dega Bilaga Prima CAYLEY COLOR DIGRAPH DARI GRUP SIKLIK DENGAN BILANGAN PRIMA Abdul Jalil Sekolah Tiggi Kegurua Ilmu Pedidika PGRI Jombag Jl. Patimura III/0 zida_hilma@yahoo.com Abstrak Peelitia ii merupaka peelitia deskriptif-kualitatif dega megguaka metode peelitia kepustakaa (Library Research) yaitu peelitia yag megkaji kepustakaa, khususya tetag Cayley Color Digraf dega tujua utuk megumpulka data da iformasi dega batua bermacam material seperti buku-buku da dokume yag ada. Adapu permasalaha dalam peulisa ii adalah Bagaimaa betuk dari Cayley color digraph pada grup Siklik dega bilaga prima. Hasil pembahasa meujukka dega masig-masig geerator pada dapat diketahui bahwa Cayley Color Digraph dari grup Siklik merupaka Sikel Hamilto, sehigga betuk dari Cayley Color Digraph pada grup Siklik adalah Digraph Hamilto. Dari hasil pembahasa dapat disimpulka bahwa betuk Cayley Color Digraph dari grup Siklik adalah Digraf Hamilto. Kata kuci: Cayley Color Digraph, Grup Siklik. Abstract This research is a descriptive-qualitative research methods literature (Library Research) research that eamies the literature, especially o Cayley Color digraph for the purpose of collectig data ad iformatio with the help of a variety of materials such as books ad documets. The problem i this paper is how a form of Cayley color digraph o Cyclic group with primes. The results show discussio with each geerator i is kow that Cayley Color digraph of a group Cyclic is Sikel Hamilto, so the form of the Cayley Color digraph o the group Cyclic is digraph Hamilto. From the results of the discussio ca be cocluded that the shape of the Cayley Color digraph from Cyclic groups are digraphs Hamilto. Keywords: Cayley Color digraph, Cyclic Group.. Pedahulua Sebagai salah satu dari cabag ilmu matematika, teori graf da teori digraf serig dimafaatka da diguaka utuk meyelesaika suatu permasalaha dalam kehidupa sehari-hari, salah satu cotohya adalah masalah jembata Koisberg da merupaka suatu masalah yag pertama kali megguaka graf (tahu 7). Di kota Koigsberg (sebelah timur egara bagia Prussia, Jerma), sekarag berama kota Kaliigrad, terdapat sugai Pregal yag megalir megitari pulau Keiphof lalu bercabag mejadi dua buah aak sugai yag Gamatika Vol. II No. Nopember 0 5
dega Bilaga Prima mempuyai tujuh buah jembata yag meghubugka darata da dibelah oleh sugai tersebut. Masalahya adalah Apakah mugki melalui ketujuh jembata itu masig-masig tepat satu kali, da kembali ke tempat semula?. Seorag matematikawa Swiss, L. Euler, adalah orag pertama yag berhasil meemuka jawaba masalah itu dega pembuktia yag sederhaa. Ia memodelka masalah ii ke dalam graf. Darata (titik-titik yag dihubugka oleh jembata) diyatakaya sebagai titik (oktah)-yag disebut simpul (verte) da jembata diyataka sebagai garis yag disebut sisi (edge). Selai itu, teori graf da Digraf juga dapat diaplikasika pada cabag-cabag ilmu matematika yag lai, diataraya aljabar abstrak, matematika diskrit, da lai sebagaiya. Salah satu pembahasa yag mearik dari aplikasi teori graf pada cabag ilmu matematika yag lai adalah graf yag dibetuk dari suatu grup dega pembahasa tetag teori graf yag dibetuk dari grup di sii mejelaska suatu digraf yag dikaitka dega grup da subset dari grup yag disebut geerator. Berdasarka uraia tersebut dalam peelitia ii peulis aka megkaji tetag digraf yag diperoleh dari suatu grup, dega judul Cayley Color Digraph dari Grup Siklik dega Bilaga Prima. Adapu yag mejadi pertayaa dalam peulisa ii adalah Bagaimaa betuk dari Cayley Color Digraph pada grup Siklik dega bilaga prima. Oleh karea luasya peelitia pada grup Siklik dega bilaga prima maka utuk tetap mejaga kedalama pembahasa materi, maka peulisa ii dibatasi pada bilaga prima dega 7.. Metode Peelitia... Jeis Peelitia Peelitia ii merupaka peelitia deskriptif yaitu peelitia yag pada umumya