Daftar Pustaa DAAR PUSAKA [ arna, A., dan Studer,. A. (985), Radar Data Processng, ol. I Introducton and racng, Researc Studes Press. [ arna, A., dan Studer,. A. (985), Radar Data Processng, ol. II Advanced opcs and Applcatons, Researc Studes Press. [ Kayton, M., dan red, W. R. (997), Avoncs Navgaton Systems, Second dton, Jon Wley & Sons. [ R.. Kalman, R.S Bucy, New results n Lnear lterng and Predcton eory, Baltmore, Maryland (96). [5 Brooner l. (998), racng and Kalman lterng Made asy, Wley & Sons, nc, ISBN -7-87. [6 Gustafsson,., Lung, L., Mllnert, M. (), Sgnalbeandlng, Studentltteratur, pp. 89-6, ISBN 9--79-X. [7 Bar-Salom, Y., Rong L, X., Krubaraan,., (), stmaton wt applcatons to tracng and navgaton. eory, Algortms and Software, Jon Wley & Sons. [8 Par, S-., dan Lee J. G. (998), Desgn of a Practcal racng Algortm wt Radar Measurements, I ransactons on Aerospace and lectronc Systems ol., No. (October 998), alaman 7 -. [9 Cong, C. Y., Mor, S., Barer, W.., dan Cang, K. C. (), Arctectures and Algortms for rac Assocaton and uson, I AS Systems Magazne (January ), alaman 5. [ Bar-Salom, Y. dan ortman,.., (988), racng and Data Assocaton, San Dego, CA Academc Press. [ Noren, B. O. (), SCA an acraft conflct alert system, Master ess, Lnopng Unverstet. 7
Daftar Pustaa [ Welc, G. and Bsop, G. An Introducton to te Kalman lter, R 95- Department of Computer Scence. [ Muammad,. () andout Kula PN-55 Identfas Parameter Pesawat Udara, Departemen en Penerbangan, Insttut enolog Bandung. [ ran, O. (ebruary ) Multple arget racng, Master ess, Swss ederal Insttute of ecnology Zurc (). 7
Lampran A LAMPIRAN A Konsep Dasar stmas Berut n aan dberan sebua pengenalan epada masala estmas dasar. Masala estmas parameter random (aca) dan non-random aan delasan dengan tambaan beberapa estmator umum. Masala estmas sebua parameter tme nvarant delasan sebaga berut [. Dar observas ( w, ), z yang dbuat dengan nose w, arus dtemuan sebua fungs dar observas Xˆ ( z,) nla dar z : Δ ˆ yang meng-estmas pada watu. ˆX (.,.) dsebut aturan estmas atau estmator dan { z,..., z } adala semua observas dar watu e watu. stmator arus ddefnsan dengan memperatan suatu rtera nera yang menmberan perbandngan dar aturan-aturan berbeda dan estmas yang mungn. Searang aan dperenalan suatu fungs yang dsebut fungs arga (cost functon) κ ˆ yang memberan onseuens bla terad perbedaan antara nla sebenarnya dan estmas. Serng fungs arga : ( ˆ ) κ ˆ (A.) dgunaan. Perbedaan dar berbaga macam estmator dapat delompoan dalam tga tpe umum berut : [7 75
