KODE SIKLIK (CYCLIC CODES)

Pegatar Teor Pegkodea (Codg Theory) KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Dose Pegampu : Al Sutjaa DISUSUN OLEH: Nama : M Zak Ryato Nm : /5679/PA/8944 Program Stud : Matematka JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA DAERAH ISTIMEWA YOGYAKARTA 6 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

CYCLIC CODES Pedahulua Salah satu bahasa yag palg petg pada lear codes adalah cyclc codes (kode sklk) Secara umum kode lebh mudah utuk dmplemetaska da mempuya aplkas yag luas Dlhat dar sudut padag teor aljabar, kode sagat meark utuk dpelajar Bayak dar kode-kode yag dturuka dar cyclc code Kta mula dega membahas tetag pedefsa suatu cyclc subspace Defs Suatu subruag S atas V ( F ) dsebut cyclc subspace (subruag sklk) jka ( a, a,, a, a ) S, maka ( ) a, a, a,, a S Dega kata la, S merupaka suatu subspace da utuk setap vektor a S, setap cyclc shft (pergesera sklk) juga berada d dalam S Defs subspace Suatu lear code C dsebut cyclc codes (kode sklk) jka C merupaka cyclc Karea cyclc code merupaka lear code, maka suatu cyclc code mempuya codeword da tertutup terhadap operas pejumlaha Cotoh { } 4 ( ) ) ( ) S = V Z merupaka cyclc subspace { } 4 ( ) ) ( ),( ) S = V Z merupaka cyclc subspace ) S = {( ),( ),( ),( ),( ),( ), ( ),( )} merupaka cyclc subspace pada 7 ( ) V Z 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

4) Subset d bawah buka merupaka cyclc subspace atas V4 ( Z ) S = {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )},,,,,,, Setap cyclc shft (pergesera sklk) dar codeword () tdak berada d dalam S S juga buka merupaka subspace, sebab d dalam S tdak tertutup terhadap pejumlaha Rgs da Ideals Defs Suatu rg komutatf dega uty ( R, +, ) adalah suatu struktur aljabar yag terdr dar suatu hmpua R da dua operas ber yag dotaska dega + da * yag memeuh sfat-sfat utuk semua a, b, c R ) ( R, + ) merupaka grup abela dega eleme dettas e ) ( a * b) * c a* ( b* c) = ) ( a b)* c a* c b* c + = + da ( ) c* a + b = c * a + c* b 4) Terdapat suatu eleme R sehgga a * = * a = a 5) a * b = b* a Cotoh ) Hmpua semua blaga bulat terhadap operas pejumlaha da perkala membetuk suatu rg ( Z, +,*), dotaska dega Z ) Hmpua semua blaga bulat postf modulo merupaka rg, dotaska dega Z ) Hmpua semua polyomal dega koefseya adalah eleme suatu feld (lapaga) F atas rg R Rg dotaska dega F[x] Dua operasya adalah pejumlaha da perkala polyomal 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

4 Dar ) dapat dkostrukska suatu rg dega eleme yag berhgga sebaga berkut Dberka sebarag polyomal tdak ol f ( x) F[ x], ddefska dua polyomal h( x), g( x) F[ x], h(x) da g(x) dsebut kogrue atas polyomal modulo f(x) jka da haya jka f(x) membag h(x) g(x), yatu h(x) da g(x) mempuya ssa yag sama apabla dbag dega f(x) Kogrues membetuk relas ekuvales da membetuk parts-parts, dega klas-klas ekuvales memuat g(x) yag dotaska daga [g(x)] kemuda ddefska sebaga { } [ g( x)] = h( x) : h( x) g( x) (mod f ( x)) Dberka R = F x f x = { g x g x F x } [ ]/( ( )) [ ( )]: ( ) [ ] Ddefska operas pejumlaha da perkala pada klas-klas ekuvales sebaga berkut da [ g( x)] + [ h( x)] = [ g( x) + h( x)] [ g( x)]*[ h( x)] = [ g( x)* h( x)] Maka ( R, +,*) merupaka rg da dsebut dega rg polyomal atas F modulo f(x) Defs jka Dberka rg ( R, +,*) Suatu subset tak kosog I R dsebut deal dar rg R ) ( I, + ) merupaka grup, da ) * r I utuk setap I da setap r R Ideal memaka pera yag petg d dalam mempelajar cyclc subspace atas V ( F ) Pada subbahasa aka dpelajar pembetuka korespodes - atara deals dar rg polyomal atas F modulo x da cyclc subspace atas V ( F ) Salah satu cara utuk megkostruks suatu deal adalah sebaga berkut Ambl sebarag g R, g da betuk 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

