BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, disebut percobaan acak. (Hogg & Craig 1995) Definisi 2.1.1 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari. Definisi 2.1.2 (Medan- ) Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh, yang memenuhi kondisi berikut: 1. 2. Jika A 1, A 2, maka 3. Jika maka Definisi 2.1.3 (Ukuran Peluang) Misalkan adalah medan- dari ruang contoh. Ukuran peluang adalah suatu fungsi pada yang memenuhi: 1.. 2. Jika adalah himpunan yang saling lepas yaitu untuk setiap pasangan, maka. Pasangan disebut ruang peluang.
5 Definisi 2.1.4 (Kejadian Saling Bebas) Misalkan adalah ruang peluang dan Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika. Misalkan I adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian dikatakan i j i saling bebas jika P( A ) P( A ) untuk setiap himpunan bagian berhingga J i j dari I. i Definisi 2.1.5 (Peluang Bersyarat) Misalkan sehingga P(A 1 ) > 0. Misalkan pula A 2 adalah sebarang himpunan dalam. Peluang bersyarat dari A 2 jika diketahui A 1, dinotasikan dengan, ialah (Hogg & Craig 1995) 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 2.2.1 (Peubah Acak) Misalkan adalah medan- dari ruang contoh. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi dengan sifat untuk setiap. Catatan: Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar seperti X, Y, Z, sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Definisi 2.2.2 (Fungsi Sebaran) Misalkan adalah ruang peluang. Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh.
6 Definisi 2.2.3 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari. Catatan: Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung jika C terdiri atas himpunan bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif. Definisi 2.2.4 (Fungsi Massa Peluang) Misalkan adalah ruang peluang. Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi yang diberikan oleh. Definisi 2.2.5 (Nilai Harapan) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang, maka nilai harapan dari X adalah asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. (Hogg & Craig 1995) Lemma 2.2.6 (Sifat Nilai Harapan) Beberapa sifat nilai harapan, antara lain: 1) Jika k adalah suatu konstanta, maka E[k] = k. 2) Jika k adalah suatu konstanta dan V adalah peubah acak, maka E[kV] = ke[v]. 3) Jika k 1, k 2 adalah konstanta dan V 1, V 2 adalah peubah acak, maka E[k 1 V 1 + k 2 V 2 ] = k 1 E[V 1 ] + k 2 E[V 2 ]. (Bukti lihat Hogg & Craig 1995) Definisi 2.2.7 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak) Fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak X dan Y adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh.
7 Definisi 2.2.8 (Fungsi Gamma) Fungsi gamma,, didefinisikan sebagai. Definisi 2.2.9 (Sebaran Student s-t) Peubah acak X memiliki sebaran Student s-t dengan k derajat kebebasan, X ~ t k, jika fungsi kepekatan peluangnya ( ) ( ) (Kvam & Vidakovic 2007) Definisi 2.2.10 (Sebaran Normal Baku) Peubah acak X disebut normal baku jika fungsi sebarannya adalah, yaitu jika (Ghahramani 2005) Definisi 2.2.11 (Sebaran Normal) Peubah acak X disebut normal dengan parameter dan, jika fungsi kepekatannya adalah (Ghahramani 2005) Definisi 2.2.12 (Peubah Acak yang Dibakukan) Misalkan X sebuah peubah acak dengan nilai harapan dan simpangan baku. Peubah acak disebut sebagai X yang dibakukan. (Ghahramani 2005) Definisi 2.2.13 (Metode Transformasi) Misalkan X peubah kontinu dengan fungsi kepekatan dan himpunan nilai yang mungkin yaitu A. Untuk fungsi yang invertible, misalkan Y = h(x) sebagai peubah acak dengan himpunan nilai yang mungkin adalah
8. Misalkan bahwa inverse dari y = h(x) adalah fungsi x = h -1 (y), yang terdiferensialkan untuk semua nilai. Maka, fungsi kepekatan Y, yaitu,. (Ghahramani 2005) 2.3 Penduga Definisi 2.3.1 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak bergantung pada parameter (yang tidak diketahui). (Hogg & Craig 1995) Definisi 2.3.2 (Penduga/estimator dan Dugaan/estimate) Misalkan X 1, X 2,, X n adalah peubah acak. Suatu statistik yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g( ), dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi g( ). Nilai amatan dari U dengan nilai amatan disebut sebagai dugaan (estimate) bagi g( ). (Hogg & Craig 1995) 2.4 Proses Stokastik Definisi 2.4.1 (Ruang State) Misalkan merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state. Definisi 2.4.2 (Proses Stokastik) Proses Stokastik yang terdefinisi pada ruang peluang adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke ruang state S. (Ross 1996) Definisi 2.4.3 (Proses Stokastik dengan Waktu Diskret dan Kontinu) Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks T adalah himpunan terhitung (countable set), sedangkan disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. (Ross 1996)
