Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic
BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung integral adalah dengan pendekatan numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yang mengandung error. Namun error dalam pendekatan numerik bisa ditekan sampai pada batas-batas toleransi. Dalam bab ini kita akan melihat perhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam-macam fungsi. 3.. Integral Fungsi Tetapan: a a a + karena da a Contoh: y + 3.. Integral Fungsi Mononom: n n n n arena dengan syarat n, maka + 3 Contoh: y + 3 n m 3.3. Integral Fungsi Polinom ( + ) Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Integral suatu polinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya. n m n m arena d( + ) + maka ( n + m m+ ) + +, m+ Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini. 5 ( + 4) 0 4 4 dengan syarat n, m (+ 5) 3 (4 + 6 + 4+ )
3.4. Integral Fungsi Pangkat Dari Fungsi: n n Jika adalah polinom, maka + d n mencari n. karena dengan syarat n. Formulasi ini digunakan untuk Contoh: Hitunglah y ( + ) Misalkan + 3 3 8 + + 6+ y (+ ) + + 6 6 4 3 + + + + 3 6 ita coba untuk meyakinkan hasil ini dengan hasil yang akan diperoleh jika polinom kita kuadratkan lebih dulu. 3 4 4 y + + + + + + ( ) (4 4 ) 3 Hasil perhitungan sama dengan hasil sebelumnya, Contoh: Hitunglah Misalkan + / 6. 3 y / 3 3 3 / 3 y 3 / / Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini. ( ) 4+ + + 5 + (3 ) + Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
3.5. Integral Fungsi Berpangkat -: arena d (ln ), maka ln +. Integrasi ini memecahkan masalah persyaratan n pada integrasi n. Contoh: Carilah integral y + Misalkan + y ln + ln( + ) + + Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini. + + 3 3 4 3 4 + 3.6. Integral Fungsi Eksponensial: e arena de e maka e e + Soal-Soal: / 3 e e e + e e 3.7. Integral Tetapan Berpangkat Fungsi : a a arena da a ln a maka a + ln a Contoh: Carilah y 3 Misalkan 3 3 y 3 + ln 3 3
3.8. Integral Fungsi Trigonometri arena d sin cos maka cos sin + arena d cos sin maka sin cos+ Relasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang lain termuat dalam Tabel-3.. Contoh: Carilah integral tak tentu 4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral y sin Misalkan sin cos cos y sin Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini. sin 4 cos(+ ) 4cos3. sin cos sin cos a sin cos. sin cos sin. cos 3.9. Integral Fungsi Hiperbolik arena d(sinh ) cosh maka cosh sinh + arena d(cosh ) sinh maka sinh cosh + Relasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termuat dalam Tabel-3.. Contoh: Carilah y cosh( + ) Misalkan + y cosh(+ ) cosh( ) sinh(+ ) + sinh +
Soal-Soal: Carilah integral berikut sinh sinh tanh cosh tanh 4 cosh 3.0. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri Inersi Integral fungsi-fungsi yang berbentuk, + dan setrusnya mulai nomer 0 sampai 3, menghasilkan fungsi-fungsi trigonometri inersi. Contoh: Carilah y 4 Jika kita membuat pemisalan 4 maka 8 atau. alau pemisalan ini kita masukkan dalam persoalan 8 integral yang diberikan, kita akan mendapatkan bentuk / 8 yang tidak dapat diproses lebih lanjut persoalan integral tidak dapat ter-transformasi menjadi integral dalam peubah. Namun bentuk ini dapat kita transformasi menjadi bentuk 4 yang termuat dalam Tabel-3., yaitu nomer 0. ita misalkan yang akan memberikan atau. Persoalan integral kita menjadi y 4 yang menghasilkan y sin + sin () + Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini. + 4 4+ 4+, 5
3.9. Relasi Diferensial dan Integral Berikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya. Beberapa di antaranya perlu untuk diingat, misalnya formula sampai 9 dan 6, 7 yang sering kita temui. Tabel-3.... +. d ( k) k. k k 3. d + w) + dw 3. ( + dw) + dw n n 4. n n 4. + C n 5. d (ln ) 5. ln + 6. de e 6. e e + 7. da a ln a a 7. a + ln a 8. d(sin ) cos 8. cos sin + 9. d(cos) sin 9. sin cos+ 0. d(tan ) sec 0. sec tan +. d(cot) csc. csc cot+. d(sec ) sec tan. sec tan sec+ 3. d(csc) csccot 3. csc cot csc+ 4. d(sinh ) cosh 4. cosh sinh + 5. d(cosh ) sinh 5. sinh cosh + 6. d(tanh ) sech 6. sec h tanh + 6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
7. d(coth) csch 7. csch coth+ 8. d( sech) sech tanh 9. d( csch) cschcoth 8. sec h tanh sech+ 9. csch coth cosh+ 0. d(sin ) 0. sin +. d(cos ). cos +. d tan. + tan + + 3. d cot 3. + cot + + 4. d sec 4. sec +, >0 5. d csc 5. csc +, >0 6. d(sinh ) 6. sinh + + + 7. d (cosh ) 7. cosh + 8. d(tanh ) 8. tanh + jika < 9. d(coth ) 9. coth + jika > 30. d(sech ) 30. sech + 3. d(csch ) + 3. csch + + 7
Catatan Tentang Isi Tabel-3.. Dengan menggunakan relasi-relasi dalam Tabel-3. kita dapat melakukan proses integrasi fungsi-fungsi mencakup: Fungsi mononom dan polinom: Fungsi polinom berpangkat: Fungsi eponensial: e Fungsi trigonometri: cos sec tan csc cot. tetapi tidak: tan n a sin cot sec csc sec csc. Fungsi hiperbolik: cosh csc h sec h tanh csch coth. tetapi tidak: tanh coth sinh sec h sec h csc h. Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometri inersi dan fungsi hiperbolik inersi, seperti + + + tetapi tidak mengintegrasi fungsi inersi seperti sin tan sinh. tanh Tabel-3. tidak memuat relasi integrasi fungsi-fungsi aljabar yang berbentuk a ± a dsb a + 8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Referensi. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut Teknologi Bandung, tahun 963 964, sebagai bahan utama tulisan dalam buku ini.. George B Thomas, Calculus And Analytic Geometry, addison Wesley, 956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika di ITB, tahun 963-964. 3. Sudaryatno Sudirham: Analisis Rangkaian Listrik, Penerbit ITB, ISBN 979-999-54-3, 00. 4. Sudaryatno Sudirham: Analisis Rangkaian Elektrik, e-book, 00. 5. Sudaryatno Sudirham, Mengenal Sifat Material, e-book, 00. 9