Jural Matematka Mur a eraa ol 6 No Ju : 38-46 ORMULA BINE AN JUMLAH SUKU PERAMA PAA GENERALISASI BILANGAN IBONACCI ENGAN MEOE MARIKS Puramayat hresye Na mah Hrat 3 [] Alum Mahasswa PS Matematka MIPA Uverstas Lambug Magkurat [3] PS Matematka MIPA Uverstas Lambug Magkurat Jl Je A Ya km 3 8 Baarbaru ABSRAK Blaga boacc efska sebaga barsa blaga yag sukusukuya meruaka eumlaha suku sebelumya Bet aa tahu 87 megemukaka suatu formula yag mamu meghtug suku ke- blaga tersebut lebh ceat taa harus meghtug ulag sebayak kal yag kemua keal ega formula atau rumus Bet uua ar eelta aalah memelaar terbetukya formula Bet membetuk geeralsas ar formula Bet aa blaga boacc bereraat- mecar umlah suku ertama aa blaga boacc bereraat- ega eekata alabar lear khususya egguaa matrks Kata kuc: matrks boacc formula Bet agoalsas matrks aermoe PENAHULUAN Blaga boacc aat tuukka sebaga barsa blaga: 3 8 3 34 89 44 33 ega utuk Berkut berka formula Bet utuk meghtug suku ke- ar blaga boacc tersebut: ega 68 a 68 Paa eelta euls tertark utuk memelaar bagamaa terbetukya formula Bet ega eekata alabar ler khususya megguaka metoe matrks Selautya aka bahas ula bagamaa terbetukya geeralsas ar blaga boacc yag sebut blaga boacc bereraat- a bagamaa mecar umlah suku ertamaya Berkut berka efs ar Geeralsas tersebut: 3 utuk = 3 a ega kos 38
Jural Matematka Mur a eraa ol 6 No Ju : 38-46 INJAUN PUSAKA Matrks aermoe Matrks aermoe kealka oleh matematkawa Pracs berama Alexare-héohle aermoe aa tahu 7 Ia meruaka salah satu orag yag ertama meuls tetag sfat asar ar eterma msalka meruaka matrks aermoe m yag tuukka sebaga berkut x x x x x x xm xm xm xm xm xm beberaa euls kaag-kaag meefska matrks aermoe sebaga trasos ar ersamaa Matrks serg guaka utuk membuktka beberaa embukta yag berkata ega eterma matrks [] Blaga boacc Blaga boacc berawal ar sebuah kasus yag kemukaka oleh seorag matematkawa Itala boacc alam bukuya yag beruul Lber Abac Kasus tu elaska sebaga berkut: seasag kelc mua ata a beta tematka suatu ulau asumska bahwa kelc tak aka melahrka sebelum berumur bula Kemua setelah berumur bula seta asag kelc aka melahrka seasag kelc seta bula Pertayaaya beraa bayak asag kelc yag aa saa setelah bula ka asumska bahwa kelc tak aka erah mat efs [3] Blaga boacc aalah blaga yag aat tuukka oleh barsa: 3 8 3 34 89 44 33 efska sebaga barsa blaga yag suku-sukuya meruaka eumlaha suku sebelumya ega meyataka suku ke- ar blaga boacc tersebut utuk ega: a 3 Jumlah Suku Pertama Blaga boacc Paa suatu barsa teraat stlah eret yatu utuk mecar umlah suku ertama Berkut berka tabel erbaga atara barsa boacc a eret boacc 39
Jural Matematka Mur a eraa ol 6 No Ju : 38-46 abel Barsa boacc aa suku ertama 3 4 6 7 8 9 3 8 3 34 abel S eret boacc aa suku ertama S S S S 3 S 4 S S 6 S 7 S 8 S 9 S 4 7 33 4 88 44 Jumlah suku ertama blaga boacc aat tuukka ega ettas berkut: S [] 4 Matrks boacc Berkut berka efs ar matrks boacc a agkat ar matrks boacc tersebut efs 4 [6] Matrks boacc efska sebaga: ega meruaka blaga boacc Maka agkat ar matrks boacc Geeralsas Blaga boacc Barsa blaga boacc aat geeralsas mea suatu ola blaga baru yag selautya sebut blaga boacc bereraat- Berkut berka efs ar geeralsas blaga boacc tersebut efs [] Geeralsas blaga boacc yag kemua sebut ega blaga boacc bereraat efska sebaga: utuk ega kos Jka msalka maka barsa blaga fbacc bereraat- meruaka barsa boacc yag keal sebelumya Berkut berka tabel megea barsa ar geeralsas blaga boacc abel 3 Barsa blaga boacc bereraat 4 a 3 N 3 4 6 7 8 9 3 4 8 6 3 64 8 6 4 48 496 3 8 3 34 89 44 33 3 4 6 9 3 9 8 4 6 3 3 4 7 4 9 8 4 3 4 6 8 4
Jural Matematka Mur a eraa ol 6 No Ju : 38-46 4 6 Geeralsas Matrks boacc Berasarka uraa yag telah elaska sebelumya megea matrks boacc maka matrks tersebut aat geeralsas berasarka efs yag aa Berkut berka efs ar geeralsas matrks boacc efs 6 [6] Geeralsas matrks ar geeralsas blaga boacc bereraat- =3 efska sebaga matrks berore + + sebaga: a matrks agkat efska sebaga ] [ a utuk a utuk 3 MEOE PENELIIAN Metoe yag guaka alam eelta bersfat stu lteratur yatu megumulka memelaar a memaham berbaga refres yag berkata ega alabar ler matrks matrks boacc formula Bet a geeralsas aa blaga boacc lautka ega membuktka beberaa teorema yag erluka a meyelesaka cotoh soal yag terkat 4 HASIL AN PEMBAHASAN 4 Proses erbetukya ormula Bet aa Blaga boacc Berasarka efs blaga fboacc aat betuk sstem ersamaa ler ega ersamaa utuk a megubahya ke ersamaa matrks sebaga berkut:
