KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DAN APLIKASINYA PADA HARGA BERAS MUSAFA

Transkripsi

1 KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DAN APLIKASINYA PADA HARGA BERAS MUSAFA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Kajian Model Hidden Markov Kontinu dan Aplikasinya pada Harga Beras adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Februari 2010 Musafa NIM

3 ABSTRACT MUSAFA. The Study of Continuous Hidden Markov Model and Its Application to The Price of Rice. Under supervision of BERLIAN SETIAWATY and N.K. KUTHA ARDANA. Continuous hidden Markov model with discrete time (Elliot et al. 1995) is a model consists of the cause of event and observation process. This model assumes that the cause of event is a Markov chain in discrete time, observed indirectly. The observation process has continuous range and future observation is influenced by the cause of present event. Parameters of this model are transition probability matrices of the cause of event, vector and vector of observation process; they are estimated by using the maximum likelihood method and expectation maximization algorithm that involves the change of measure. Model parameters were estimated by using Mathematica 7.0 functional programming computer algebra systems. The model is then applied to the price change of rice from February 2004 until May The estimated parameters are used to calculate the expectation value of rice price. As a result, this research convinces that the hidden Markov model can be applied to the price of rice. Keywords: Markov chains, hidden Markov model, expectation maximization Algorithm.

4 RINGKASAN MUSAFA. Kajian Model Hidden Markov Kontinu dan Aplikasinya pada Harga Beras. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan N.K. KUTHA ARDANA. Rantai Markov merupakan proses stokastik dengan sifat bahwa kejadian di masa yang akan datang hanya dipengaruhi oleh kejadian masa sekarang. Jika penyebab kejadiannya tidak diamati dan membentuk rantai Markov, maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan model Hidden Markov (HMM ). Misalkan proses stokastik dalam waktu diskret yang didefinisikan pada ruang peluang adalah rantai Markov dengan state berhingga yang bersifat homogen dan diasumsikan tidak diamati. Proses X tidak diamati tetapi terdapat proses observasi Y yang bernilai skalar pada suatu selang, yaitu: Pasangan proses stokastik merupakan model hidden Markov kontinu. Model hidden Markov kontinu dengan waktu diskret (Elliott et al. 1995) yang dibahas berbentuk:, di mana ruang state dari X adalah S X e 1,e 2,, en dengan, yaitu himpunan vektor satuan di, di mana hanya elemen ke-i yang bernilai 1 dan lainnya 0. adalah matriks peluang transisi yang memenuhi, serta dan di mana. dengan adalah barisan peubah acak yang bebas stokastik identik menyebar normal dengan rataan nol dan ragam satu N(0,1). dan bebas stokastik. Misalkan adalah filtrasi lengkap yang dibangkitkan oleh X. memenuhi. Karena X k S X fungsi dan didefinisikan sebagai vektor dan di, maka dan, di mana merupakan perkalian dalam di dengan, untuk Misalkan adalah filtrasi lengkap yang dibangkitkan oleh proses observasi sedangkan adalah filtrsi lengkap yang dibangkitkan oleh dan. Pendugaan parameter model tersebut dilakukan dengan metode Maximum Likelihood Expectation dan pendugaan ulang menggunakan metode Expectation Maximization (EM) yang melibatkan perubahan ukuran peluang. Perubahan ukuran peluang dilakukan untuk mempermudah perhitungan matematik. Perubahan ukuran peluang diperoleh dengan mengubah ukuran peluang menjadi peluang baru. Dari ukuran peluang baru akan diinterpretasikan kembali ke dalam peluang asal. Perubahan ukuran ini dibatasi oleh turunan Radon- Nikodym.

5 Parameter model diberikan oleh himpunan di mana Berikutnya, dengan menggunakan Algoritma EM akan ditentukan himpunan parameter baru, di mana yang memaksimumkan pseudologlikelihood bersyarat. Pendugaan rekursif diperlukan untuk menduga parameter baru. Pendugaan rekursif meliputi pendugaan untuk state, banyaknya lompatan, lamanya waktu kejadian, dan proses observasi. Penduga untuk state adalah Penduga banyaknya lompatan adalah Penduga untuk lamanya waktu kejadian adalah Penduga untuk proses observasi adalah Hasil pendugaan parameter model adalah sebagai berikut., dan nilai harapan bersyarat jika diketahui, adalah Pada proses pendugaan parameter model diambil banyaknya penyebab kejadian N = 2,3,4,5,6, sedangkan untuk proses prediksi harga beras dilakukan split data sehingga diperoleh prediksi harga beras terbaik. Pada penelitian ini, model tersebut diaplikasikan pada perubahan harga beras dari tahun 2004 sampai tahun Data input penelitian berupa harga ratarata beras eceran per minggu jenis Jembar I ( kualitas Ramos ) dan IR 64 II ( kualitas Medium ) di tingkat pedagang Ibukota Propinsi Jawa Barat, Kota Bandung, diambil dari WEEKLY PRICE SERIES, Retail Price of Several Essential Commodities of Provincial City in Indonesia, Badan Pusat Statistik, Jakarta-

6 Indonesia. Data berkisar antara bulan Februari tahun 2004 hingga bulan Mei tahun 2009 [21/07/2009]. Data observasi yang digunakan dalam kasus perubahan harga beras sebanyak 275 data. Harga rata-rata beras mengalami perubahan yang cukup fluktuatif. Hal ini disebabkan oleh banyak hal, diantaranya kebijakan pemerintah (kebijakan impor beras, harga pupuk dan harga BBM), masa panen, gagal panen, dan lain sebagainya. Kejadian-kejadian tersebut dapat terjadi secara berulang tetapi tidak dapat dipastikan waktunya. Akibatnya, besar kemungkinan di waktu mendatang akan terjadi kejadian yang sama. Harga beras kemungkinan dapat berubah setiap minggu. Diasumsikan bahwa harga rata-rata beras per minggu dibangkitkan oleh proses pengamatan. Faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya perubahan harga rata-rata beras diasumsikan sebagai state dari suatu rantai Markov yang tidak diamati. Misalkan banyaknya faktor tersebut adalah N dan dipilih N = 2, 3, 4, 5, 6. Pada setiap state, data harga rata-rata beras dibangkitkan oleh peubah acak yang menyebar dengan sebaran tertentu pada ruang peluang. Untuk mempermudah proses pendugaan parameter, split data, dan analisis data yang cukup banyak dibuat program komputasi berbasis pemrograman fungsional dengan menggunakan software Mathematica 7.0. Penduga parameter yang diperoleh digunakan untuk menghitung prediksi harga beras, dalam kasus ini harga beras IR 64 II dan Jembar I. Hasil penelitian menunjukkan bahwa semakin banyak penyebab kejadian, maka semakin baik model memprediksi harga beras sebenarnya. Akan tetapi, penambahan banyaknya kejadian tidak terlalu berpengaruh terhadap perbedaan nilai galat secara signifikan. Berdasarkan lama waktu pemrosesan data, keakuratan, dan prinsip kesederhanaan model, cukup dipilih N = 3 untuk memodelkan perubahan harga beras IR 64 II dan memodelkan prediksinya. Selanjutnya, model perubahan dan model prediksi harga beras Jembar I dipilih N = 2. Jadi, dapat disimpulkan bahwa model hidden Markov kontinu tersebut dapat memodelkan dan menjelaskan perubahan harga beras dengan baik, serta mampu memprediksi harga beras IR II maupun Jembar I mendatang dalam periode waktu yang relatif lama. Kata Kunci : Rantai Markov, model hidden Markov kontinu, metode Maximum Likelihood Expectation, metode Expectation Maximization, algoritma Expectation Maximization, perubahan ukuran.

7 KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DAN APLIKASINYA PADA HARGA BERAS MUSAFA Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010

8 Judul Tesis : Kajian Model Hidden Markov Kontinu dan Aplikasinya pada Harga Beras Nama : Musafa NIM : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Berlian Setiawaty, M.S. Ketua Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian : 22 Februari 2010 Tanggal Lulus :

9 Hak Cipta milik IPB, tahun 2010 Hak Cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah, b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB

10 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2009 ini adalah Kajian Model Hidden Markov Kontinu dan Aplikasinya pada Harga Beras. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Berlian Setiawaty, M.S. dan Bapak Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. selaku pembimbing yang telah banyak memberi saran dalam penulisan tesis ini. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada ibu, kakak-kakak, adik-adik, seluruh keluarga, istri, anak, dan teman-teman atas segala doa, dukungan, serta kasih sayangnya. Juga kepada semua pihak yang telah turut membantu dalam penulisan tesis ini, penulis berdoa semoga Allah SWT membalas mereka dengan kebaikan. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Februari 2010 Musafa

11 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.

