MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM
BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a, a 2, a 3,,a. Setiap usur pada barisa bilaa disebut suku. Suku ke- dari suatu barisa ditulis dega simbol U ( merupaka bilaga asli ). Utuk suku pertama diyataka dega simbol a atau U. Berdasarka bayakya suku, barisa dapat dibedaka mejadi dua macam, yaitu :. Barisa berhigga, jika bayakya suku-suku tertetu jumlahya. 2. Barisa tak berhigga, jika bayakya suku-suku tak berhiga jumlahya.. Barisa Aritmetka. Barisa atitmetika adalah suatu barisa bilaga dimaa setiap dua suku beruruta memiliki selisih yag tetap yag disebut beda ( b ). Secara umum jika suku ke- suatu barisa arimetika adalah U, maka berlaku : b = U U Jika suku pertama dari barisa aritmetika ( U ) diotasika dega a da beda diotasika dega b, maka suku-suku pada barisa aritmetika tersebut dapat ditulis sebagai berikut : U = a U 2 = a + b U 3 = ( a + b ) + b = a + 2b U 4 = ( a + 2b ) + b = a + 3b. U = a + ( ).b Keteraga : U = Suku ke-, a = Suku pertama, b = Beda
2. Barisa Geometri Barisa geometri adalah suatu barisa bilaga yag setiap sukuya diperoleh dega cara megalika suku didepaya dega bilaga tetap yag disebut rasio yag diotasika dega r. Jika suatu barisa geometri U, U 2, U 3,, U maka rasio dapat dituliska : r = U /U - Apabila suku pertama barisa geometri diyataka dega otasi a, da rasio diyataka dega otasi r, maka : U = a U 2 = ar U 3 = arr = ( ar 2 ) U 4 = a ( r 2 ) r = ar 3 U = ar - Keteraga : U = Suku ke-, a = Suku pertama, r = rasio B. DERET Deret adalah barisa bilaga yag disusu urut sedemikia rupa secara teratur meurut atura tertetu. Barisa bilaga tersebut diamaka suku-suku dari deret tersebut. Deret kalau kita perhatika bayakya suku yag berjejer, dapat kita bedaka mejadi 2 (dua). Deret berhigga 2. Deret tak berhigga Deret berhigga adalah deret yag sama suku-sukuya mempuyai batas atau tertetu.
Sedagka deret tak berhigga adalah deret yag maa suku-sukuya tak terbatas atau tak tertetu. Sedagka deret tak berhigga adalah deret yag maa suku sukuya tak terbatas atau tak tertetu. Macam-macam Deret: Deret dapat dibagi atas 3 (tiga) bagia, yaitu:. Deret Arithmatika 2. Deret Geometri 3. Deret Harmois Deret Arithmatika Deret arithmatika adalah barisa bilaga yag pegurutaya dega mejumlahka atura tetap da disusu urut meurut suku-sukuya. Betuk umum Deret Arithmatika adalah sebagai berikut : Kalau kita perhatika maka dapatlah kita simpulka bahwa :. Deret arithmatika disebut aik, apabila jumlah suku-suku berikutya adalah bertambah besar karea beda (b) > 0 2. Deret arithmatika disebut turu, apabila jumlah suku-suku berikutya adalah meuru mejadi lebih kecil karea beda (b) < 0. Jumlah semua suku-suku deret arithmatika adalah dega mejumlahka semua suku-suku yag ada. Jumlah semua suku-sukuya, diberi otasi dega D. Cotoh soal. Deret : 0,8,6,4,2,, D0 Diketahui : a =0 b = 8-0 = -2 sehigga diperoleh : D = ½. {2a + (-) b} atau D = ½. {a + U } D 0 = ½. 0 {2.0 + (0-) -2} D 0 = 5 {20 + (9) -2}
