Pemetaa Liea Yag Megawetka Ives azi Matiks Atas Lapaga ibeika matiks x atas lapaga Sutopo Juusa Matematika Fakultas Matematika da Pegetahua Alam Uivesitas Gadjah Mada sutopo_mipa@ugm.ac.id Abstact F lapaga dega mmal lima eleme. M ( F adalah himpua semua F. Pada peelitia dikaji tetag betuk pemetaa liea dai M ( F ke M m( F yag mempetahaka ives azi matiks atas lapaga dega ch F da m>,. Kata kuci : lapaga, ives azi. Pedahulua. Lata belakag Liea Peseve Poblem meupaka masalah yag sampai saat masih aktif dikaji oleh matematikawa teutama yag bekeja pada teoi matiks da teoi opeato. Bayak hasil yag telah dipeoleh pada Liea Peseve Poblem ataa lai pemetaa liea yag megawetka sifat idempote, pemetaa liea yag megawetka ak matiks da pemetaa liea yag megawetka detmia matiks. Ives azi meupaka peumuma dai ives biasa da pemetaa liea yag megawetka ives azi meupaka masalah yag sagat meaik utuk dijkaji. Peumusa Masalah ibeika himpua matiks x M ( F da himpua matiks mxm M m( F da Γ meotasika hipua semua pemetaa liea dai M ( F ke M ( F yag mempetahaka ives dazi matiks. Pada tulisa dikaji kaakteistik dai eleme Γ. Tujua da Mafaat Tujua peelitia adalah megkaji betuk pemetaa liea yag mempetahaka ives azi matiks atas lapaga, sedagka mafaat yag m ipesetasika dalam Semia Nasioal Aljaba, Pegajaa a Teapaya dega tema Kotibusi Aljaba dalam Upaya Meigkatka Kualitas Peelitia da Pembelajaa Matematika utuk Mecapai Wold Class Uivesity yag diseleggaaka oleh Juusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Yogyakata pada taggal Jauai 9
Sutopo dihaapka adalah mempekaya kajia tetag masalah pemetaa liea yag mempetahaka ives tegeealisasi matiks da meupaka salah satu kajia yag meaik khususya dalam teoi matiks. Pembahasa Pada tulisa F meyataka lapaga, meyataka semua eleme tak ol dai F. Himpua semua matiks x dega usu usuya aggota F diotasika dega M ( F, Matiks X Mx( F disebut ives dazi matiks A M ( x Fjika * F X adalah peyelesaia dai pesamaa pesamaa : (i. AX (. XAX XA X k (i. AXA A k utuk suatu bilaga bulat positif k. Apabila A meotasika ives azi dai matiks A utuk sebaag A M ( x F, maka pemetaa liea T dai M ( F ke M ( F mempetahaka ives azi dai matiks apabila T( himpua semua pemetaa liea dai A T ( A utuk setiap A M ( x F, da m M ( F ke M ( F yag mempetahaka ives azi diotasika dega Γ. Pada tulisa lapaga F diasumsika mempuyai palig sedikit lima eleme. sedagka Himpua semua matiks x yag ivetible diotasika dega Gl ( F, E ij meotasika matiks dega usu pada posisi (i,j da pada yag laiya, t meyataka himpua matiks txt da [, ] {,,..., }. m Matiks A da B dikataka simila jika tedapat matiks ivetible P sedemikia sehigga A PBP tulisa. Teoema. Teoema beikut sagat petig utuk meghasilka teoema utama pada ibeika T : M ( F M ( F m pemetaa liea yag megawetka idempote matiks, ch F, < m, maka T mempuyai betuk salah satu dai dua betuk beikut. 86 Semia Nasioal Aljaba, Pegajaa a Teapaya