5 { } I = g * r : r R Mudah utuk meujukka bahwa I adalah deal I dsebut dega deal yag dbagu oleh g Tetap tdak selalu mugk utuk megkostruks semua deal dar suatu rg dega cara sepert tu Apabla rg R mempuya sfat bahwa utuk sebarag deal I atas R terdapat suatu eleme g I sehgga I = { g * r : r R}, maka R dsebut dega prcpal deal rg Teorema F[x] merupaka suatu prcpal deal rg Teorema F[x]/(f(x)) merupaka suatu prcpal deal rg Cotoh Dberka R = Z [ x ]/( f ( x )) dega 6 f ( x) = x da hmpua 4 5 4 5 { } I =, + x + x, x + x + x, + x + x + x + x + x I merupaka suatu deal dar R Mudah utuk membuktka bahwa ( I, + ) merupaka grup Ideal I tersebut dbagu oleh g( x) x x 4 = + + Ideal da Cyclc Subspace Telah kta ketahu bahwa V ( F ) merupaka grup abela terhadap operas pejumlaha vektor Aka kta pelajar sfat-sfat dar suatu rg dega medefska suatu operas perkala atara dua vektor Cara yag palg mudah adalah dega megasoska suatu polyomal pada F[x] dega setap vektor pada V ( F ) Jka v = ( aa a ), kemuda dberka v x a a x a x ( ) = + + + 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

6 Selajutya, utuk medefska suatu operas perkala vektor, kta plh polyomal f ( x) = x F[ x] Kemuda, utuk v, v V ( F ), dberka v ( x) v( x) = v( x) dmaa v( x ) merupaka polyomal dega derajad yag lebh kecl dar klas-klas ekuvales [ v ( x) v( x )] atas F[ x]/( f ( x )) Dega kata la, v( x ) adalah ssa dar polyomal ketka v ( x) v( x) dbag oleh f ( x ) Dega operas perkala yag telah ddefska d atas, da dega betuk pegasosasa atara polyomal-polyomal da vektor-vektor, dapat kta perhatka betuk dar V ( F ) da F[ x]/( f ( x )) Suatu eleme dar V ( F ) dapat dsajka sebaga suatu -tuple atas F atau suatu polyomal dega derajad palg besar adalah - atas F Kompoe-kompoe dar -tuple merepresetaska koefse-koefse dar polyomal, dar order yag kecl ke order yag lebh besar Aka kta pelajar bagamaa memlh polyomal f ( x) = x yag dguaka utuk medefska operas perkala Dberka v = ( aa a ) V ( F) v( x) = a + a x + + a x xv( x) = a x + a x + + a x Kemuda apabla x ( mod f ( x) ) berakbat x ( mod f ( x) ) xv( x) a a x a x a x = + + + + = a aa a ( ), Sehgga da dapat kta lhat bahwa megalka dega x dapat membetuk korespodes pada suatu cyclc shft dar v Dega observas kta dapat membetuk suatu teorema yag sagat medasar da petg dalam mempelajar cyclc code Teorema Suatu subset tak kosog S atas V ( F ) merupaka suatu cyclc subspace jka da haya jka hmpua polyomal I yag dasosaska dega S merupaka suatu deal dar rg R atas polyomal yag dasosaska dega V ( F ) 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

7 Teorema 4 Dberka deal I tak ol pada V ( F ) da dberka moc polyomal g( x ) dega derajad yag merepresetaska suatu klas-klas dar I, maka [ g( x )] (serg dtuls g( x ) ) membagu I da g( x ) membag f ( x) = x Teorema 5 Terdapat dega tuggal suatu moc polyomal dega derajad lebh kecl yag membagu suatu deal tak ol I atas V ( F ) Teorema 6 Dberka moc polyomal h( x ) yag membag f ( x) = x Maka h( x ) merupaka geerator polyomal (polyomal pembagu) dar deal { ( ) ( ) : ( ) } I = a x h x a x R atas R = F[ x]/( x ) Teorema 7 Terdapat suatu korespodes - atara cyclc subspace dar V ( F ) da moc polyomal g( x) F[ x] yag membag f ( x) = x Cotoh 4 Dberka V7 ( Z ) da f x 7 ( ) x = Faktorsas dar f ( x ) adalah Moc yag membag f ( x ) adalah 7 x x x x x x = ( + )( + + )( + + ) 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

8 g ( x) = g ( x) = x + g x = x + x + ( ) g x = x + x + 4( ) g x = x + x + x + 5( ) ( )( ) g x = x + x + x + 6( ) ( )( ) g x x x x x 7 ( ) = ( + + )( + + ) g ( x) = f ( x) 8 g ( ) 5 x membagu cyclc subspace S = {( ),( ),( ),( ),( ),( ), ( ),( )} g ( ) 7 x membagu cyclc subspace S = {( ),( )} V7 ( Z ) mempuya tepat 8 cyclc subspace Teorema 8 a a a Dberka f ( x) = x dega f ( x) = p ( x) p ( x) p t ( x) dega p ( x) p ( x) utuk j adalah rreducble (tak dapat dfaktorka) moc polyomal j atas F, da a merupaka blaga bulat postf, t Maka V ( F ) memuat sebayak t cyclc subspace ( a + )( a + )( a t + ) Teorema 9 Dberka moc polyomal g( x ) yag membag f ( x) = x atas F yag mempuya derajad -k Maka g( x ) merupaka geerator polyomal utuk suatu cyclc subspace V ( F ) yag mempuya dmes k 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

