BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam ilmu matematika, banyak pembahasan di bidang analisis dan topologi yang memerlukan pengertian ruang Hilbert. Ruang Hilbert merupakan konsep abstrak yang mendasari teori persamaan diferensial parsial, mekanika kuantum, analisis Fourier, dan teori Ergodik. Ruang Hilbert H merupakan ruang Banach dengan norma x = x, x, untuk setiap x anggota ruang Hilbert H, dengan, menyatakan produk skalar pada ruang Hilbert H. Pada ruang Hilbert, operator dikenal sebagai fungsi yang memetakan antara dua ruang Hilbert. Teori operator merupakan bagian terpenting dalam analisis fungsional. Secara khusus, teori operator menjadi instrumen dasar dalam teori sistem dinamis, menjadi representasi dari grup dan aljabar, dan merupakan instrumen penting dalam matematika fisika dan mekanika kuantum. Operator juga terlibat dalam teori probabilitas. Operator pada ruang Hilbert H dikatakan linear kontinu jika operator tersebut linear dan kontinu. Koleksi semua operator linear kontinu A pada ruang Hilbert H, dinotasikan dengan L c (H), merupakan ruang Banach terhadap norma A = sup{ A(x) : x 1}. Jika diberikan operator linear kontinu dari suatu ruang Hilbert H ke ruang Hilbert K, maka ada tepat satu operator linear kontinu dari K ke H yang disebut dengan operator adjoint A. Operator linear kontinu U dari ruang Hilbert H ke ruang Hilbert K dikatakan uniter jika U U = UU = I. Operator linear kontinu A pada ruang Hilbert H dikatakan uniter ekuivalen (unitarily equivalent) dengan operator linear kontinu B pada ruang Hilbert K, jika terdapat operator uniter U dari H ke K sehingga berlaku B = UAU 1. Operator linear kontinu A pada ruang Hilbert H disebut operator 1

2 2 kontraksi jika untuk setiap x H berlaku A(x) x. Koleksi semua operator kontraksi pada H, dinotasikan dengan C t (H), merupakan ruang bagian dari L c (H). Setiap ruang Hilbert dan ruang Banach merupakan ruang topologis. Oleh karena itu, koleksi semua operator linear kontinu L c (H) merupakan ruang topologis. Pada L c (H) terdapat topologi konvergen titik demi titik (pointwise convergence topology / point-open topology). Untuk setiap x H dan U H, himpunan S(x, U) = {A L c (H) : A(x) U} merupakan anggota basis bagian untuk topologi konvergen titik demi titik. Topologi ini disebut topologi operator kuat (strong operator topology). Dalam hal ruang yang dimaksud adalah ruang operator, topologi operator kuat biasa disebut topologi kuat. Ruang topologis X disebut ruang Baire jika irisan sebanyak terhitung himpunan terbuka yang rapat (dense) di X merupakan himpunan yang rapat di X. Konsep mengenai ruang Baire merupakan alat yang penting dalam topologi dan analisis fungsional, sebab menyajikan gagasan mengenai himpunan bagian dari ruang topologis yang sangat kecil yang dikenal dengan himpunan kategori pertama (meager). Komplemen dari himpunan kategori pertama disebut himpunan residual (co-meager). Suatu himpunan dikatakan kategori pertama jika dapat dinyatakan sebagai gabungan sebanyak terhitung himpunan bagian yang tidak rapat dimanapun (nowhere dense). Suatu himpunan pada ruang topologis yang dapat dinyatakan sebagai irisan sebanyak terhitung himpunan terbuka disebut sebagai anggota G δ. Setiap ruang metrik lengkap merupakan ruang Baire dan setiap anggota G δ yang rapat di X merupakan himpunan residual (co-meager) di X. Diperhatikan bahwa terdapat suatu sifat yang dapat dipelajari di ruang Baire yang hanya berlaku pada himpunan yang bukan kategori pertama. Dengan kata lain, sifat tersebut hanya berlaku pada himpunan residual. Diberikan sebarang ruang Baire X dan sifat Φ pada titik di X. Sifat φ dikatakan tipikal pada X jika A = {x X : x memenuhi Φ} merupakan himpunan bagian residual dari X. Sifat tipikal memberi peranan di dalam perkembangan

