OPERATOR FREDHOLM. Kartika Yulianti December 20, 2007

Transkripsi

1 OPERATOR FREDHOLM Kartika Yulianti December 20, Orientasi De nition 1 Misalkan X, Y adalah ruang Banach. Sebuah operator A 2 B(X; Y ) disebut operator Fredholm dari X ke Y, jika : 1. (A) = dim N(A) hingga. 2. R(A) tutup di Y: 3. (A) = dim N(A 0 ) hingga. Himpunan operator Fredholm dari X ke Y dinotasikan dengan (X; Y ): Indeks dari operator Fredholm dide nisikan sebagai: i(a) = (A) (A) Berikut adalah lemma-lemma yang digunakan untuk membuktikan teorema 5.4 Lemma 2 (5.1) Misalkan N adalah subruang berdimensi hingga dari sebuah ruang vektor bernorm X: Maka terdapat subruang tutup X 0 dari X; sehingga (a). X 0 \ N = f0g (b). untuk setiap x 2 X; terdapat x 0 2 X 0 dan x 1 2 N sedemikian hingga x dapat dituliskan x = x 0 + x 1 secara tunggal: Lemma 3 (5.2) Misalkan X 1 adalah subruang tutup dari sebuah ruang vektor bernorm X dan M adalah subruang berdimensi hingga sedemikian hingga M \ X 1 = f0g: Maka X 2 = M X 1 adalah subruang tutup dari X: Terlebih lagi, operator P yang dide nisikan: adalah anggota B(X 2 ): P x = f x; x 2 M 0; x 2 X 1 1

2 Lemma 4 (5.3) Misalkan X adalah runag vektor bernorm, dan R adalah subruang tutup sedemikian hingga P o berdimensi n. Maka terdapat M subruang berdimensi n dari X sehingga X = R M: Theorem 5 (5.4) Jika A 2 (X; Y ) maka: 1. Terdapat subruang tutup X 0 dari X sedemikian sehingga X = N(A) X 0 2. Terdapat subruang berhingga Y 0 dari Y sedemikian sehingga Y = R(A) Y 0 3. Terdapat operator A 0 2 B(Y; X) sedemikian hingga (a) N(A 0 ) = Y 0 (b) R(A o ) = X 0 (c) A 0 A = I pada X 0 (d) AA 0 = I pada R(A) (e) A 0 A = I (f) AA 0 = I F 1 pada X F 2 pada Y Dimana F 1 2 B(X) dengan R(F 1 ) = N(A) dan F 2 2 B(Y ) dengan R(F 2 ) = Y 0. Konsekuensinya F 1 dan F 2 adalah operator dengan range hingga. Proof. Ambil sebarang A 2 (X; Y ): Karena N(A) berdimensi hingga, maka berdasarkan Lemma (5.1) terdapat subruang tutup X 0 sehingga X = N(A) X 0 Misalkan e A adalah restriksi A pada X 0 ; yaitu e A 2 B(X 0 ; R( e A)): Akan ditunjukkan bahwa R(A) = R( e A): Misalkan y 2 R(A); maka terdapat x 2 X sehingga Ax = y: Tetapi x = x 0 + z; dengan x 0 2 X 0 dan z 2 N(A): Sehingga y = Ax = Ax 0 + Az = Ax 0 maka y 2 R( e A): Akibatnya R(A) R( e A): R( e A) R(A): Maka R(A) = R( e A): Sehingga e A 2 B(X 0 ; R(A)): N( e A) = f0g maka e A adalah operator satu-satu, sehingga e A 1 ada. Karena X 0 dan R(A) adalah subruang tutup, maka X 0 dan R(A) merupakan ruang Banach. Sehingga berdasarkan teorema 3.8, e A 1 2 B(R(A); X 0 ): 2

