erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3

erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung perkalian silang dari suatu vektor dan mengetahui contoh aplikasinya

Perkalian silang (cross product) vektor u dan vektor v di Ruang-3 dan mengapit sudut, u = (u 1, u 2, u 3 ) v = (v 1, v 2, v 3 ) maka u v = w di mana w ortogonal terhadap u dan v u v = u 2 u 3, u 1 u 3, u 1 u 2 v 2 v 3 v 1 v 3 v 1 v 2 w 1 w 2 w 3 Aturan tangan kanan: w = u v Arah genggaman = arah u ke v Arah ibu jari = arah w u v

Perkalian silang (cross product) u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3

Perkalian silang (cross product) Teorema 3.4.1 Jika u, v dan w adalah vektor dalam dimensi 3: u. (u v) = 0 (skalar) v. (u v) = 0 (skalar) u v 2 = u 2 v 2 (u. v) 2 u (v w) = (u. w)v (u. v)w (u v) w = (u. w)v (v. w)u

Perkalian silang (cross product) Teorema 3.4.2 Jika u, v dan w adalah vektor dalam dimensi 3: u v = (v u) u (v + w) = (u v) + (u w) (u + v) w = (u w) + (v w) k (u v) = (ku) v = u (kv) u 0 = 0 u = 0 u u = 0

Vektor Satuan Standar (dalam ruang dimensi 3) Vektor-vektor satuan di Ruang-3 : i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1) k i i j i k j k j i i = j j = k k = 0 (vektor nol) i j = k j k = i k i = j j i = k k j = i i k = j

Dengan demikian jika u dan v dinyatakan dalam i, j, k, maka u v = i j k Catatan: u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u = (u 1, u 2, u 3 ) = (u 1, 0, 0) + (0, u 2, 0) + (0, 0, u 3 ) = (u 1, 0, 0) + (0, u 2, 0) + (0, 0, u 3 ) = u 1 i + u 2 j + u 3 k

Teorema 3.4.1 & 3.4.2: Teorema 3.4.3 & 3.4.4: u. (u v) = 0 (skalar) Jika u dan v merupakan vektor v. (u v) = 0 (skalar) di Ruang-3 maka u v adalah u v 2 = u 2 v 2 (u. v) 2 luas jajaran genjang yang u (v w) = (u. w)v (u. v)w dibentuk oleh u dan v. (u v) w = (u. w)v (v. w)u u = (u 1, u 2, u 3 ); v = (v 1, v 2, v 3 ); w = (w 1, w 2, w 3 ) u v = (v u) u 1 u 2 u 3 u (v + w) = (u v) + (u w) v 1 v 2 v 3 (u + v) w = (u w) + (v w) w 1 w 2 w 3 k (u v) = (ku) v = u (kv) u 0 = 0 u = 0 u u = 0 adalah volume parallelepipedum yang dibentuk u, v, w (ambil harga mutlaknya)

i j k u v u u u v v v 1 2 3 1 2 3 u2 u3 u1 u3 u1 u2 = i j k v2 v3 v1 v3 v1 v2 Contoh: i j k u (1, 2, 2) u v 1 2 2 2i 7 j 6k v (3, 0,1) 3 0 1 u (1, 1,2), v (0,3,1) 3 1 0 1 0 3 vu i j k 1 2 1 2 1 1 vu 7i j 3k

Contoh (3) : Carilah luas segitiga yang dibentuk titik P1(2,2,0), P2(-1,0,2), P3(0,4,3) Penyelesaian : P1P2 = (-3,-2,2), P1P3 = (-2,2,3) Luas segitiga A 1 2 ( P1P 2 P1P3) Luas segitiga A 1 2 i 3 2 j 2 2 k 2 3 1 2 10i 5 j 10k Luas segitiga A 1 2 100 25 100 1 2 225 15 2

Teorema : Jika u dan v adalah vektor berdimensi 3, maka u x v merupakan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v Contoh : hitung luas jajaran genjang yang dibentuk oleh 3 titik dicontoh sebelumnya Penyelesaian : Luas = 2 x luas segitiga = 2 x 15/2 = 15

Teorema : jika u,v, dan w merupakan vektor dimensi 3, maka u.(v w ) disebut sebagai hasil skalar ganda tiga dari u,v, dan w 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ) ( w w w v v v u u u w v u

Contoh: hitung u.(v w ) dengan u = 3i 2j 5k, v = i +4j 4k, w = 3j + 2k Penyelesaian : 49 3 0 4 1 5 2 0 4 1 2 2 3 4 4 3 ) ( 2 3 0 4 4 1 5 2 3 ) ( w v u w v u

Garis dan Bidang di Ruang-3

Bidang Datar: Persamaan normal-titik (point normal form): Titik P o (x o,y o,z o ) dan titik P(x, y, z) terletak di bidang datar Vektor normal n = (a, b, c) ortogonal terhadap bidang n = (a, b, c) Vektor P o P = (x x o, y y o, z z o ) Karena n ortogonal terhadap, maka n juga ortogonal terhadap vektor P o P, sehingga P o P n. P o P = 0 Bidang Datar dinyatakan dengan persamaan: a(x x o ) + b(y y o ) + c(z z o ) = 0

Bidang Datar: a(x x o ) + b(y y o ) + c(z z o ) = 0 Contoh : Tentukan persamaan bidang yang melewati titik (3,-1,7) dan tegak lurus terhadap vektor n = (4,2,-5) Penyelesaian : 4(x-3) + 2(y+1) 5(z-7) = 0 Jadikan bentuk ax + by + cz + d = 0 Maka persamaan bidang adalah 4x + 2y 5z + 25 = 0

