RELIABILITAS & FUNGSI HAZARD 1
RELIABILITAS Peluang bahwa suatu produk atau jasa akan beroperasi dengan baik dalam jangka waktu tertentu (durabilitas) pada kondisi pengoperasian sesuai dengan desain (suhu, tekanan, dll.) tanpa ada kerusakan. Reliabilitas digunakan sebagai ukuran keberhasilan suatu sistem bekerja sebagaimana mestinya dengan baik. 2
Anggap n 0 adl banyak komponen yg diuji. Selama interval waktu (t - t, t) didapatkan n f (t) yakni banyak komponen yg rusak (failed components) dan n s (t) yakni banyak komponen yg tetap baik (surviving component), [n f (t) + n s (t) = n 0 ]. Reliabilitas didefinisikan sebagai fungsi peluang kumulatif dari sukses pd saat t, maka reliabilitas R(t) ditulis, Rt () ns( t) ns( t) n ( t) n ( t) n ( t) s f 0 3
Dg kata lain, jika t adl var random yg menunjukkan waktu untuk rusak/gagal (time to failure/ttf), maka fungsi reliabilitas pada saat t adl R( t) P( t t) Distribusi kumulatif untuk fungsi kerusakan F(t) adl komplemen R(t), R( t) F( t) 1 4
Jika TTF t mempunyai fungsi kepekatan peluang (probability density function/p.d.f) f(t), maka R( t) 1 F( t) 1 f ( ) d. 0 Jika diturunkan terhadap t, didapatkan t dr() t dt f() t 5
Misal: jika distribusi TTF adl eksponensial dg parameter λ, maka f () t e t Dan fungsi reliabilitasnya adl t R( t) 1 F( t) 1 e d e. t 0 6
Shg, peluang kerusakan dari satu komponen pd interval waktu [t 1, t 2 ] dlm bentuk fungsi reliabilitasnya dinyatakan sebagai, t t 2 1 f ( t) dt R( t ) R( t ) 1 1 Laju kerusakan (failure rate) pada interval waktu [t 1, t 2 ] didefinisikan sbg peluang bahwa kerusakan per unit waktu terjadi pada interval tsb dan tidak ada kerusakan yg terjadi sebelum t 1. Laju kerusakan dinyatakan sbg, R( t1) R( t1) ( t t ) R( t ) 2 1 1 7
Jika kita mengganti t 1 dg t dan t 2 dg t + t, maka (9) dapat ditulis, R( t) R( t t) t R( t) Fungsi hazard didefinisikan sbg limit dari laju kerusakan di mana t mendekati 0. Dg kata lain, fungsi hazard adl laju kerusakan sesaat (instantaneous failure rate) yg dinyatakan dg R( t) R( t t) 1 d h( t) lim R( t) t 0 t R( t) R( t) dt f() t Rt () 8
Contoh: Sebuah perusahaan bola lampu ingin mengestimasi rata-rata hidup (the mean life) dari produknya. 200 bola lampu diamati untuk menguji reliabilitasnya dan dicatat banyak bola lampu yg mati (failure) tiap interval waktu 1000 jam. Berikut datanya, Interval Waktu (Jam) Banyak Kerusakan 0 1000 100 1001 2000 40 2001 3000 20 3001 4000 15 4001 5000 10 5001 6000 8 6001 7000 7 Total 200 9
Misalkan: Estimasi fungsi massa kerusakan f e (t), estimasi fungsi hazard h e (t), estimasi fungsi kumulatif peluang F e (t), dan estimasi fungsi reliabilitas R e (t), dimana subskrip e = estimasi, adalah f () t e n n f 0 () t t R () t e fe() t h (t) e h () t e n n s f () t (t) t R ( t) 1 F ( t) e e 10
Hasil penghitungan: 11
fe(t) Plot f e (t) terhadap waktu 6 Histogram fe(t) 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 12
he(t) Plot h e (t) terhadap waktu 12,00 Histogram he(t) 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 1 2 3 4 5 6 7 13