3 e A 1 akan diperluas menjadi A 0 sehingga terde nisi pada Y: Diketahui N(A 0 ) berdimensi hingga. Karena R(A) o = N(A 0 ); maka R(A) o berdimensi hingga juga. Berdasarkan Lemma 5.3, terdapat Y 0 subruang berdimensi hingga yang memenuhi Y = R(A) Y 0 Berdasarkan Lemma 5.2, terdapat operator P 2 B(Y ); dimana P y = f y; y 2 Y 0 0; y 2 R(A) Sehingga (I P )y = f 0; y 2 Y 0 y; y 2 R(A) De nisikan A 0 = e A 1 (I P ). Karena (I P ) 2 B(Y; R(A)) dan e A 1 2 B(R(A); X 0 ) maka A 0 2 B(Y; X): Operator A 0 yang telah dikonstruksi memenuhi sifat (a)-(d). Akan ditunjukkan A 0 memenuhi sifat (e). Karena A 0 A = I pada hanya pada X 0; maka untuk perluasan pada X : Dimana operator F 1 adalah (A 0 A)x = (I F 1 )x = f x; x 2 X 0 0; x 2 N(A) F 1 x = f 0; x 2 X 0 x; x 2 N(A) Berdasarkan Lemma 5.2, F 1 2 B(X). Dapat dilihat bahwa R(F 1 ) = N(A); sehingga F 1 merupakan operator dengan range hingga. Hal yang sama juga dapat dilakukan untuk sifat (f). Perluasan AA 0 pada Y : (AA 0 )y = (I F 2 )y = f y; y 2 R(A) 0; y 2 Y 0 Dengan operator F 2 : F 2 y = f 0; y 2 R(A) y; y 2 Y 0 R(F 2 ) = Y 0 ; sehingga F 2 merupakan operator dengan range hingga dan berdasarkan Lemma 5.2 F 2 2 B(Y ). 3

4 2 Further Properties Tidaklah mudah untuk mengenali apakah sebuah operator termasuk Fredholm atau bukan, hanya dengan menggunakan de nisi. Untuk mengenali operator Fredholm, dapat digunakan teorema berikut yang merupakan konvers dari Teorema 5.4. Theorem 6 (5.5) Misalkan A 2 B(X; Y ) dan asumsikan terdapat A 1 ; A 2 2 B(X; Y ); K 1 2 K(X) ; K 2 2 K(Y ) sedemikian hingga dan maka A 2 (X; Y ): Proof. A 1 A = I AA 2 = I K 1 pada X K 2 pada Y N(A) N(A 1 A) = N(I K 1 ); karena K 1 kompak maka berdasarkan Teorema 4.12, (A) (I K 1 ) < 1: R(A) R(AA 2 ) = R(I K 2 ); maka R(A) o R(I K 2 ) o : Karena R(A) o = N(A 0 ) maka N(A 0 ) N(I K2): 0 Karena K2 0 kompak, maka (A) (I K2) 0 < 1 (Teorema 4.12). Untuk menunjukkan R(A) tutup, dibutuhkan bantuan Lemma berikut Lemma 7 (5.6) Misalkan X ruang vektor bernorm, dan X = N X 0 dimana X 0 adalah subruang tutup dan N berdimensi hingga. Jika X 1 adalah subruang dari X yang memuat X 0 maka X 1 tutup. R(I K 2 ) tutup, maka berdasarkan Lemma 5.3, terdapat subruang berdimensi hingga Y 1 dari Y sehingga Y = Y 1 R(I K 2 ): Karena R(A) R(I K 2 ); maka berdasarkan Lemma 5.6, R(A) tutup. Theorem 8 (5.7) Jika A 2 (X; Y ) dan B 2 (Y; Z); maka BA 2 (X; Z) dan i(ba) = i(b) + i(a) Proof. Karena A 2 (X; Y ) dan B 2 (Y; Z); maka terdapat A o 2 B(Y; X); B o 2 B(Z; Y ); F 1 2 K(X); F 2 ; F 3 2 K(Y ); F 4 2 K(Z) sedemikian sehingga A o A = I F 1 pada X AA o = I F 2 pada Y 4

