Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi berikut: + x, 0 x < 1. , 1 x < 2. , 2 x < 3. 1, x 3

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi berikut: + x, 0 x < 1. , 1 x < 2. , 2 x < 3. 1, x 3"

Sucianty Sanjaya
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Kuis Selamat Datang MA4183 Model Risiko Tanggal 22 Agustus 2015, Waktu: suka-suka menit Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi berikut: 0, x < x, 0 x < F (x = 3, 1 x < 2 5 9, 2 x < , x 3 (a Gambarkan grafik fungsi distribusi F (x (b Tentukan fungsi peluang dari X. 1

2 Kuis 1 MA4183 Model Risiko Tanggal 29 Agustus 2015, Waktu: suka-suka menit 1. Misalkan X peubah acak dengan fungsi laju kegagalan h(x = (K +exp(2x untuk x 0. Diketahui nilai fungsi kesintasan 0.5 di x = 0.4 atau S X (0.4 = 0.5. Tentukan K. 2. Untuk suatu perubah acak X, diketahui nilai parameter sebagai berikut: µ = 2; σ/µ = 2; µ 3 = 136. Hitung kemencengan (skewness γ Diketahui: F (400 = 0.2; F (800 = 0.7; F (1600 = 0.1. Hitung kemencengan empirisnya. 4. Misalkan X memiliki fungsi distribusi (fd F (x = (1 1/x 2 untuk x 1. Tentukan mean, median, dan modus. 2

3 Bocoran Ujian 1 MA4183 Model Risiko Tanggal 9 September 2015, Waktu: 100 menit 1. Sebuah studi dilakukan untuk memonitor kesehatan dua kelompok yang independen (berisi masing-masing 10 pemegang polis selama periode waktu satu tahun. Setiap individu atau partisipan akan keluar (mengundurkan diri dari studi tersebut dengan peluang 0.2, saling bebas antar individu. Hitung peluang bahwa setidaknya 9 partisipan, pada satu kelompok dan bukan kedua kelompok, ikut dalam studi tersebut hingga akhir. 2. Di suatu kantor, 40% pegawainya tidak memiliki mobil dan tidak mengendarai mobil. Pada (pegawai yang lainnya, banyaknya kecelakaan yang dialami mengikuti distribusi Poisson dengan λ = Misalkan T menyatakan total banyaknya kecelakaan dari 100 pegawai yang dipilih secara acak. Hitung V ar(t. 3. Banyak klaim untuk setiap risiko dalam suatu kelompok risiko mengikuti distribusi Poisson. Banyak risiko (yang diharapkan di kelompok risiko tersebut yang tidak mengajukan klaim adalah 96. Banyak risiko (yang diharapkan di kelompok risiko tersebut yang mengajukan dua klaim adalah 3. Tentukan banyaknya risiko di kelompok tersebut yang memiliki 4 klaim. 4. Misalkan X i, i = 1, 2 peubah acak-peubah acak geometrik dengan parameter α. Tentukan distribusi X 1, diberikan X 1 + X 2 = k. Hitung E(X 1 X 1 + X 2 = k. 5. Misalkan N menyatakan banyak klaim yang masuk. Data yang tersedia adalah: n P (N = n Tentukan fungsi pembangkit peluang G N (s. 6. Pada peubah acak berdistribusi modifikasi-nol Poisson (zero-modified Poisson, diketahui: f mod (2 = 0.273, f mod (3 = Hitung f mod (0. 3

4 Ujian 1 MA4183 Model Risiko Tanggal 9 September 2015, Waktu: 100 menit Pilih dan kerjakan HANYA 5 soal dari 8 soal yang tersedia. Nilai setiap soal adalah Kegagalan bisnis dapat terjadi karena risiko pasar, risiko kredit, dan risiko operasional; kontribusinya berturut-turut, adalah 30%, 20% dan 50%. Misalkan banyak kegagalan bisnis yang terjadi setiap tahun adalah peubah acak Poisson dengan mean 4.2. Tentukan peluang satu kegagalan bisnis terjadi karena risiko pasar, diberikan terdapat empat kegagalan bisnis pada suatu tahun. 2. Tentukan hubungan antara fungsi pembangkit peluang peubah acak berdistribusi modifikasinol (zero-modified distribution dan tak-bernilai-nol (zero-truncated distribution. 3. Misalkan X kerugian acak dengan fungsi peluang P (X = x = (1 θ x θ, x = 0, 1, 2,.... Misalkan N peubah acak modifikasi nol dari ditribusi untuk peubah acak X. Diketahui E(N = 3, V ar(n = 54. Hitung P (N = Diketahui N P OI(1.3. Hitung E(N j + untuk j = 1, 2. Petunjuk: (N j + = n j, untuk n j dan nol untuk n yang lain. 5. Banyaknya klaim mengikuti zero-modififed Poisson distribution with λ and f mod (0. Kerugian-kerugian kecil (small losses memiliki proporsi 70% dari seluruh kerugian. Hitung peluang zero small losses. 6. Diketahui kerugian acak N memiliki fungsi peluang P (N = n = 1, n = 0, 1, 2,..., b. b+1 Jika E(min(N, 10 = E(N, tentukan b. 7. Gambarkan plot fungsi kesintasan dan hitung momen kedua untuk kerugian acak dengan fungsi distribusi F (x = 1 ( x+2000, x Misalkan N 1, N 2 sampel acak geometrik dengan parameter α. Hitung E(N 2 N 1 +N 2 = k. 4

