Topik Bahasan: Pengujian Hipotesis. Pendahuluan Hipotesis pernyataan yang merupakan pendugaan berkaitan dengan nilai suatu parameter populasi (satu atau lebih populasi) Kebenaran suatu hipotesis diuji dengan menggunakan statistik sampel hipotesis diterima atau ditolak Jenis Hipotesis :. Hipotesis Nol (H 0) Merupakan hipotesis yang dirumuskan ingin diuji 2. Hipotesis Alternatif (H ) Pernyataan tentang parameter yang benar Galat dalam pengujian hipotesis : jika H 0 salah. Galat tipe I (galat ) terjadi bila H 0 benar tetapi ditolak = P(H 0 ditolak H 0 benar) ; juga menunjukkan taraf uji 2. Galat tipe II (galat β) terjadi bila H 0 salah tetapi diterima β = P(H 0 diterima H 0 salah) ; Nilai (- β) = peluang tidak terjadinya galat β 2
2. Uji satu arah Dua arah Uji dua arah bila memiliki daerah penolakan pada dua sisi kurva distribusi, yaitu sebelah kiri dan kanan kurva H 0 : µ = 3.6 H : µ 3.6 Daerah z Penolakan Ho Daerah µ= 3.6 z2 Daerah Penolakan H0 Uji satu arah bila memiliki satu daerah penolakan pada salah satu sisi kurva distribusi, yaitu sebelah kiri atau kanan kurva H 0 : µ = 2 gram H : µ < 2 gram Daerah µ= 2 Daerah z Penolakan H0 3 Uji satu arah vs dua arah Kriteria Uji 2 Arah Uji Arah (Kiri) Uji Arah (Kanan) Tanda pada H0 = = atau = atau Tanda pada H < > Daerah Penalakan 2 sisi kurva Sisi kiri kurva Sisi kanan kurva Tahapan dalam pengujian hipotesis :. Menentukan H 0 dan H 2. Menentukan taraf uji ( ) yang digunakan 3. Menentukan uji statistik ~ Hipotesis rata-rata populasi diuji dengan rata-rata suatu random sampling ~ Distribusi sampling normal nilai rata-rata sampel ditransformasikan ke nilai z 4. Menentukan daerah penolakan dan penerimaan 5. Menentukan nilai uji statistik 6. Membuat keputusan 4 2
3. Uji Hipotesis Rata-rata Nilai statistik yang biasa digunakan adalah sbb : H0 Nilai Statistik Uji H Wilayah Kritis µ = µ0 x - μ 0 σ n Jika known dan n 30 µ < µ0 µ > µ0 µ µ0 z < -z z > z z <-z & z > z µ = µ0 x - μ 0 t = ; v = n - s n Jika unknown dan n < 30 µ < µ0 µ > µ0 µ µ0 t < -t t > t t <-t & t > t Seorang manager produksi menyatakan bahwa isi sebuah susu kaleng sekurang-kurangnya 32 ons. Ujilah hipotesis dengan tingkat signifikansi persen jika sampel acak 60 kaleng susu diperoleh isi rata-rata 3.98 ons dan simpangan baku 0.0 ons! 5. Tentukan hipotesis nol dan alternatif Anggapan bahwa isi rata-rata sekurang-kurangnya 32 ons 2. 3. 4. merupakan H0 µ 32 H0 : µ = 32 H : µ < 32 taraf uji ( ) = 0.0 n = 60 nilai z sebagai statistik uji Menentukan daerah kritis z0.0 < - 2.33 5. Hitung nilai statistik uji z -2.33 x - μ 0 = 3.98-32 = -.55 s n 0. 60 = 0.0 µ= 32 Z karena nilai uji statistik -.55 lebih besar dari nilai z0.0= -2.33 maka H0 diterima. Ini menunjukkan bahwa nilai rata-rata sampel berada di daerah penerimaan H0. Dengan demikian kita menerima hipotesis H0 bahwa isi susu kaleng sekurang-kurangnya 32 ons. 6 3
Contoh : Setelah diadakan perbaikan, sebuah mesin produksi baut diameter 25 mm, dilakukan pengujian, apakah masih bagus atau tidak. Anggap ukuran diametrer baut tersebut terdistribusi normal. Diambil sampel acak 0 mesin produksi, diperoleh rata-rata sampel 25.02 mm dengan simpangan baku 0.024 mm. Lakukan pengujian dengan taraf nyata 5 persen!. Tentukan hipotesis nol dan alternatif 2. 3. 4. 5. Mesin masih bagus jika rata-rata diameter baut yg diproduksi = 25 mm, µ = 25 H0 : µ = 25 mm ; H : µ 25 mm Taraf uji ( ) = 0.05 n = 0 nilai t sebagai statistik uji v = n = 9 Menentukan daerah kritis t 0.025 = 2.26 Hitung nilai statistik uji t x - μ0 t = = 25.02-25 = - 2.64 s n 0.024 0 Daerah -2.26 µ= 25 Karena nilai uji statistik t = -2.64 jatuh pada daerah penolakan H0, sehingga H0 ditolak dan H diterima. 