Distribusi Probabilitas : Gamma & Eksponensial

Distribusi Probabilitas : Gamma & Eksponensial 11 Debrina Puspita Andriani E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id

2 Outline Distribusi Gamma Distribusi Eksponensial

3 Distribusi Gamma Tidak selamanya distribusi normal dapat digunakan untuk memecahkan masalah teknik dan sains. Contohnya dalam teori antrian dan keandalan, kurang tepat bila digunakan pendekatan dengan distribusi normal, distribusi Gamma lebih tepat menjadi solusinya. Distribusi eksponensial adalah sebuah kasus distribusi Gamma.

Distribusi Gamma (1) 4 Definisi 1 : Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat yang disebut luas dalam bidang matematika. Definisi 2 : Fungsi gamma didefinisikan oleh Untuk α > 0 dengan e=2,71828 Fungsi gamma diintegralkan, bila α = n dengan n adalah bilangan bulat positif, maka Γ(n) = (n-1)!

Distribusi Gamma (2) 5 Definisi 3 : Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter α dan β, jika fungsi padatnya berbentuk: f(x) 1 α 1 x e β ; x > 0 = α β Γ( α) 0 ; x yanglain x dengan α > 0 dan β > 0 Grafik beberapa distribusi gamma dipelihatkan pada Gambar 1. Distribusi gamma yang khusus dengan α=1 disebut distribusi Eksponensial (Gambar 2).

Distribusi Gamma 6 f(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0 2 4 6 8 10 Gambar 1. Distribusi Gamma Beberapa nilai parameter α dan β x

7 Gambar 2. Distribusi Eksponensial (Distribusi Gamma dengan α=1 ) Grafik distribusi gamma dengan α=1 dan beberapa nilai β

Rata-rata dan variansi distribusi gamma adalah 8 Nilai e = 2,718281 2 2 µ = αβ dan σ = αβ Tabel Gamma

Contoh (1) 9 q Misalkan variabel acak kontinu X yang menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru (dalam ribuan jam) yang diberi pembebanan dinamik pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan α = 8 dan β = 15, maka probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu sampai 120 ribu jam dengan pembenan dinamik pada putaran kerja tersebut adalah: q *karena contoh soal ini dipengaruhi parameter α dan β, maka menggunakan definisi ke-3, kita cari peluang ketahanan pembebanan antara 60 ribu sampai 120 ribu jam, dan perhitungannya sesuai rumus pada definisi 3 dengan fungsi padat seperti di bawah ini: P(60 X 120) = P( X 120) P( X 60) Lihat tabel = FG(120;8,15) FG(60;8,15) = F ( 120 60 G 15;8) FG( 15;8) = FG(8;8) FG(4;8) = 0,5470 0,0511 = 0,4959 q Beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi gamma di atas adalah: Mean : µ = EX ( ) = αβ = (8)(15) = 120 Varians : x 2 2 2 x σ = αβ = (8)(15 ) = 1800 σ = 42,43 x

Contoh (1) 10 Sebenarnya, rumus yang digunakan: 1 x α f ( x; α, β ) = β Γ( α) 0 e α 1 x / β x > 0 lainnya P( X 60; α = 8, β = 10) 60 0 1 α β Γ( α) x α 1 e x / β dx = = 60 0 10 5 1 Γ(8) x 7 e x /10 dx Integral ini sulit dievaluasi secara langsung. Akan tetapi dapat dievaluasi dengan perantaraan tabel fungsi gamma tak lengkap F. Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter μ dan σ yaitu rataan dan simpangan baku. Jadi fungsi padat x akan dinyatakan dengan n (x; μ, σ). Begitu μ dan σ diketahui maka seluruh kurva normal diketahui. Sebagai contoh, bila μ = 50 dan σ = 5, maka ordinat n(x ; 50, 5) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x.

Contoh (2) 11

12 Distribusi Eksponensial Distribusi Eksponensial à Keadaan khusus distribusi gamma

Distribusi Eksponensial (1) 13

Distribusi Eksponensial (5) 17 Hubungan distribusi Poisson, Eksponensial, dan Gamma Pada suatu kejadian yang mengikuti proses Poisson, waktu antar kejadian (atau waktu kejadian pertama atau ke-1 dari kejadian terakhir, karena sifatnya yang memoryless) tersebut akan berdistribusi eksponensial. Sedangkan waktu sampai terjadinya kejadian ke-α akan berdistribusi gamma.

Contoh (1) 18 Hari-hari antara kecelakaan pesawat terbang 1948-1961 berikut distribusi eksponensial dengan rata-rata 44 hari antara setiap kecelakaan. Jika satu terjadi pada 1 Juli setiap tahun tertentu: a. Berapa probabilitas dari yang lain seperti kecelakaan dalam sebulan? b. Berapa varians dari waktu antara kecelakaan di tahun tersebut? Solusi : Distribusi eksponensial tidak memiliki memori, maka sebuah kecelakaan di bulan tertentu tidak memiliki bantalan pada setiap periode waktu lainnya. Jadi: a. probabilitas kecelakaan selama 31 hari adalah P (31) = 1 e (-31/44) = 0,506 b. varians dari distribusi eksponensial adalah (44 2 ) = 1936

Contoh (2) 19