Bidang Datar: a(x x o ) + b(y y o ) + c(z z o ) = 0 Contoh : Tentukan persamaan suatu bidang yang melewati titik-titik P 1 (1,2,-1), P 2 (2,3,1), dan P 3 (3,-1,2). Penyelesaian : Karena ketiga titik terletak pada satu bidang, maka tentukan P 1 P 2 dan P 1 P 3 Berdasarkan hal tersebut, maka P 1 P 2 x P 1 P 3 adalah normal terhadap bidang tersebut x 0, y 0, z 0 boleh dipilih dari salah satu titik P 1, P 2, atau P 3 P 1 P 2 = (2-1, 3-2, 1+1) = (1,1,2) P 1 P 3 = (3-1, -1-2, 2+1) = (2,-3,3) P 1 P 2 x P 1 P 3 = (9,1,-5) Persamaan bidang 9(x-1) + (y-2) 5(z+1) = 0

Bentuk umum Persamaan Bidang Datar: Dari Persamaan Normal-titik (point normal form): a(x x o ) + b(y y o ) + c(z z o ) = 0 ax + by + cz + ( ax o by o cz o ) = 0 ax + by + cz + d = 0 n = (a, b, c) Bidang Datar dinyatakan dengan persamaan : P o P ax + by + cz + d = 0

Bidang Datar: Bentuk vektor Persamaan Bidang Datar: Dalam Persamaan normal-titik P dan P o dianggap sebagai titik. Jika r = vektor OP dan r o = vektor OP o, maka vektor P o P = r r o (di sini titik O adalah titik awal koordinat Cartesius) P O r r r o P o r o Dari n. P o P = 0 diperoleh n. (r r o ) = 0

Persamaan Garis Lurus di Ruang-3: P(x, y, z) P o (x o, y o, z o ) v (a, b, c) Bentuk Parametrik Persamaan Garis Lurus: Vektor P o P sejajar dengan vektor v P o P = (x x o, y y o, z z o ) P o P = tv (t skalar) (x x o, y y o, z z o ) = t(a, b, c) x x o = ta y y o = tb z z o = tc x = x o + ta y = y o + tb z = z o + tc Persamaan Parametrik

Persamaan Garis Lurus di Ruang-3: Contoh Garis yang melewati titik (1,2,-3) dan sejajar dengan vektor v= (4,5,-7) memiliki persamaan parametrik : x = 1 + 4t y = 2 + 5t z = -3-7t Contoh Tentukan persamaan parametrik untuk garis l yang melewati titik P1 (2,4,-1) dan P2 (5,0,7), dan dimanakah garis tersebut memotong bidang xy? Penyelesaian : a) Persamaan parametrik : P 1 P 2 = (5-2, 0-4, 7+1) = (3,-4,8) x = 2 + 3t, y = 4-4t, z = -1+8t b) Memotong bidang xy, maka z = -1+8t = 0 t = 1/8 (x,y,z) = (19/8, 7/2, 0)

Persamaan Garis Lurus di Ruang-3 Bentuk vektoris Persamaan Garis Lurus: P o (x o, y o, z o ) r o r - r o v P(x, y, z) r (a, b, c) r r o sejajar v r r o = tv r = r o + tv

Jarak dari sebuah titik ke bidang datar n = (a, b, c). P o(x o, y o, z o ) D = proj n QP o = QP o. n / n Q(x 1, y 1, z 1 ). D = n. QP o / n n = (a, b) QP o = (x o x 1, y o y 1, z o z 1 ) Persamaan bidang: ax + by + cz + d = 0 n. QP o = a(x o x 1 ) + b(y o y 1 ) + c(z o z 1 ) = ax o ax 1 + by o by 1 + cz o cz 1 = ax o + by o + cz o ax 1 by 1 cz 1

Jarak dari sebuah titik ke bidang datar n = (a, b, c). P o (x o, y o, z o ) D n = a 2 + b 2 n. QP o = a(x o x 1 ) + b(y o y 1 ) + c(z o z 1 ). Q(x 1, y 1, z 1 ) Persamaan bidang: ax + by + cz + d = 0 Karena Q terletak di bidang ini, maka ax 1 + by 1 + cz 1 + d = 0 = ax o ax 1 + by o by 1 + cz o cz 1 = ax o + by o + cz o ax 1 by 1 cz 1 = ax o + by o + cz o + d D = n. QP o / n = a x o + by o + cz o + d / a 2 + b 2 +c 2 atau d = ax 1 by 1 cz 1

Jarak dari sebuah titik ke bidang datar

Jarak dari sebuah titik ke bidang datar Tentukan jarak D antara titik (1,-4,-3) dengan bidang 2x -3y +6z = -1 Penyelesaian Bidang : 2x 3y + 6z + 1 = 0 D = 2 1 + 3 4 + 6 3 + 1 2 2 + ( 3) 2 +6 2

Jarak antara bidang-bidang sejajar Bidang x + 2y -2z =3 dan 2x + 4y -4z = 7 Adalah sejajar karena normalnya adalah (1,2,-2) dan (2,4,-4). Tentukan jarak antara kedua bidang tersebut. Penyelesaian : Pilih salah satu titik dari sebarang bidang hitung jaraknya terhadap bidang lain Misal masukkan y = z = 0 ke x + 2y -2z =3 maka diperoleh titik P(3,0,0). Hitung jarak antara titik P(3,0,0) dengan bidang 2x + 4y -4z = 7 D = 2 3 + 4 0 + 4 0 7 2 2 + 4 2 + (4) 2 = 1 6

.. end of slide.. THANK YOU *(^_^)*