahwa 0 < c < δ; 0 < c < δ f L < ε
Teorema Limit 1. k = k c 2. = c c 3. kf = k f() c c 4. f + g = f + g() c c c 5. f g = f g() c c c 6. f. g = f. g() c c c 7. f c c c g, asalkan c g() 0 8. c [f ] n = [ c f ] n 9. n c c f(), asalkan c f() > 0 ketka n genap.
Soal 1. 3 2 4 = 2 3 4 = 2 [ c ] 4 = 2[3] 4 = 162 2. 4 (3 2 2) = 4 3 2 4 2 = 3 4 2 2 4 = 3 [ 4 ] 2 2 4 = 3 4 2 2 4 = 40 3. 2 +9 4 1/4 [ 4 4 = 2 +9 = 4 ] 2 + 9 4 (2 +9) 4 = 1/4 [ 4 ] 2 + 4 9 = = 1/4 4 2 + 9 = 5 4
4. 3 f = 4 dan 3 g = 8, carilah 3 [f2. 3 g ] 3 [f2. 3 g ] = f 2 (). 3 g() 3 3 = [ 3 f()] 2. 3 = [4] 2. 3 8 = 32 g() 3
Jika f() fungsi polynomial atau fungsi rasional maka: f = f(c) c 7 5 10 4 13+6 2 3 2 6 8 = 7.25 10.2 4 13.2+6 = - 11 3.2 2 6.2 8 2 o 1 1 1 = 1 1 1 +1 = 1 + 1 = 1+1=2 Carilah 2 +3 10 1 2 + 6
Limit di Tak hingga Fungsi g() = (1+ 2 ) Ketika semakin besar? g. t X : bahwa semakin membesar tanpa batas. (1 + 2 ) 10 0.099 100 0.010 1000 0.001 10000 0.0001? g() semakin kecil ketika semakin besar. 1+ 2 = 0 1+ 2 = 0
1+ 2 = 2 1+ 2 2 = 1 1 2+1 = 1 1 = 0 =0 2+ 1 0+1 Soal: 2 3 1+ 3
Limit Barisan o Daerah asal beberapa fungsi adalah himpunan bilangan asli {1,2,3 }. o a n ketimbang a(n), untuk menyatakan suku ke-n atau {a n }. o Barisan oleh a n = n/(n+1) o Ketika n menjadi besar : a 1 =½, a 2 =2/3, a 3 =¾, a 4 =4/5,. a 100 = 100/101, o Nilainya mendekati 1, sehingga a n = 1 n n+1 o = n+1 1/2 n/n+1/n = n n+2 n n+2 n n/n+2/n 1/2 = 1+0 1+0 1/2 =1
Limit Tak-Hingga f = c + F() dibuat sebesar yang diinginkan dengan mengambil cukup dekat tetapi di kanan c. Contoh: 1 1 1 2 dan 1 + 1 1 2 y 2 1 3 0.25 4 0.111111 5 0.0625 6 0.04 7 0.027778 Sehingga: 1 1 1 2 = dan 1 + 1 1 2 =
o 2 + o 1/ = 0 o 1/0 = +1 = +1 = 2+1 = 3 =- 2 5+6 2 + ( 3)( 2) (2 3)(2 2) ( 1)(0)
Limit melibatkan fungsi Trigonometri t c sin t = sin c t c cos t = cos c t c tan t = tanc c t c sec t = sec c t c csc t = csc c