Aljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 7-8

Transkripsi

1 Aljabar Linear & Matriks Pert. 7-8 Evangs Mailoa

2 Yang dipelajari hari ini: Aritmatika Vektor Konsep Geometrik Titik, Garis dan Bidang Perkalian Titik

3 Euclidean Vector Spaces I There are two major topics in this module: Euclidean n-space, R n Linear Transformations from R n to R m

4 Some Important Properties of Vector Operations in R n If u, v, and w are vectors in R n and k and s are scalars, then the following hold: (See Theorem 4.1.1) a) u + v = v + u b) u + ( v + w ) = (u + v) + w c) u + 0 = 0 + u = u d) u + (-u) = 0 e) k(su) =(ks)u f) k(u + v) = ku + kv g) (k + s)u = ku + su h) 1u = u

5 Pengenalan Koordinat - 2D y y x Ini yang akan sering digunakan dalam dunia komputer - Aturan tangan kiri 3D z y x - Aturan tangan kanan 3D x z

6 Vektor Sebuah vektor mempunyai panjang dan arah. Vektor dinyatakan dengan cara yang sama dengan koordinat titik: Point (5,10) Vector (5,10) Tetapi bagaimana perbedaannya?

7 Vektor Sebuah titik mempunyai lokasi v = (5,10) P = (5,10) Sebuah vektor tidak mempunyai lokasi Sebuah vektor adalah sebuah lintasan antara satu titik dengan titik yang lain

8 Vektor Vektor dapat ditentukan dengan pengurangan koordinat titik P = (1,10) v Q = (8,1) v = Q P v = (8-1,1-10) v = (7, -9) Dengan kata lain, v mengatakan pada kita bagaimana untuk mendapatkan dari P ke Q

9 Vektor P = (1,10) v Q = (8,1) Definisi Perbedaan antara dua titik adalah sebuah vektor v = Q - P Jumlah titik dan vektor adalah titik : Q = P + v

10 Vektor Quiz! Tentukan vektor dari P = (9,10) ke Q = (15,7)? v = (6, -3) Tentukan titik dari hasil penambahan vektor v = (9,-20) dengan titik P = (1,2)? Q = (10, -18) Tentukan titik dari hasil penambahan vektor v = (-9,35) dengan titik P = (-1,-2)? Q = (-10, 33)

11 Ada dua operasi dasar vektor: skala 8v jika v = (1,2) maka 8v = (8,16) tambah v + a v = (3,4), a = (8,1) maka v+a = (11,5)

12 Penskalaan vektor v 2v 0.5v -0.5v

13 Penambahan vektor v a v v+a -a a v-a v

14

15 Kombinasi Linier Penambahan vektor skala bersama-sama Definisi 8v + 2a Kombinasi linier dari m vektor v 1, v 2,,v m adalah vektor: w = a 1 v 1 + a 2 v a m v m

16 Kombinasi Linier Contoh v = (1,2,3) dan a = (1,1,1) 2v + 3a = (2,4,6) + (3,3,3) = (5,7,9)

17 Kombinasi Linier Kombinasi Affine Jumlah semua komponen adalah satu a 1 + a a m = 1 Contoh: 3a + 2b 4c (3+2-4=1) Penentuan kombinasi affine (1-t)a + (t)b

18 Pertanyaan Tentukan koefisien untuk transformasi affine: ia + jb + Xc Berapakah koefisien c? i + j + X = 1 X = 1 i j maka ia + jb + (1-i-j)c

19 Kombinasi Linier Kombinasi Konvek Jumlah semua komponen satu tetapi Semua koefisien harus diantara 0 dan 1 Contoh. a 1 + a a m = 1 dan 1 >= a i >= 0 untuk semua 1,,m Contoh..9v +.1w.25v +.75w

20 Kombinasi Linier Kombinasi Konvek Set semua kombinasi konvek dari dua vektor v 1 dan v 2 adalah: v = (1-a)v 1 + av 2

21 Kombinasi Linier Kombinasi Konvek v = (1-a)v 1 + av 2 dapat ditulis lagi: v = v 1 + a(v 2 -v 1 ) Ini menunjukkan bahwa vektor v akan menjadi v 1 ditambah beberapa versi skala dari penggabungan v 1 dengan v 2 v 2 v2 v 1 v a(v 2 v 1 ) v 1