12 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI..... i DAFTAR TABEL... Error! Bookmark not defined. DAFTAR GAMBAR... Error! Bookmark not defined. DAFTAR LAMPIRAN... Error! Bookmark not defined. 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian 4 2 LANDASAN TEORI Error! Bookmark not defined. 2.1 Teori Peluang.. Error! Bookmark not defined. 2.2 Rantai Markov Ruang Vektor dan Hasil Kali Dalam.. Error! Bookmark not defined. 2.4 Penghitungan Galat (Error)... Error! Bookmark not defined. 3 MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU State dan Proses Observasi Nilai Harapan Bersyarat Perubahan Ukuran Pendugaan Rekursif 36

13 3.5 Pendugaan Parameter Nilai Dugaan Algoritma Pendugaan Parameter 61 4 APLIKASI MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU PADA HARGA BERAS Data Input Penelitian Pemodelan Masalah Perubahan dan Aplikasi pada Harga Beras Hasil Program Komputasi dan Interpretasi Model KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN. 92

14 DAFTAR TABEL Halaman 1. Perbandingan absolut persentase galat dan koefisien determinasi model untuk masing-masing nilai N dari beras IR 64 II.. 83 Error! Bookmark not defined. 2. Perbandingan absolut persentase galat dan koefisien determinasi model ntuk masing-masing nilai N dari beras Jembar I Error! Bookmark not defined.

15 DAFTAR GAMBAR Halaman 1. Grafik perubahan harga beras jenis jembar I per minggu Error! Bookmark not defined. 2. Grafik perubahan harga beras jenis IR 64 II per minggu Error! Bookmark not defined. 3. Grafik perubahan harga beras jenis Jembar I per minggu Grafik perubahan harga beras jenis IR 64 II per minggu Grafik model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 2 dengan penduga filter Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = Grafik model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 2 dengan penduga smoother.. Error! Bookmark not defined. 8. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 2 Error! Bookmark not defined. 9. Grafik model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 3 dengan penduga filter. Error! Bookmark not defined. 10. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 3 Error! Bookmark not defined. 11. Grafik model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 3 dengan penduga smoother. Error! Bookmark not defined. 12. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 3... Error! Bookmark not defined.

16 13. Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 2 dengan penduga filter... Error! Bookmark not defined. 14. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 2.. Error! Bookmark not defined. 15. Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 2 dengan penduga smoother.. Error! Bookmark not defined. 16. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = Error! Bookmark not defined. 17. Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 3 dengan penduga filter Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 3. Error! Bookmark not defined. 19. Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 3 dengan penduga smoother Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 3... Error! Bookmark not defined. 21. Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 4 dengan penduga filter Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 4 dengan penduga smoother Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 5 dengan penduga filter 79

17 26. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 5 dengan penduga smoother.... Error! Bookmark not defined. 28. Diagram kotk persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 5. Error! Bookmark not defined. 29. Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 6 dengan penduga filter... Error! Bookmark not defined. 30. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 6.. Error! Bookmark not defined. 31. Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 6 dengan penduga smoother..... Error! Bookmark not defined. 32. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 6... Error! Bookmark not defined. 33. Grafik model prediksi harga beras IR 64 II Grafik model prediksi harga beras Jembar I Diagram kotak persentase absolut galat harga beras IR 64 II dan Jembar I.. 87

18 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. Bukti Teorema Error! Bookmark not defined. 2. Program dan Hasil Komputasi. 95

19 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Model hidden Markov adalah suatu pasangan proses stokastik yang memenuhi adalah suatu rantai Markov homogen yang tidak diamati (hidden), dan adalah suatu barisan peubah acak bebas di mana sebaran bersyarat hanya bergantung pada. Model hidden Markov kontinu adalah salah satu bentuk model hidden Markov di mana proses observasinya bernilai skalar pada suatu selang. Di samping memiliki banyak struktur matematis, model ini dapat memodelkan dengan baik beberapa aplikasi penting. Aplikasi yang sudah dikaji antara lain adalah pada business cycle (Hamilton 1989, Keskinen dan Oller 1998), stock market (Hamilton dan Lin 1996, Schaller dan Van Norden 1997, Manton et al. 2008), masalah alokasi asset (Elliot dan Van Der Hoek 1997), penetapan harga opsi (Bollen 1998, Campbell 2002), penetapan harga bond (Landen 2000), kebijakan moneter (Zampolli 2006), nilai penyimpanan gas alam (Chen dan Forsyth 2007), alokasi modal (Morger 2006), harga electricity spot (Schindlmayr 2005), analisa pada resiko kredit (Dunbar dan Edwards 2007), serta manajemen resiko kredit (Banachewicz dan Lucas 2008). Elliott et al. (1995) mengembangkan model hidden Markov kontinu dengan waktu diskret. Karakteristik modelnya dicirikan oleh beberapa parameter, yaitu matriks peluang transisi dari penyebab kejadian serta beberapa parameter dari proses observasi. Metode Maximum Likelihood dan Algoritma Excpectation Maximization (Algoritma EM) adalah suatu pendekatan yang digunakan untuk melakukan pendugaan parameter model hidden Markov kontinu tersebut. Hasil pendugaan parameter model berbentuk pendugaan rekursif. Parameter model yang diperoleh kemudian dievaluasi kembali dengan menggunakan parameter atau mungkin dengan data baru. Nurfathoni (2008) telah mengkaji dan mengaplikasikan model hidden Markov kontinu di atas pada harga gabah kering panen. Adapun pembahasan dan

20 2 analisisnya lebih menekankan pada penggambaran perilaku model, tidak dilakukan prediksi. Pada penelitian ini akan ditentukan model hidden Markov kontinu dengan waktu diskret (Elliott et al. 1995) terbaik hingga dapat digunakan untuk menggambarkan perilaku harga beras dan memprediksi harga beras mendatang. Data input penelitian berupa harga rata-rata beras eceran per minggu jenis Jembar I ( kualitas Ramos ) dan IR 64 II ( kualitas Medium ) di tingkat pedagang Ibukota Propinsi Jawa Barat, Kota Bandung. Data ini diambil dari WEEKLY PRICE SERIES, Retail Price of Several Essential Commodities of Provincial City in Indonesia, Badan Pusat Statistik, Jakarta-Indonesia, antara bulan Februari tahun 2004 hingga bulan Mei tahun 2009 [21/07/2009]. Jumlah observasi yang digunakan dalam penelitian ini sebanyak 275 data. Adapun sebarannya dapat dilihat pada Gambar 1 grafik berikut. 8, Harga Beras (Rp/Kg) 7, , , , , , , Waktu Pengamatan per Minggu (Februari Mei 2009) Gambar 1 Grafik perubahan harga beras jenis Jembar I per minggu. Sumber: Badan Pusat Statistik, Statistics - Indonesia

21 3 7, , Harga Beras (Rp/Kg) 5, , , , , Waktu Pengamatan per Minggu (Februari 2004-Mei 2009) Gambar 2 Grafik perubahan harga beras jenis IR 64 II per minggu. Sumber: Badan Pusat Statistik, Statistics Indonesia Grafik perubahan harga beras di atas menunjukkan bahwa harga rata-rata beras mengalami perubahan yang cukup fluktuatif. Harga beras dapat berubah setiap minggu. Tentunya kejadian ini disebabkan oleh banyak hal, diantaranya kebijakan pemerintah (kebijakan impor beras, harga pupuk dan harga BBM), masa panen, gagal panen, dan lain sebagainya. Penyebab-penyebab tersebut dapat membentuk pola tertentu. Misalnya, jika pada waktu sebelumnya terjadi kenaikan harga BBM sebagai akibat kebijakan pemerintah tentang kenaikan harga BBM maka biasanya diikuti dengan kenaikan biaya distribusi beras dari produsen ke pedagang eceran atau grosir sehingga terjadi kenaikan harga beras. Kejadiankejadian tersebut dapat terjadi secara berulang tetapi tidak dapat dipastikan waktunya. Akibatnya, besar kemungkinan di waktu mendatang akan terjadi kejadian yang sama. Jadi, karena penyebab kejadian perubahan harga beras membentuk rantai Markov yang homogen dan diasumsikan tidak diamati, maka masalah perubahan harga beras dapat dimodelkan dengan model hidden Markov. Proses observasi dan penyebab kejadian yang tidak diamati yang digunakan pada model masing-masing adalah harga beras per minggu dan

22 4 penyebab terjadinya perubahan harga beras tersebut, di mana menyatakan minggu. Untuk memudahkan perhitungan dan analisis data dibuat program komputasi berbasis pemrograman fungsional dengan menggunakan software Mathematica Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah: 1. Mengkaji model hidden Markov kontinu dengan waktu diskret (Elliott et al. 1995). 2. Melakukan pendugaan parameter model hidden Markov kontinu tersebut dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan Expectation Maximization (EM). 3. Mengaplikasikan model hidden Markov kontinu di atas melalui program komputasi berbasis pemrograman fungsional untuk masalah perubahan harga beras sehingga: a. dapat menentukan model terbaik untuk menggambarkan perilaku harga beras, b. dapat menentukan model terbaik untuk memprediksi harga beras mendatang.