3 3 ilmu pengetahuan, ada beberapa pengertian tipikal di matematika. Dalam teori ukuran, sifat tipikal merupakan sifat yang berlaku hampir dimana-mana (almost everywhere). Dalam teori probabilitas, sifat yang berlaku hampir dimana-mana merujuk pada himpunan dengan probabilitas 1. Selanjutnya, dalam topologi dan aljabar geometri, sifat tipikal merupakan sifat yang berlaku pada himpunan residual. Sifat tipikal telah diselidiki oleh beberapa peneliti, khususnya pada ruang topologis, diantaranya A. Bruckner, Tanja Eisner, dan Tamás Mátrai. Bruckner membahas tentang himpunan semua fungsi kontinu yang tidak terdiferensial dimanapun merupakan himpunan yang residual dari (C[0, 1], ). Tanja Eisner dan Tamás Mátrai membahas tentang sifat tipikal operator linear kontraksi pada ruang Hilbert berdimensi tak hingga atas C di beberapa topologi, diantaranya pada topologi lemah (weak topology) dan topologi kuat (strong topology). Koleksi semua operator kontraksi C t (H) dengan H ruang Hilbert separabel berdimensi tak hingga atau ruang Hilbert klasik (classical Hilbert space), merupakan ruang Baire. Dengan memandang pentingnya operator dan peranan sifat tipikal di dalam perkembangan ilmu matematika, muncul gagasan untuk menyelidiki sifat tipikal pada C t (H). Pada tesis ini, akan dipelajari dan diselidiki sifat tipikal operator kontraksi pada ruang Hilbert berdimensi tak hingga di topologi operator kuat yang dinotasikan dengan s-tipikal kontraksi. 1.2 Perumusan Masalah Seperti yang telah disampaikan di dalam latar belakang penelitian, permasalahan yang akan dibahas di dalam tesis ini adalah menyelidiki sifat s-tipikal pada operator kontraksi. Karena sifat tipikal dikerjakan pada ruang Baire dan koleksi semua operator kontraksi yang memenuhi sifat tersebut merupakan himpunan bagian residual dari C t (H), permasalahan yang dibahas di tesis ini disampaikan sebagai berikut. 1. Membuktikan bahwa koleksi semua operator kontraksi, dinotasikan C t (H), merupakan ruang Baire.

4 4 2. Menunjukkan bahwa sifat s-tipikal pada operator di C t (H) merupakan uniter ekuivalen dengan operator backward unilateral shift berdimensi tak hingga. 1.3 Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan utama dari tulisan ini adalah mempelajari tentang sifat s-tipikal operator linear kontraksi pada ruang Hilbert klasik. Adapun manfaatnya, diharapkan dengan adanya tulisan ini pembahasan lebih lanjut tentang sifat s-tipikal operator kontraksi di dalam topologi operator kuat dapat diselidiki dengan meneliti sifat operator backward unilateral shift berdimensi tak hingga. 1.4 Tinjauan Pustaka Ruang Hilbert merupakan ruang pre-hilbert yang lengkap. Setiap ruang pre-hilbert yang berdimensi hingga selalu dapat ditemukan basis ortonormal sehingga setiap ruang pre-hilbert yang berdimensi hingga merupakan ruang Hilbert. Ruang Hilbert H yang separabel memiliki basis ortonormal. Sebarang ruang Hilbert separabel berdimensi tak hingga disebut ruang Hilbert klasik (Classical Hilbert Space). Pada saat dua buah ruang Hilbert diberikan, dapat didefinisikan operator linear dari satu ruang Hilbert ke ruang Hilbert. Di dalam konsep operator linear kontinu, dikenal beberapa jenis operator beberapa diantaranya adalah operator kontraksi dan operator Adjoint. Dari konsep operator adjoint dikenalkan operator uniter dan isometrik. Operator A dikatakan uniter ekuivalen dengan operator B jika terdapat operator uniter U sedemikian hingga B = UAU 1 (Berberian, 1961). Di dalam koleksi operator linear kontinu terdapat topologi. Dengan didasari oleh definisi basis dan basis bagian di dalam Munkres (2000) dan Hunter (1975), diperoleh pengertian basis bagian untuk topologi pada ruang operator. Salah satu topologi pada ruang operator adalah topologi konvergen titik demi titik. Alasan menyebut topologi konvergen titik demi titik adalah karena topologi tersebut berkorespondensi dengan konvergen titik demi titik yang pada ruang operator yang