Pemetaa Liea Yag Megawetka Ives azi Matiks Atas Lapaga (i. T (. Tedapat matiks P Gl ( m F da bilaga bulat o egatif, δ da ssedemikia sehigga, t P T( A P ( A Iδ ( A I δ s Utuk semua A M ( Fdega m + s da δ. Selajutya sebelum pembahasa teoema utama dipeluka bebeapa lemma pedukug telebih dahulu. Pada empat lemma beikut sebaag dega palig sedikit memuat lima eleme. Lemma. F diasumsika lapaga ibeika sebaag x, x, x, x 4 empat eleme bebeda di F da ABC,,, M ( F.Jika A+ x B+ x C+ x utuk semua k [, 4],maka k k k A B C. ega memasuka idek A+ x B+ x C+ x A+ x B+ x C+ x A+ x B+ x C+ x A+ x B+ x C+ x 4 4 4 k [, 4],dipeoleh sistem pesamaa beikut. Kaea x, x, x, x 4semua bebeda, maka dega sifat yag ada dalam sistem pesamaa liea dapat disimpula bahwa A B C. Lemma.. ibeika T Γ maka T( I T( E T( E T( I utuk sebaag i [, 4]. ega megguaka keyataa bahwa I + x E I + x E, ( ( ( ( A A AAda T Γ, maka dipeoleh, T I + x E T I + x E T I + x E T I + x E ( ( ( ( ( ( ( ( Utuk sebaag i [, ] da x F. ISBN : 978 979 65 5 87
Sutopo Kaea F memuat lima eleme, maka dapat dipilih x F sedemikia sehigga x, dega demikia aka dipeoleh T( I T( E T( E T( I atau T( I T( E T( E T( I. Lemma.. ibeika T Γ, maka T( E T( E T( I T( E T( I utuk sebaag i [, ]. ega megguaka keyataa bahwa I + x E I + x E, ( ( ( ( A AA A,da T Γ, dipeoleh, T I x E T I x E T I x E T I x E ( + ( ( + ( ( + ( ( + ( Utuk sebaag i [, ] da sebaag x F. Apabila diambil A T( I, B T( E, maka dipeoleh, ( ( ( ( ( ( ( A+ x B A+ x B A+ x B A+ x B... a dega megalika pesamaa (. dega x didapatka, (A+(x B(A(x + (x B(A+(x BA(x ++(x +(x B ( A+ ( x B( A+ ( x ( A B( A+ ( x B A+ ( x ( A+ B + ( x B..(. Kaea I I, E E da T Γ, maka dipeoleh A A, B B da dega keyataa bahwa A A, B B, da megguaka lemma., dai pesamaa (. dipeoleh, ( x ( BA B + ( x ( A B B A B + ( x ( B A B a dega lemma. disimpulka bahwa B BAB, BA. Lemma.4 ibeika A A M F ( maka tedapat matiks P Gl( F da matiks A M ( F sedemikia sehigga A Pdiag A O P (, da A I dega ak A. Matiks A dapat diyataka sebagai beikut, 88 Semia Nasioal Aljaba, Pegajaa a Teapaya
Pemetaa Liea Yag Megawetka Ives azi Matiks Atas Lapaga I A A A P QPP P P, (. ega PQ, Gl( F, A M( F da ak A ak ( AA iketahui A A da A A A P P A A A A A A A A P P P P P P P P A A A A A P P P P A ( AA ( AA..(.4 Kaea matiks (AA adalah mempuyai ak bais peuh, maka dai (.4 didapatka A I da selajutya dipeoleh A A A P P I AA A I AA P A P P P I I dega P dega. Lemma.5 ibeika T I AA P I Selajutya pada lemma beikut diasumsika kaakteistik dai Γ, maka pesamaa pesamaa beikut belaku: (i. T( I T( E T( E T( I. ij ij (. T( E T( I T( E ij ij Utuk sebaag i,j yag bebeda dega i, j [, ]. F tidak sama ISBN : 978 979 65 5 89