23 5 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Teori Peluang Definisi (Ruang Contoh dan Kejadian) (Ross 2000) Misalkan dalam suatu percobaan, pengulangan dapat dilakukan pada kondisi yang sama. Meskipun hasil percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat, tetapi semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui. Percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama seperti ini disebut percobaan acak. Himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan. Himpunan bagian dari suatu ruang contoh disebut kejadian, misalkan kejadian A. Definisi ( -field ) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Medan- ( -field ) adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian dari ruang contoh serta memenuhi syarat-syarat berikut: (i). (ii) Jika A 1, A 2,.. maka. (iii) Jika A maka, dengan menyatakan komplemen dari himpunan A. Jadi, suatu himpunan disebut medan- ( -field ) jika adalah anggota, tertutup terhadap operasi union takhingga, dan tertutup terhadap operasi komplemen. Definisi (Ukuran Peluang) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Suatu ukuran peluang pada ( ) adalah suatu fungsi yang memenuhi syarat-syarat berkut: (i) P( ) = 0 dan P( ) = 1. (ii) Jika A 1, A 2,.. adalah himpunan-hmpunan yang saling lepas, yaitu untuk setiap pasangan dengan, maka = ( ). Pasangan ( ) disebut ruang peluang (probability space).

24 6 Teorema (Teorema Bayes) (Hogg et al. 2005) Misalkan ( ) adalah ruang peluang. Jika dengan dan sehingga, maka untuk sebarang kejadian C di sehingga berlaku. Definisi (Kejadian Saling Bebas) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika. Secara umum, suatu himpunan dikatakan saling bebas jika untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I. Definisi (Peubah Acak) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan adalah ruang peluang. Suatu peubah acak (random variabel) adalah suatu fungsi X : dengan untuk setiap. Definisi ( Fungsi Sebaran) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Fungsi sebaran (distribution function) dari suatu peubah acak X adalah yang diberikan oleh. Definisi (Peubah Acak Diskret) (Grimmet dan Stirzaker) Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang tercacah dari. Suatu himpunan bilangan C disebut tercacah jika C terdiri atas bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif. Definisi (Fungsi Masa Peluang) Fungsi masa peluang (probability mass function) dari suatu peubah acak diskret X adalah yang diberikan oleh

25 7 Definisi (Peubah Acak Kontinu) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat diekspresikan sebagai untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi peubah acak X. Definisi (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak X dan Y adalah suatu fungsi yang diberikan. Definisi (Fungsi Kepekatan Peluang Bersama dan Marginal) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Peubah acak X dan Y disebut dua peubah acak kontinu yang menyebar bersama, dengan fungsi sebaran bersama, jika untuk setiap fungsi sebaran bersamanya dapat diekspresikan sebagai untuk suatu fungsi yang terintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut fungsi kepekatan peluang bersama dari peubah acak X dan Y yang didefinisikan oleh Fungsi kepekatan peluang marginal dari peubah acak X dan Y adalah berturut-turut,

26 8 Definisi (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Fungsi kepekatan peluang bersyarat dari dengan syarat, ditulis, yang diberikan oleh untuk sebarang sehingga, di mana X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan marginal dan adalah fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y. Definisi (Bebas Stokastik Identik) (Hogg et al. 2005) Misalkan adalah peubah acak yang memiliki fungsi kepekatan yang sama yaitu sehingga dan fungsi kepekatan bersamanya adalah. Peubah acak disebut peubah acak yang saling bebas stokastik identik. Definisi (Fungsi Indikator) (Cassela dan Berger 1990) Fungsi indikator dari himpunan A dinotasikan dengan, didefinisikan sebagai fungsi. Definisi (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret) (Ghahramani 2000) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang, maka nilai harapan dari peubah acak X didefinisikan.

27 9 Definisi (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu) (Ghahramani 2000) Misalkan adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang, maka nilai harapan dari peubah acak X didefinisikan sebagai. Definisi (Nilai Harapan Peubah Acak Bersyarat) (Ghahramani 2000) Misalkan dan adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat adalah. Nilai harapan bersyarat dari peubah acak X dengan syarat nialai peubah acak, ditulis, diberikan oleh Definisi (Kontinu Absolut) (Billingsley 1986) Misalkan dan adalah dua ukuran peluang yang terdefinisi pada. Ukuran peluang dikatakan kontinu absolut terhadap ukuran peluang jika maka, untuk setiap dan dinotasikan. Jika dan maka kedua ukuran dikatakan ekuivalen dan dinotasikan dengan. Teorema (Radon-Nikodym) (Billingsley 1986) Jika dan adalah dua ukuran peluang yang terdefinisi pada sedemikian sehingga, maka terdapat peubah acak tak negatif sehingga untuk semua, dinotasikan dengan =. 2.2 Rantai Markov Definisi (Ruang State) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan S adalah himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state.

28 10 Definisi (Proses Stokastik) (Ross 2000) Proses stokastik yang terdefinisi pada ruang peluang adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan ruang contoh ruang state Jadi, untuk setiap adalah suatu peubah acak. ke suatu Definisi (Rantai Markov dengan Waktu Diskret) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Proses stokastik yang terdefinisi pada ruang peluang ( ) dengan ruang state S, disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap berlaku untuk semua kemungkinan nilai dari. Definisi (Matriks Transisi) ( Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan proses stokastik adalah rantai Markov dengan ruang state S yang berukuran N. Matriks transisi adalah matriks peluang transisi untuk semua. Definisi (Rantai Markov Homogen) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Rantai Markov dengan ruang state S dikatakan homogen jika untuk semua. Definisi (Peluang Transisi n-step) (Ross 2000) Peluang transisi n-step dari rantai Markov adalah peluang suatu proses berpindah dari state i ke state j dengan n langkah yang didefinisikan sebagai.

29 11 Definisi (Accessible State) (Ross 2000) Suatu state dari rantai Markov disebut terakses (accessible) dari state, ditulis, jika ada minimal sebuah bilangan bulat sehingga. Definisi (Communicate State) (Ross 2000) Dua state dan dari rantai Markov disebut saling berkomunikasi (communicate), ditulis, jika state dapat diakses dari state dan state dapat diakses dari state. Definisi (State Class) (Ross 2000) Suatu kelas state dari rantai Markov adalah suatu himpunan tak kosong S sehingga semua pasangan state yang merupakan anggota dari S berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tidak ada state yang merupakan anggota S yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari S. Definisi (Irreducible Markov Chains) (Ross 2000) Suatu rantai Markov disebut tak tereduksi (irreducible) jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika semua state-nya berkomunikasi satu dengan lainnya. Definisi (The First-Passage Time Probability) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan adalah rantai Markov dan merupakan peluang bahwa, mulai dari state i, proses bertransisi untuk pertama kali ke state j terjadi pada waktu n. Peluang ini disebut the first-passage time probability. Jadi untuk semua n = 1, 2,.

30 12 Definisi (Recurrent) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan adalah rantai Markov. Peluang bahwa suatu proses yang dimulai dari state i akan pernah bertransisi ke state j didefinisikan sebagai. Kemudian State i disebut recurrent (berulang) jika Teorema (Recurrent dan Transient State) (Ross 2000) State i adalah recurrent (berulang) jika, dan transient jika. Definisi (Ross 2000) Misalkan adalah rantai Markov. 1. Suatu state i disebut memiliki periode d jika untuk semua n yang tidak habis dibagi d, dan d adalah bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi sifat ini. Dengan kata lain, suatu state i disebut memiliki periode d jika d adalah persekutuan terbesar (the greatest common divisor) bagi n sehingga. 2. Suatu state dengan periode = 1 disebut aperiodic, sedangkan state dengan periode disebut periodic. 3. Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika state tersebut adalah berulang (recurrent) serta berlaku: jika proses dimulai dari state i maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan terhingga (finite). State recurrent yang tidak berulang positif (posistive recurrent) disebut null recurrent. 4. Rantai Markov dengan positive recurrent state dan aperiodic disebut ergodic. Teorema (Nilai Harapan Rantai Markov) (Ross 2000) Misalkan adalah rantai Markov ergodic dengan ruang state S yang berukuran N dan misalkan A merupakan matriks peluang transisi berukuran N x N

31 13 dengan dan, maka nilai harapan dari dinotasikan dengan yang memenuhi Definisi (Himpunan P-Null) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan adalah ruang peluang lengkap. Himpunan P-Null didefiniskan sebagai Definisi (Ruang Peluang Lengkap) (Billingsley 1986) Sebuah ruang peluang disebut lengkap, jika, dan P(B) = 0 maka. Definisi (Filtrasi) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan adalah suatu medan- dan adalah barisan sub medandari dan memenuhi untuk semua, maka disebut filtrasi. Definisi (Filtrasi Lengkap) (Protter 1995) Misalkan adalah ruang peluang lengkap dan adalah sebuah filtrasi. Jika memuat semua himpunan -Null di maka disebut filtrasi lengkap. Definisi (Measurable atau Terukur) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan X adalah peubah acak bernilai real yang terdefinisi pada ruang peluang. Peubah acak X dikatakan terukur-, jika, untuk semua. Definisi (Adapted) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Barisan peubah acak yang terdefinisi pada ruang peluang dikatakan adapted terhadap filtrasi, jika terukur- untuk setiap.