Lampran A Predctor, menggunaan observas anya pada nla sebelumnya sampa taap watu, dengan tuuan bawa varabel eadaan dar sstem dnam aan d-estmas : < lters, menggunaan observas sampa dan termasu d dalam taap watu, dengan tuuan bawa varabel eadaan dar sstem dnam aan destmas : Smooters, menggunaan observas leb dar taap watu, dengan tuuan bawa varabel eadaan dar sstem dnam aan d-estmas : < Selanutnya, estmator dar tpe edua d atas (lters) aan delasan, dmana dambl asums bawa. Sengga, masalanya adala menemuan aturan estmas untu : ˆ Xˆ ( z : ) (A.), Pada dasarnya, ada dua cara berbeda untu meng-estmas sebua parameter, tergantung dar apaa parameter tu aca (random) atau tda (non random) : Pendeatan Bayesan (parameter aca) : Dmula dengan a pror probablty densty functon (pdf) (fungs epadatan probabltas) p dar parameter aca yang a posteror pdf nya dapat dperole dengan menggunaan formula Bayes : ( z ) p p : p( z : ) (A.) p ( z ) : Dua metode yang umum dgunaan adala estmator mamum a posteror (MAP) dan estmator mnmum mean-squared error (MMS). Pendeatan Non-Bayesan (parameter tda aca) : 76
Lampran A Berlawanan dar penelasan d atas, tda ada a pror pdf yang dasosasan dengan parameter. Pada asus n, pdf penguuran dondsan sesua dengan parameter, yang dsebut fungs lelood λ dar parameter sebaga suatu uuran seberapa mrp sebua nla parameter, bla dber observas yang tela dml : ( z λ ) (A.) p : stmator mamum lelood (ML) dan metode least squares (LS) termasu pada elas estmator n. C.. Mamum Lelood stmator Aturan yang banya dpaa untu estmas parameter tda aca adala metode ML. uuannya adala menentuan nla dar parameter dengan memasmalan fungs lelood λ. stmas ML delasan dengan : arg ma p( z ) ML ˆ arg ma λ : (A.5) arus dngat, eta adala onstanta yang tda detau, fungs dar beberapa set observas aca z :, adala varabel aca. ˆ ML, sebaga C.. Mamum A Posteror stmator D dalam asus dmana parameter danggap aca, realsas dar menurut suatu pdf p dasumsan tela ada. Aturan Bayes dgunaan untu mencar a posteror pdf : p ( z ) p ( z ) p : : (A.6) p( z : ) A posteror pdf ( z p : ) adala suatu uuran seberapa mrp sebua nla parameter, bla dber observas ngga taap watu dan nformas a pror p Sengga untu suatu parameter aca. stmator-map adala evalen dengan estmator-ml untu parameter tda aca : 77
Lampran A MAP ˆ arg ma p( z : ) (A.7) arg ma[ p( z ) p (A.8) : ela elas, a a pror pdf p adala suatu dstrbus yang seragam (dsebut uga dffuse pror), maa estmas ML dan estmas MAP aan berarga sama. Sepert yang delasan pada [7, stmator ML non Bayesan buan lan adala estmator MAP Bayesan dengan etda-tauan a pror yang lengap, dreflesan dengan dstrbus a pror yang seragam. Pernyataan n mengaslan pandangan flosofs yang menyatuan pendeatan Bayesan dan non Bayesan teradap estmas. arus dcatat bawa estmator-map adala asus usus dar estmas Bayesan dmana nla yang darapan dar fungs arga κ ( ˆ ),ˆ,ˆ (A.9) arus dmnmalan. Nla arapan dar fungs arga adala sama dengan probabltas esalaan yang dber observas z : : [ ( ˆ ) z : P( X Z : z : κ ) (A.) Sengga estmator-map ddapat : MAP ˆ arg mn P( X Z : z : C.. stmator Least Squares ) (A.) ( X Z z ) (A.) arg ma P : : ( X ) p ( z ) : arg ma P (A.) p( z : ) ( X ) p( z ) arg ma P : (A.) Satu lag estmator untu parameter tda aca adala metode LS. Dasumsan bawa serangaan penguuran ubungan lewat fungs penentu dalam bentu : z : detau mempunya 78