Re(t) Plot R e (t) terhadap waktu 1,2 Histogram Re(t) 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1 2 3 4 5 6 7 14
Fe(t) Plot F e (t) terhadap waktu 1,2 Histogram Fe(t) 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1 2 3 4 5 6 7 15
FUNGSI HAZARD Fungsi hazard / laju hazard (hazard rate) adl peluang bersyarat dr kerusakan dlm interval waktu t hingga (t + t), yakni bahwa tidak ada kerusakan pd saat t, ht () f() t Rt () Fungsi kumulatif hazard adl peluang bersyarat dr kerusakan dlm interval 0 hingga t, t H( t) h( ) d( ) 0 16
Kegunaan fungsi hazard: 1. Mengestimasi waku terjadinya kerusakan (atau waktu antar kerusakan) 2. Mengestimasi jumlah kru yang akan berperan dlm perbaikan sistem 3. Mengestimasi ketersediaan sistem 4. Mengestimasi biaya garansi 5. Mengkaji kerusakan terhadap waktu 17
Fungsi hazard adl fungsi terhadap waktu. 18
BEBERAPA MACAM FUNGSI HAZARD 1. Hazard Konstan 2. Hazard Linier Positif 3. Model Weibull 4. Model Normal 5. Model Lognormal 6. Model Gamma 7. Model Beta 19
1. HAZARD KONSTAN Banyak komponen elektronik seperti transistor, resistor, sirkuit, dan kapasitor, diketahui bhw komponen tsb mpy laju kerusakan yang konstan. Laju kerusakannya tjd di akhir periode kerusakan awal. Fungsi hazard konstan, h(t), ditulis sebagai ht () 20
Maka t f ( t) h( t)exp h( ) d 0 f () t e t F( t) e 1 e 0 t t t R( t) 1 F( t) 1 (1 e ) e t 21
Contoh: Sebuah perusahaan melakukan Uji Hidup Operasional (Operational Life Test/OLT) pada kapasitor keramik dan menemukan bahwa kapasitor tsb mpy laju kerusakan konstan (dinyatakan dlm fungsi hazard) dg nilai 3.10-8 kerusakan/jam. Berapakah reliabilitas sebuah kapasitor setelah digunakan selama setahun (10 4 jam)? Untuk menerima kiriman kapasitor tsb, konsumen memutuskan untuk melakukan tes selama 5000 jam dari 2000 sampel kapasitor. Berapakah kapasitor yg diduga rusak selama test? 22
Solusi: ht 8 ( ) 310 kerusakan/jam t 8 310 dt 0 R() t e e R 4 3 10 8 4 310 (10 ) e 0,99970 n R n e 310 5000 s (5000 jam) (5000) 0 2000 n 2000 1999 1 kapasitor. f t 8 1999 kapasitor 23
2. HAZARD LINIER POSITIF Komponen menunjukkan laju kerusakan linier positif ketika komponen tsb aus. Komponen mesin seperti: tangkai poros putar, katup, dan roda sisir, diketahui secara umum mpy laju kerusakan linier positif. Laju kerusakan linier positif dinyatakan, Di mana λ konstan. h() t t 24
P.d.f, f(t), adalah distribusi Rayleigh, dengan: f () t te t 2 2 F( t) 1 e t 2 2 R() t e t 2 2 2 Rata-rata ; Varians 1. 2 4 25
26
27
Contoh: Rolling resistance adl suatu ukuran dr banyaknya energi yg hilang dlm ban ketika menahan dikarenakan arah yg berlawanan (gaya gesek). Sebuah perusahaan ban memperkenalkan material baru yg secara signifikan tidak hanya mampu mengembangkan rolling resistance tetapi juga menambah laju penggunaan dari ban. Analisa uji laboratorium dari 150 ban menunjukkan bahwa laju kerusakan dari ban baru adalah linier positif thdp waktu dg h t 8 ( ) 0,510 t. 28
Tentukan reliabilitas dari ban setelah penggunaan satu tahun. Berapakah rata-rata waktu untuk mengganti ban krn aus? Solusi: Reliabilitas setelah satu tahun penggunaan: 2 8 4 2 t (0,510 )(10 ) 2 2 R( t) e e 0,7788 29