22 Kombinasi Linier Kombinasi Konvek Diberikan 3 vektor v 1, v 2 dan v 3 maka kombinasi akan menjadi: v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + (1-a 1 -a 2 )v 3 Contoh: 0.3v v = 0.2v v v 2 v 1 3 v 3 0.2v 1 v 2 0.5v 3 Semua nilai v akan terletak di kawasan ini

23 Kombinasi Linier Kombinasi Konvek Diberikan 3 vektor v 1, v 2 dan v 3 maka kombinasi akan menjadi: v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + (1-a 1 -a 2 )v 3 v 3 0.5v 2 Semua nilai v akan terletak di kawasan ini v 2 Contoh : v 0.5v 1 1 v = 0.5v v 2 + 0v 3

24 Besar Adalah panjang vektor Ditentukan menggunakan teorema Pitagoras Masih ingatkan akan teorema ini? a h h a 2 b 2 b

25 Besar Teorema Pitagoras: v 2 v x y 2 Koordinat y Koordinat x

26 Besar Teorema Pitagoras: Contoh: Berapakah besar v = (5,10)? v = sqrt( ) = sqrt(25+100) = sqrt(125) = 11.18

27 Besar P = (1,10) v Q = (8,1)

28 Vektor Normal Kadang kala sangat berguna untuk menskala vektor menjadi vektor satuan sehingga panjangnya adalah satu. Vektor normal disimbulkan dengan a topi: â. Yaitu pembagian koordinat vektor dengan panjang vektor. â = a/ a

29 Contoh: Berapakah vektor normal a = (1,5,3)? a = sqrt( ) = â = (1/5.916, 5/5.916, 3/5.916) = (0.169, 0.845, 0.5)

30 Perkalian titik Digunakan untuk menyelesaikan masalah geometri dalam grafika komputer. Berguna untuk menentukan perpotongan garis dengan vektor.

31 Perkalian titik Operasi Vektor Dihitung dengan perkalian dan penambahan nilai baris dengan nilai kolom. Definisi Perkalian titik dua vektor v٠w adalah: n i 1 viwi

32 Perkalian titik Jika diketahui v = (v 1,v 2 ) dan w = (w 1,w 2 ) Perkalian titik, v ٠ w akan menghasilkan: (v 1 w 1 +v 2 w 2 ) Contoh, v = (2,1) dan w = (3,5) maka v ٠ w akan menghasilkan : 2*3 + 1*5 = 11 Contoh, v = (2,2,2,2) dan w = (4,1,2,1.1), v ٠ w akan menghasilkan : 2*4 + 2*1 + 2*2 + 2 * 1.1 = 16.2

33 Linear Operators for Rotation

34 Linear Operators for Rotation

35 Linear Operators for Rotation

36 Linear Operators for Rotation

37 Perkalian titik Contoh: Cari sudut antara (5,6) dan (8,2) cos(ө ) = ĉ ٠ ê ĉ = c/ c = (5,6) / sqrt( ) = (5,6) / 7.8 = (0.64,0.77) ê = e/ e = (8,2) / sqrt( ) = (8,2) / 8.25 = (0.8,0.24) ĉ ٠ ê = Ө = cos- 1 (0.8248) = Ө c e

38 Perkalian titik Operasi Vektor Tegaklurus atau orthogonal atau normal? Dua vektor tegaklurus jika sudut yang dibentuk anatar vektor ini adalah 90 derajad. jika e ٠ c > 0 sudut antara dua vektor kurang dari 90 o jika e ٠ c = 0 ; dua vektor tegaklurus jika e ٠ c < 0 sudut antara dua vektor lebih dari 90 o e e c c e c

39 Perkalian titik Vektor-vektor yang berada pada sumbu koordinat adalah tegak lurus: (0,1,0) (1,0,0) (0,0,1) Cara penulisan: vektor satuan

40 Perkalian titik Sembarang vektor 3D dapat ditulis sebagai kombinasi skalar dari 3 vektor satuan: (a,b,c) = ai + bj + ck (3,2,-1) = 3(1,0,0) + 2(0,1,0) 1(0,0,1) j=(0,1,0) i=(1,0,0) k=(0,0,1)

41 Mau bertanya..?