Lampran A (, ) w z (A.5) stmas uadrat terecl dar setela mengambl penguuran adala nla yang memnmalan umla dar esalaan uadrat : LS ˆ arg mn [ z (, ) [ z (, ) (A.6) da ada asums yang dbuat untu nose w. C.. Mnmum Mean-Squared rror stmator Metode yang evalen dengan estmator-ls untu parameter aca ddapat dengan memnmalan esalaan uadrat nla tenga, estmator-mms. [( ˆ ) ( ˆ ) z MMS ˆ arg mn : (A.7) Dmana w adala serangaan varabel aca dengan pdf yang detau. Solus dar masala n ddapatan dengan menurunan nla yang darapan teradap estmas ˆ : ˆ Ddapatan : [( ˆ ) ˆ ˆ z : ( ˆ ) ( ˆ ) p( z ) d : ( ˆ ) p( z ) d (A.8) : (A.9) ( z ) d [ MMS ˆ p : z : (A.) Yang berart, bawa estmas MMS adala sama dengan nla tenga bersyarat yang dber semua observas. Peratan bawa proses estmas MMS adala suatu asus usus dar proses estmas Bayesan, z : dmana nla yang darapan dar fungs arga dmnmalan : [ κ( ˆ ) z : [ ˆ z : MMS ˆ arg mn ( ) κ ˆ ˆ arus (A.) 79
Lampran A Metode-metode d atas dpaparan untu memberan dasar-dasar dan gambaran mengena masala estmas dan estmator sederana yang serng dgunaan. 8
Lampran B LAMPIRAN B Penurunan Persamaan lter Kalman Sepert pada flter Wener, lter Kalman dpl untu memnmalan error uadrat nla tenga[ [ ) ˆ arg mn ( ˆ ˆ z,..., z n ˆ ( ) R (B.) Sepert tela dturunan pada Lampran A, esalaan uadrat nla tenga adala nla onds nla tenga dar eadaan pada taap watu, berdasaran semua observas z,...,z yang tergantung dar taap watu. [ z ˆ : (B.) Dmana z : menunuan semua observas sampa taap watu. stmas a pror ˆ ddapatan dengan memaa estmas sebelumnya ˆ sepert dalam persamaan (.8) pada Bab II: [ z ˆ (B.) : [ B u G v z (B.) : [ z B u G [ v : (B.5) z : B u (B.6) ˆ stmator lner yang reursf ngn dcar untu eadaan ( ). Jad proses estmas dapat dtuls sebaga umla lner yang dber bobot dar preds dan observas yang baru : 8
Lampran B ˆ K ˆ K z (B.7) Dmana matrs K dan K belum detau. Masala optmas n dapat dpecaan dengan memaa prnsp ortogonaltas. Kondsnya dtuls sebaga : [( ˆ ) z [( ˆ ) z,..., (B.8) (B.9) Dengan men-substtus dar (.8) dan ˆ dar (B.7) maa ddapatan [( B u G v K ˆ K z z ) (B.) Dan dengan menggant sesua (.9) z [( B u G v K ˆ K K w z [ z K [ ˆ z K [ z B u ) (B.) (B.) [ [ Dmana fata bawa w v tela dgunaan. Kemudan dengan men-substtus lag dar (.8) maa (B.) [ [ z K [ z ˆ z K dapat despresan sebaga B u G v dengan menggunaan (.8) dan ddapatan 8
Lampran B [ z K [ ˆ z K [ z (B.) [( K K ) K ( ˆ ) z (B.5) Dengan menggunaan (B.6) dan (.8) maa [ ˆ z [ G v [ ( ˆ ) z z (B.6) (B.7) Dan bla dbandngan dengan (B.9) maa dapat dlat bawa pernyataan n adala nol. Jad arnya ddapat ( I K K ) [ z (B.8) Persamaan n dapat dpaa ole setap a K I K (B.9) Dsubsttusan e dalam (B.7) mengaslan ( I K ) ˆ K z ˆ (B.) ( z ˆ ) ˆ (B.) K arus dperatan bawa ˆ adala observas yang dpreds, sengga bentu terar dar persamaan estmas n dapat dnterpretasan sebaga penumlaan dar preds dtamba bagan K dar perbedaan antara 8