5 5 dikenal dengan nama konvergen kuat. Oleh karena itu, topologi tersebut sering dikenal sebagai topologi operator kuat. Dari pengertian ruang topologis, dikenal konsep mengenai ruang Baire. Setiap ruang metrik lengkap merupakan ruang Baire dan suatu ruang topologis dikatakan ruang Baire jika irisan sebanyak terhitung himpunan terbuka yang rapat di dalamnya merupakan himpunan rapat (Royden, 1988). Suatu himpunan pada ruang topologis dikatakan anggota G δ apabila dapat dinyatakan sebagai irisan sebanyak terhitung himpunan terbuka. Setiap himpunan anggota G δ yang rapat di X merupakan himpunan yang residual. Hal tersebut dipergunakan untuk mendefinisikan sifat tipikal. Sifat Φ disebut sifat tipikal pada titik di ruang Baire X apabila koleksi titik-titik pada X yang memenuhi Φ merupakan himpunan bagian residual dari X (Kechris, 1994). Selanjutnya, akan diselidiki sifat tipikal operator linear kontinu pada ruang Hilbert klasik. Penelitian pertama yang dilakukan adalah menunjukkan bahwa koleksi operator kontraksi pada H merupakan ruang Baire, yaitu dengan menunjukkan bahwa C t (H) merupakan ruang yang completely metrizable. Pengertian tentang ruang topologis yang completely metrizable diperoleh dari Dugundji (1966). Penelitian berikutnya dilakukan terhadap sifat tipikal pada operator kontraksi yang diamati di dalam topologi operator kuat ditulis singkat s-tipikal kontraksi dan koleksi operator kontraksi yang memenuhi sifat s-tipikal kontraksi tersebut ditulis singkat koleksi s-tipikal kontraksi. Eisner dan Mátrai (2012) menunjukkan bahwa s-tipikal kontraksi adalah uniter ekuivalen dengan operator backward unilateral shift berdimensi tak hingga. Di dalam tulisannya, Eisner dan Mátrai tidak memberikan bukti dengan lengkap namun hanya secara garis besar alur pembuktiannya. Langkah untuk menunjukkan sifat s-tipikal kontraksi tersebut adalah melengkapi alur pembuktian yang ditulis oleh Eisner dan Mátrai. Dengan memanfaatkan teorema dekomposisi Wold (Nagy, 1970) akan dibahas bahwa operator s-tipikal kontraksi A uniter ekuivalen dengan jumlahan langsung operator uniter dan operator backward unilateral shift. Operator

6 6 kontraksi A dikatakan stabil kuat (strongly stable) jika s- lim n N A n = 0. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa koleksi s-tipikal kontraksi tersebut bersifat stabil kuat sehingga bagian uniternya merupakan ruang bagian trivial (Kubrusly 2010). Langkah terakhir dalam penelitian ini adalah menunjukkan kernelnya berdimensi tak hingga. 1.5 Metodologi Penelitian Penulisan tesis ini menggunakan metode studi literatur yaitu mengkaji jurnal dan makalah terdahulu serta artikel terkait mengenai sifat s-tipikal operator pada ruang Hilbert. Paper "On Typical Properties of Hilbert Space Operator" oleh Tanja Eisner dan Tamás Mátrai dijadikan referensi utama dalam tesis ini dengan melengkapi pembuktian teorema di dalamnya. Terdapat beberapa tahap yang harus dilalui dalam penelitian ini. Pertama, dibuktikan terlebih dahulu bahwa koleksi operator kontraksi pada ruang Hilbert H merupakan ruang Baire dengan menunjukkan bahwa C t (H) merupakan ruang topologis yang completely metrizable dan terdapat metrik d s pada C t (H) sehingga (C t (H), d s ) merupakan ruang metrik lengkap yang separabel. Selanjutnya, dikenalkan definisi shift operator yang ditekankan pada pembahasan operator backward unilateral shift. Diberikan ruang Hilbert H = l 2 (N N) dan dinyatakan {e in : i, n N} adalah basis ortonormal kanonik dari H. Didefinisikan operator backward unilateral shift berdimensi tak hingga S C t (H) dengan S(e 1n ) = ˆ0 dan S(e {i+1}n ) = e in, untuk i, n N. Diberikan koleksi O(S) = {USU 1 : U uniter} adalah koleksi operator yang uniter ekuivalen dengan operator backward unilateral shift tersebut. Langkah berikutnya adalah membuktikan bahwa koleksi O(S) merupakan himpunan yang residual dari C t (H). Didefinisikan himpunan S koleksi operator kontraksi A yang stabil kuat, dan himpunan G koleksi operator kontraksi A yang memenuhi S H A[S H ] dengan S H = {x H : x = 1} dan dim ker A =. Himpunan S dan G merupakan himpunan bagian residual dari C t (H). Dalam menunjukkan G residual dibutuhkan lemma yang mengatakan bahwa setiap operator kontraksi yang terdefinisi pada