32 14 Definisi (Predictable) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Barisan peubah acak yang terdefinisi pada ruang peluang dikatakan predictable terhadap filtrasi, jika terukur- untuk setiap. Definisi (Predictable) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan adalah ruang peluang, adalah sub medan- dari, dan X adalah peubah acak yang terintegralkan pada, maka, disebut nilai harapan bersyarat dari X jika diketahui. Nilai harapan selanjutnya didefinisikan sebagai sebarang peubah acak Y yang memenuhi: (a) Y terukur-. (b). Persamaan dapat ditulis dengan Teorema (Sifat-sifat Nilai Harapan Bersayarat) (Shreve 2004) Misalkan adalah ruang peluang, adalah sub medan- dari, X,Y, dan XY adalah peubah acak yang terintegralkan pada, maka berlaku: (1) (2) Jika X terukur-, maka (3) (4) Jika. (5) Jika sub medan- dari, maka berlaku (6) Jika Y terukur-, maka.

33 Ruang Vektor dan Hasil Kali Dalam Definisi (Ruang Vektor Umum) (Anton 1997) disebut ruang vektor, jika untuk setiap dan sebarang skalar dan dipenuhi aksioma berikut: (i) Jika, maka (ii) (iii) (iv) Ada 0 sehingga + 0, (v), ada sehingga. (vi) Jika adalah sebarang skalar dan, maka (vii) (viii) (ix) (x) Definisi (Perkalian Dalam) (Anton 1997) Jika dan adalah sebarang vektor di, maka Euclidean Inner Product didefinisikan dengan. Definisi (Ruang Hasil Kali Dalam) (Anton 1997) Sebuah hasil kali dalam pada ruang vektor real adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan real dengan masing-masing pasangan vektor dan di sedemikian sehingga aksioma-aksioma berikut terpenuhi untuk semua u, v, w dan skalar. (a) (b) (c) (d)

34 16 Sebuah ruang vektor real dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalam real. 2.4 Penghitungan Galat (Error) Definisi (Koefisien Determinasi) (Agresti dan Finlay 1999) di mana dan masing-masing merupakan proporsi variasi atau keragaman data yang mampu dijelaskan oleh model, rataan, dan prediksi Definisi (Wei 1994) Mean Absolute Persentage Error (persentase rataan galat absolut) didefinisikan sebagai

35 17 BAB III MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU 3.1 State dan Proses Observasi Semua proses yang terdapat di dalam model hidden Markov kontinu dengan waktu diskret (Elliott et al. 1995) akan didefinisikan pada ruang peluang lengkap Parameter waktu diskret merupakan nilai dari bilangan. Andaikan adalah rantai state yang menunjukkan proses penyebab kejadian. Ruang state adalah himpunan vektor satuan di dituliskan, di mana hanya elemen ke- yang bernilai dan lainnya Diasumsikan bahwa diberikan, atau distribusinya atau rataan diketahui. Di samping itu, diasumsikan sebagai suatu rantai Markov homogen, sehingga di mana adalah filtrasi lengkap yang dibangkitkan oleh Lema (Elliott et al. 1995) Misalkan merupakan peluang transisi dan adalah matriks peluang transisi yang memenuhi dan, maka Bukti Misalkan, maka

36 18 Selanjutnya, misalkan maka Maka dapat ditulis Jadi, Lema (Elliott et al. 1995) Bukti Karena, maka Lema (Rantai Markov Ergodic) (Ross 2000) Jika adalah rantai Markov ergodic dengan ruang state S yang berukuran dan misalkan merupakan matriks peluang transisi berukuran x dengan dan, maka nilai harapan dari adalah yang memenuhi dan. Lema (Nilai Harapan Rantai Markov Ergodic) (Ross 2000) Misalkan adalah rantai Markov ergodic dengan, maka.

37 19 Bukti Misalkan, maka Karena maka diperoleh Jadi, Definisikan Dengan menggunakan Lema diperoleh.

38 20 Dari persamaan (3.3) diperoleh suatu persamaan state Misalkan tidak diobservasi secara langsung, tetapi ada proses observasi, di mana bernilai skalar pada suatu selang, yaitu: di sini adalah barisan peubah acak yang bebas stokastik identik menyebar normal dengan rataan nol dan ragam satu, Karena, fungsi ditentukan oleh vektor di dalam ; maka dan dengan, untuk di mana menotasikan perkalian dalam di Pasangan merupakan model hidden Markov kontinu yang berbentuk. (3.2) 3.2 Nilai Harapan Bersyarat Misalkan barisan dan masing-masing adalah filtrasi lengkap yang dibangkitkan oleh Akan diturunkan sebaran bersyarat jika diketahui. Disamping itu, akan ditentukan juga nilai harapan bersyarat, jika dketahui Karena himpunan bebas terhadap adalah himpunan peubah acak yang bebas stokastik, maka dan Lema (Elliott et al. 1995)

39 21 Bukti Dari Lema didapatkan adalah Untuk sebarang maka sebaran bersyarat dari jika diketahui

40 22 Lema (The Normal Distribution) (Hogg et al. 2005) Jika adalah peubah acak yang menyebar normal dengan rataan nol dan ragam satu, maka, dengan adalah peubah acak yang menyebar normal dengan rataan nol dan ragam, Bukti Misalkan, maka sebaran untuk adalah Misalkan y, maka. Sedangkan batas integral untuk sehingga y Akibatnya Melalui Teorema Dasar Kalkulus didapatkan dengan Jadi,, adalah peubah acak yang menyebar normal dengan rataan nol dan ragam

41 23 Misalkan adalah nilai harapan bersyarat, jika diketahui (fungsi kepadatan, dan dari Lema maka Diperoleh Jadi, fungsi kepadatan bersayarat dari jika diketahui adalah Adapun sebaran bersama dari dan jika diketahui adalah =. (3.5) Diperoleh fungsi kepadatan bersama bersyarat dari dan jika diketahui yaitu Berdasarkan aturan Bayes, diperoleh

42 24 Lema (Elliott et al. 1995) Bukti Misalkan maka Jadi, Dari Lema didapat Teorema (Elliott et al. 1995) Bukti Diketahui dan bersifat bebas stokastik identik. Akan dibuktikan bahwa

43 25 Bukti Jadi, Karena bersifat bebas stokastik identik, maka Diperoleh Akibatnya Peubah merupakan nilai harapan bersyarat jika diketahui Pada persamaan (3.6), adalah tak linier terhadap Sehingga untuk memudahkan perhitungan secara matematik dilakukan perubahan ukuran peluang.

44 Perubahan Ukuran Perubahan ukuran peluang diperoleh dengan mengubah ukuran peluang menjadi peluang baru. Dari ukuran peluang baru akan diinterpretasikan kembali ke dalam peluang asal. Perubahan ukuran ini dibatasi oleh turunan Radon- Nikodym. Teorema (Teorema Bersyarat Bayes) (Elliott et al. 1995) Misalkan merupakan ruang peluang dan adalah sub-medan dari Misalkan juga adalah ukuran peluang lain yang kontinu absolut terhadap dengan turunan Radon-Nikodymnya. Jika adalah peubah acak terintegralkan dan terukur-, maka berlaku Bukti Menurut definisi , harus ditunjukkan bahwa adalah nilai harapan bersyarat dari jika diketahui, maka berdasarkan definisi Hal yang sama berlaku untuk, sehingga. Karena merupakan pembagian dari nilai harapan bersyarat yang terukur-, maka akibatnya terukur-. Misalkan sebarang himpunan di. Selanjutnya didefinisikan

45 27 Akan ditunjukkan Definisikan, sehingga Maka dari definisi dan Berakibat atau hampir pasti di G. Kemudian. Misalkan, di mana dan, sehingga Nilai hampir pasti pada, maka Selanjutnya

46 28 Akibatnya Jadi, Karena = dan =, maka = terukur-. Suatu barisan dikatakan adapted terhadap jika terukur untuk setiap k. Penggunaan Teorema berakibat pada ukuran dan dari persamaan sehingga didapatkan Lema berikut. Lema (Elliott et al. 1995) Jika adalah barisan peubah acak yang terintegralkan, maka Bukti Bukti Lema serupa dengan bukti Teorema 3.3.1