bertujua mediskripsika secara sistimati,faktual, da akurat terhadap suatu populasi atau daerah tertetu megeai berbagai sifat da faktor tertetu (Satoso, 005; 9). Peelitia ii merupaka peelitia deskriptif-kualitatif, yaitu peelitia yag meggambarka atau medeskripsika kejadia-kejadia yag mejadi pusat perhatia (karakteristik tigkat berpikir kreatif da proses berpikir kreatif) secara kualitatif da berdasar data kualitatif (siswoo, 00). Dalam pedekata deskriptif kualitatif ii, peulis megguaka metode peelitia kepustakaa (Library Research) yaitu peelitia yag megkaji kepustakaa khususya tetag Cayley Color Digraf utuk megumpulka data da iformasi dega batua bermacam material seperti buku-buku da dokume yag ada.... Sumber data Sumber data dalam peulisa skripsi ii diperoleh melalui buku-buku atara lai: Chartrad & Lida Lesiak (Graph ad Digraph secod editio, 98), Robi J. Wilso da Joh J. Watkis (Graf a Itroductiory Approach; 990) da sumber-sumber lai yag releva.... Tehik Aalisis Data Gamatika Vol. II No. Nopember 0
dega Bilaga Prima Adapu lagkah-lagkah yag aka diguaka oleh peeliti dalam membahas peelitia ii adalah sebagai berikut:. Mecari da megumpulka berbagai literatur yag dijadika acua dalam pembahasa ii. Literatur yag dimaksud adalah buku tetag graf da aljabar abstrak serta sumber lai yag berhubuga dega permasalaha yag aka dibahas dalam peelitia ii.. Memahami da mempelajari kosep Cayley Color Digraph.. Meetuka betuk dari Cayley Color Digraph pada grup Siklik dega bilaga prima.. Membuktika apakah pada grup Siklik dega bilaga prima memuat sikel Hamilto.. Kajia Teori. Defiisi Digraf Digraf (Graf berarah/ Directed Graf) D adalah pasaga himpua (V, E) di maa V adalah himpua tak kosog dari eleme-eleme yag disebut titik (verte) da E adalah himpua (mugki kosog) pasaga terurut (u,v), yag mempuyai arah dari u ke v, dari titik-titik u,v di V yag disebut busur. Himpua titik di D diotasika dega V(D) da himpua busur diotasika dega E(D) (Chartrad da Lesiak, 98: da Wilso da Watkis, 990:8). Himpua titik di digraf D disebut order dari D da dilambagka dega p(d), atau p. Sedagka himpua busur pada digraf D adalah Size q(d) atau q (Chartrad da Lesiak, 98: 5). Perhatika digraf D dega himpua titik V(D) = {v, v, v, v, v 5 }, da himpua sisi E(D) = {v v, v v, v v, v v 5, v v, v v, v 5 v, v 5 v, v 5 v, v 5 v }berikut ii: v v v 5 v Jika a = (u,v) merupaka sisi dari digraf D, maka dikataka bahwa a megikuti u da v, atau a terkait lagsug dega u da terkait lagsug dega v, jika u terkait lagsug dega a da v juga terkait lagsug dega a, maka u dikataka terhubug lagsug pada v da v terhubug lagsug dega u.. Digraf Hamilto Digraf G disebut Digraf hamilto apabila pada digraf (graf berarah) tersebut terdapat sikel hamilto atau spaig sub graph (sub graf meretag) yaitu setiap titik yag ada pada digraf tersebut haya terlewati tepat satu kali da kembali kepada titik yag semula, Berikut ii adalah cotoh gambar digraf K beserta sikel hamilto pada digraf K : v Gambar. Digraf Gamatika Vol. II No. Nopember 0 7
dega Bilaga Prima Gambar..a Digraf K Gambar..b Sikel Hamilto pada Digraf K. Cayley Color Digraf Misal G grup otrivial, maka Color digraph dari grup G adalah digraph yag titik-titikya adalah semua aggota G, da busur dari a ke b diwarai a - b, utuk setiap a, b G. Misal diberika grup otrivial yag berhigga dega h, h,..., h k sebagai himpua geerator utuk. Digraf yag dikaitka dega da disebut Cayley Color Digraph dari atas da diotasika dega D ( ). Himpua titik dari D ( ) adalah himpua dari eleme grup, oleh karea itu D ( ) mempuyai order. Masig-masig geerator h i disebut color atau wara. Utuk g, g aka terdapat suatu busur g, g yag berwara h i di D ( ) jika da haya jika g gh. Jika i h i adalah suatu eleme yag berorder (iversya diriya sediri atau (h i ) = ) da g ghi, maka diperoleh g gh (jika ruas kaa da kiri sama-sama