7 7 ruang bagian berdimensi hingga dari H dapat diperluas menjadi operator kontraksi yang surjektif dalam arti yang lebih kuat. Sedangkan untuk menunjukkan kernel A berdimensi tak hingga dibutuhkan lemma yang mengatakan bahwa s-tipikal kontraksi A konvergen ke nol pada ruang bagian Z sehingga untuk setiap n N, berlaku dim Z n. Himpunan O(S) merupakan himpunan yang residual dari C t (H) dapat terbukti dengan menujukkan untuk setiap A S G uniter ekuivalen dengan operator S. Untuk setiap A G berlaku AA = I dan A A merupakan proyeksi pada range A. Akan ditunjukkan bahwa A merupakan operator isometrik sehingga A merupakan operator co-isometrik dan A isometrik pada range A. Menggunakan teorema dekomposisi Wold, karena A operator isometrik, diperoleh H dapat didekomposisi menjadi jumlahan ortogonal H = H 1 H 2 sehingga H 1 dan H 2 mereduksi A, A H1 merupakan operator uniter, dan A H2 merupakan operator shift. Karena S merupakan himpunan bagian residual dari C t (H), sama artinya dengan mengatakan bahwa operator s-tipikal kontraksi A merupakan operator yang stabil kuat, yaitu s- lim n N A n = 0. Akibatnya, A shift sehingga bagian uniternya merupakan himpunan trivial, dengan kata lain H 1 = {ˆ0}. Dengan memanfaatkan kesamaan multiplisitas, Rosenblum dan Rovnyak (1985) mengatakan bahwa dua operator shift dikatakan uniter ekuivalen jika memiliki multiplisitas yang sama. Dengan demikian, karena dim ker A =, diperoleh operator shift A uniter ekuivalen dengan operator shift pada l 2 (N, ker A). Diperhatikan bahwa l 2 (N, ker A) isomorfik dengan l 2 (N N). Dengan demikian, operator s-tipikal kontraksi A uniter ekuivalen dengan operator adjoint dari operator shift pada l 2 (N N) yang merupakan backward unilateral shift pada l 2 (N N). Metodologi penelitian ini disampaikan dalam diagram berikut.

8 8. Koleksi semua operator Kontraksi Ruang Baire Koleksi operator kon- i. Himpunan G menyatakan koleksi operator kontraksi A yang memenuhi S H A[S H ] dan dim ker A = himpunan bagian residual dari C t (H), ii. untuk setiap A G, berlaku AA = I dan A A merupakan proyeksi pada range A, traksi yang stabil kuat merupakan himpunan iii. operator A merupakan operator isometrik pada range bagian residual dari A dan operator A merupakan operator isometrik. C t (H) Operator kontraksi A Bagian uniternya uniter ekuivalen dengan Teorema merupakan himpunan jumlahan langsung ope- dekomposisi trivial yaitu rator uniter dan operator Wold U[H] = {ˆ0} backward unilateral shift Setiap operator kontraksi yang stabil Koleksi operator kontraksi kuat yang memenuhi S H yang uniter ekuivalen dengan A[S H ] dan dim ker A = uniter operator backward unilateral ekuivalen dengan operator backward shift merupakan himpunan unilateral shift bagian residual dari C t (H). Gambar 1.1 Diagram Alur 1.6 Sistematika Penulisan Penelitian ini bertujuan untuk memaparkan pengertian tentang sifat tipikal kuat dari operator linear kontraksi pada ruang Hilbert separabel atas himpunan bilangan kompleks berdimensi tak hingga. Secara umum, sistematika penulisan tesis ini dibagi menjadi lima bagian. Bab I berisi tentang pendahuluan yang menjelaskan tentang latar belakang permasalahan yang dibahas dalam penelitian dan merumuskan permasalahan yang akan diteliti, tujuan dan manfaat dari penelitian ini, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan disampaikan di dalam bab ini.

9 9 Bab II berisi tentang landasan teori yang memaparkan dasar-dasar teori yang diperlukan dalam penelitian. Landasan teori yang dimaksud meliputi konsep tentang ruang Hilbert dan beberapa sifat di dalamnya, operator linear kontinu pada ruang Hilbert, khususnya operator proyeksi, uniter, dan isometrik. Untuk mengenalkan definisi s-tipikal dalam bab selanjutnya, dipaparkan konsep tentang ruang topologis yang secara khusus lebih ditekankan pada basis dan basis bagian topologi, ruang Baire, dan teorema kategori Baire. Bab III dan bab IV berisi tentang hasil penelitian. Dalam bab III lebih ditekankan pada pengertian topologi konvergen titik demi titik atau dapat disebut topologi operator kuat (strong operator topology), uniter ekuivalen, operator kontraksi, dan karakteristik khusus pada operator kontraksi. Selanjutnya, pada bab IV dibahas mengenai sifat s-tipikal kontraksi, dekomposisi Wold, operator shift, dan pengertian operator backward unilateral shift, serta uniter ekuivalen antara operator s-tipikal kontraksi dan operator bakcward unilateral shift. Sebagai penutup, bab V berisi tentang kesimpulan dari seluruh rangkaian pembahasan sebelumnya.