47 29 Lema (Elliott et al. 1995) Di bawah ukuran peluang di adalah rantai Markov homogen dan memenuhi, di mana merupakan barisan peubah acak bersifat bebas stokastik identik menyebar normal maka fungsi kepekatan peluang dari adalah Bukti Untuk sebarang maka sebaran dari adalah Misalkan, maka

48 Misalkan, maka atau. Sedangkan batas 30 integral untuk sehingga Akibatnya Melalui Teorema Dasar Kalkulus didapatkan Jadi, adalah peubah acak yang fungsi kepekatan peluangnya dalah Diketahui bahwa di bawah ukuran peluang di berlaku: 1. adalah rantai Markov homogen dan memenuhi. 2., di mana merupakan barisan peubah acak bersifat bebas stokastik identik menyebar normal Adapun adalah peubah acak yang bergantung pada dengan fungsi kepekatan peluang dari adalah

49 31 Kemudian akan dikonstruksi ukuran peluang baru yang kontinu absolut terhadap dengan turunan Radon-Nikodymnya, sehingga di bawah ukuran peluang : 1. merupakan rantai Markov homogen dan memenuhi. 2. merupakan barisan peubah acak yang bebas stokastik identik menyebar normal Hal tersebut berarti harus dikonstruksi, sehingga di bawah ukuran peluang 1. merupakan rantai Markov homogen dan memenuhi. 2. merupakan barisan peubah acak yang bebas stokastik identik menyebar normal Misalkan adalah fungsi kepekatan peluang Agar berdistribusi normal di bawah ukuran peluang, maka Sedangkan menurut definisi ukuran peluang Dari persamaan dan serta karena adalah fungsi kepekatan peluang didapat

50 32 dan Misalkan Definisikan suatu ukuran pluang baru terhadap sama dengan dengan batasan turunan Radon-Nikodym Eksistensi dijamin oleh Teorema Radon-Nikodym dan eksistensi dijamin oleh Teorema Perluasan Kolmogorov (Wong and Hajek, 1995). Lema (Elliott et al. 1995) Di bawah ukuran peluang, menyebar normal Bukti Misalkan persamaan ini menjadi adalah peubah acak yang bebas stokastik identik. Menurut Teorema Bayes dan Lema sedangkan

51 33 diperoleh Jadi, di bawah ukuran, merupakan barisan peubah acak yang bebas stokastik identik menyebar normal. Sebaliknya, dimisalkan ukuran peluang di sehingga di bawah ukuran peluang 1. adalah rantai Markov dengan matriks transisi, sehingga, di mana. 2. adalah suatu barisan peubah acak yang bebas stokastik identik menyebar normal N(0,1). Sehingga harus dikonstruksi kembali ukuran peluang yang kontinu absolut terhadap dengan turunan Radon-Nikodymnya sehingga di bawah ukuran peluang : 1. adalah rantai Markov homogen.

52 34 2. di mana merupakan barisan peubah acak bersifat bebas stokastik identik menyebar normal Misalkan adalah fungsi kepekatan peluang, maka sedangkan adalah fungsi kepekatan peluang sehingga Akibatnya didapatkan Selanjutnya, misalkan serta definisikan ukuran peluang batasan turunan Radon-Nikodym terhadap = Jelas, bahwa untuk mengkonstruksi ukuran peluang kembali maka syarat yang harus dipenuhi adalah. Lema (Elliott et al. 1995) Di bawah ukuran peluang, stokastik menyebar normal N(0,1). adalah barisan peubah acak yang bebas

53 35 Bukti Misalkan. Berdasarkan Teorema 3.3.1, maka diperoleh sedangkan Akibatnya Jadi, di bawah ukuran peluang, adalah barisan peubah acak yang bebas stokastik identik menyebar normal N(0,1)..

54 Pendugaan Rekursif Pendugaan rekursif diperlukan untuk menduga parameter baru. Pendugaan rekursif meliputi pendugaan untuk state, banyaknya lompatan, lamanya waktu kejadian, dan proses observasi. Notasi (Elliott et al. 1995) Jika adalah sebarang barisan peubah acak yang adapted terhadap tuliskan Sekarang notasikan unnormalized conditional expectation dari jika diketahui sebagai Menurut Teorema Bayes bersyarat (lihat Lema 3.3.2) sehingga karena. Pada proses pendugaan rekursif diambil nilai awal Misalkan adalah barisan peubah acak bernilai skalar, di mana maka akibatnya. Perhatikan suku pertama dari persamaan berikut yaitu Karena =, maka

55 37 Notasi (Elliott et al. 1995) Notasikan Jika diketahui dan, maka

56 38 Menurut Lema 3.2.1, sehingga didapatkan Diperoleh Kemudian jika, maka Jadi, jika pendugaan unnormalized diketahui, maka pendugaan untuk diperoleh dengan menjumlahkan semua komponen. Lebih lanjut, ambil, maka persamaan menjadi Lema (Elliott et al. 1995) 1) Jika, maka 2) Jika, maka

57 39 Bukti 1) Misalkan, maka Jadi,.. 2) Misalkan maka

58 40 Jadi, Lema (Elliott et al. 1995) Misalkan adalah matriks diagonal dengan vektor pada diagonalnya, maka dan

59 41 Bukti Diketahui, maka Karena, sehingga diperoleh dan karena, maka Notasi (Elliott et al. 1995) Untuk sebarang proses yang adapted terhadap, notasikan Teorema (Elliott et al. 1995) Misalkan proses adapted terhadap berbentuk: 1. terukur, 2., di mana fungsi bernilai skalar, dan adalah proses predictable terhadap serta, bernilai skalar. Sedangkan merupakan vektor berdimensi N.

60 42 Maka di mana Bukti Bukti Teorema terdapat pada lampiran Penduga untuk State Menurut Teorema dan jika dipilh mana maka penduga untuk state didefinisikan sebagai berikut di Dapat juga ditulis dalam bentuk pendugaan rekursif untuk unnormalized conditional expectation dari jika diketahui, yaitu,. Bentuk ini disebut unnormalized smoother. Berdasarkan Teorema dan pilih maka diperoleh Penduga Banyaknya Lompatan Jika rantai Markov berpindah dari state, pada waktu, ke state, pada waktu,, maka. Misalkan adalah banyaknya lompatan dari state ke state sampai ke-, maka

61 43 Menurut Teorema dan dengan,, lompatan adalah maka penduga untuk banyaknya Karena maka diperoleh Bentuk unnormalized smoother untuk jika diketahui adalah Dengan memilih dari aplikasi Teorema diperoleh, maka Penduga untuk Waktu Kejadian, maka Misalkan adalah lamanya waktu berada di state sampai waktu ke-k

62 44 Dengan menurut Teorema penduga lama waktu kejadian:, maka Karena, maka Jadi, Sedangkan bentuk unnormalized smoother untuk jika diketahui adalah. Jika Teorema diaplikasikan pada bentuk unnormalized smoother penduga lama waktu kejadiannya, di mana, maka didapatkan

63 Penduga untuk Proses Observasi Untuk menduga ulang vektor varian pada proses observasi ditentukan penduga untuk proses observasi dalam bentuk dan vektor, maka di mana atau. Dengan menggunakan Teorema 3.4.5, di mana nilai, maka didapatkan penduga untuk proses observasi sebagai berikut Bentuk unnormalized smoother dari jika diketahui adalah. Dengan memilih, diperoleh maka berdasarkan Teorema Pendugaan Parameter Pada bagian ini, parameter model diduga dengan menggunakan algoritma Expectation Maximization (EM). Hasilnya berupa parameter dalam bentuk pendugaan rekursif. Algoritma ini dikembangkan oleh Baum dan Petrie (1996) dengan ide dasar sebagai berikut. Misalkan adalah koleksi ukuran peluang yang terdefinisi pada ruang dan kontinu absolut terhadap. Misalkan kemudian definisikan fungsi Likelihood untuk menghitung penduga parameter berdasarkan informasi sebagai

64 46 dan Maximum Likelihood Estimation (MLE) didefinisikan sebagai Secara umum MLE sulit dihitung secara langsung, maka biasanya digunakan algoritma Expectation Maximization (EM). Algoritma EM memberikan suatu metode iteratif untuk mengaproksimasi, dengan prosedur sebagai berikut. Langkah 1. Set dan pilih Langkah 2. [Langkah-E] Set dan hitung, di mana Langkah 3. [Langkah-M] Langkah 4. Ganti dengan dan ulangi langkah 2 sampai kriteria berhenti dipenuhi. Barisan yang dibangkitkan memberikan barisan nilai fungsi likelihood Jensen, yang tak turun. Tentunya, hal ini menurut ketaksamaan dengan kesamaan jika dan hanya jika. disebut pseudologlikelihood bersyarat. Model hidden Markov kontinu dengan waktu diskrit (Elliott et al. 1995) yang diduga parameternya berbentuk di mana adalah peubah acak yang bebas stokastik identik menyebar normal N(0,1). Parameter model diberikan oleh himpunan di mana algoritma EM akan ditentukan himpunan parameter baru, Berikutnya, dengan menggunakan

