SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL SKRIPSI MERRYANTY LESTARI P 110803067 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015
SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains MERRYANTY LESTARI P 110803067 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015
PERSETUJUAN Judul : Scrambling Index dari Kelas Digraf Hamilton Dwiwarna dengan n Titik Ganjil Kategori : Skripsi Nama : Merryanty Lestari P Nomor Induk Mahasiswa : 110803067 Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Disetujui di Medan, Juli 2015 Komisi Pembimbing: Pembimbing 2, Pembimbing 1, Dr. Mardiningsih, M.Si Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 19630405 198811 2 001 NIP. 19640109 198803 1 004 Disetujui Oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002 i
PERNYATAAN SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juli 2015 MERRYANTY LESTARI P 110803067 ii
PENGHARGAAN Segala puji hanya bagi Allah SWT yang senantiasa memberikan pertolongan dan rahmat-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWI- WARNA DENGAN N TITIK GANJIL ini dengan baik. Shalawat beriring salam kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabat. Dalam penulisan skiripsi ini penulis banyak mendapatkan bimbingan, motivasi dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Ibunda Tetti Mahrani Lubis, AMS dan Ayahanda Anwar Pasaribu, S.Hut serta Kakanda Rahmelya Oktari, S.IA yang telah mendo akan, memotivasi, dan memberikan dukungan selama penulisan skripsi ini. 2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I, dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Medan, yang telah banyak membantu penulis dan memberikan dukungan baik berupa nasihat, motivasi maupun ilmu pengetahuan kepada penulis dalam menyelesaikan penelitian ini. 3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Dosen Pembanding I dan Ketua Departemen Matematika FMIPA USU Medan, dan Bapak Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si, selaku Dosen Pembanding II, yang telah memberikan nasihat, kritik dan saran yang membangun selama penelitian ini. 4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara, Medan. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada sahabat terbaik Intayashu, Indah, Mantari, Ratih, Tika, Tilsa, Aisyah, dan Nisa yang senantiasa menyemangati dan memotivasi dalam menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis iii
mengucapkan terima kasih kepada seluruh rekan-rekan Matematika 2011 terkhusus kepada Matematika Murni 2011 yang telah memberikan bantuan moril kepada penulis. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas bantuan yang diberikan kepada penulis. Penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari berbagai pihak untuk penyempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca. iv
SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL ABSTRAK Scrambling index dari digraf dwiwarna D (2) primitif adalah bilangan bulat positif terkecil h + l dari seluruh pasangan bilangan bulat tak negatif (h, l) sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D (2) terdapat sebuah titik w di D (2) dengan sifat bahwa terdapat sebuah (h, l)-walk dari titik u ke titik w dan sebuah (h, l)-walk dari titik v ke titik w. Tulisan ini membahas mengenai scrambling index dari kelas digraf Hamilton dwiwarna atas n 5 titik ganjil yang terdiri dari dua cycle dengan panjang n dan (n 1)/2. Pertama, tulisan ini membahas primitifitas dari sebuah digraf dwiwarna D (2) dan selanjutnya memperlihatkan rumus scrambling index yang bergantung pada n titik dan posisi arc biru yang relatif terhadap titik berderajat masuk dua. Kata kunci: Primitif, digraf dwiwarna, digraf Hamilton, scrambling index. v
SCRAMBLING INDEX OF A CLASS OF TWO-COLORED HAMILTONIAN DIGRAPH WITH N ODD VERTICES ABSTRACT The scrambling index of a primitive two-colored digraph D (2) is the least positive integer h + l over all pairs of nonnegative integers (h, l) such that for each pair of vertices u and v in D (2) there is a vertex w in D (2) with the property that there is an (h, l)-walk from u to w and an (h, l)-walk from v to w. This paper discuss the scrambling index of a class of two-colored Hamiltonian digraph on n 5 odd vertices consist of two cycles of length n and (n 1)/2, respectively. First, this paper discuss the primitivity of a two-colored digraph D (2) and then present formulae for scrambling index that depend on n vertex and the position of the blue arcs relative to the vertex of indegree two. Keywords: Primitive, two-colored digraph, Hamiltonian digraph, scrambling index. vi
DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR i ii iii v vi vii viii BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 4 1.3 Tujuan Penelitian 4 1.4 Manfaat Penelitian 4 BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF 5 2.1 Definisi Digraf Dwiwarna 5 2.2 Matriks Ketetanggaan Digraf Dwiwarna 7 2.3 Primitifitas Digraf Dwiwarna 8 2.4 Scrambling Index Digraf Dwiwarna 11 2.5 Batas Scrambling Index Digraf Dwiwarna 16 BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN 19 BAB 4 SCRAMBLING INDEX DIGRAF HAMILTON DWIWARNA 21 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 41 5.1 Kesimpulan 41 5.2 Saran 41 DAFTAR PUSTAKA 42 vii
DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 1.1 Digraf Wielandt W n 3 1.2 (a) D (2) dengan 2 arc biru dan (b) D (2) dengan 3 arc biru 4 2.1 Digraf dwiwarna dengan 4 titik dan 5 arc 6 2.2 Digraf dwiwarna dengan 7 titik dan 10 arc 8 2.3 (a) D (2) terhubung kuat, (b) D (2) tidak terhubung kuat 9 2.4 Digraf dwiwarna D (2) terhubung kuat primitif 10 2.5 Digraf dwiwarna D (2) primitif 13 viii
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matriks stochastic S adalah sebuah matriks bujursangkar berordo n yang setiap entri memenuhi 0 < s ij < 1 dan jumlah entri setiap baris dan kolom sama dengan 1. Andaikan matriks stochastic S memenuhi sifat koefisien ergodicity τ 1 (S) < 1, dimana τ 1 (S) = 1 2 { max ij n l=1 } s il s jl. Matriks stochastic S disebut matriks scrambling jika dan hanya jika untuk setiap dua baris dari matriks stochastic S memiliki paling sedikit satu entri positif pada kolom yang sama (Seneta, 1979). Matriks tak negatif A adalah sebuah matriks persegi berordo n yang setiap entri a ij 0. Matriks tak negatif A dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat positif k sehingga A k positif. bernilai Scrambling index dari matriks tak negatif A primitif adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga A k merupakan matriks scrambling. Termotivasi dari gagasan Seneta diatas, Akelbek dan Kirland memperkenalkan scrambling index dari digraf primitif D. Suatu digraf primitif D dengan n titik dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks ketetanggaan A(D), yaitu matriks berukuran n n yang setiap entrinya didefinisikan dengan a ij = 1 jika terdapat walk berarah dari titik v i ke titik v j dan a ij = 0 jika tidak terdapat walk berarah dari titik v i ke titik v j. Berdasarkan definisi matriks ketetanggaan A(D) dapat dilihat bahwa A(D) adalah sebuah matriks tak negatif. Scrambling index dari digraf primitif D bernilai sama dengan scrambling index dari matriks tak negatif A(D). Akelbek dan Kirland (2009a) mendefinisikan scrambling index dari digraf primitif D, dinotasikan dengan k(d), adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D, terdapat sebuah titik w dengan sifat terdapat walk berarah (directed walk) dari titik u ke titik w di D dan sebuah sebuah walk berarah dari titik v ke titik w di D dengan panjang k.
2 Setelah diperkenalkannya definisi scrambling index, mulai banyak pengembangan penelitian mengenai scrambling index. Diawali Akelbek dan Kirland (2009a) mengemukakan batas atas scrambling index dari digraf primitif dengan n titik dan girth s. Andaikan D adalah digraf primitif dengan n titik dan girth s. Maka k(d) K(n, s) terpenuhi, jika D = D s,n dan gcd(s, n) = 1, dimana D s,n adalah sebuah digraf dengan sebuah cycle Hamilton v 1 v n v n 1 v 2 v 1 dan sebuah cycle v 1 v s v s 1 v 2 v 1 dengan panjang s, K(n, s) = n s + k(n, s) dan { ((s 1)/2)n, ketika s ganjil, k(n, s) = ((n 1)/2)s, ketika s genap. Akelbek dan Kirland (2009b) menjelaskan karakteristik dari digraf-digraf primitif dengan scrambling index terbesar. Andaikan D adalah digraf primitif dengan n titik, girth s 2 dan k(d) = K(n, s), maka memenuhi sifat berikut ini. 1. Tidak terdapat cycle dengan panjang p, s < p < n, sehingga gcd(s, p) = 1. 