Sutopo Utuk sebaag i, j yag bebeda dega i, j [, ] da x F da megguaka ( I + xe ( I xe da T Γ ij ij,dipeoleh T( I + xe T(( I + xe T( I xe,sehigga belaku pesamaa beikut ij ij ij T( I + xe T( I xe T( I xe T( I + xe ij ij ij ij a dega peyedehaaa dipeoleh, xt [ ( I T( E T( E T( I ], kaea kaakteistik F tidak sama dega da ij ij x F, maka x, sehigga didapat T( I T( E T( E T( I,tebukti(i.. ij ij ega megguaka T( I + xe T( I xe ij i j kembali, dipeoleh, T( I xe T( I + xe T( I xe T( I xe (.5 ij ij ij ij kaea T( I T( I, dipeoleh T( I T( I T( I T( I T( I T( I T( I T( I T( I.ai (i yag telah dibuktika, T( I T( I da pesamaa (.5 dipeoleh, x( T( E T( E T( I x T( E T( I + x T( E da dega lemma. dipeoleh ij ij ij ij T( E T( E T( I ataut( E T( E T( I ij ij ij ij Lemma.6. ibeika A I, A M ( F, maka tedapat matiks P Gl ( F da bilaga bulat oegatif pq, sedemikia sehigga A Pdiag I I P ( p, q dega p ak( A + I, ak( A p + q. iketahui idempote kaea A I, dibetuk matiks ( A + I,Matiks ( A + I adalah matiks + + + + +I. a 4 ( ( A I ( ( A I( ( A I ( A I ( A 9 Semia Nasioal Aljaba, Pegajaa a Teapaya
Pemetaa Liea Yag Megawetka Ives azi Matiks Atas Lapaga selajutya sedemikia sehigga kaea ( I ( p A+ I P P I p ( A+ I P P I p A P P I Lemma.7. ibeika I p P I P A + I idempote maka tedapat matiks I p p I P P I q P Gl ( F dega p ak ( A + I, sehigga didapatka Ip Ip P P I q I p P P Iq, dega q. A A M F ( maka tedapat matiks P Gl ( F da bilaga bulat oegatif p, q da s sedemikia sehigga, A Pdiag( I, I, P q s ega ak( A p + q, p ak( A + I + ak A da p + q+ s ega lemma.4, tedapat matiks P Gl ( F sedemikia sehigga A A P P, dega ak A da matiks P Gl ( F sedemikia sehigga, A I. ega lemma.6, tedapat p P Iq A I P, dega p + q da p ak( A + I. ISBN : 978 979 65 5 9
Sutopo Selajutya dipeoleh, I A Pdiag P P P p, s I q P P P diag I I ( p, q, s P Is Is Pdiag( I, I, P ega p q s P P P, s p q, da kemudia didapat, Is p ak( A + I A + I ak A + I ak + I A ak + I + ak( A + I + ak A Lemma.8 ibeika T pemetaa liea dai M ( F ke M m( F yag megawetka idempote da ch F. Jika > m, maka T. ai lemma lemma diatas kemudia dibuktika teoema utama beikut. Teoema.9 ibeika ch F, m>, da F dega palig sedikit lima eleme, maka T Γ jika da haya jika T mempuyai salah satu betuk dai dua betuk beikut: (i. T (.Tedapat matiks ivetible P Gl ( F da bilaga bulat oegatif p, p, q, q da s sedemikia sehigga, t t P T A P A Ip A I q A I p A I q ( ( ( ( ( s, utuk semua A M ( F, dega m ( p + p + q + q + s. 9 Semia Nasioal Aljaba, Pegajaa a Teapaya
Pemetaa Liea Yag Megawetka Ives azi Matiks Atas Lapaga Kaea T( I T( I T( I, maka T( I T( I.Megguaka lemma.7, tedapat matiks T( I Pdiag( I, I, P P Gl ( m Fsedemikia sehigga t t t, dega t + t + t m...6 Utuk sebaag X M ( F, dai lemma. da bagia (i lemma.5 belaku T( I T( X T( X T( I..7 ai lemma. da bagia ( lemma.5 belaku, T( X T( X T( I..8 Megguaka pesamaa (.6, (.7 da (.8 dipeoleh, T( X Pdiag( X, X, P, X M ( F, X M ( F. t t imisalka f( X X, f( X X, maka t.9 T( X Pdiag( f ( X, f ( X, P Kaea T adalah pemetaa liea, maka dai (.9 didapat bahwa t f : ( ( M F M Fda t f : ( ( M F M Fadalah pemetaa liea. ai (.6 da t (.9 dipeoleh f ( I I da t f ( I I. t Megguaka (.9 kembali dipuyai t.. T( X Pdiag( f ( X, f ( X, P a t.. T( X Pdiag( f ( X, f ( X, P ai pesamaa (., (. da T( X T( X disimpulka bahwa f : ( ( M F M F da t f : ( ( M F M F adalah pemetaa liea yag t megawetka ives azi matiks. Selajutya dibuktika bahwa f megawetka idempote. Utuk sebaag ( tedapat matiks Q Gl ( F sedemikia sehigga M M M F M QI Q (,... dega ak M. iambil T( X f ( QXQ, utuk semua X M ( F, maka adalah pemetaa T liea dai M ( F ke M ( t F yag megawetka ives azi matiks da ISBN : 978 979 65 5 9