65 47 di mana, yang memaksimumkan pseudologlikelihood bersyarat Pendugaan Parameter Untuk mengubah parameter menjadi pada rantai Markov, didefinisikan dan definisikan peluang sehingga Lema (Elliott et al. 1995) Bukti Misalkan, maka Jadi,

66 48 Ruas kanan lema Jadi, Dari persamaan (1) dan (2), maka Lema (Elliott et al. 1995) Di bawah ukuran peluang, jika, maka

67 49 Bukti Misalkan maka Akibatnya

68 50 Karena maka Teorema (Elliott et al. 1995)

69 51 Bukti Berdasarkan definisi, fungsi Log-likelihood adalah di mana tidak tergantung pada, dan Sehingga nilai harapan dari fungsi Log-likelihood atau Pseudo-loglikelihood bersyaratnya menjadi di mana parameter harus memenuhi, atau dalam bentuk dinamik

70 52 Bentuk dinamik di atas dapat dituliskan dalam bentuk bersyarat bersyarat, maka dapat ditulis dalam bentuk nilai harapan Oleh karena itu, sekarang masalah optimasi di atas menjadi memilih yang memaksimumkan dengan kendala. Selanjutnya definisikan fungsi Lagrange dan diferensialkan fungsi tersebut terhadap dan sehingga dan Dari dan didapatkan

71 53 Jadi, pilihan optimum adalah Pendugaan Parameter Misalkan ukuran peluang baru dan turunan Radon-Nikodymnya Untuk mengubah parameter menjadi, maka didefinisikan dengan faktor

72 54 Teorema (Elliott et al. 1995) Bukti Dari definisi di atas dan di bawah ukuran peluang baru dari adalah fungsi Log-likelihood

73 dengan bebas terhadap dan nilai harapan bersyaratnya adalah 55 Jika persamaan di atas didiferensialkan terhadap, maka diperoleh Akibatnya didapatkan pilihan optimum dari adalah Pendugaan Parameter Misalkan ukuran peluang baru dan turunan Radon-Nikodymnya Untuk mengganti parameter dengan (ambil tetap), definisikan dengan faktor

74 56 Teorema (Elliott et al. 1995) Bukti Dari definisi di atas, dan di bawah ukuran peluang, fungsi Log-likelihood dari adalah dengan

75 tidak bergantung pada, dan nilai harapan bersyaratnya adalah 57

76 58 Karena maka untuk didapatkan

77 59 Jadi, Pilihan optimum yang diperoleh dari Teorema di atas adalah Berdasarkan observasi sampai waktu ke-k, parameter model yang baru yaitu diberikan oleh persamaan (*), persamaan (**), dan persamaan (***). Nilai dan kemudian dapat dihitung kembali dengan menggunakan parameter yang baru dan data pengamatan yang baru.

78 Nilai Dugaan Nilai dugaan jika diketahui. dihitung dengan menggunakan nilai harapan bersyarat Lema (Nilai Harapan Bersyarat ) Nilai harapan beryarat dari jika diketahui adalah di mana Bukti

79 61 Jadi, 3.7 Algoritma Pendugaan Parameter Diketahui parameter model hidden Markov kontinu dengan waktu diskrit (Elliott et al. 1995) berbentuk Kemudian akan ditentukan parameter model hidden Markov kontinu dengan waktu diskrit di atas yang baru, yang memaksimumkan pseudo-loglikelihood bersayaratnya. Algoritma untuk memperoleh parameter tersebut, yang diperoleh dari Setiawaty dan Kristina (2005) dengan beberapa penambahan, sebagai berikut. Algoritma untuk menentukan parameter Langkah 1: Tetapkan N ( banyaknya state: penyebab kejadian), T ( banyaknya data) dan input data. Langkah 2: Tetapkan nilai awal,

80 62. Langkah 3: Lakukan untuk sampai dengan T. 1. Tetapkan 2. Lakukan untuk sampai dengan. a. Hitung penduga rekursif

81 63 di mana: b. Lakukan untuk sampai dengan Hitung penduga rekursif smoother dengan c. Hitung penduga parameter

82 64 d. Tuliskan e. Tentukan dari persamaan dan dari persamaan. f. Ulangi langkah a sampai dengan langkah e untuk k berikutnya. 3. Beri nilai dan 4. Ulangi langkah 1 sampai dengan langkah 3 untuk berikutnya. Langkag 4: Hitung nilai dan Langkah 5: Untuk sampai dengan, cetak dan.

83 65 DAFTAR PUSTAKA [1]. Baum, L. E. and Petrie, T Statistical inference for probabilistic function of finite state Markov chains, Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 37:

84 66 [2]. Elliott, R. J., Aggoun, L. and Moore, J. B hidden Markov Models. Springer Verlag, New York. [3]. Setiawaty B, Kristina L Pendugaan Parameter Model hidden Markov. Jurnal Matematika dan Aplikasinya, 4 : [4]. Wong, E and Hajek, B Stochastic Process in Engineering System. Springer Verlag, Berlin.

85 65 BAB IV APLIKASI MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU PADA HARGA BERAS Pada bab ini dibahas pemodelan masalah perubahan harga beras. Bagian pertama menjelaskan data input. Pada bagian dua dibahas aplikasi model terhadap kasus banyaknya penyebab kejadian N dan data observasi, sehingga diperoleh kesesuaian model. Pada bagian terakhir dibahas split data sampai didapatkan model terbaik untuk memprediksi harga beras mendatang. Proses perhitungan dan analisa datanya dilakukan dengan program komputasi berbasis pemrograman fungsional, software Mathematica Data Input Penelitian Penelitian ini menggunakan data harga rata-rata beras eceran per minggu, jenis Jembar I dan IR 64 II di Kota Bandung. Data yang digunakan merupakan hasil pengamatan harga rata-rata beras antara bulan Februari tahun 2004 hingga bulan Mei tahun 2009 [21/07/2009]. Perubahan harga beras yang akan dimodelkan selama kurun waktu tersebut dapat dilihat pada gambar 1 grafik berikut. Harga Beras (Rp/ Kg) 8, , , , , , , , Waktu Pengamatan per Minggu (Februari Mei 2009) Gambar 1 Grafik perubahan harga beras jenis Jembar I per minggu Sumber: Badan Pusat Statistik, Statistics Indonesia

86 66 7, , Harga Beras (Rp/ Kg) 5, , , , , Waktu Pengamatan per Minggu (Februari 2004-Mei 2009) Gambar 2 Grafik perubahan harga beras jenis IR 64 II per minggu. Sumber: Badan Pusat Statistik, Statistics Indonesia 4.2 Pemodelan Masalah Perubahan dan Aplikasi pada Harga Beras Beras merupakan komoditas pertanian yang sangat penting. Hal ini tercermin dari konsumsi beras yang hampir mencapai 90% dari nilai konsumsi masyarakat Indonesia. Mengingat pentingnya komoditas ini maka sangat lazim kebijakan perberasan nasional menjadi perhatian utama oleh pemerintah karena tidak hanya menyangkut hajat hidup sebagian besar masyarakat yang sangat tergantung pada komoditas ini, namun juga menyangkut kestabilan pangan. Secara garis besar permasalahan beras tidak terlepas dari permasalahan di bidang produksi, distribusi, dan kebijakan terkait dengan perberasan. Permasalahanpermasalahan ini dapat kita kategorikan sebagai kejadian yang sifatnya berulang dan tidak dapat dipastikan waktunya. Hal ini yang menyebabkan harga rata-rata beras mengalami perubahan yang berfluktuasi. Model hidden markov kontinu dengan waktu diskret (Elliott et al. 1995) adalah suatu model matematis yang dapat menjelaskan perilaku harga beras. Model ini diharapkan lebih fleksibel dalam menggambarkan perubahan-perubahan yang terjadi