Rata-rata waktu untuk mengganti ban adl Rata-rata ( t ) 17724 jam 8 2 20,510 30
3. MODEL WEIBULL Bentuk non-linier dari fungsi hazard digunakan ketika secara jelas tidak dapat direpresantikan secara linier terhadap waktu dengan fungsi hazard yang dikenal dengan Model Weibull: 1 h( t) t. untuk dan bernilai positif. 31
f(t) diberikan, f t t e t t ( ) 1, 0. Dimana: θ = parameter skala (sifat umur produk/char. life) γ = parameter bentuk bentuk distribusi Jika γ = 1 maka f(t) adl density eksponensial, Jika γ = 2 maka f(t) adl distribusi Rayleigh, Jika γ = 3,43938 maka akan mendekati distribusi Normal. 32
Plot pdf Weibull 0.12 0.1 Dengan θ = 20 data1 data2 data3 0.08 γ = 5,5 0.06 γ = 3 0.04 γ = 1 f(t) 0.02 0 0 5 10 15 20 25 30 35 waktu 33
Fungsi kerusakan kumulatif dan Reliabilitas: t t 1 ( ) 1, dg 0. F t e d e t 0 t R( t) e, dg t 0. 34
Ketika γ > 1, laju hazard adl fungsi monoton naik tanpa batas atas yg menggambarkan wilayah aus dr kurva bathub. Ketika γ = 1 laju kerusakan menjadi konstan dan ketika γ < 1, fungsi hazard adl fungsi menurun. Rata-rata dan varians dari distribusi Weibull adl 1 ET [ ] 1 1 2 2 1 Var[ T ] 1 1 35 2
Dimana Γ(n) adl fungsi Gamma, 0 n1 x n x e dx dan 0 n1 x n x e dx n. 36
Contoh: Metode Prot digunakan untuk menentukan batas lelah (fatigue limit) dari baja batangan. Uji tsb menggunakan level tekanan berjenjang yg diterapkan proses daur ulang hingga dinyatakan gagal. Jumlah gagal daur ulang yg diamati mengikuti distribusi Weibull dg θ = 250 (pengukuran pd 10 5 daur ulang) dan γ = 2. a) Berapa reliabilitas batangan pd 10 6 daur ulang? Berapa fungsi hazard yg bersesuaian? b) Berapa waktu hidup duga (expected life dlm daur ulang) untuk batangan baja jenis ini? 37
Solusi: a). Reliabilitas dr Model Weibull, 10 2 6 5 250 0,4 (10 /10 ) 0, 6703. R e e dan h 2 250 6 5 (10 /10 ) 10 0, 08 kerusakan. 38
b). Nilai hidup duga dr batangan baja jenis ini, 1 1 2 1 1 ET [ ] 1 (250) 1 2 (15,8114)(0,8862) 14, 013. Jadi, harapan hidup dari baja batangan mencapai 14x10 5 kali daur ulang. 39
4. MODEL NORMAL P.d.f normal: 2 1 1t f ( t) exp, t. 2 2 Kumulatif dan reliabilitas normal komponen t 2 1 1 F( t) P( t t) exp d, 2 2 R( t) 1 F( t). 40
P.d.f. untuk normal baku: 2 1 z ( z) exp, z, 2 2 dengan z. Fungsi distribusi kumulatif, 2 1 z ( ) exp dz. 2 2 41
Jika waktu kerusakan suatu komponen t~n(μ, σ), maka suatu komponen akan rusak pada saat t dinyatakan, Fungsi hazard, t t P( t t) Pt. t f() t ht ( ). R( t) R( t) 42
f(t) P.d.f. Normal 0.4 Distribusi Normal 0.35 0.3 μ = 1 σ = 1 0.25 0.2 σ = 2,5 0.15 0.1 σ = 4,5 0.05 0 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 waktu, t 43
F(t) 1 Kumulatif Normal 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 = 1 = 2 = 3 0 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Waktu, t. 44
R(t) 1 0.9 0.8 0.7 Reliabilitas Normal = 1 = 2 = 3 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Waktu, t. 45
46
Contoh: Sebuah komponen mpy waktu kerusakan yg berdistribusi normal dg μ = 40000 putaran, dan σ = 2000 putaran. Tentukan fungsi reliabilitas dan fungsi hazard pada 38000 putaran! R( t) 1 F( t) 1 P( t t) R(38000) 1 P( t 38000) 38000 40000 1 Pz 1 P z 1,0 2000 1 0,1587 0,8413. 47