D 0 = 5 (20-3) D 0 = 5 (2) D 0 = 0 Itu adalah merupaka cotoh soal dalam betuk kuatitatif, disampig ada soal kuatitatif kita juga megeal betuk cotoh soal dalam betuk kuatitatif. Dimaa cotoh soal kualitatif ii terlebih dahulu harus kita formulasika dalam betuk kuatitatif. Adapu betuk cotoh soal kualitatif adalah sebagai berikut : Soal : Harga sebuah barag di pasar besar teredah Rp. 6000,- Barag yag aka dibeli adalah sebayak jumlah keluarga dari pak Sopa yaitu sepuluh orag. Diperkiraka aka medapat perbedaa pembelia barag dega harga Rp. 4000,- Recaa pak Sopa, pembagia barag-barag ii adalah merupaka hadiah, yag aka dibagika berdasarka umur masig-masig keluargaya jika yag kecil medapat harga teredah da yag besar medapat harga tertiggi, berapakah yag tertua medapatka harga barag tersebut da berpakah jumlah keseluruha uag yag aka dikeluarka pak Sopa. Diketahui : Harga Rp. 6000,- adalah harga teredah da aka diberika kepada yag berumur teredah, ii adalah sama dega a (suku awal). Perbedaa harga barag adalah Rp. 4000,- ii adalah merupaka b (beda). Jumlah keluarga pak Sopa seluruhya adalah 0 orag ii adalah (bayak suku). Sehigga diperoleh : a = 6.000 b = 4.000 = 0 Dega diketahuiya a, b, da, maka dapat dicari pembagia yag terua da jumlah uag yag aka dikeluarka pak Sopa, dega memakai betuk rumus U da D yaitu : a. U = a + (-) b
U 0 = 6.000 (0-) 4.000 U 0 = 6.000 + (9) 4.000 U 0 = 6.000 + 36.000 U 0 = 42.000] Jadi umurya yag tertua aka medapatka barag seharga Rp. 42.000,- b. D = ½ {2a + (-) b} D 0 = ½ 0 {2(6000) + (0-) 4.000} D 0 = 5 {2.000 + (9) 4.000} D 0 = 5 {2.000 + 46.000} D 0 = 5 {48.000} D 0 = 240.000 Jadi jumlah uag keseluruhaya yag aka dikeluarka pak Sopa adalah sebesar Rp. 240.000,- Deret Geometri Deret geometri adalah barisa bilaga yag disusu urut sedemikia rupa, sehigga bilaga yag berikutya merupaka hasil peggada bilaga sebelumya. Betuk umum Deret Geometri adalah sebagai berikut : U = a suku awal U 2 = a. r suku awal dikali peggada U 3 = a. r 2 suku awal dikali peggada pagkat 2 U = a. r suku ke- adalah suku awal dikali peggada pagkat - Sehigga diperoleh suatu rumus U = a. r - dimaa : U = suku ke- a = suku awal r = rasio = bayak rumus, l = kostata
rasio atau r kita peroleh dari : r = u u 2 atau r = u u - Dari cotoh soal tersebut diatas dapat disimpulka bahwa peggada Deret Geometri selalu berilai positif atau lebih besar dari ol. Jumlah semua suku-suku deret geometri adalah dega mejumlahka semua suku-suku yag diketahui. Jumlah semua suku-sukuya diberi otasi dega D. D a r a ; jika r < atau D Dimaa : D a r l r = jumlah semua suku pertama = suku awal = rasio = bayak suku = kostata cotaoh soal. Deret :, 3, 9, 27,.., D 8 =? Diketahui : a = 3 r = = 3 r, jika r > r 3. Deret Harmois Deret harmois adalah deret yag kebalika suku-sukuya membetuk sebuah deret aritmatika atau dega kata lai deret harmois adalah deret dimaa peyebutya adalah merupaka deret aritmatika, sedagka sebagai pembilagya adalah agka kostata satu. Betuk umum Deret Harmois adalah : U = a
U 2 = a b U 3 = U = a 2b a ( ) b Dimaa : U = suku pertama U 2 = suku kedua U 3 = suku ketiga U = suku ke- a b = suku awal utuk deret aritmatika = beda utuk deret aritmatika = bayak suku Jumlah Semua Peyebut Suku-suku Deret Harmois Jumlah semua peyebut suku-suku deret harmois adalah dega mejumlahka semua peyebut suku-sukuya. Jumlah semua peyebut suku-sukuya siberi otasi D. Dega rumus: D = /2 {2a ( -) b} Dimaa : D = Jumlah suku pertama deret harmois a b = bayak suku = suku awal deret aritmatika = beda deret aritmatika cotoh soal :. Deret ¼, /7, /0,, D 0 =?