dikalika h i i) yaitu g hi ghihi, hi ghi maka g sehigga g h i g atau g g hi. Jadi Cayley Color Digraph D ( ) memuat busur g, g da g, g, da jika kedua-duaya sama-sama berwara h i maka utuk pasaga busur ii cukup diwakili oleh sisi tuggal g, g. Sedagka utuk busur g, g da g, g yag berwara h i berbeda tetap diwakili oleh busur itu sediri.. Operasi Bier Misalka S suatu himpua yag tidak kosog. Operasi pada elemeeleme S disebut bier, apabila setiap dua eleme a, b S maka ( a b) S. Atau dapat dikataka operasi merupaka pemetaa dari S S ke S. Operasi pada S yag merupaka operasi bier bersifat tertutup (Sukirma, 005: 5). Misalka operasi pada S adalah suatu operasi bier, maka berlaku:. Jika a, b S berlaku a b b a, maka dikataka bahwa operasi pada S bersifat komuatif.. Jika a, b S berlaku ( a b) c a ( b c), maka dikataka bahwa operasi bier pada S bersifat assosiatif.. Jika ada e S sedemikia higga a S berlaku a e e a a, maka e disebut eleme idetitas terhadap.. Jika a S, b S sedemikia higga a b b a e maka b disebut ivers dari a terhadap operasi. Ivers dari a ditulis a. Gamatika Vol. II No. Nopember 0 8
dega Bilaga Prima. Grup Siklik Defiisi: Misal (G,o) adalah grup. (G,o) dikataka grup Siklik jika da haya jika terdapat a G yag sedemikia higga setiap eleme dari G dapat dibagkitka/dibagu oleh a, dega kata lai setiap eleme dari G dapat dituliska sebagai perpagkata dari a. (Itegral power of a).g yag dibagu oleh a ditulis sebagai G a atau G { a } a G disebut sebagai geerator atau pembagkit. Jika G dibagkitka oleh eleme tuggal maka (G,o) disebut sebagai moogeik. (David; 99) Berikut ii diberika cara utuk megetahui geerator pada M dega operasi pejumlaha: Cotoh : Diberika grup ( M, ) dega M = {0,,,,,5} =... +=... ++=... +++=... = 5 ++++=5... 5 ++++=... 0 adalah geerator karea membagkitka semua eleme M = {0,,,,,5} yag berarti M = =... = +=... = ++=0... 0 = +++=... = 5 ++++=... = +++++=0... 0 = buka merupaka geerator dari M karea haya membagkitka 0,, =... = +=0... 0 = ++=... = +++=0... 0 = 5 ++++=... = +++++=0... 0 = buka merupaka geerator dari M karea haya membagkitka 0 da =... = +=... = ++=0... 0 = +++=... = ++++=... = 5 +++++=0... 0 = buka merupaka geerator dari M karea haya membagkitka 0,, da 5 = 5... 5 = 5 5+5=0... = 5 Gamatika Vol. II No. Nopember 0 9
dega Bilaga Prima 5+5+5=5... = 5 5+5+5+5=0... = 5 5+5+5+5+5=5... = 5 5 5+5+5+5+5+5=0... 0 = 5 5 merupaka geerator dari M karea membagkitka semua eleme M ={0,,,,,5} yag berarti M = 5 Jadi ( M, ) dega M = {0,,,,,5} memiliki dua geerator yaitu da 5. (Raisighaia; 980). Pembahasa Pada Bab ii, aka dibahas megeai masalah Cayley color Digraf dari grup Siklik pada bilaga prima dega 7, serta meyajikaya dalam betuk gambar. Gambar berikut ii merupaka cotoh dari color digraph dari grup siklik. Gambar. Color Digraph dari Grup Siklik.. Cayley Color Digraph dari Grup Siklik Dari gambar color Digraph dari grup Siklik pada gambar dapat dicari Cayley Color Digraphya. Adapu utuk meetuka Cayley Color Digraph dari grup Siklik dapat dilakuka dega cara memilih geerator dari eleme grup Siklik. Utuk meetuka eleme-eleme yag aka diguaka adalah dega cara megambil wara pada color digraphya. Misal diotasika sebagai grup Siklik di maa himpuaya tersebut beraggotaka yaitu:,,. Adapu pasaga geerator yag dapat membagkitka grup Siklik yaitu:,. Pasaga geerator tersebut aka diuji satu persatu sebaigaimaa berikut:... =... =... haya bisa membagkitka diriya sediri sehigga buka geerator dari... = =... = =... Gamatika Vol. II No. Nopember 0 0
