REDUNDANSI FRAME DAN PENGARUHNYA PADA DEKOMPOSISI FUNGSI DI RUANG HILBERT

Transkripsi

1 Page 1 of 33 REDUNDANSI FRAME DAN PENGARUHNYA PADA DEKOMPOSISI FUNGSI DI RUANG HILBERT SUZYANNA NRP July 13, 2010

2 ABSTRAK Page 2 of 33 Konsep frame di ruang hasil kali dalam dapat dipandang sebagai perumuman dari basis ortonormal dalam ruang Hilbert dengan {f k } disebut frame jika terdapat 0 < A B < sedemikian sehingga A f 2 f, f k 2 B f 2 untuk setiap f H dengan A dan B adalah batasan frame.jika A = B maka {f k } disebut frame ketat. Materi tesis ini membahas pengertian redundan atau overcomplete pada suatu frame ketat. Disajikan pula cara perhitungan suatu redundansi dalam contoh-contoh sederhana baik di dimensi hingga maupun tak hingga. Kata-kunci: hasil kali dalam, basis, basis ortonormal, norm, frame.

3 LATAR BELAKANG Page 3 of 33 Frame pertama kali diperkenalkan oleh Duffin dan Schaeffer(1952), menggunakan frame untuk mempelajari Deret Fourier yang nonharmonik yakni ekspansi fungsi di (L 2 [0, 1]). Christensen(2006),Balan dkk (2005),dan Casazza (2010) sesuai definisi frame dimana frame adalah basis yang overcomplete dan perumuman dari basis ortonormal. A dan B masing-masing adalah batas atas dan bawah frame. Jika A = B maka frame disebut sebagai frame ketat. Setiap basis ortonormal adalah Riesz basis dan setiap Reisz basis adalah frame.

4 Page 4 of 33 Casazza dkk (2009), menenuhi definisi frame, jika A = B = 1, maka disebut sebagai frame Parseval. Frame mempunyai redundant N. Jika ϕ n i = c untuk semua i = 1,..., N disebut equal norm frame. Jika φ adalah equal norm Parseval frame maka redundansi R φ = R + φ = N dimana n R φ adalah batas bawah redundansi sedang R + φ adalah batas atas redundansi.

5 Page 5 of 33 Casazza(1998), setiap frame dalam ruang Hilbert H dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari tiga basis ortonormal di H, dan dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari dua basis ortonormal jika dan hanya jika frame adalah Riesz Basis. Setiap frame dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari dua buah frame ketat dengan batasan frame adalah 1 atau jumlah dari suatu basis ortonormal dan Riesz basis di H, dan juga dapat ditulis sebagai rata-rata dua basis ortonormal di ruang Hilbert.

6 Page 6 of 33 Mallat(1999), memenuhi definisi frame, frame adalah lengkap, stabil dan punya redundan.jika vektor-vektor pada frame di normalkan, atau f k = 1, maka redundansi dapat dinyatakan sebagai batasan-batasan frame A dan B. Daubechies (1992), memenuhi definisi frame, redundant A+B 2 dengan frame adalah ketat.

7 PERMASALAHAN Dalam tesis ini akan difokuskan pembahasan permasalahan sebagai berikut: Page 7 of 33 Bagaimana bentuk redundansi frame pada dekomposisi suatu fungsi di ruang Hilbert. Bagaimana pengaruh redundansi frame pada dekomposisi suatu fungsi di ruang Hilbert.

8 Page 8 of 33 BATASAN MASALAH Redundansi frame dalam tesis ini dapat dikontrol (secara relatif) oleh f yaitu dengan ketentuan 0 R K f 2 dengan K adalah konstanta positif yang bergantung pada penyajian atas frame yang diberikan selain itu redundansi bisa dikontrol juga oleh f 2 sesuai sifat frame A f 2 f, f k 2 B f 2 untuk suatu frame {f k } k.

9 Page 9 of 33 TUJUAN PENELITIAN a. Menentukan batas atas dan batas bawah frame b. Mengkaji pengaruh redundansi frame pada dekomposisi fungsi f di ruang Hilbert di L 2 (R).