Diketahui : a = 4 b = 7-4 = 3 = 0 Sehigga diperoleh D = /2 {2a ( -) b} D 0 = D 0 = D 0 = /2(0){2(4) - (0 -) 3 5{8 5 (35) 27} D 0 = 75 Jadi jumlah peyebut suku-suku deret harmois adalah 75
BAB 2 MATEMATIKA KEUANGAN 2. Teori Nilai Uag adalah salah satu peerapa deret ukur (Geometri) yag palig kovesioal di bidag ekoomi. Pada prisipya teori ii adalah utuk meghitug buga uag, baik buga biasa, buga majemuk maupu utuk meghitug Auity. 2.2 Buga Tuggal Buga Tuggal adalah buga yag dikeluarka pada modal yag tiap tahuya, biasaya buga dihitug pada akhir tahu, yaitu per 3 Desember Betuk umum ilai uag yag aka datag F = P ( + i. ) F = ilai uag yag aka datag P = ilai uag sekarag i = tigkat buga = lamaya uag dibugaka (dalam tahua) Betuk Umum Nilai Uag sekarag dari buga biasa adalah : P = F i. 2.3 Buga Majemuk Buga majemuk adalah buga yag dihitug pada modal yag berubahubah (bertambah) tiap tahuya, bertambah meurut besarya tigkat buga yag berlaku. a. Betuk umum Nilai Uag yag aka datag dari buga majemuk adalah : F = P ( + i) Dimaa F P i = Nilai uag yag aka datag (future) = Nilai uag sekarag (preset) = Tigkat buga (iterest)
l = lamaya uag dibugaka (dalam tahua) = kostata Jika pembayara buga lebih dari satu kali dalam setahu melaika m kali, maka ilai masa datagya adalah: F P i m Keteraga: jika buga dibayarka tahua maka m = m jika buga dibayarka haria maka m = 365 jika buga dibayarka bulaa maka m = 2 jika buga dibayarka persemester maka m = 2 jika buga dibayarka perkuartal maka m = 4 jika buga dibayarka percatur wula maka m = 3 Secara umum ada 3 metode perhituga buga tabuga yaitu: berdasarka saldo teredah, saldo rata-rata da saldo haria. Beberapa bak meerapka jumlah hari dalam tahu 365 hari, amu ada pula yag meerapka jumlah hari buga 360 hari. 2.4 Auity adalah jumlah uag yag dibayarka atau yag diterima secara berturut-turut setiap periode pembayara atau peerimaa. Sifat-sifat Auity :. Jumlah pembayaraya sama setiap periodeya (Equal Paymet s). 2. Pajagya periode atara agsura sama (equal periode betwee paymets). 3. Pembayara pada akhir periode (edig paymets periods) Betuk umum ilai uag yag aka datag dari Auity adalah A = F Dimaa A = Auity i (l i) - F = Nilai uag yag aka datag
i l = tigkat buga = lamaya agsura = kostata 2.4 Utuk mecari ilai uag yag aka datag dari Auity dapat juga diperguaka rumus : F = A ( i) - i Betuk umum ilai uag sekarag dari Auity adalah : A = P i (l ) (l i) - A = Auity P i l = Nilai uag sekarag = tigkat buga = lamaya Auity (agsura) = kostata 2.5 Utuk mecari ilai uag sekarag dari Auity dapat juga diperguaka rumus : P = A (l i) i (l i)