2. D memuat D s,n sebagai subgraf dan gcd(s, n) = 1. Chen dan Liu (2010) menentukan hubungan antara scrambling index dan eksponen dari digraf simetrik primitif D dengan n 2 titik. Andaikan titik u dan v berada di D, maka k u,v (D) exp D (u, v)/2 dan k(d) = exp(d)/2, dimana a adalah bilangan bulat terkecil yang tidak kurang dari a. Liu dan Huang (2010) menentukan scrambling index dari digraf-digraf primitif yang salah satunya adalah digraf primitif dengan d loop. Andaikan L n,d adalah digraf dengan himpunan titik V = {1, 2,, n} dan himpunan arc A = {(i, i + 1) 1 i n 1} {(n, 1)} {(i, i) n d i n}, dimana n, d adalah bilangan bulat dengan n 2 dan 1 d n, maka k(l n,d ) = n d/2. Selanjutnya, Gao dan Shao (2013) mengemukakan scrambling index dari digraf primitif dengan cycle ganjil C n, dimana n 1 (mod 2), maka k(c n ) = (n 1)/2. Terlihat bahwa penelitian terdahulu pada umumnya membahas mengenai srcambling index dari digraf primitif. Kemudian, Mulyono dan Suwilo (2014) memperkenalkan gagasan scrambling index dari digraf dwiwarna primitif. Digraf dwiwarna D (2) adalah digraf yang mana setiap arcnya diberi warna merah atau biru (Fornasini dan Valcher, 1997). Digraf dwiwarna D (2) dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang titik u dan v di D (2)
3 v n v 1 v n 1 v 2 v n 2 v 3 v n 3 Gambar 1.1 : Digraf Wielandt W n terdapat walk berarah dari titik u ke titik v dan walk berarah dari titik v ke titik u. Digraf dwiwarna D (2) terhubung kuat dikatakan primitif dengan syarat terdapat bilangan bulat tak negatif h dan l sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D (2) terdapat walk berarah dari titik u ke titik v dan walk berarah dari titik v ke titik u dengan panjang h + l. Bilangan bulat positif terkecil h + l merupakan eksponen dari D (2), dinotasikan dengan exp(d (2) ). Mulyono dan Suwilo (2014) membahas tentang scrambling index dari digraf Wielandt dwiwarna, yaitu sebuah digraf Hamilton dwiwarna yang terdiri dari cycle Hamilton v 1 v 2 v 3 v n 1 v n v 1 dan cycle v 1 v 2 v 3 v n 1 v 1 dengan panjang n 1. Representasi grafis digraf Wielandt W n dapat dilihat pada Gambar 1.1. Andaikan W n (2) adalah digraf Wielandt dwiwarna dengan n titik. Scrambling index dari W n (2) dengan n 4 ditentukan berdasarkan posisi dan jumlah arc biru pada W n (2), diperoleh sebagai berikut: 1. Jika W n (2) memiliki satu arc biru v x v x+1, dimana 1 x n 2, maka k(w n (2) ) = n 2 2n + 1 x. 2. Jika W (2) n memiliki dua arc biru v n 1 v 1 dan v n v 1, maka k(w (2) n ) = n 2 2n + 1. 3. Jika W (2) n memiliki dua arc biru v n 1 v 1 dan v n 1 v n, maka k(w (2) n ) = n 2 2n + 2. Lebih lanjut, penulis akan membahas mengenai scrambling index dari kelas digraf Hamilton dwiwarna dengan n titik ganjil yang terdiri dari cycle Hamilton v 1 v 2 v 3 v n 1 v n v 1 dan cycle v 1 v 2 v 3 v (n 3)/2 v (n 1)/2 v 1 dengan panjang (n 1)/2.
4 1.2 Perumusan Masalah Andaikan D (2) adalah digraf Hamilton dwiwarna dengan n 5 titik ganjil terdiri atas cycle Hamilton dan cycle dengan panjang n dan (n 1)/2. Penelitian ini membahas mengenai D (2) memiliki dua arc biru, yaitu v x v x+1 dimana 1 x (n 3)/2 dan v y v y+1 dimana (n 1)/2 y n dan D (2) memiliki tiga arc biru, yaitu v (n 1)/2 v 1, v x v x+1, dan v y v y+1 dimana (n 1)/2 x < y n, seperti pada Gambar 1.2. Masalah penelitian ini adalah menentukan formula scrambling index yang bergantung pada n titik dan posisi arc biru yang relatif terhadap titik berderajat masuk dua atau v 1. v n 1 v n 2 v y+1 v y v y+1 v y v x+1 v n v n+1 2 v n v x v 1 v n 1 2 v 1 v n 1 2 v 2 v x+1 v 2 v n 3 2 v x v 3 v 4 v n 7 2 v 3 v 4 v n 7 2 v n 5 2 (a) : arc merah : arc biru (b) Gambar 1.2 : (a) D (2) dengan 2 arc biru dan (b) D (2) dengan 3 arc biru 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan scrambling index dari kelas digraf Hamilton dwiwarna dengan n 5 titik ganjil terdiri atas cycle Hamilton v 1 v 2 v 3 v n 1 v n v 1 dan cycle v 1 v 2 v 3 v (n 3)/2 v (n 1)/2 v 1 dengan panjang (n 1)/2. 1.4 Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini adalah menambah literatur penelitian mengenai scrambling index dari digraf Hamilton dwiwarna.