10 Page 10 of 33 MANFAAT PENELITIAN Dengan adanya penelitian ini diharapkan hasilnya dapat digunakan sebagai rujukan untuk penelitian lanjutan yang berkaitan dengan dekomposisi frame, khususnya dalam menyelesaikan masalah aplikasi.

11 KAJIAN PUSTAKA dan DASAR TEORI Sifat-sifat hasil-kali-dalam adalah sebagai berikut : Page 11 of 33 x + y, z = x, z + y, z αx, y = α x, y x, y = y, x x, x 0 dan x, x = 0 x = 0 Ruang vektor V dengan hasil kali dalam.,. disebut ruang hasil-kali-dalam.

12 Page 12 of 33 Definisi Ortogonal Jika x, y X, dengan x y dalam suatu ruang hasil-kalidalam, dan x, y = x y = 0, maka x dan y dikatakan saling ortogonal. Apabila x = 1 untuk x X, maka X dikatakan himpunan ortonormal

13 Page 13 of 33 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz Suatu hasil kali dalam dan norma memenuhi ketaksamaan Cauchy-Schwarz dinyatakan sebagai berikut: x, y = y, x x y

14 Basis Ortonormal Suatu basis {e k } adalah basis ortonormal, yaitu bila Page 14 of 33 e k, e j = δ k,j = { 1 jika k = j 0 jika k j

15 Definisi Frame Page 15 of 33 Suatu barisan {f k } dengan anggota anggotanya diruang Hilbert H disebut Frame untuk H bila terdapat A, B > 0 (A, B adalah konstan) sedemikian hingga A f 2 f, f k 2 B f 2, f H

16 Page 16 of 33 Definisi Frame Ketat Jika A = B maka frame disebut frame ketat (tight frame). Suatu frame dikatakan bukan frame bila ada salah satu anggotanya dihilangkan, dan disebut frame eksak.

17 Page 17 of 33, Contoh 1 ( 3 Ambil H = C 2, e 1 = (0, 1), e 2 = ( 3 ) e 3 =, untuk setiap υ = (υ 1, υ 2 ) di H maka, j=1 2, v, e j 2 = v v v v 2 1 1v 2 2 = 3 2 v 2 ), dan Dengan demikian { e 1, e 2, e 3 } adalah frame dengan batas-batas A = B = 3 2, yang menyatakan redundan adalah 3 2 2

18 Page 18 of 33 Unconditionality atau Tak bersyarat Andaikan {f n : n Z} adalah frame di ruang Hilbert H, maka setiap pengurutan kembali dari barisan {f n } juga merupakan frame.

19 Contoh 2 Misalkan: A 2 := { e 1, e 2 } dengan e 1 = (1, 0) dan e 1 = (1, 0) Page 19 of 33 x, y R 2 2 (x, y), e k 2 = (x, y), (1, 0) 2 + (x, y), (0, 1) 2 = x 2 + y 2 = f 2 Dalam contoh ini A = B = 1 yang berarti 1 adalah redundansi dari sistem dua vektor di R 2. Karena A = B maka frame disebut frame ketat.

20 METODA PENELITIAN Page 20 of 33 Tahap 1: Mengkaji sifat-sifat frame sebagai perluasan konsep basis di ruang hasil kali-dalam Pada tahapan ini akan dikaji sifat-sifat frame yaitu bahwa frame yang dibicarakan mula-mula dalam ruang vektor dimensi hingga dengan hasil kali dalam, dan merupakan perluasan dari basis ortonormal, memberikan contoh frame. Tahap 2 : Mengkaji dekomposisi fungsi-fungsi menggunakan frame Pada tahapan ini akan dibahas tentang operator sintesis, operator analisis operator frame, invers, self adjoin, bentuk dekomposisi fungsi, dan contoh menghitung S 1 f k.