dega Bilaga Prima dapat membagkitka semua eleme pada, oleh karea itu adalah geerator pada... = =... = =... = dapat membagkitka semua eleme, oleh karea itu adalah geerator pada. Berikut hasil Cayley Color Digraph D ( ) dega wara = :., sehigga terdapat busur dari ke yag berwara., sehigga terdapat busur dari ke yag berwara., sehigga terdapat busur dari ke yag berwara Jadi Cayley Color Digraph D ( ) dari grup Siklik dega geerator {} adalah sebagaimaa gambar berikut: Sedagka hasil Cayley Color Digraph D ( ) dega geerator adalah:., sehigga terdapat busur dari ke yag berwara. Gambar.a Cayley Color Digraph dari Grup Siklik, sehigga terdapat busur dari ke yag berwara. Jadi Cayley Color Digraph D ( ) dari grup Siklik tersebut dapat digambarka dega digraph berikut: sehigga terdapat busur dari ke yag berwara Gambar.b Cayley Color Digraph dari Grup Siklik Dari kedua gambar.a da.b Cayley Color Digraph dega masigmasig geerator {} da { } dapat diketahui bahwa Cayley Color Digraph dari Gamatika Vol. II No. Nopember 0
dega Bilaga Prima grup Siklik merupaka Sikel Hamilto pada grup Siklik, sehigga Cayley Color Digraph dari grup Siklik disebut Digraph hamilto.. Cayley Color Digraph dari Grup Siklik 5 Setelah dilakuka Gambar.a pegujia Color Digraph maka diperoleh Pada Grup geerator Siklik 5 dari 5 adalah,,, da sebagai cotoh haya memilih geerator {} Berikut hasil Cayley Color Digraph D ( ) dega wara = :., sehigga terdapat busur dari ke yag berwara., sehigga terdapat busur dari ke yag berwara., sehigga terdapat busur dari ke yag berwara., sehigga terdapat busur dari ke yag berwara 5. sehigga terdapat busur dari ke yag berwara Jadi Cayley Color Digraph D ( ) dari grup Siklik 5 dega geerator {} adalah sebagaimaa gambar berikut: Gambar..b Cayley Color Digraph Pada Grup Siklik 5. Cayley Color Digraph Pada Grup Siklik 7 Setelah dilakuka pegujia maka diperoleh geerator yag dapat membagkitka grup Siklik 7 yaitu:,,,, 5,. da sebagai cotoh haya memilih geerator {}. Gamatika Vol. II No. Nopember 0
dega Bilaga Prima 5 5 5 5 5 5 5 5 X Gambar.a. Color Digraph pada Grup Siklik 7 Hasil Cayley Color Digraph ( ) adalah:., sehigga terdapat busur dari ke yag berwara., sehigga terdapat busur dari ke yag berwara D dega geerator =., sehigga terdapat busur dari ke yag berwara., sehigga terdapat busur dari ke yag berwara 5., sehigga terdapat busur dari ke yag berwara 5., sehigga terdapat busur dari ke 5 yag berwara 5 7., sehigga terdapat busur dari 5 ke yag berwara Jadi hasil Cayley Color Digraph D ( ) dari grup Siklik 7 dega geerator {}dalam betuk gambar adalah sebagaimaa berikut: 5 Gambar.b Cayley Color Digraph 7 Gamatika Vol. II No. Nopember 0
dega Bilaga Prima Dari gambar Cayley Color Digraph diatas dapat diketahui bahwa Cayley Color Digraph dari grup Siklik 7 memuat Sikel Hamilto, sehigga Cayley Color Digraph dari grup Siklik 7 disebut Digraph Hamilto.. Peutup. Kesimpula Berdasarka peelitia sebagaimaa yag telah peulis uraika, maka dapat diambil kesimpula bahwa Cayley Color Digraph dari grup Siklik memuat Sikel Hamilto, sehigga betuk Cayley Color Digraph dari grup Siklik adalah Digraf Hamilto.. Sara Pada peulisa skripsi ii, peulis haya memfokuska pada pembahasa masalah Cayley Color Digraph D ( ) dari grup Siklik dega 7, maka utuk peulisa disaraka utuk megkaji lebih dalam tetag Cayley Color Digraph dari suatu grup yag lai, atau dapat pula megkaji Cayley Color Digraph dari grup Siklik dega ordo yag lebih tiggi. Daftar Pustaka Chartrad, G. ad Lesiak, L. (98). Graphs ad Digraphs Secod Editio. Califoria. David, S. D. ad Richard, M. F. (99). Abstract Algebra.USA. Raisighaia. M.D. ad Aggarwal, R.S. (980). Moder Algebra. New Delhi:S. Chad & Compay LTD. Siswoo, T. Y. E. da Budayasa, I K. (00). Implemetasi teori tetagtigkat berpikir kreatif dalam matematika. Makalah disampaika Semiar Koferesi Nasioal Matematika XIII da Koggres Himpua Matematika Idoesia di Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Negeri Semarag. Sukirma. (005). Pegatar Aljabar Abstrak. Malag: Uiversitas Negeri malag (UM PRESS). Wilso, R. J. ad Watkis. (990). Graph ad Itroductory Approach. Ope Uiversity course: Sigapore Gamatika Vol. II No. Nopember 0