87 67 pada harga rata-rata beras, karena pada model ini diperkenankan terjadinya perubahan pada setiap state. Diasumsikan bahwa harga rata-rata beras per minggu dibangkitkan oleh proses pengamatan yang hanya dipengaruhi oleh proses penyebab kejadian yang merupakan rantai Markov dan tidak diamati secara langsung. Faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya perubahan harga rata-rata beras diasumsikan sebagai state dari suatu rantai Markov. Misalkan banyaknya faktor tersebut adalah N. Pada setiap state, data harga rata-rata beras dibangkitkan oleh peubah acak yang menyebar dengan sebaran tertentu pada ruang peluang. Misalkan hubungan antara dan ditetapkan oleh persamaan berikut: Berdasarkan asumsi bahwa penyebab perubahan harga rata-rata beras tidak diketahui atau tidak diamati, berakibat tersembunyi (hidden) di balik data pengamatan harga rata-rata beras. Jadi pasangan merupakan model hidden Markov kontinu dengan waktu diskret (Elliott et al. 1995). Parameter model di atas berbentuk Data pengamatan harga rata-rata beras selama kurun waktu Februari 2004 sampai Mei 2009 berjumlah 275. Dengan menggunakan data tersebut, parameter model diduga dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan pendugaan ulang menggunakan metode Expectation Maximization yang melibatkan perubahan ukuran. Penduga rekursif yang digunakan adalah penduga tanpa smoother (filter) dan penduga smoother. Pada proses pendugaan parameter model, banyaknya penyebab kejadian diambil N = 2,3,4,5,6, sehingga diperoleh model terbaik yang dapat memodelkan dan menjelaskan perubahan harga beras. Untuk proses prediksi harga beras dilakukan split data menjadi dua kelompok. Data harga beras kelompok pertama digunakan untuk membangkitkan parameter

88 68 model terbaik. Kelompok kedua, data harga beras dijadikan sebagai pembanding terhadap harga beras hasil prediksi model. Proses ini berlangsung sampai mendapatkan model prediksi terbaik. Prediksi harga beras dilakukan dengan menggunakan nilai yang diharapkan dan. Harga beras prediksi ini diharapkan mendekati harga beras yang pasar. Prosesnya dikerjakan menurut algoritma pendugaan parameter dan nilai harapan. 4.3 Hasil Program Komputasi dan Interpretasi Model Berdasarkan algoritma pendugaan parameter yang telah dijelaskan pada bab III dan data harga beras di atas, dibuat program komputasi untuk membangkitkan parameter model dengan menggunakan penduga filter dan smoother. Dari proses ini diperoleh model perubahan harga beras dan prediksi. Di samping itu, didapatkan juga nilai perbandingan galat antara harga beras pasar dan prediksi. 1. Model untuk menggambarkan perubahan harga beras a. Beras IR 64 II

89 69 Harga Beras IR 64 II Februari 2004 Mei Harga Pasar ---- Harga Prediski MAPE = % Gambar 3 Grafik model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 2 dengan penduga filter IR 64 II,Filter Gambar 4 Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 2.

90 70 Harga Beras IR 64 II Februari 2004 Mei Harga Pasar ---- Harga Prediski MAPE = % Gambar 5 Grafik model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 2 dengan penduga smoother IR 64 II,Smoother Gambar 6 Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 2.

91 71 Harga Beras IR 64 II Februari 2004 Mei Harga Pasar ---- Harga Prediski MAPE = % Gambar 7 Grafik model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 3 dengan penduga filter IR 64 II,Filter Gambar 8 Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 3.

92 72 Harga Beras IR 64 II Februari 2004 Mei Harga Pasar ---- Harga Prediski MAPE = % Gambar 9 Grafik model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 3 dengan penduga smoother IR 64 II,Smoother Gambar 10 Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 3.

93 73 b. Jembar I Harga Beras Jembar Satu Februari 2004 Mei Harga Pasar ---- Harga Prediski MAPE = % Gambar 11 Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 2 dengan penduga filter Jembar I, Filter Gambar 12 Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 2.

94 74 Harga Beras Jembar Satu Februari 2004 Mei Harga Pasar ---- Harga Prediski MAPE = % Gambar 13 Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 2 dengan penduga smoother Jembar I,Smoother Gambar 14 Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 2.

95 75 Harga Beras Jembar Satu Februari 2004 Mei Harga Pasar ---- Harga Prediski MAPE = % Gambar 15 Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 3 dengan penduga filter Jembar I, Filter Gambar 16 Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 3.

96 76 Harga Beras Jembar Satu Februari 2004 Mei Harga Pasar ---- Harga Prediski MAPE = % Gambar 17 Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 3 dengan penduga smoother Jembar I,Smoother Gambar 18 Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 3.

97 77 Harga Beras Jembar Satu Februari 2004 Mei Harga Pasar ---- Harga Prediski MAPE = % Gambar 19 Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 4 dengan penduga filter Jembar I, Filter Gambar 20 Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 4.

98 78 Harga Beras Jembar Satu Februari 2004 Mei Harga Pasar ---- Harga Prediski MAPE = % Gambar 21 Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 4 dengan penduga smoother Jembar I,Smoother Gambar 22 Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 4.

99 79 Harga Beras Jembar Satu Februari 2004 Mei Harga Pasar ---- Harga Prediski MAPE = % Gambar 23 Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 5 dengan penduga filter Jembar I,Filter Gambar 24 Diagram kotk persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 5.

100 80 Harga Beras Jembar Satu Februari 2004 Mei Harga Pasar ---- Harga Prediski MAPE = Gambar 25 Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 5 dengan penduga smoother Jembar I,Smoother Gambar 26 Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 5.

101 81 Harga Beras Jembar Satu Februari 2004 Mei Harga Pasar ---- Harga Prediski MAPE = 0,9485 % Gambar 27 Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 6 dengan penduga filter Jembar I, Filter Gambar 28 Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 6.

102 82 Harga Beras Jembar Satu Februari 2004 Mei Harga Pasar ---- Harga Prediski MAPE = Gambar 29 Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 6 dengan penduga smoother Jembar I,Smoother Gambar 30 Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 6.

103 83 Dari analisis gambar model perubahan harga beras dan diagram kotak di atas dapat disimpulkan bahwa model hidden Markov kontinu tersebut mampu memodelkan perubahan harga beras IR 64 II dan Jembar I. Fluktuasi harga pasar yang terjadi setiap minggu dapat direspon dengan baik oleh model ini. Secara keseluruhan nilai rata-rata persentase absolut galat (MAPE) yang dibuat oleh model untuk setiap banyaknya kejadian N relatif kecil, yaitu di bawah 4 %. Persentase absolut galatnya banyak berada di kisaran 0 % 6 %. Keakuratan prediksi harga beras seperti itu tergantung dari nilai parameter yang model dibangkitkan. Jika nilai parameter model tersebut dapat memaksimukan harapan harga beras prediksi, maka nilai persentase absolut galat semakin kecil. Penduga smoother ternyata mampu membangkitkan parameter model dengan nilai MAPE yang lebih kecil dibandingkan penduga filter untuk setiap N. Dengan kata lain parameter model yang dibangkitkan penduga smoother lebih baik dari pada penduga filter. Adanya keterkaitan antara nilai N, MAPE, dan dengan penduga parameter serta dipilih model terbaik dijelaskan dalam analisis numerik model berikut. Tabel 1 Perbandingan absolut persentase galat dan koefisien determinasi model untuk masing-masing nilai N dari beras IR 64 II Penduga Filter Penduga Smoother N Min. Absolut Persentase Galat MAPE Maks. Absolut Persentase Galat N Min. Absolut Persentase Galat MAPE Maks. Absolut Persentase Galat

104 84 Tabel 2 Perbandingan absolut persentase galat dan koefisien determinasi model untuk masing-masing nilai N dari beras Jembar I Penduga Filter Penduga Smoother N Min. Absolut Persentase Galat MAPE Maks. Absolut Persentase Galat N Min. Absolut Persentase Galat MAPE Maks. Absolut Persentase Galat Tabel 1 dan 2 di atas menunjukkan bahwa bertambahnya nilai N membuat MAPE semakin kecil nilainya, di mana persentse absolut galat lebih terkonsentrasi pada kisaran 0 % - 6 %, dan nilai mendekati satu, , untuk setiap penduga parameter. Hal ini memberikan interpretasi pada model, yaitu jika jumlah penyebab perubahan harga beras IR 64 II dan Jembar I bertambah banyak, maka harga beras prediksi keduanya semakin mendekati harga pasar. Di samping itu, arti nilai mendekati satu adalah fluktusi harga beras yang terjadi setiap minggu dapat direspon dan dijelaskan oleh model hidden Markov kontinu tersebut dengan baik. Hal lain yang dapat diungkap dari Tabel 1 dan 2, yaitu setiap nilai N bertambah besar maka nilai MAPE atau kisaran nilai persentase absolut galat mengecil. Penduga filter dan smoother menghasilkan nilai-nilai galat ini berbeda. Akan tetapi perbedaannya relatif kecil, yaitu 0 % - 1 %. Perbedaan 0 % - 1 % dalam kasus ini dianggap tidak terlalu mengakibatkan selisih harga beras prediksi berbeda secara signifikan untuk N = 2, 3, 4, 5, dan 6.

