PENGURAIAN PENDAPATAN GABUNGAN DUA PRODUK DARI SUATU PERUSAHAAN

PENGURAIAN PENDAPATAN GABUNGAN DUA PRODUK DARI SUATU PERUSAHAAN Thomas J. Kakia Fakultas Ilmu Komputer Universitas Gunadarma Jl. Margonda 100 Pondok Cina Depok ABSTRAK Penguraian pendapatan atau pendapatan dalam usaha kehidupan sehari-hari dari suatu perusahaan sangat tergantung juga pada model optimasi ang terbaik untuk digunakan. Distribusi marginal dapat digunakan untuk memodelkan dan menguraikan pendapatan gabungan. Distribusi probabilitas marginal dapat menjelaskan beberapa variabel acak untuk menentukan satu nilai angka tertentu dari distribusi marginal tersebut. Gabungan pendapatan dua produk A dan B dari suatu perusahaan dapat diuraikan melalui fungsi gabungan probabilitas bivariat pada semua nilai ang dapat diperhitungkan. Pendapatan dari masing-masing produk dengan demikian dapat diperhitungkan dengan cara oenguraian melalui distribusi gabungan pada fungsi densitas masingmasing. Penguraian distribusi marginal gabungan pendapatan dari kedua produk selanjutna akan bermanfaat dalam penentuan nilai rata-rata (ekspektasi) dan internal kepercaaan dari gabungan pendapatan kedua produk tersebut. Kata Kunci : Gabungan Pendapatan, Distribusi Marginal PENDAHULUAN Dalam kehidupan sehari-hari perusahaan besar maupun kecil akan selalu membahas dan meneliti pendapatan dari hasil jerih paah ang sudah dapat dilaksanakan. Pendapatan ang dihasilkan perusahaan dari produk-produkna dapat juga dikaitkan dan diuraikan melalui suatu distribusi probabilitas marginal ang dapat menguraikan banakna variabel acak untuk menentukan satu nilai angka tertentu dari distribusi marginal tersebut. Sebagai variabel acak diskret, dan dapat diuraikan melalui gabungan dari fungsi probabilitas bivariat pada semua nilai ang dimungkinkan dan akan dapat dijabarkan seperti variabel random ang dihasilkan dari probabilitas univariat fung-si. Demikian juga apabila dan adalah variabel random kontinu, maka proses kumulatif dengan integralna melalui fungsi probabilitas 156 JURNAL EKONOMI & BISNIS NO. 1, Jilid 9, Tahun 2004

densitas bivariat ang diperoleh dari semua nilai ang mungkin dapat dihasilkan dari univariat probabilitas densitas fungsi. PEMBAHASAN Penguraian fungsi distribusi probabilitas densitas bivariate merupakan gabungan dari dua distribusi densitas sebagai variabel random dan. Variabel random dan ini merupakan produk 1 dan 2. Beberapa definisi akan diperlukan sebelum melakukan penguraian. 1. Definisi I Diberikan dan adalah dua variabel random diskret dengan fungsi gabungan probabilitas: p (,, maka fungsi probabilitas marginal dari dan akan dirumuskan dengan : p X () = p Y ( = p (, p (, (1) 2. Definisi II Diberikan X dan Y adalah dua variabel random kontinu dengan fungsi gabungan probabilitas densitas f(,, maka fungsi probabilitas densitas marginal dari X dan Y dirumuskan dengan : f () = f ( = f (, d f (, d (2) Dengan demikian akan dapat disusun variabel random gabungan kontinu ang menunjukan fungsi distribusi kumulatif [F(,]. F (, disebut juga dengan distribusi kumulatif marginal dari dan. Fungsi distribusi kumulatif ini dapat diuraikan sebagai berikut: p(x ) = F () = f ( t, d dt 157 JURNAL EKONOMI & BISNIS NO. 1, Jilid 9, Tahun 2004

p(y = F ( = F () = f ( t) dt (3) = F(, ) f (, t) d dt F ( = f ( t) dt (4) = F(, Distribusi kumulatif marginal dari dapat diuraikan dengan menatakan sebagai batas atas dan di dalam fungsi distribusi gabungan dari dan. Demikian juga dapat dilakukan untuk variabel random dalam fungsi distribusi marginal. Dalam kejadian statistikal independen apabila kedua variabel random dan bergabung dalam probabilitas gabungan distribusi adalah sama dengan hasil dari probabilitas marginal kedua distribusi tersebut, dan juga harus dapat dinatakan sebagai dua variabel random ang independen. Dengan demikian perlu juga konsistensi dalam pengertian untuk statistikal independen dari variabel random dengan Joint Probabilitas P(a < < b, c < < d) adalah sama dengan hasilna dari probabilitas individual aitu : P(a < < b) dan P(c < < d) sebagai pengertian lainna. 3. Definisi III Diberikan dan adalah dua variabel random ang mempunai distribusi gabungan dapat dikatakan sebagai bebas secara statistik bila dan hana bila : p(, = p X(). p Y( untuk dan Diskret f(, = f X(). f Y( untuk dan Kontinu Untuk semua dan, dimana p(, dan f(, secara berturutturut adalah probabilitas bivariate dan fungsi densitas dinatakan bahwa p (), p (, f () dan f Y( adalah probabiltas marginal ataupun fungsi-fungsi densitas ang sebenarna. Selanjutna bila diberikan variabel random kontinu dengan fungsi gabungan probabilitas densitasna f(,, maka untuk nilai ekspektasi dari suatu fungsi linear dari dan dapat dirumuskan dengan: KAKIAY, PENGURAIAN PENDAPATAN 158