21 Page 21 of 33 Tahap 3 : Mengkaji frame di dimensi tak hingga Pada tahapan ini setelah membahas pendahuluan tentang frame dalam ruang di dimensi hingga, maka berikut akan dibicarakan ekspansi dalam ruang vektor dimensi tak hingga, membahas barisan konvergen absolut, konvergen tak bersyarat, operator linear terbatas, operator adjoin, barisan Bessel, dan dekomposisi f diruang dimensi tak hingga. Tahap 4: Mengkaji redudansi suatu dekomposisi fungsi frame. Pada tahap ini memberi contoh menentukan redudansi suatu dekomposisi fungsi frame yang berasal dari basis ortonormal, memberi contoh tentang penggunaan fungsi dekomposisi frame.

22 HASIL DAN PEMBAHASAN Contoh 3 F = {f k } = {e 1, 1 2 e 2, 1 2 e 2, 1 3 e 3, 1 3 e 3, } 1 e 3,... 3 Page 22 of 33 Maka untuk setiap f H, f, f k 2 = k f, 1 2 e k k = f 2 Dengan demikian {f k } frame A = B = 1. frame ketat untuk H dengan batas

23 Page 23 of 33 Dekomposisi fungsi-fungsi menggunakan frame Suatu ruang vektor V yang dilengkapi frame {f k } m dan didefinisikan suatu pemetaan linear: T : C m V, T {c k } m = m c k f k (1) dengan T disebut sebagai operator pre-frame atau disebut juga dengan operator sintesis, sedangkan operator adjoin diberikan sebagai berikut : T : V C m, T f = { f, f k } m (2) dan disebut sebagai operator analisis. Dengan komposisi T dan T diperoleh operator frame sebagai berikut : S : V V, Sf = T T f = m f, f k f k (3)

24 Page 24 of 33 Berikut adalah bentuk operator frame: Sf, f = m f, f k f k, f = m f, f k f, f k = m f, f k 2 (4) Batas bawah frame dapat dipandang sebagai batas bawah suatu operator frame. Jika dapat dipilih batas A = B dari definisi maka frame {f k } m disebut frame ketat sehingga diperoleh : m f, f k 2 = A f 2, f V (5) Untuk frame ketat, nilai eksak A dalam (6) disebut batas frame (frame bound).

25 Page 25 of 33 Teorema Misalkan {f k } m adalah suatu frame untuk V dengan operator frame S maka belaku sifat-sifat berikut: S punya invers dan self-adjoint. Untuk setiap f V dapat disajikan bentuk m m f = f, S 1 f k fk = f, f k S 1 f k (6) Jika f V mempunyai penyajian f = m c k f k untuk beberapa koefisien skalar {c k } m, maka berlaku m c k 2 = m f, S 1 f k 2 + m c k f, S 1 f k 2

26 Page 26 of 33 Berikut ini adalah salah satu contoh aplikasi frame yaitu dalam pengiriman sinyal. Misalkan kita akan mengirim sinyal f dalam ruang vektor V dari suatu transmiter (pengirim) A ke suatu risiver (penerima) R. Bila keduanya yaitu A maupun R mempunyai informasi tentang frame {f k } m untuk V, maka hal ini dapat diselesaikan jika A menyampaikan atau mengirimkan koefisien frame { f, S 1 f k } m, dimana receiver (penerima) R dapat membangun kembali sinyal f menggunakan dekomposisi frame. Sekarang diasumsikan bahwa penerima R menerima gangguan sinyal(noise), yaitu menerima koefisien frame { f, S 1 f k + c k } m. Berdasarkan koefisien penerima, R akan menyatakan bahwa sinyal yang dikirim adalah sebagai berikut : m ( ) f, S 1 f k + ck fk = m ( ) f, S 1 f k fk + m c k f k = f + m c k f k

27 Redundansi Dekomposisi Fungsi di Ruang Hilbert Page 27 of 33 Frame mempunyai penyajian overcomplete artinya fungsi (data,sinyal) yang disajikan dalam bentuk frame tidak tunggal sehingga dikatakan bahwa frame tidak ortogonal. Oleh karena itu dekomposisi fungsi yang disajikan dalam bentuk basis ortonormal tidak stabil karena koefisien c k dari f = c k f k adalah tunggal yaitu dengan mengubah koefisien frame c k,misalkan (c k + ε k ) akan mengubah dekomposisi fungsi f,sehingga tidak akan menjadi f lagi. Secara matematis dapat ditulis: oleh karena f = c k f k + ε k f k maka c k f k = ε k f k f = 2f