105 85 Oleh karena itu, berdasarkan petimbangan lama waktu proses komputasi, keakuratan harga prediksi, dan kesederhanaan model dipilih model dengan N = 3 sebagai model terbaik. 2. Model untuk menggambarkan prediksi harga beras mendatang Model terbaik untuk menggambarkan prediksi harga beras mendatang dipilih model dengan N = 3 untuk beras IR 64 II dan N = 2 untuk Jembar I. Proses berikutnya menginput data. Data harga beras kelompok pertama digunakan untuk membangkitkan parameter model. Setelah didapatkan model terbaik dilanjutkan proses prediksi. Kelompok data harga beras yang kedua digunakan sebagai pembanding bagi harga beras hasil prediksi model. Perbandingan kedua harga beras tersebut dapat dilihat pada gambar berikut. a. Prediksi harga beras IR 64 II selama 10 minggu Harga Pasar ---- Harga Prediski MAPE = % Gambar 31 Grafik model prediksi harga beras IR 64 II. Beberapa hal yang dapat menjelaskan grafik di atas. 1. Selisih antara harga pasar dan prediksi: Minimum: Rp Rata-rata: Rp Maksimum: Rp Persentase galat: Minimum persentase absolut galat: %

106 86 MAPE: % Maksimum persentase absolut galat: % b. Prediksi harga beras Jembar I selama 10 minggu Harga Pasar ---- Harga Prediski MAPE = % Gambar 32 Grafik model prediksi harga beras Jembar I. Keterangan di bawah ini menjelaskan lebih lanjut grafik di atas. 1. Selisih harga antara harga pasar dan prediksi: Minimum: Rp Rata-rata: Rp Maksimum: Rp Persentase galat: Minimum persentase absolut galat: % MAPE: % Maksimum persentase absolut galat: %

107 87 Adapun sebaran galatnya dapat dilihat pada diagram kotak berikut ini IR 64 II Jembar I Gambar 33 Diagram kotak persentase absolut galat harga beras IR 64 II dan Jembar I Dari hasil seluruh analisis di atas dapat disimpulkan bahwa model hidden Markov kontinu dengan waktu diskrit dapat memprediksi harga beras IR 64 II dan Jembar I mendatang dan dapat memodelkan harga beras keduanya dengan baik.

108 88 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Dari hasil penelitian diambil kesimpulan sebagai berikut. 1. Model hidden Markov kontinu dengan waktu diskret (Elliot et al. 1995) dapat memodelkan dan menjelaskan perilaku perubahan harga beras dengan baik. 2. Model terbaik IR 64 II mempunyai MAPE = 1.78 % dengan banyak penyebab kejadian N = 3, dan model terbaik Jembar I nilai MAPE = 3.27 % dengan N = Model prediksi terbaik IR 64 II berada pada nilai MAPE = %, N = 3, dan model prediksi terbaik Jembar I dengan MAPE = 1.12%, N = Saran Penentuan nilai awal parameter model yang optimal perlu dikaji formulasinya.

109 88 DAFTAR PUSTAKA Argesti A, Finlay B Statistical Methods for the Social Sciences. Prentice Hall. New Jersey Anton H, Rorres C Aljabar Linear Elementer. Versi Aplikasi. Erlangga. Jakarta. Banachewicz K, Lucas A Quantile Forecasting for Credit Risk Management Using Possibly Misspacified Hidden Markov Model. Journal of Forecasting. 27: Billingsley P Probability and Measure. John Willey & Sons. New York. Bolen NPB Valuing Options in Regime-Switching Models. Journal of Derivatives 6: [BPS] Badan Pusat Statistik. Statistics-Indonesia WEEKLY PRICE SERIES, Retail Price of Several Essential Commodities of Provincial City in Indonesia. [21/07/2009]. Campbell SD Regime Switching in Economics [Dissertation]. University of Pennsylvania. Casella G, Berger RL Statistical Inference. Wadsworth & Brooks/Cole, Pasific Grove. California. Chen Z, Forsyth PA Implications of a Regime-Switching Model on Natural Gas Stronge Valuation and Optimal Operation. University of Waterloo Canada. Dunbar K, Edwards AJ Empirical Analysis of Credit Risk Regime Switching and Temporal Conditional Default Correlation in Credit Default Swap Valuation: The Market Liquidity Effect. Economics Working Papers. University of Connecticut. Elliot RJ, Aggoun L, Moore JB Hidden Markov Models. Estimation and Control. Springer-Verlag. New York. Elliot RJ. Van der Hoek J An Application of Hidden Markov Model to Asset Allocation Problems. Journal Finance and Stochastics. 1: Ghahramani S Fundamental of Probability with Stochastic Process. Pearson Prentice Hall New Jersey.

110 89 Grimmet GR, Stirzaker DR Probability and Random Processes. Third Edition. University Press. Oxford. Hamilton JD A New Approach to the Economic Analysis of Nonstationary Time Series and the Business Cycle. Econometrica 57: Hamilton JD, Lin G Stock Market Volatility and the Business Cycle. Journal of Applied Econometrics 11: Hogg RV, McKean JW, Craig AT Introduction to Mathematical Statisics. Prentice Hall, Engelwood Cliffs. New Jersey. Jamal Kajian Model Hidden Markov Diskret dan Aplikasinya pada Harga Gabah Kering Panen. [Tesis]. IPB. Keskinen L, Oller LE A hidden Markov Model as a Dynamic Bayesian Classifier, with an Application to Forecasting Business Cycle Turning Points. Working Paper. No. 59. National Institute of Economic Research. Landen C Bond Pricing in a Hidden Markov Model of the Short rate. Journal Finance and Stochastics. 4: Manton J, Muscatelli A, Krishnamurthy V, Hurn S Modelling Stock Market Excess Returns by Markov Modulated Gaussian Noise. Working Papers. No University of Glasgow. Morger F International Asset Allocation and Hidden Regime-Switching [Dessertation]. Universitat Zurich. Nurfathoni N Kajian Model Hidden Markov Kontinu dan Aplikasinya pada Harga Gabah Kering Panen. [Tesis]. IPB. Protter P Stochastic Integration Differential Equations. Springer-Verlag. New York. Ross SM Introduction to Priobability Models. Ninth Edition. Academic Press. Elsevier Stochastic Process. John Willey & Sons. New York. Schaller H, Van Norden S Regime Switching in Stock Market Returns, Applied Financial Economics. Taylor and Francis Journals. 7: Schindlmayr G A Regime-Switching Model for Electricity Spot Prices. Working paper, EnBW Trading GmbH.

111 90 Setiawaty B, Kristina L Pendugaan Parameter Model Hidden Markov. Jurnal Matematika dan Aplikasinya 4 : Shreve SE Stochastic Calculus for Finance I. Springer-Verlag. New York. Wei WWS Time Series Analysis. Addison Wesley Publishing Company. California. Zampolli F Optimal monetary policy in a regime-switching economy: the response to abrupt shifts in exchange rate dynamics. Working Paper. No.297. Bank of England.

112 92 Lampiran 1 Bukti Teorema Misalkan proses ; adapted- yang berbentuk: 1. terukur. 2.,, 1, dimana, skalar, dan,, adalah proses predictable-. Sedangkan merupakan vektor berdimensi. Maka,,,,,, di mana. Bukti Karena 0 dan di bawah ukuran peluang, bersifat bebas stokastik identik, maka, 0. 1, 1, 1, 1.

113 93 Jadi,, 1, 1 (1) Suku pertama dari persamaan (1) yaitu, 1 1, 1 1,, 1 1,, 1 1. Sehingga didapatkan persamaan, 1 1 (2) Suku kedua dari persamaan (1) yaitu, 1,, 1, 1,, 1, 1,, 1 0, 1,

114 94 Sehingga didapatkan persamaan, 1 1. (3) Dari persamaan (2), (3), Lema 3.4.3, dan Notasi diperoleh 1. Karena, 1, maka, 1 =,,,, 1,,,,. Jadi,,,,,,, di mana.

115 95 Lampiran 1 Bukti Teorema Misalkan proses ; adapted- yang berbentuk: 1. terukur. 2.,, 1, dimana, skalar, dan,, adalah proses predictable-. Sedangkan merupakan vektor berdimensi. Maka,,,,,, di mana. Bukti Karena 0 dan di bawah ukuran peluang, bersifat bebas stokastik identik, maka, 0. 1, 1, 1, 1.

116 96 Jadi,, 1, 1 (1) Suku pertama dari persamaan (1) yaitu, 1 1, 1 1,, 1 1,, 1 1. Sehingga didapatkan persamaan, 1 1 (2) Suku kedua dari persamaan (1) yaitu, 1,, 1, 1,, 1, 1,, 1 0, 1,

117 97 Sehingga didapatkan persamaan, 1 1. (3) Dari persamaan (2), (3), Lema 3.4.3, dan Notasi diperoleh 1. Karena, 1, maka, 1, 1,, 1,,,, 1,,,, 1,,,, 1,,,, 1

118 98,,,,. Jadi,,,,,,, dimana.

119 91 DRAFT TUGAS AKHIR KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV DISKRET DAN APLIKASINYA PADA DNA N U R M A I L Y SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009