5 Solusi Ujian 1 MA4183 Model Risiko Tanggal 9 September 2015, Waktu: 100 menit Pilih dan kerjakan HANYA 5 soal dari 8 soal yang tersedia. Nilai setiap soal adalah Kegagalan bisnis dapat terjadi karena risiko pasar, risiko kredit, dan risiko operasional; kontribusinya berturut-turut, adalah 30%, 20% dan 50%. Misalkan banyak kegagalan bisnis yang terjadi setiap tahun adalah peubah acak Poisson dengan mean 4.2. Tentukan peluang satu kegagalan bisnis terjadi karena risiko pasar, diberikan terdapat empat kegagalan bisnis pada suatu tahun. Misalkan N peubah acak yang menyatakan banyaknya kegagalan bisnis; N P OI(4.2. Diberikan 4 kegagalan bisnis pada suatu tahun, peluang 1 kegagalan tersebut karena risiko pasar adalah e ( e ( e ( P (N = 2 = 1! 1! e ( e ( e ( ! e ( e ( e ( = a 0! P (N = 4 = e 4.6 ( ! = b. Jadi, P (N = 2 N = 4 = P (N=2,N=4 P (N=4 = P (N=2 P (N=4 = a/b. 2. Tentukan hubungan antara fungsi pembangkit peluang peubah acak berdistribusi modifikasinol (zero-modified distribution dan tak-bernilai-nol (zero-truncated distribution. Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f(x. Misalkan X mod peubah acak yang merupakan zero-modified distribution dari X; fungsi peluang f mod (x. Fungsi pembangkit peluang dari X mod adalah P X mod(s = E(s Xmod = s xmod f mod (x = s 0 f mod (0 + s xm c f(x x mod =0 x mod =1 5

6 yang sama dengan f mod (0 + c x mod =1 ( s xmod f(x = f mod (0 + c P X (s f(0, dengan c = 1 f mod (0 1 f(0. Misalkan X tr zero-truncated distribution dari X. Fungsi pembangkit peluang dari X tr adalah P X tr(s = E(s Xtr = s xtr f tr (x = s xtr c tr f(x = c tr s xtr f(x x tr =1 x tr =1 x tr =1 yang sama dengan c tr ( x tr =0 s xtr f(x s 0 f(0 = c (P tr X (s f(0. dengan c tr = 1. Dari kedua fungsi pembangkit peluang diatas, diperoleh hubungan 1 f(0 ( P X mod(s = f mod (0 + c P X (s f(0 = f mod (0 + ( 1 f mod (0 ( c mod P X (s f(0 atau P X mod(s = f mod (0 + ( 1 f mod (0 P X tr(s. 3. Misalkan X kerugian acak dengan fungsi peluang P (X = x = (1 θ x θ, x = 0, 1, 2,.... Misalkan N peubah acak modifikasi nol dari ditribusi untuk peubah acak X. Diketahui E(N = 3, V ar(n = 54. Hitung P (N = 0. E(N = 1 f M (0 1 f(0 E(X = 1 f M (0 1 f(0 1 θ θ = 3; f M (0 = 1 3θ. V ar(n = = 54. Diperoleh θ = 1/11. Jadi, f M (0 = 8/11 = P (N = Diketahui N P OI(1.3. Hitung E(N j + untuk j = 1, 2. Petunjuk: (N j + = n j, untuk n j dan nol untuk n yang lain. 6

7 E(N 1 + = E(N 1 N 1P (N 1 + (0P (N = 0 = E(N N 1P (N 1 P (N 1 + (0P (N = 0 = λ (1 e λ = e = Banyaknya klaim mengikuti zero-modififed Poisson distribution with λ and f mod (0. Kerugian-kerugian kecil (small losses memiliki proporsi 70% dari seluruh kerugian. Hitung peluang zero small losses. f mod (0 e λ + e 0.7λ f mod (0 e λ 1 e λ. 6. Diketahui kerugian acak N memiliki fungsi peluang P (N = n = 1, n = 0, 1, 2,..., b. b+1 Jika E(min(N, 10 = E(N, tentukan b. E(N = ( b/(b + 1 = (b(b + 1/2/(b + 1 E(min(N, 10 = ( (b 910/(b + 1 = ( b 90(b + 1. Diperoleh b = 15 atau b = Pilih b = Gambarkan plot fungsi kesintasan dan hitung momen kedua untuk kerugian acak dengan fungsi distribusi F (x = 1 ( x+2000, x Misalkan N 1, N 2 sampel acak geometrik dengan parameter α. Hitung E(N 2 N 1 +N 2 = k. P (N 2 N 1 + N 2 = k = P (N 2 = m, N 1 = k m P (N 1 + N 2 = k = P (N 2 = mp (N 1 = k m P (N 1 + N 2 = k = (1 αm 1 α (1 α k m α k (1 α k 1 α 2 = 1 k. Jadi, N 2 N 1 + N 2 = k U(0, k; E(N 2 N 1 + N 2 = k = k/2. 7

dokumen-dokumen yang mirip

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA4183