E(a + b = ( a + b. f (, d d = f (, d d + b a f (, d d = ae() + be( (5) Rumus (5) menunjukkan bahwa variabel dan mempunai nilai a dan b ang konstan. Varians dari fungsi linear dan adalah : Var(a + b = E(a + b 2 [E(a + b] 2 = E(a 2 2 + 2ab + b 2 2 ) [ae() + be(] 2 = a 2 E( 2 ) + 2abE (, + b 2 E( 2 ) a 2 E( 2 ) - 2abE () E( - b 2 [E(] 2 = a 2 var () + b 2 var ( + 2a.b Cov(, = 0 Proses perumusan ini akan menghasilkan 2 a.b Cov(, = 0, karena kedua variabel random dan adalah bebas secara statistik ang dapat dirumuskan menjadi : Var(a + b = a 2 Var() + b 2 Var( (6) Ekspektasi dari dua variabel random gabungan distribusi probabilitas. Varians dari dua variabel random gabungan distribusi probabilitas. Rumus (5) digunakan untuk menghitung ekspektasi dua variabel random gabungan distribusi probabilitas. Persamaan (6) digunakan untuk menghitung varians dua variabel random gabungan distribusi probabilitas. ILUSTRASI Penggabungan distribusi probabilitas marginal ini telah digunakan untuk menghitung pendapatan dari 2 produk ang dihasilkan oleh suatu perusahaan. Kedua produk disimbolkan sebagai A dan B. Berdasarkan pengalaman beberapa bulan sebelumna volume penjualan produk A tidak mempunai pengaruh sama sekali pada volume penjualan produk B. Pendapatan bulanan dari produk A sebesar 10% dalam bentuk dolar, dan 15% dalam bentuk dolar dari produk B. Selanjutna diketahui ratarata penjualan produk A sebesar $10.000 per bulan, dengan standar deviasina $ 2.000 dan demikian juga rata-rata penjualan dari produk B sebesar $ 8.000 per bulan dengan standar deviasi sebesar $ 1.000. Data ini akan digunakan untuk menentukan rata-rata gabungan distri- 159 JURNAL EKONOMI & BISNIS NO. 1, Jilid 9, Tahun 2004

busi marjinal penjualan produk A dan B, varians dam standar deviasi, serta selang kepercaaan untuk = 5%. Penentuan rata-rata gabungan pendapatan dilakukan menggunakan persamaan (5). Data ekspektasi pendapatan per unit produk A dan B telah diketahui dan diringkaskan sebagai berikut: E() = 10.000 ; E( = 8.000 S.D () = 2.000 ; S.D ( = 1.000 a = 0,10 ; b = 0,15 Nilai rata-rata fungsi linearna adalah: E(a + b = ae() + be( = 0,10(10.000) + 0,15(8.000) = 1.000) +1.200 = 2.200 Perhitungan ini menunjukkan bahwa rata-rata gabungan pendapatan produk A dan B perusahaan tersebut adalah US$ 2.200. Standar deviasi pendapatan gabungan produk A dan B dihitung menggunakan rumus (6). Var(a + b = a 2 Var() + b 2 Var( = (0,10) 2 (2.000) 2 + (0,15) 2 (1.000) 2 = (0,01) (4.000.000) + (0,0225) (1.000.000) = 40.000 + 22.500 = 62.500 Varians pendapatan gabungan adalah US$ 62.500. Sedangkan standar deviasi adalah 250 Selang kepercaaan rata-rata gabungan pendapatan dihitung menggunakan rumus di bawah. Rumus itu daoat digunakan dengan asumsi data ang diperoleh berdistribusi normal. Data ang dikumpulkan cukup banak (n 30), dengan demikian asumsi kenormalan dipenuhi. C.I. = X ± ( σ Z) C.I. = 2.200 ± (250 0,96) C.I. = 2.200 ± 240 Selang kepercaaan bagi rata-rata gabungan pendapatan kedua produk adalah US$ 1.980 US$ 2.440. PENUTUP Pendapatan gabungan dua produk dapat dihitung menggunakan prinsip fungsi distribusi probabilitas densitas bivariaat. Fungsi distribusi probabilitas densitas bivariat dibentuk dari fungsi probabilitas marjinal dan fungsi probabilitas densitas marjinal. DAFTAR PUSTAKA George C. Canavos. 1984. Applied Probabilit and Statistical Methods. Little, Brown and Compan. Copright and Printed Boston, USA. Lawrence L. Lapin. 1973. Statistic For Modern Business Decisions. Harcourt Brace. Jovanovich Inc. New York, USA. Lman Ott, 1984. An Introduction to Statistical Methods and Data Analsis. Second Edition. Du- KAKIAY, PENGURAIAN PENDAPATAN 160

burr Press. PWS Publishers. 20 Park Plaza. Boston. USA. Meers.1970. Introduction Probabilit and Statistical Application. Second Edition. Additional Wesle Publishing Compan, Inc. Copright Washington. USA. 1970. Mosteller. F., R.E.K. Rourke, and. G.B. Thomas Jr. 1973. Probabilit With Statistical Applications. Second Edition. Addision Wasle Publishing Compan. Massachusetts. USA. 161 JURNAL EKONOMI & BISNIS NO. 1, Jilid 9, Tahun 2004