4 II LANDASAN TEORI Dala bab ini akan diberikan eori-eori yang berkaian dengan peneliian ini. Teori-eori ersebu elipui persaaan dasar fluida yang akan disarikan dari Billingha dan King [7], dan Wiha [8]. Penyelesaian gelobang berjalan persaaan WBK yang disarikan dari Xie, e a.l [9] dan konsep eode hooopi berdasarkan rujukan Liao [6]..1 Persaaan Dasar Fluida Secara uu fluida dikenal eiliki kecenderungan unuk bergerak aau engalir. Dala penurunan persaaan dasar fluida diperlukan asusi bahwa air dianggap sebagai fluida akapa (incopressible), akberoasi (irroaional) dan akkenal (inviscid). Unuk enurunkan persaaan dasar fluida diperlukan huku kekekalan assa dan huku kekekalan oenu. Huku kekekalan assa pada suau sise enyaakan laju perubahan assa, yaiu selisih anara assa yang asuk dengan assa yang keluar pada sise ersebu. Huku kekekalan oenu pada suau sise enyaakan laju perubahan oenu, yaiu oenu yang asuk dan yang keluar diabah gaya-gaya yang bekerja pada sise ersebu. Gabar.1. Fluks assa yang keluar - asuk pada eleen luas Unuk endapakan persaaan koninuias, aka perhaikan Gabar.1. Jika rapa assa dan kecepaan parikel pada arah horizonal u, aka fluks
5 assa yang asuk dari sisi kiri dengan keinggian ( h ) adalah uh ( ), dengan sipangan gelobang dan h kedalaan air. Fluks assa yang keluar dari sisi kanan adalah uh ( ) dievaluasi di x x. Jika uraian Taylor digunakan, aka diperoleh u ( h ) u ( h ) u ( h ). xx x Jadi fluks assa yang keluar dari sisi kanan adalah u( h ) ( u( h )) x. x Pada sisi aas, kecepaan perukaan erupakan kecepaan parikel di perukaan, yaiu, sehingga fluks assanya adalah x. Karena diasusikan fluida berupa fluida akapa (incopressible), aka julah fluks assa yang asuk dikurangi dengan fluks assa yang keluar saa dengan nol, sehingga aau aau u( h ) u( h ) ( u( h )) x x uh ( ) x x x uh ( ) x x, x Jika persaaan (.1) dibagi dengan x, aka diperoleh aau uh ( ) x Jika peranan h u h u. x x digani dengan, aka diperoleh (.1) u u. x x (.)
6 Selanjunya diasusikan doain fluida dibaasi oleh dasar raa. Jadi kecepaan aliran fluida idak berganung pada kedalaan fluida, sehingga kecepaan parikel pada arah verikal dianggap sanga kecil. Berdasarkan huku kekekalan oenu pada arah verikal diperoleh persaaan beriku: v v v 1 p u v g. (.3) x y y dengan u adalah kecepaan parikel dala arah horizonal dan v adalah kecepaan parikel pada arah verikal, p ekanan fluida dan g gaya graviasi. Jika percepaan fluida pada arah verikal diabaikan, aka persaaan (.3) enjadi 1 p g y aau p g. (.4) y Jika persaaan (.4) diinegralkan erhadap y, aka diperoleh p p g y (.5). Selanjunya berdasarkan huku kekekalan oenu pada arah horizonal diperoleh u u u 1 u v p. (.6) x y x Jika urunan oal dari u adalah Du u u u v u, D x y aka persaaan (.6) dapa diulis Du 1 p. (.7) D x Karena u u( x, ), aka persaaan (.6) enjadi u u 1 p u. x x Jika persaaan (.5) diurunkan erhadap x, aka diperoleh (.8)