Fungsi Hazard: 38000 40000 z f (38000) 2000 h(38000) R(38000) 0,8413 ( 1,0) 0,242 0,84132000 0,84132000 0,0001438 kerusakan per putaran. 2000 48
5. MODEL LOG-NORMAL P.d.f lognormal, 2 1 1 ln t f( t) exp, t 2 2, 0, t 0. Jika variabel acak X = ln T, di mana T adl lognormal, maka X adl berdistribusi normal dg rata-rata μ dan standar deviasi σ: E[ X ] E[ln( t)] Var X Var t 2 [ ] [ln( )]. 49
Karena T = e X, maka rata-rata lognormal dapat ditemukan dg menggunakan distribusi normal, 2 1 x 1t E( T ) E( e ) exp x dx 2 2 2 1 1 2 2 2 E( T ) exp exp x ( ) dx 2 2 2 2 ET ( ) exp, 2 2 2 2 dan Var( T ) [ e ][ e 1]. 50 = 1
Fungsi distribusi kumulatif, Reliabilitas dan fungsi hazard untuk Model Lognormal: t 1 1 ln F( t) exp 0 2 2 atau F( t) P( T t) P z 2 ln t ln t R( t) 1 F( t) P( T t) P z, dan ln t f() t ht ( ). R( t) t R( t) 51 d
» Contoh: Waktu kerusakan suatu komponen berdistribusi lognormal dg μ = 6 dan σ = 2. Cari reliabilitas komponen tsb dan laju kerusakannya untuk hidup 200 satuan waktu ln 200 6 R(200) P z P[ z 0,35] 0, 6386. 2 h(200) ln 200 6 2 ( 0,35) 200 20, 6386 200 20, 6386 0,3752 20020, 6386 0,001472 kerusakan persatuan waktu. 52
6. MODEL GAMMA Digunakan untuk menggambarkan waktu kerusakan dari suatu komponen yg mempunyai kerusakan i tahap, 1 < i n. Atau kerusakan suatu sistem yg terjadi ketika n subkerusakan yg independen terjadi. Dua parameter distribusi gamma: parameter bentuk (γ) dan paramater skala (θ). Jika 0 < γ < 1, laju kerusakan turun monoton dari tak hingga ke 1/θ. Jika γ > 1, laju kerusakan naik monoton dari 1/θ ke tak hingga. Jika γ = 1, laju kerusakan konstan dan sama dg 1/θ. 53
P.d.f distribusi gamma, 1 t t f ( t) e. ( ) Ketika γ > 1, maka pd p.d.f tdapat puncak (tunggal) pada saat t = θ (γ 1). Distribusi kumulatif, F(t), 1 t F( t) e d. 0 ( ) 54
Fungsi Reliabilitas R(t), 1 t R( t) 1 F( t) e d 0 ( ) 1 1 e t ( ) d. Jika parameter γ adl integer n, distribusi gamma menjadi distribusi Erlang, shg, F( t) 1e t n1 k 0 t k! 55 k
Shg fungsi reliabilitas Distribusi Erlang, Dengan Fungsi hazard Erlang, 1 0 ( ).! k t n k t R t e k 1 1 0 1 () ( ). () ( 1)!! n k n k t f t ht Rt t n k 05/09/2012 56 MK. Analisis Reliabilitas Darmanto, S.Si.
Rata-rata dan varians fungsi Gamma, 1 t t E( T ) t f ( t) dt t e dt ( ) t t t 1 e dt t e dt ( ) ( ) 1 ( ) 1. ( 1) 2 2 Didapatkan ET ( ) ( 1), Var T 2 2 2 2 ( ) ( 1). 57
Contoh: Suatu sistem mesin membutuhkan suplai arus stabil yg disupport oleh baterai utama dg waktu hidup T 1 yg berdistribusi eksponensial dg rataan 120 jam. Baterai utama, ditopang oleh 2 baterai identik rataan hidup T 2, dan T 3 secara berurutan. Ketika baterai utama rusak, maka baterai ke-2 menggantikan perannya. Baterai ke- 3 digunakan jika dan hanya jika baterai ke-2 rusak. Dgn kata lain, baterai tsb independen tp digunakan berurutan. Tentukan reliabilitas dan laju kerusakan untuk sistem mesin pd t = 280 jam. Berapakah rata-rata waktu hidup sistem? 58