2.26 7 4. Uji Hipotesis Beda 2 Nilai Rata-rata Nilai statistik yang biasa digunakan adalah sbb : H0 Nilai Statistik Uji H Wilayah Kritis µ - µ2 = d0 (x - x 2 ) - d 0 2 2 ( σ n ) + ( σ 2 n 2 ) Jika dan 2 known dan n 30 µ - µ2 < d0 µ - µ2 > d0 µ - µ2 d0 z < -z z > z z <-z & z > z µ - µ2 = d0 (x - x2 ) - d0 µ - µ2 < d0 t = ; v = n + n2 µ - µ2 > d0-2 µ sp ( n ) + ( n2 ) - µ2 d0 Jika = 2 unknown t < -t t > t t <-t & t > t s = p 2 2 (n - )s +(n - )s 2 2 n +n -2 2 Sebuah pelajaran A diberikan pd 2 siswa dgn metode biasa, nilai ujian rata-rata = 85 dan simpangan baku 4. Kelas lain 0 siswa dengan metode komputer, nilai ujian 8 dan simpangan baku 5. Uji hipotesis bahwa kedua metode adalah sama, dgn taraf nyata 0% jika diasumsikan kedua populasi menyebar normal dengan ragam sama! 8 4
µ dan µ2 = rata-rata nilai semua siswa. H0 : µ = µ2 ; H : µ µ2 2. Taraf uji ( ) = 0.0 3. 4. 5. n = 2 ; n2 = 0 nilai t statistik uji v = 2+0 2 = 20 Menentukan daerah kritis t 0.05 =.725 Hitung nilai statistik uji t Daerah (x - x2 ) - d0 t = s p ( n ) + ( n2 ) sp = (n-)s2+(n2-)s22 n+n2-2 Sehingga : t = = (. 6)+(9. 25 ) 20 (85-8) - 0 4.478 ( 2 ) + ( 0 ) = 2.07 = 4.478 µ= 25 -.725.725 Karena nilai uji statistik t = 2.07 jatuh pada daerah penolakan H0, sehingga H0 ditolak dan H diterima. 9 5. Uji Hipotesis Proporsi : Sampel Besar Sering dijumpai uji hipotesis tentang proporsi populasi Pada populasi yang besar, digunanakan statistik uji z p - p σ p dimana σ p = p. q n Suatu obat penenang ketegangan syaraf diduga hanya 60% efektif. Kemudian dicobakan obat baru terhadap 00 pasien yang diambil acak, dan menunjukkan bahwa obat baru tersebut 70% efektif. Apakah ini menunjukkan bukti yang cukup untuk menyimpulkan bahwa obat baru tersebut lebih efektif daripada obat yang sekarang beredar? Gunakan taraf uji nyata 5%!. H0 : p = 0.6 ; H : p > 0.6 p - p 0.7-0.6 2. Taraf uji ( ) = 0.05 3. n = 00 nilai z statistik uji 4. Menentukan daerah kritis z 0.05 >.65 5. Hitung nilai statistik uji z = = 2.04 σ p (0.6 * 0.4) 00 6. Keputusan : Tolak H0 karena nilai z jatuh pada daerah kritis dan disimpulkan bahwa obat baru tsb memang lebih efektif 0 5
6. Pengujian Selisih Dua Proporsi Pada sampel besar uji hipotesis selisih dua proporsi populasi, digunanakan statistik uji z p - p 2 n p. q [ + n 2 ] ; dimana p = x + x 2 n + n 2 Suatu pemungutan suara hendak dilakukan diantara penduduk suatu kota dan sekitarnya thd rencana pembangunan GOR di pinggiran kota. Diambil contoh acak, diperoleh 20 diantara 200 penduduk kota dan 240 diantara 500 penduduk sekitar kota, setuju dgn rencana tersebut. Apakah dapat dikatakan bahwa proporsi penduduk kota yg setuju dgn rencana tsb lebih tinggi dari proporsi penduduk sekitar kota yg menyetujui rencana tsb? Gunakan taraf nyata 0.025!. H0 : p = p2; H : p > p2 2. Taraf uji ( ) = 0.025 3. n dan n2 besar nilai z statistik uji 4. Menentukan daerah kritis z 0.025 >.96 5. Hitung nilai statistik uji z p = p - p 2 n p. q [ + 20 + 240 200 + 500 Oleh karena itu n 2 ] ; dimana p = x = 0.5 ; p = n = 200 20 = 0.60 0.60-0.48 0.5 * 0.49 [ 200 + 500 ] x + x 2 n + n 2 = 2.90 ; x p 2 = n 22 = 500 240 = 0.48 6. Keputusan : karena nilai z hitung jatuh pada daerah kritis, maka tolak H0, dan kita setuju bahwa proporsi penduduk kota lebih tinggi dari proporsi penduduk sekitar kota yg menyetujui rencana tsb 2 6