7 p g x x sehingga persaaan (.8) enjadi u u u, x x dan diasusikan g 1. (.9) Persaaan (.) dan (.9) adalah persaaan gelobang aklinear yang engabaikan fakor dispersi. Selanjunya akan diinjau gelobang dengan relasi dispersi yang diberikan sebagai beriku: k 4 (.1) dengan frekuensi gelobang, k bilangan gelobang sera dan suau konsana. Gelobang yang diperoleh eiliki sifa dispersi, yaiu kecepaan gelobang c berganung kepada bilangan gelobang k yang diruuskan sebagai beriku: c. (.11) k Apabila diabil 1 dan, aka relasi dispersi yang diperoleh erupakan relasi dispersi bagi persaaan Boussinesq. Sedangkan apabila dan, relasi dispersi yang diperoleh erupakan relasi dispersi bagi persaaan gelobang panjang [9]. Persaaan Boussinesq adalah suau persaaan gerak gelobang yang eraba dala dua arah. Relasi dispersi yang diberikan pada persaaan (.1) dapa diulis i ( ik) ik ( ik) i ( ik) 3. (.1) Jika k berkorespondensi dengan i dan berkorespondensi dengan i, x aka relasi dispersi pada persaaan (.1) berkorespondensi dengan persaaan beriku xx u 3 x xx aau
8 u u x xx u. xxx xx (.13) Penurunan persaaan (.13) diberikan pada Lapiran 1a. Persaaan (.13) erupakan persaaan gelobang yang elibakan fakor dispersi. Dengan deikian persaaan gelobang aklinear dan bersifa dispersi diberikan sebagai beriku: u u u u x x x (.14) 3 u u u, 3 x x x x dengan adalah sipangan gelobang yang diukur dari dasar fluida. Persaaan (.14) disebu persaaan Whiha-Broer-Koup (WBK). Berdasarkan Xie, e al. [9] diperoleh penjelasan engenai penyelesaian persaaan WBK dala benuk gelobang berjalan seperi yang akan dibahas pada bagian selanjunya. Selain iu, persaaan WBK akan diselesaikan dengan eode hooopi dan ebandingkan kedua hasil yang diperoleh.. Penyelesaian persaaan WBK dala benuk gelobang berjalan Misalkan penyelesaian persaaan (.14), dinyaakan dala benuk gelobang berjalan beriku: u( x, ) ( ), ( x, ) ( ), (.15) dengan k( x x ), dan x adalah konsana sebarang. Jika persaaan (.15) disubsiusikan ke dala persaaan (.14), aka diperoleh k k k k, k k k k 3 3. 3 Jika persaaan di aas dibagi dengan k, aka diperoleh
9 k, 3 k k. 3 (.16) Dengan enggunakan eode koefisien peubah, isalkan penyelesaian persaaan (.16) eiliki benuk beriku: ( ) b acosh bsinh, ( ) B A1 cosh B1 sinh A cosh sinh B sinh, (.17) dengan b, b, B, A1, B1, A, B akan dienukan, sedangkan berganung pada dan eenuhi diperoleh sinh. Jika persaaan (.17) disubsiusikan ke dala persaaan (.16), aka A ab b k b b B b ab A1 a a b B a k sinh cosh sinh 1 sinh cosh sinh 3 A ab bk sinh 1 1 1 b A ba ab B k A sinh aa bb b B b k A k B cosh sinh 1 1 b A ab ba ab 4ak 4B k A sinh 1 1 aa b B bb A k B cosh sinh 1 1 1 b A ab ba B k A sinh 3 1 1 1 3 3aA 3bB 6bk 6A k cosh sinh ba ab ba ab 6a k 6B k sinh 4 (.18) (.19) Karena sinh, dan cosh unuk seiap, aka dari persaaan (.18) dan (.19) diperoleh sise persaaan beriku:
1 A ab bk b b B b 1 ab A a 1 a b B ak A ab b k b A ba ab B k A 1 1 1 aa bb b B b k A k B 1 1 b A ab ba ab 4ak 4B k A 1 1 aa b B bb A k B 1 1 1 b A ab1 ba1 B1 k A 3aA 3bB 6bk 6A k ba ab ba ab 6ak 6B k. (.) Penurunan persaaan (.18) dan (.19) dapa diliha pada Lapiran 1b. Dengan enggunakan banuan sofware Maheaica diperoleh dua kasus penyelesaian dari persaaan (.). Kasus peraa diperoleh penyelesaian sebagai beriku: B B A A b, b B 1 1 a k.5.5 k, sedangkan kasus kedua diperoleh penyelesaian sebagai beriku: B B A, b, 1 1 a k b a,.5 a b( a k ), B a( a k )., (.1) (.) Dengan deikian penyelesaian persaaan (.16) berdasarkan kasus peraa, diperoleh: k.5 cosh k.5 sinh dan berdasarkan kasus kedua, diperoleh: (.3)
11 k cosh k.5 k cosh.5.5 sinh sinh.5 k sinh (.4) d Karena sinh, aka diperoleh d sinh csch, dan cosh coh. (.5) Selanjunya dengan enggunakan persaaan (.15), (.3), (.4) dan (.5), sera k, aka persaaan (.3) berbenuk u x k k x x.5 (, ) ( ) coh[ ( ) )],.5 ( x, ) k ( ( ) )csch [ k( x x) )], (.6) dan persaaan (.4) berbenuk csch [ k( x x ) ]..5.5 u( x, ) k coh[ k( x x ) ] k csch[ k( x x ) ] x, k coh[ k( x x ) ] csch[ k( x x ) ] k.5.5 (.7) Persaaan (.6) dan (.7) erupakan penyelesaian gelobang berjalan unuk persaaan WBK. Persaaan (.6) dan (.7) adalah persaaan yang akan digunakan sebagai pebanding dengan penyelesaian persaaan WBK dengan enggunakan eode hooopi. Konsep dasar eode hooopi akan diberikan pada bagian beriku..3 Meode Hooopi Beriku ini diberikan ilusrasi dari konsep eode hooopi. Misalkan diberikan persaaan diferensial beriku: v( ), (.8)
1 dengan operaor urunan, variabel bebas dan v fungsi yang akan dienukan. Selanjunya didefinisikan pula suau operaor linear eenuhi yang f, bila f. (.9) Misalkan v () erupakan pendekaan awal dari penyelesaian persaaan (.8) q suau paraeer. Didefinisikan fungsi real q ; :Ω,1 dan [,1] dan suau fungsi H sebagai beriku : dengan ; 1 H q q v q suau fungsi sebarang. R, (.3) Berdasarkan persaaan (.3), unuk q dan q 1 asing-asing eberikan persaaan beriku: dan H ; ; [ ; v ] H ( ;1);1 ;1. (.31) Menuru persaaan (.8), (.9) dan (.3) diperoleh bahwa fungsi ( ;) v ( ) dan ( ;1) v( ) asing-asing erupakan penyelesaian dari persaaan H[ ( ;);] dan H[ ( ;1);1]. Selanjunya, isalkan fungsi ( q, ) penyelesaian dari persaaan aau H[ ; q] q v q 1. (.3) Selanjunya, penurunan kali persaaan (.3) erhadap q, dengan q dan dibagi! akan diperoleh benuk persaaan orde ke- beriku: diana [ x( ) x 1( )] R ( v1) (.33) 1 1 [ ( q ; )] R ( v1) 1 ( 1)! q q (.34)
13 dan, 1. 1, 1 Dengan enggunakan dere Taylor, ( q, ) dapa diuraikan enjadi (.35) diana ( ; q) v ( ) v ( ) q, (.36) 1 1 ( q ; ) v ( ).! q q (.37) Jika persaaan (.37) dengan q 1, aka diperoleh v( ) v ( ) v ( ) q, (.38) 1 dengan v () adalah pendekaan penyelesaian awal dan v () diperoleh dari penyelesaian persaaan (.33). nilai H[ ; q] deforasi. Dengan deikian peningkaan nilai q dari ke 1 enyaakan perubahan dari v [ ] ke. Dala opologi hal ini disebu dengan Selanjunya, unuk lebih eahai eode ini, isalkan diberikan suau asalah nilai awal beriku: d x ( ) 4 y ( ) 3 e 4 4, d d y ( ) x ( ) 3 e, d dengan syara awal x() dan y(). Penyelesaian eksak dari asalah nilai awal ersebu adalah x e e ( ) 3 1, y e ( ) 1. (.39) (.4) Beriku ini akan dicari penyelesaian persaaan (.39) dengan enggunakan eode hooopi. Unuk iu, isalkan operaor aklinear diberikan sebagai beriku:
14 ( q ; ) [ ( ; q), ( ; q)] ( ; q) e 4, ( q ; ) [ ( ; q), ( ; q)] ( ; q) 3 e, 1 1 1 1 1 dan operor linear diberikan sebagai beriku: ( q ; ) 1 1[ 1( q ; )], ( q ; ) dan [ ( q ; )]. Selanjunya x () dan y () diperoleh dari persaaan beriku: (.41) (.4) diana x( ) x ( ) x ( ) q, 1 y( ) y ( ) y ( ) q, 1 x ()! y 1 1 1 ( q ; ) q ( q ; ) q ( ).! q q (.43) (.44) Keudian x () dan y () diperoleh dengan enggunakan persaaan beriku: 1 1 1[ 1( ; q), ( ; q)] x ( ) x 1( ) 1 d, 1 ( 1)! q q 1 1 [ 1( ; q), ( ; q)] y( ) y 1( ) d. 1 ( 1)! q q (.45) Dengan diberikan pada persaaan (.35), yang berganung pada nilai awal x () dan y(). Misalkan penyelesaian pendekaan awal x () 1, aka enuru persaaan (.45) diperoleh x e 4 3 3 1( ) 33 5, dan y ( ), dan 4 1 x( ) 33e 5 45 45e 51 6 1 3 3 3 3,
15 3 y1( ) 33e, 3 1 y( ) 33e 18 18e 9 1 3 3 4 deikian seerusnya hingga diperoleh serangkaian penyelesaian x, x1, x, x 3,... dan y, y1, y, y 3,... Jika dipilih 1, aka penyelesaian asalah nilai awal (.39) dengan eode hooopi adalah: 3 x( ) 9 9e 8 4... 3 1 y( ) 1 1e 3 3 3 4 3 8... Penurunan persaaan (.46) diberikan pada lapiran 1c. Beriku ini akan digunakan, (.46) banuan sofware Maheaicha unuk enggabarkan hapiran penyelesaian asalah nilai awal dengan enggunakan eode hooopi pada persaaan (3.39) hingga orde ke-1 dan dibandingkan dengan penyelesaian pada persaaan (.33). Jika paraeer abahan yang dipilih adalah 1, aka akan eberikan gala yang sanga kecil jika dibandingkan dengan penyelesaian pada persaaan (.33), seperi diunjukkan pada Tabel.1. Pada Tabel.1 erliha bahwa seakin inggi orde yang digunakan aka akan seakin endekai penyelesaian eksak dan daerah kekonvergenan akan seakin berabah. Penabahan daerah kekonvergenan juga berganung pada paraeer dan nilai pendekaan penyelesaian awal x () dan y ( ).
16 Tabel.1 Gala anara penyelesaian hooopi dan secara eksak x() y() dengan enggunakan eode Orde 3 Orde 5 Orde 1 Orde 3 Orde 5 Orde 1-3.57 1 1.643 1 1 7.4468 1 -.776 1 1.6778 1.1485 1-1.4 1.33 1 1 4.1915 1 6.78 1-3 1.196 1.4759 1 1.817 1-4 -1. 3.8754 1.748 1 3.55 1-4.43 1 9.775 1-5.457 1-4 -.8.7696 1 6.6384 1-3.7768 1-6 9.688 1-9.41 1-3 6.3819 1-6 -.4 4.91 1-1.583 1-3 1.9617 1-9 7.884 1-4 1.5911 1-4 3.1818 1-9 4.9146 1-15.866 1-14 1.1419 1-11 1.6653 1-3.546 1-1.887 1 -.4 5.4751 1-1.143 1-3.448 1-9 1.578 1 -.118 1-4 3.311 1-9.8.9664 1 7.7811 1-5.76 1-6.161 1 1.651 1-6.986 1-6 1..56 1 1.969 1 5.463 1 -.14394 1 1.5 1 6.688 1-4 1.6.18 1.5981 1 1 1.331 1 -.6159 1 1 1.57 1 1.556 1 -.64 1.59 1.1744 1.93 1.779 1 1.191 1