T = T 1 + T 2 + T 3 T berdistribusi gamma dg γ = n = 3 dan θ = 120 jam. 280 280 31 120 120 R(280) e 0,5872. k 0 k! 31 31 1 280 1 280 f() t 120 120 120 120 ht () k Rt ( ) 280 2!(6,0556) 31 120 (3 1)! k 0 k! 0,003746 kerusakan per jam. ET ( ) 3(120) 360 jam. 59 k
7. MODEL BETA Digunakan untuk interval waktu kerusakan terbatas, misal (0,1) atau semua interval ditransformasi ke dalam interval (0,1). P.d.f. Model Beta: ( ) 1 1 t (1 t),0 t 1 f() t ( ) ( ) 0, lainnya., 0. 60
1 1 1 t t dt 0 1 Karena f ( t) dt 1, maka 0 ( ) ( ) (1 ). ( ) Rata-rata dan Varians distribusi Beta: ET ( ), Var( T ). 2 1 61
MEAN TIME TO FAILURE (MTTF) Salah satu ukuran reliabilitas suatu sistem adl rata-rata waktu untuk rusak (mean time to failure /MTTF). MTTF dinyatakan untuk suatu sistem yg tidak dapat diperbaiki lagi. Sedangkan sistem yg masih dpt diperbaiki lagi disebut MTBF (mean time between failure). 62
Misal diamati waktu rusak n sistem identik yg tidak dapat diperbaiki lagi (nonrepairable). Asumsikan bahwa TTF adl t 1, t 2,, t n. Maka estimasi MTTF adl, 1 n MTTF ˆ t. i1 i n Karena t i adl var. random, maka nilai harapannya adl MTTF t f ( t) dt. 0 63
Karena R(t) = 1 F(t) dan f(t) = df(t)/dt = - dr(t)/dt. Maka, dr() t MTTF t dt t dr( t) 0 dt 0 tr( t) R( t) dt, 0 0 karena R( ) 0 dan R(0) 1, MTTF R( t) dt. 0 64
MTTF untuk laju hazard konstan, 1 MTTF t e dt. 0 MTTF untuk laju kerusakan linier positif, 2 t 2 2 MTTF e dt. 0 1 2 2 2 65
MTTF untuk Model Weibull, t t MTTF e dt. Jika x, 0 MTTF 1 1 1 x 1 1 e x dx 0 1 1 1 1 1 MTTF 1. 66
Contoh: Dijamin MTTF untuk pengontrol robot akan dioperasikan dlm kondisi yg berbeda adl 20000jam (dihitung dlm 10 3 ). Fungsi hazard pengontrol tsb mengikuti model Weibull dg θ = 100 dan γ = 1,5. Apakah pengontrol tsb mencapai MTTF tsb? Jika tidak, berapa nilai karakteristik hidup agar mencapai jaminan MTTF? 67
MTTF dari sampel, 1 1,5 1 MTTF 100 1 19,383 1,5 Ukuran jam jam jam 3 10 MTTF 19,383 1000 19383. Jadi MTTFnya hanya 19383 jam dan tidak mencapai angka yg telah dijaminkan. Agar tercapai 20000 jam maka, 1 1,5 1 1,5 1 20 1 1,5 20 20 22,1573 1 0,902636 1 1,5 1,5 22,1573 104, 298. 68
MEAN RESIDUAL LIFE (MRL) Ukuran karakteristik reliabilitas dari produk, komponen, sistem adalah fungsi MRL, L(t). Didefinisikan sebagai: L( t) E[ T t T t], t 0. Dengan kata lain, fungsi MRL adl harapan tetap hidup hingga t. Peluang densitas bersyarat untuk sembarang ζ t,. f T T t f ( ) ( ), t. Rt () 69
Harapan bersyarat fungsi MRL: T T t t t f ( ) E[ T T t] f ( ) d d. Rt () Sehingga fungsi MRL : L( t) E[ T T t] f( ) f( ) t d d t R( t) R( t) t 1 L( t) f ( ) d t. Rt () t 70 t
Contoh: Sebuah perusahaan menggunakan kompresor putar untuk penyediaan cairan pendingin. Data eksperimen menunjukkan bahwa waktu kerusakan (antara 0 1 tahun) dari kompresor mengikuti distribusi Beta dengan α = 4, β = 2. Berapa MRL dari kompresor bahwa akan bertahan hingga 5 bulan? 71
(6) f t t t t t (4) (2) 3 3 4 ( ) (1 ) 20( ) t 3 4 ( ) 1 ( ) 1 20( ), 0 R t F t d 5 dengan t 5 bulan 0, 416. 12 0,416 3 4 (0, 416) 1 20 ( ) 0,9. Dan 0 R t t dt 20 L t t t dt 0,9 1 3 4 (0, 416) ( ) 0, 416 0, 288. 0,416 Atau MRL 0, 28812 bulan 3,46 bulan. 72