Lampran B yang sebenarnya dengan observas yang dpreds. Gan K mas arus dtentuan. Kovaran esalaan estmas ddefnsan sebaga esalaan uadrat nla tenga dar estmas : P [( ˆ )( ˆ ) z : Δ (B.) Ddapat matrs ovaran esalaan estmas a pror dengan mengurangan (B.6) dengan (.8) : ( ˆ ) G v ˆ ˆ (B.) Dan mengambl nla arapan yang tela dondsan pada semua observas sampa pada watu -, mengaslan [( ˆ )( ˆ ) z : [ ( ˆ )( ˆ ) z : G P (B.) Q (B.5) G P G Q G (B.6) Leb au, matrs ovaran esalaan estmas a posteror ddefnsan [( ˆ )( ˆ ) z : P (B.7) Selanutnya, (.9) dsubsttusan e dalam (B.) dan emudan mensubsttusan aslnya untu ˆ e dalam (B.7) mengaslan 8
Lampran B P [( )( ) ˆ K ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ w K w (B.8) Setela tu dengan melauan proses espetas dan memperatan bawa [ ˆ z : [ ˆ w adala ovaran esalaan estmas a pror P dan, ddapatan ( I K ) P ( I K ) K R K P (B.9) Persamaan d atas adala espres umum dar ovaran esalaan estmas a posteror dan berlau untu semua arga K, enta tu optmal atau tda. Kembal epada masala optmas, darapan dapat dtemuan arga K yang usus untu memnmalan esalaan estmas uadrat nla tenga yang beronds : [( ˆ )( ˆ ) z : trace( [ ( ˆ )( ˆ ) z : ) (B.) trace P (B.) Persyaratan ndvdual pada dagonal mayor dar P arus dmnmalan arena persyaratan n merepresentasan varans esalaan estmas untu elemen-elemen dar vetor eadaan yang sedang destmas. Untu melauan optmasnya dperluan dua formula matrs dfferensal : A A [ trace( AB ) B [ trace ACA AC ( A, B) arus matrs perseg (B.) C arus matrs smetr (B.) 85
Lampran B Bentu umum P dar (B.9) arus dembangan dan dtuls : P K P P K K ( P R ) K P (B.) Dengan menurunan trace dar matrs K P teradap dan mengaplasan dua formula matrs dfferensal, maa ddapatan K [ tracep ( P ) K ( P R ) (B.5) Dengan mengngat fata bawa trace dar P K adala sama dengan trace dar transpose nya K P K P, penurunannya emudan dset berarga nol dan memberan pemecaan untu gan optmal K. Sengga ddapatan K ( P R ) P (B.6) Dengan arga K yang usus n, yang dnamaan Kalman Gan, persamaan (B.) menad estmator esalaan uadrat nla tenga mnmal lner yang optmal Persamaan-persamaan (B.6), (B.), dan (B.9) yang tela ddapat d atas secara berurutan dpaa pada persamaan-persamaan (.7), (.8), dan (.9) d Bab II. 86
Lampran C LAMPIRAN C Aplas Prats lter Kalman Pada Smulas Radar racng C.. Penurunan Matrs ranss Keadaan Φ Bla dambl tpe gera dengan ecepatan onstan sesua dengan persamaan (.), maa fungs eadaan, t Δ f bers persamaan-persamaan dar varabel eadaan, yatu (C.) y y dmana y, y,, y,, t y y Δ t Δ y y t y Δ f (C.) Dar persamaan (C.), matrs transs eadaan Φ dturunan sepert d bawa n : f Φ (C.) Sengga ddapatan 87
Lampran C (C.) Δt Φ t Δ, m Persamaan (C.) d atas dpaa pada persamaan (.) d Bab III. C.. Penurunan Matrs ranss Penguuran Matrs transs penguuran dturunan dar fungs penguuran teradap varabel eadaan, dmana persamaan penguuran yang dpaa adala : (C.5), y m y y maa : (C.6) Sengga ddapatan : (C.7) Persamaan (C.7) dpaa pada persamaan (.8) d Bab III. 88