Sutopo T( I f ( QI Q f ( I It. Megguaka lemma. dipeoleh t T( E T( E T( I T( E I T( E utuk sebaag i [, ].. Kaea ( xe ± E x E ± E utuk sebaag i j,, i j [, ] da sebaag jj jj x F, maka ( xt ( E ± T ( E x T ( E ± T ( E, selajutya jika diambil jj jj T ( E Ai da T ( E dipeoleh jj A maka belaku ( i j( i j( i j i ( xa ± A x A ± A.Selajutya j i j i j x A ± A xa ± A x A ± A x A ± A j.4 ai (. da (.4 belaku AA+ AA + xaaa...5 j i i j j i j ega (.5 da lemma. didapatka AAA, AA+ AA j i j j i i j Megkombiasika kedua pesamaa diatas da dega (. disimpulka bahwa AA AA i j i j..6 ega pesamaa (. (. da (.6 dipeoleh f M f Q I Q ( ( ( T( I i i i T( E T( E ( T( E ( T( I f ( M Hal beati bahwa f megawetka idempote.ega caa yag sama dapat ditujukka bahwa f juga megawetka idempote. Kaea f da f keduaya megawetka idempote, maka dega lemma.8 da teoema. didapat kasus beikut: Jika > t maka dega lemma.8 disimpulka bahwa f, da jika maka t f mempuyai betuk salah satu dai(i atau ( pada teoema..secaa sama, jika 94 Semia Nasioal Aljaba, Pegajaa a Teapaya
Pemetaa Liea Yag Megawetka Ives azi Matiks Atas Lapaga > t maka dega lemma.8 disimpulka bahwa f da jika t maka f mempuyai betuk salah satu dai (i atau ( pada teoema.. ega petimbaga tetag f da f diatas disimpulka bahwa T mempuyai betuk salah satu dai (i atau ( pada teoema.9. Kebalika teoema.9, Jika T mempuyai betuk salah satu dai (i, ( pada teoema.9 maka dapat ditujukka bahwa T meupaka pemetaa liea dai M ( F ke M ( m F yag mempetahaka ives azi matiks. ega demikia tebukti teoema di atas. Beikut dibeika cotoh utuk mempejelas teoema di atas utuk kasus T buka pemetaa. iambil pemetaa T : M( Z5 M( Z5, utuk setiap A M( Z5, didefsika pemetaa sebagai beikut [ ] T( A P ( A I P dega 4 P da dega opeasi bais elemete dipeoleh ives dai matiks P yaitu P. Jika diambil A 4 da A, maka dipeoleh T( A da T( A sebagai 4 beikut. 4 T( A 4 4 da T( A 4, setelah dilakuka pegeceka dega defsi ives azi dipeoleh bahwa T( A T( A yaitu memeuhi kodisi beikut ISBN : 978 979 65 5 95
Sutopo T( A T( A T( A T( A T( A T( A T( A T( A T( A T( A T( A T( A Kesimpula Bedasaka uaia di atas dipeoleh kesimpula bahwa telah dipeoleh betuk dai pemetaa liea yag mempetahaka ives azi matiks sepeti pada teoema.9. afta pustaka.be Isael, a & Geville, T.N.E,, Geealized Iveses: Theoy ad Applicatios, Joh Wiley & Sos,ic.Bu Chagjiag, 5, Liea maps Pesevig azi iveses of matices ove field,liea Algeba ad Its Applicatios, vol 9, page 59 7..C.G.Cao, X.Zhag. Additive Opeatos Pesevig idempotet matices ove field ad applicatios, Liea Algeba Appl.48 (9967 8 4.Radhakisha Rao,C,97, Geealized Ivese of Matices ad Applicatios, Joh Wiley & Sos,ic. 96 Semia Nasioal Aljaba, Pegajaa a Teapaya