28 Page 28 of 33 Sehingga untuk c k f k = 0 atau ε k f k = 0, berarti noise yang dicari tidak dapat ditangkap (capture) dengan optimal, akibatnya dekomposisi fungsi dengan basis ortonormal selalu didapat redundansi nol. Sedang pada frame dikatakan stabil, artinya dengan mengubah koefisien frame c k menjadi (c k + ε k ) dari f = c k f k tidak mengubah fungsi dekomposisi f = c k f k, sehingga dikatakan bahwa frame adalah stabil.

29 Secara matematis dapat distulis sebagai berikut: Fungsi f mengalami noise sehingga bentuknya sebagai berikut: f = = (c k + ε k )f k c k f k + ε k f k Page 29 of 33 Jika bentuk tersebut disederhanakan akan menjadi: f f + ε k f k dimana ε k f k 0. Karena dekomposisi menggunakan frame, maka ε k f k selalu ada, selain itu karena frame bersifat stabil maka dengan penambahan ε k f k tidak mengubah fungsi asal.

30 Page 30 of Kesimpulan Penutup Redundansi suatu frame dapat dikontrol (secara relatif) oleh f yaitu dengan ketentuan 0 R K f 2 dengan R adalah redundansi dan K adalah konstanta positif yang bergantung pada penyajian atas frame yang diberikan, selain itu redundansi secara mutlak bisa dikontrol oleh f 2 sesuai sifat frame A f 2 f, f k 2 B f 2 untuk suatu frame {f k } k. Pada waktu mengalami gangguan (noise), koefisien frame {c k } akan berubah menjadi {c k + ε k } dengan {ε k } adalah noise, sehingga bentuk dekomposisi fungsi f menjadi fungsi f dengan demikian diasumsikan f f + ε k f k

31 Page 31 of 33 Dengan demikian ε k f k 0. Karena dekomposisi menggu- nakan frame, maka ε k f k atau redundannya selalu ada, se- lain itu karena frame bersifat stabil maka dengan penambahan ε k f k tidak mengubah fungsi asal. Oleh karena itu redundansi memberikan pengaruh terhadap dekomposisi fungsi bergantung pada koefisien frame {c k } 2. Saran Untuk penelitian lebih lanjut perlu dikaji masalah aplikasi redundansi frame.

32 Page 32 of 33 References Allen, R.,Mills,D. (2004), Signal Analysis, John Wiley & Sons, Canada. Boufounos,P.T, (2006), Quantization and Erasures in Frame Representation, Submitted to the Department of Electrical Engineering and Computer Science in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science in Electrical Engineering and Computer Science Balan.R,Casazza.P.G,Edidin.G,Kutinyok.G, (2005), Decompositions of Frames and a New Frame Identity, Proceeding of SPIE Bodman,B.G, Casazza,P.G,Kutyniok,.G, (2010), Upper and Lower Redundancy of Finite Frames, Annual Conference and Information Sciences and Systems (CISS) Casazza,P.G, (1998), Every Frame is a Sum of Three(but not two) Orthonormal Bases and Other Frame Representations, Journal of Fourier Analysis and Applications, Vol 4, No.6

33 Page 33 of 33 References Casazza,P.G, dan Kovacevic, J, (2001), Uniform Tight Frames for Signal Processing and Communications, In Proc.SPIE Conf on Wavelet Appl.in Signal and Image Proc Casazza, P.,Bodmann, B., dan Kutyniok, G. (2009), A Quantitative Notion of Redundancy for Finite Frames,Illinois/Missori Applied Harmonic Analysis Seminar Casazza,P.G,Leon,.M, (2010), Existense and Construction of Finite Frames with a Given Frame Operator, Int. J of Pure and Appl Math Christensen, O., (2003), An Introduction To Frames and Riesz Bases, Birkhauser, Boston. Christensen, O., (2006), Recent Developments in Frame Theory,Modern Mathematical Models,Methods and Algorithms for Real World System,