5 dan B o B = I F 3 pada Y BB o = I F 4 pada Z sehingga A o B o BA = A o (I F 3 )A = I F 1 A o F 3 A = I F 5 pada X (1) BAA o B o = B(I F 2 )B o = I F 4 BF 2 B o = I F 6 pada Z Karena terdapat F 5 2 K(X); F 6 2 K(Y ) dan operator A o B o 2 B(Z; Y ) sehingga memenuhi persamaan (1), maka berdasarkan teorema 5.5, BA 2 (X; Z): Akan ditunjukkan i(ba) = i(b) + i(a): Misalkan Y 1 = R(A)\N(B); maka terdapat subruang Y 2; Y 3 ; Y 4; yang memenuhi R(A) = Y 1 Y 2 N(B) = Y 1 Y 3 Y = R(A) Y 3 Y 4 dimana Y 1; Y 3 ; Y 4 berdimensi hingga, misalkan d i= dim Y i ; i = 1; 3; 4 sedangkan Y 2 tutup. N(BA) = N(A) X 1 R(B) = R(BA) Z 4 dimana X 1 X o sedemikian hingga A(X 1 ) = Y 1 dan Z 4 = B(Y 4 ): Karena Y 1 dan Y 4 berdimensi hingga serta A pemetaan satu-satu pada X 1 dan B pemetaan satu-satu pada Y 4 maka Sehingga diperoleh kesamaan dim X 1 = d 1 ; dim Z 4 = d 4 (BA) = (A) + d 1 (BA) = (B) + d 4 (B) = d 1 + d 3 (A) = d 3 + d 4 yang berakibat i(b) + i(a) = (d 1 + d 3 (BA) + d 4 ) + ((BA) d 1 d 3 d 4 ) = (BA) (BA) = i(ba) Berikut adalah konsekuensi dari Teorema 5.5 dan teorema

6 Lemma 9 (5.9) Misalkan A 2 (X; Y ) dan A 0 adalah operator yang memenuhi A 0 A = I F 1 pada X AA 0 = I F 2 pada Y Maka A 0 2 (Y; X) dan i(a 0 ) = i(a): 3 Contoh Akan diilustrasikan Teorema 5.4 dengan menggunakan contoh operator Fredholm. Telah diketahui bahwa l 2 adalah ruang Banach dan K : l 2! l 2 dengan K(x 1 ; x 2 ; :::; x k ; :::) = (x 1 ; x2 2 ; x3 3 ; :::; x k k ; :::) adalah operator kompak. De nisikan A = I K: Maka A : l 2! l 2 dengan A(x 1 ; x 2 ; :::; x k ; :::) = (0; x2 2 ; 2x3 3 ; :::; (k 1)x k k ; :::) adalah operator Fredholm (Teorema 4.12). Akan dicari subruang tutup X o dari X sehingga X = N(A) X o N(A) = f(x 1 ; x 2 ; :::; x k ; :::) j x i = 0; i = 2; 3; 4; :::g: dim N(A) = 1 Maka X o = f(0; x 2 ; :::; x k ; :::)g adalah subruang tutup dari X yang memenuhi X = N(A) X o : Akan dicari subruang berdimensi hingga Y o dari Y Y o sehingga Y = R(A) R(A) = f(x 1 ; x 2 ; :::; x k ; :::) j x 1 = 0g adalah subruang tutup dari Y: Maka Y o yang dicari adalah Y o = f(x 1 ; 0; :::; 0; :::)g: dengan dim(y o ) = 1: De nisikan operator A o dari Y ke X : A o (y) = f 0; jika y 2 Y o (0; 2y 2 ; 3x3 2 ; :::; kx k k 1 ; :::); jika y 2 R(A) dapat dilihat bahwa: a. A o 2 B(Y; X) b. N(A o ) = Y o : c. R(A o ) = X o: d. A 0 A = I pada X 0 : e. AA 0 = I pada R(A): f. A 0 A = I F 1 pada X 6

7 g. AA 0 = I F 2 pada Y Dengan F 1 (x) = f x; jika x 2 N(A) ; F 0; jika x 2 X 1 2 B(X) dan R(F 1 ) = o N(A); F 2 (y) = f y; jika y 2 Y o 0; jika y 2 R(A) ; F 2 2 B(Y ) dan R(F 2 ) = Y 0 7