4.1 Algoritma Ortogonalisasi Gram-Schmidt yang Diperumum

BAB 4 ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM Diberikan sebarang barisan hingga vektor di ruang Hilbert berdimensi hingga. Pada bab ini akan diberikan algoritma untuk menghitung frame Parseval pada subruang yang dibangun oleh barisan vektor yang berhingga tersebut, sambil tetap mempertahankan sifat redundancy-nya. Di bagian akhir diberikan beberapa contoh penerapan algoritma tersebut. 4.1 Algoritma Ortogonalisasi Gram-Schmidt yang Diperumum Ortogonalisasi Gram-Schmidt merupakan algoritma standar untuk mendapatkan basis ortogonal. Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam dan {v 1, v 2,..., v n } adalah basis bagi V. Kita bentuk basis ortogonal {w 1, w 2,..., w n } untuk V dengan menggunakan v 1, v 2,..., v n. Pertama, bentuk w 1 = v 1 ( 0). Untuk k dengan 1 < k n 19

BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 20 kita bentuk w k secara induktif, melalui: w k = v k j=1 v k, w j w j, w j w j. Lebih jauh, w k = 0 jika dan hanya jika v k span {w 1,..., w k 1 }. Diberikan ruang Hilbert H berdimensi m dan barisan vektor f = (f i ) n H, dengan m < n. Kita bisa saja melakukan ortogonalisasi Gram-Schmidt yang akan menghasilkan basis ortogonal untuk subruang ini disertai sejumlah maksimal vektor nol. Akan tetapi, redundancy adalah bagian terpenting dari frame yang ingin kita pertahankan. Untuk itu, kita akan memperumum ortogonalisasi Gram-Schmidt agar dapat menghasilkan frame Parseval yang bukan merupakan basis ortogonal; dan lebih jauh tetap mempertahankan redundancy secara tepat. Berikut ini, akan diberikan algoritma untuk menghitung frame Parseval g = (g i ) n H untuk span {(f i ) n }. Untuk selanjutnya kita akan menyebut algoritma ini sebagai prosedur GGSP (Generalized Gram-Schmidt orthogonalization to compute Parseval frames). Misalkan Ω menyatakan pemetaan (f i ) n (g i ) n dari suatu barisan vektor di H ke barisan vektor yang lain di H yang diberikan oleh prosedur GGSP. Kita juga akan menggunakan notasi ((f i ) n, g) := (f 1,..., f n, g) untuk (f i ) n H dan g H. Dari Teorema 21 diketahui bahwa menerapkan S 1/2 pada barisan vektor (f i ) n H akan menghasilkan frame Parseval, dengan S menyatakan operator frame untuk barisan ini. Dalam prosedur GGSP, pada setiap iterasi, saat kita menambahkan satu vektor baru yang bergantung linier terhadap vektor-vektor lain yang telah dimodifikasi, kita menerapkan S 1/2 ke vektor-vektor tersebut dan vektor tambahannya, dimana dalam hal ini S menyatakan frame operator untuk himpunan vektor yang baru ini. Jika yang kita tambahkan adalah vektor yang bebas linier, kita mengortogonalisasi satu vektor ini menggunakan langkah Gram-Schmidt. Jadi, prosedur GGSP adalah suatu perumuman dari ortogonalisasi Gram-Schmidt.

BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 21 Prosedur GGSP (n, f; g) 0 untuk k := 1 hingga n lakukan 1 mulai 2 jika f k = 0 maka 3 g k := 0; 4 jika tidak 5 mulai 6 g k := f k k 1 j 1 f k, g j g j ; 7 jika g k 0 maka 8 g k := 1 g k g k; 9 jika tidak 10 mulai 11 untuk i := 1 hingga k 1 lakukan ) g i :=g i + 1 1 1+ f 1 g i, f k f k ; k 2 f k 2 ( 12 g k := 1 1+ f k 2 g k; 13 akhiri; 14 akhiri; 15 akhiri; akhiri. Teorema berikut ini akan menunjukkan bahwa prosedur GGSP tidak hanya menghasilkan frame Parseval untuk span {(f i ) n }, tetapi bahkan pada setiap iterasi juga menghasilkan frame Parseval spesial untuk span { (f i ) k }, k = 1,..., n. Teorema 22. Misalkan n N dan (f i ) n H. Maka, untuk setiap k {1,..., n} barisan vektor Ω((f i ) k ) adalah frame Parseval untuk span { } (f i ) k = span { Ω((f i ) k ) }. Lebih khusus, untuk setiap k {1,..., n} berlaku kondisi berikut ini. 1. Jika f k span { f i ) k }, maka Ω((f i ) k ) = (S 1/2 (Ω((f i ) k 1 ), f k)),

BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 22 Dengan S adalah operator frame untuk (Ω((f i ) k 1 ), f k). 2. Jika f k / span { (f i ) k }, maka dan Ω((f i ) k ) = (Ω((f i ) k 1 ), g k), g k H, g k = 1 g k Ω((f i ) k 1 ). Bukti. Kita akan membuktikan klaim pertama dengan induksi dan sementara itu di setiap langkah akan kita buktikan bahwa, secara khusus, klaim (i) dan (ii) dipenuhi. Pertama, misalkan l menyatakan bilangan terkecil di {1,..., n} dengan f l 0. Jelas bahwa untuk setiap k {1,..., l 1}, himpunan vektor g k yang dibangun (lihat baris 3 dari prosedur GGSP) membentuk frame Parseval untuk span { (f i ) k } = 0 dan karena itu (i) dipenuhi. Hipotesis (ii) tidak berlaku untuk hal ini. Berikutnya perhatikan bahwa dalam kasus k = l kita peroleh g k := 1 f k f k (baris 8), yang jelas merupakan frame Parseval untuk span { (f i ) k } = span {fk }. Dengan mudah dapat dilihat bahwa (i) dan (ii) dipenuhi. Sekarang perhatikan untuk k {l + 1,..., n}, ambil k tetap. Asumsikan bahwa barisan ( g k ) k 1 := Ω((f i ) k 1 ) adalah frame Parseval untuk span { (f i ) k 1 } = span { ( g k ) k 1 }. Masalah ini dapat dibagi menjadi dua kasus. Kasus 1: vektor g k trivial. Ini mengimplikasikan bahwa := f k k 1 j=1 f k, g j g j yang dihitung di baris 6 bersifat span { } { } { } (f i ) k 1 = span ( gi ) k 1 = span (fi ) k (4.1) Karena jika tidak demikian maka langkah ortogonalisasi Gram-Schmidt akan menghasilkan vektor yang tidak trivial. Secara khusus, hanya hipotesis (i) yang berlaku. Sekarang misalkan P adalah proyeksi ortogonal dari H pada span {f k }. Untuk menghitung S 1/2, dengan S adalah operator frame untuk (( g i ) k 1, f k), pertamatama akan kita tunjukkan bahwa setiap (I P ) g i, i = 1,..., k 1 adalah vektor eigen untuk S yang berhubungan dengan nilai eigen 1 atau vektor nol. Klaim ini

BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 23 berasal dari kenyataan bahwa S(I P ) g i = = (I P ) g i, g j g j + (I P ) g i, f k f k j=1 (I P ) g i, g j g j j=1 = (I P ) g i, karena ( g i ) k 1 adalah frame Parseval untuk span { ( g i ) k 1 }. Selain itu, fk juga merupakan vektor eigen untuk S, yang berhubungan dengan nilai eigen 1 + f k 2, yang dibuktikan oleh perhitungan berikut: Sf k = f k, g j g j + f k, f k f k = (1 + f k 2 )f k. j=1 Menggunakan f k sebagai basis eigen untuk P (span { ( g i ) k 1 } ) dan sebarang basis eigen untuk (I P )(span { ( g i ) k 1 } ), kita dapat mendiagonalisasikan S untuk menghitung S 1/2. Bersama dengan fakta bahwa (I P ) g i, i = 1,..., k 1 adalah vektor eigen untuk S yang berhubungan dengan nilai eigen 1 dan bahwa S(I P )f k = 0 menghasilkan S 1/2 g i = 1 1 + f k 2 P g i + (I P ) g i untuk 1 i k 1 dan S 1/2 f k = 1 1 + f k 2 f k. Bandingkan persamaan ini dengan baris 11 dan 12 dari prosedur GGSP. Maka, akan kita dapatkan fakta bahwa Ω((f i ) k ) = (S 1/2 (( g i ) k 1, f k)), yaitu (i). Dari Teorema 21 dan (4.1), kita peroleh implikasi bahwa barisan Ω((f i ) k ) adalah frame Parseval untuk span { Ω((f i ) k ) } = span { (f i ) k }. Kasus 2: Kondisi di baris 7 terjadi, yaitu kita peroleh g k := (f k k 1 j=1 f k, g j g j )/ ( fk ) k 1 j=1 f k, g j g j 0. Kemudian, kita bentuk g i := g i untuk setiap i = 1,..., k 1. Jelas bahwa g k = 1. Lebih jauh, dari hipotesis induksi telah kita tunjukkan bahwa ( g i ) k 1 membentuk frame Parseval, maka untuk setiap i = 1,..., k 1,

BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 24 kita peroleh g i, f k f k, g j g j = g i, f k g i, f k = 0. j=1 Jadi g k adalah vektor yang ternormalkan, yang orthogonal terhadap g 1,..., g k 1. Dengan demikian, (ii) dipenuhi dan, untuk semua h span { (g i ) k }, kita dapatkan k h, g i 2 = (I P )h, g i 2 + P h, g k 2 = (I P )h 2 + P h 2 = h 2, dengan P adalah proyeksi ortogonal dari H pada span {g k }. Hal ini membuktikan bahwa (g i ) k = Ω((f i ) k ) adalah frame Parseval untuk span { Ω((f i ) k ) }. Lebih jauh, kita peroleh span { Ω((f i ) k ) } { = span (f i ) k 1, f k } k 1 j=1 f k, g j g j = span { (f i ) k }. Dengan demikian kita telah sampai pada akhir dari bukti karena hipotesis (i) tidak berlaku dalam kasus ini. Algoritma prosedur GGSP dapat dipandang sebagai prosedur Gram-Schmidt yang berjalan mundur dengan pemahaman bahwa di setiap iterasi, jika vektor yg ditambahkan bergantung linier terhadap vektor-vektor lain yang telah dihitung, tidak hanya vektor ini yang dimodifikasi, tetapi juga semua vektor yang lain disusun ulang bersesuaian dengan vektor yang baru tadi sehingga himpunan vektor yang baru akan membentuk frame Parseval. 4.2 Implementasi Algoritma Prosedur GGSP Untuk memberi gambaran lebih jauh dari prosedur GGSP, pada subbab ini kita akan mempelajari 4 contoh. Contoh pertama dan kedua menunjukkan bahwa urutan vektor sangat berpengaruh pada frame Parseval yang dihasilkan. Contoh ketiga menunjukkan bahwa frame Parseval yang diperoleh mewarisi bentuk geometri dari vektor-vektor masukan secara khusus. Contoh keempat menunjukkan kelemahan prosedur GGSP. Akan tetapi, tugas akhir ini tidak akan terlalu rinci membahas bagaimana prosedur GGSP mewariskan sifat geometri serta kelemahan prosedur GGSP tersebut.

BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 25 Contoh 3. Diberikan barisan vektor: ((1, 0.1), (1, 0.2), (1, 0.3), (1, 0.4), (1, -0.1), (1, -0.2), (1, -0.3) (1, -0.4)) sebagai input untuk prosedur GGSP. Untuk setiap contoh tersebut diberikan gambar-gambar yang menunjukkan proses perubahan vektor akibat prosedur GGSP. Ortogonalisasi Gram-Schmidt terjadi dua kali karena barisan vektor yang kita gunakan sebagai contoh berada di ruang vektor R 2. Di langkah-langkah berikutnya, vektor tambahan yang baru bergantung linier terhadap vektor-vektor yang telah dimodifikasi. Karena itu, proses kita harus melewati baris 11 dan 12, dan vektor-vektor yang telah dimodifikasi tadi akan kembali diubah di setiap langkah.

BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 26 Contoh 4. Diberikan barisan vektor: ((1, -0.4), (1, -0.3), (1, -0.2), (1, -0.1), (1, 0.4), (1, 0.3), (1, 0.2) (1, 0.1)) sebagai input untuk prosedur GGSP. Urutan dari barisan vektor ini merupakan kebalikan dari barisan vektor pada contoh 3. Meskipun himpunan vektor yang digunakan pada contoh 3 dan contoh 4 sama, akan tetapi dapat dilihat bahwa frame Parseval yang dihasilkan oleh barisan vektor di contoh 4 sangat berbeda dengan contoh 3. Hal ini merupakan dampak dari ortogonalisasi Gram-Schmidt yang sensitif terhadap urutan vektor. Untuk contoh 5, kita gunakan barisan vektor di contoh 2. Selama prosedur GGSP dijalankan, vektor-vektor yang sudah dimodifikasi tetap mempertahankan bentuk

BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 27 geometrinya. Contoh 5 bisa jadi mengindikasikan bahwa hingga suatu tingkatan tertentu, barisan vektor yang dihasilkan mewarisi sifat geometri dari barisan vektor inputnya. Contoh 5. Diberikan barisan vektor: ((1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)) sebagai input untuk prosedur GGSP; yaitu barisan vektor di contoh 2 yang merupakan frame ketat dengan batas frame = 2. Pada contoh 6, kita gunakan barisan vektor yang dihasilkan oleh prosedur GGSP untuk contoh 5. Meskipun barisan vektor yang digunakan adalah frame Parseval, ternyata prosedur GGSP tidak mampu mengenalinya, bahkan justru menghasilkan barisan vektor yang berbeda (tidak terlalu mewarisi sifat geometri dari barisan vektor yang diberikan). Pengertian dari mewarisi sifat geometri adalah barisan vektor input dan barisan vektor yang dihasilkan memiliki bentuk yang sejenis. Lihat contoh 6, jika kita hubungkan setiap 2 titik terdekat dengan sebuah garis lurus, maka barisan vektor input akan membentuk suatu belah ketupat sempurna, sedangkan barisan vektor

BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 28 yang dihasilkan tidak. Untuk penjelasan lebih lanjut mengenai kelemahan prosedur GGSP ini dapat dirujuk ke [5]. Contoh 6. Diberikan barisan vektor: 1 / 2 2 ((1, 0), (0, 1), ( 1, 0), (0, 1)) sebagai input untuk prosedur GGSP. Perhatikan bahwa barisan vektor tersebut merupakan frame Parseval yang kita peroleh dari contoh 5.