Jural Matematka Mur a eraa ol 6 No Ju : 38-46 4 ega a meruaka la ege ar Karea maka formula lah sebut ega formula Bet 4 Geeralsas ormula Bet aa Blaga boacc bereraat- Geeralsas matrks ar geeralsas blaga boacc bereraat- 3 efska sebaga matrks berore + + sebaga: a matrks agkat efska sebaga ] [ a utuk a utuk Lemma 4 Persamaa karakterstk ar blaga boacc bereraat- x x tak memlk akar kembar utuk meruaka blaga asl Msal f aalah karakterstk olomal ar geeralsas matrks boacc maka f a ersamaa karakterstkya aalah Msalka meruaka la ege ar matrks ar Lemma 3 aat ketahu bahwa buka meruaka akar
Jural Matematka Mur a eraa ol 6 No Ju : 38-46 43 kembar atau aat kataka berbea sehgga aat agoalsas msalka meruaka matrks aermoe berore yag tuukka sebaga berkut Selautya berka ula k a meruaka matrks yag eroleh ar matrks ega meggat kolom ke- ega matrks k eorema 4 Jka meruaka suku ke- ar blaga boacc bereraat maka et et maa ] [ a utuk a utuk Bukt: Karea aat agoalsas a asumska meruaka matrks vertbel sehgga ega meruaka matrks agoal yag memuat la-la ege Karea terbukt sehgga bear bahwa teraat matrks vertbel sehgga a berakbat ar hasl erhtuga eroleh SPL berkut utuk mecar la : Ja ega megguaka atura Cramer eroleh la sebaga berkut:
Jural Matematka Mur a eraa ol 6 No Ju : 38-46 et et utuk seta Akbat lagsug ar teorema tersebut aatka suatu kesmula Jka meruaka suku ke- ar blaga boacc bereraat maka: et et et et ega atau Persamaa lah yag sebut geeralsas ar formula Bet aa blaga boacc bereraat- 43 Jumlah Suku Pertama ar Geeralsas Blaga boacc Bereraat- efs 43 Utuk msal t meuukka matrks berore t t t ega t t utuk a utuk laya atau ega matrks berukura yag telah efska sebelumya eroleh ersamaa karakterstk matrks aalah sehgga aat agoalsas efs 43 Matrks C berore yag tuukka S C S S maa matrks telah efska sebelumya eorema 433 Jka berka matrks a C berukura maka utuk ; C 44
Jural Matematka Mur a eraa ol 6 No Ju : 38-46 msalka matrks R a masg-masg berore sebaga berkut R ega meruaka la ege ar matrks utuk Selautya ega meguaka eksas kofaktor seaag bars ertama terlhat bahwa et R et maa meruaka matrks aermoe Karea meruaka matrks vertbel sehgga R uga vertbel Kemua karea aat agoalsaska maka aat asumska R R a terbukt R R maka eryataa R R bear berakbat R R Paa eorema 333 telah terbukt bahwa C maka ersamaa R R aat tuls sebaga CR R eorema 434 Jka S meruaka umlah suku ertama ar geeralsas blaga boacc bereraat maka S Bukt: ketahu ar hasl erkala matrks atara matrks C a R bahwa R sehgga aat betuk ersamaa berkut C S Selautya ersamaa tersebut aat tuls sebaga berkut: S Ja S KESIMPULAN Proses terbetukya formula Bet aa blaga boacc ega metoe matrks yatu: a Membetuk ua ersamaa lear berasarka efs blaga boacc a megubahya ke ersamaa matrks sehgga eroleh ersamaa umum: 4
Jural Matematka Mur a eraa ol 6 No Ju : 38-46 4 b Meghtug ega megguaka matrks yag meruaka matrks agoal yag memuat la-la ege ar matrks a matrks S yag meruaka matrks yag kolom-kolomya meruaka vektor-vektor ege ar Sehgga eroleh: S S 4 c Mesubsttus ersamaa 4 ke ersamaa 4 sehgga terbetuk formula Bet: ega a Berkut geeralsas ar formula Bet aa blaga boacc bereraat-: et et et et ega atau a meruaka matrks yag eroleh ar matrks aermoe ega meggat kolom ke- ega matrks k 3 Jumlah suku ertama aa blaga boacc bereraat- yataka ega formula berkut: S 6 AAR PUSAKA [] Ato H 994 Alabar Ler Elemeter eremaha Patu Slaba a I Nyoma Susla Erlagga Jakarta [] Ayres 984 Matrks eremaha I Nyoma Susla Erlagga Jakarta [3] ula RA 997 he Gole Rato a boacc Numbers Wor Scetfc Ute State of Amerca [4] ralegh JB 99 Ler Algebra Aso-Wesley Ute State of Amerca [] Klc E 7 Euroea Joural of Combatorcs he Bet ormula sums a reresetatos of geeralze boacc -umbers OBB EU Uversty of Ecoomcs a echolog Mathematcs eartemet 66 Sogutozu Akara urkey [6] Stakhov AP 6 Chaos Soltos & ractals boacc Matrces A Geeralzato of he Cass ormula a A New Cog heory agarog State Uversty of Rao Egeerg Rusa 46