9 Catatan: Contoh himpunan indeks T pada proses stokastik dengan waktu diskret adalah T = {0, 1, 2, }, sedangkan contoh himpunan indeks T pada proses stokastik dengan waktu kontinu adalah T = [0, ), atau himpunan bilangan nyata. Definisi 2.4.4 (Filtrasi) Misalkan adalah barisan submedan- dari, disebut filtrasi jika untuk semua. Definisi 2.4.5 (Measurable/Terukur) Misalkan adalah ruang peluang. Jika fungsi memiliki sifat untuk setiap maka X dikatakan terukur- Definisi 2.4.6 (Adapted) Misalkan adalah ruang peluang. Barisan peubah acak dikatakan adapted ke filtrasi jika merupakan terukur- untuk semua t. Definisi 2.4.7 (Martingale) Proses Stokastik disebut proses Martingale jika untuk semua t dan. (Ross 1996) Definisi 2.4.8 (Variasi Hingga) Misalkan merupakan proses CADLAG (kontinu kanan dengan limit kiri). Variasi A didefinisikan sebagai proses naik V yaitu { } Sebuah proses A disebut memiliki variasi hingga jika proses variasi bersama V hingga (maksudnya, jika untuk setiap t dan, V ( ) ). (Bain 2009) t
10 Definisi 2.4.9 (Waktu Acak) Misalkan adalah ruang peluang.. T disebut waktu acak dari proses jika kejadian {T = t} ditentukan oleh peubah acak X 1,, X t. Artinya dengan mengetahui X 1,, X t maka diketahui apakah T = t atau tidak. Jika, maka waktu acak T disebut sebagai stopping time. (Ross 1996) Definisi 2.4.10 (Lokal Martingale) M { M,,0 t } adalah lokal martingale jika dan hanya jika terdapat t t barisan stopping time T n yang menuju tak hingga sedemikian sehingga merupakan martingale untuk setiap n. (Bain 2009) Tn M Definisi 2.4.11 (Semimartingale) Sebuah proses X adalah semimartingale jika X proses adapted CADLAG (kontinu kanan dengan limit kiri) yang memiliki dekomposisi X = X 0 + M + A, di mana M lokal martingale, null pada saat nol dan A proses null pada saat nol, dengan jalur variasi hingga. (Bain 2009) Catatan: Null pada saat nol untuk proses stokastik X(t) maksudnya adalah meskipun pada saat t > 0 nilai dari X(t) itu acak, pada saat t = 0 (waktu mulai) diketahui/ditetapkan nilainya adalah nol: X(0) = 0 (atau, secara lebih formal, bahwa P(X(0) = 0) = 1). Contoh khusus ini merupakan proses random walk paling dasar. Definisi 2.4.12 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret) Misalkan adalah ruang peluang dan S adalah ruang state. Proses stokastik dengan ruang state S disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika berlaku: untuk semua kemungkinan nilai dari
11 Definisi 2.4.13 (Matriks Transisi) Misalkan adalah rantai Markov dan S adalah ruang state yang berukuran N. Matriks transisi berukuran adalah matriks dari peluang transisi untuk i = 1, 2,, N. (Rossi & Gallo 2006) Definisi 2.4.14 (Nilai Harapan Bersyarat) Misalkan adalah ruang peluang dan adalah submedan- dari. Jika X adalah peubah acak tak negatif dan terintegralkan, maka didefiniskan sebagai peubah acak yang terukur- dan bersifat tunggal kecuali pada kejadian berpeluang nol, serta memenuhi:. (Elliot et al. 1995) 2.5 Vektor Definisi 2.5.1 (Ruang Vektor) V disebut ruang vektor, jika untuk setiap vektor dan sebarang skalar k dan l dipenuhi aksioma berikut: 1. Jika maka. 2. u + v = v + u. 3. u + (v + w) = (u + v) + w. 4. Ada sehingga 0 + u = u + 0 = u,. 5. Untuk, ada yang dinamakan negatif u sehingga u + ( u ) = ( u ) + u = 0. 6. Jika k adalah sebarang skalar dan, maka. 7. k(u + v) = ku + kv. 8. (k + l)u = ku + lu. 9. k(lu) = (kl)u. 10. 1u = u. (Anton 1997) Definisi 2.5.2 (Perkalian Dalam) Jika dan adalah sebarang vektor pada, maka hasil kali dalam Euclid didefinisikan dengan
12 (Anton 1997). Definisi 2.5.3 (Ruang Hasil Kali Dalam) Sebuah hasil kali dalam pada ruang vektor real V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan real dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua dan skalar k: 1.. 2.. 3.. 4. dan jika dan hanya jika v = 0. Sebuah ruang vektor real dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalam real. (Anton 1997) Definisi 2.5.4 (Hadamard Product) Hadamard product, dengan simbol operator, merupakan perkalian elemen dengan elemen dari dua buah matriks. Oleh karena itu, jika A [ ] dan B [ ] adalah dua buah matriks yang berukuran, maka [ ]. (Schott 1997) Definisi 2.5.5 (Matriks Hessenberg) Matriks berukuran disebut matriks Hessenberg atas jika untuk i > j + 1:. [ ] Matriks A disebut Hessenberg bawah jika A T Hessenberg atas. (Horn & Johnson 1990)
13 Definisi 2.5.6 (Matriks Tridiagonal) Matriks berukuran, yang merupakan Hessenberg atas dan bawah, disebut matriks tridiagonal jika, ketika :. (Horn & Johnson 1990) [ ]