9 Cotoh 5 Msalka aka kta kostrukska suatu bary cyclc (7,4)-code Karea g x x x ( ) = + + adalah moc yag membag 7 x, ( ) g x membagu suatu cyclc subspace pada V7 ( Z ) yag mempuya dmes 4 Cotoh 6 Msalka kta aka megkostruks suatu bary cyclc (5,9)-code Karea 4 g( x) = ( + x + x )( + x + x ) adalah moc yag membag 5 x atas Z da g( x ) mempuya derajad 6, g( x ) membagu suatu cyclc subspace yag berdmes 9 4 Matrks Geerator da Matrks Party-Check Dberka g( x ) sebaga geerator dar suatu cyclc (,k)-code C atas F Dar pembahasa sebelumya, dapat dketahu bahwa g( x) mempuya derajad -k, da setap codeword d C mempuya betuk a( x) g( x ) Berdasarka Teorema 9, kta asumska deg a( x) k Kemuda dberka suatu message space (ruag message) yag terdr dar semua polyomal atas F yag mempuya derajad kurag dar atau sama dega k- Kemuda message a( x ) dkodeka mejad codeword a( x) g( x ) Karea a( x) g( x ) mempuya derajad yag palg besar adalah -, maka tdak perlu mereduks dega modulo f ( x) = x Suatu matrks geerator utuk C dberka sebaga berkut G g( x) x g( x) = x g( x) x k : g( x) 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

Cotoh 7 Dketahu f x 7 ( ) = x g( x) x x = + + membagu suatu (7,4)-cyclc code atas Z Message space yag terdr dar semua polyomal atas Z dega derajad terbesar adalah Msalka kta mempuya polyomal a( x) x x = + +, maka ( ) a x dkodeka mejad codeword polyomal a( x) g( x) x x x x x x 4 5 6 = + + + + + + Pada vektor ber, message 4-tuple () dkodeka mejad codeword () Matrks geeratorya adalah g( x) x g( x) G = = x g( x) x g( x) Utuk mekodeka a = (), htug ag = () Setelah kta megetahu polyomal yag membagu suatu cyclc code C, bagamaa dega polyomal yag membagu dar dual code C dar C Aka kta lhat bahwa jka C adalah cyclc code, maka C juga merupaka cyclc code Msalka h( x) = f ( x) / g( x) dega f ( x) = x da g( x ) merupaka moc polyomal yag membag f ( x ), da g( x ) membagu C jka deg g( x) = k, maka deg h( x) = k Karea g( x ) moc, maka h( x ) juga moc Akbatya h( x ) membagu suatu cyclc code C ' yag berdmes -k Msalka c ( x) = a ( x) g( x) C da c ( x) = a ( x) h( x) C ' Maka ( ) c ( x) c ( x) = a ( x) g( x) a ( x) h( x) = a ( x) a ( x) f ( x) mod f ( x) Dega perkala polyomal mod f ( x ), sebarag codeword dar C dkalka dega sebarag codeword dar codeword Apakah megakbatka C ' meghaslka polyomal yag berkorespodes dega C ' adalah dual code dar C? Jawabaya adalah tdak, sebab jka hasl perkala dua polyomal d dalam F[ x]/( f ( x )) adalah tdak megakbatka vektor yag berkorespodes d V ( F ) orthogoal, yatu mempuya 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

er product atas F Aka kta tujukka bahwa kode yatu keduaya merupaka kode yag ekuvale da Msal dberka dua vektor da hasl perkala a = ( a a a ) C b = ( b b b ) C ', C ' da C salg berhubuga a( x) b( x) = a x a x c x mod x = = = utuk suatu c F Kostata dar hasl perkala adalah Karea x ( mod f ( x) ) c = a b + a b + a b + + a b, ( ), maka c dapat dtuls sebaga er produk c = a b, dmaa b adalah -tuple yag dperoleh dar b dega cyclcally shftg (meggeser secara sklk) b satu poss ke arah kr da kemuda meukar uruta kompoekompoe dar b Dega memperhatka perkala c x dega = t x aka megakbatka c t mejad kostataya, da merupaka kostata dar hasl perkala Akbatya t a( x)( x b( x)) ct = a b, t dega b mejad suatu -tuple yag dasosaska dega polyomal x b( x) Melhat betuk dar b( x), b merupaka vektor yag dperoleh dega meggeser secara sklk vektor b sebayak t+ poss ke arah kr da meukar uruta kompoe-kompoeya 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

Cotoh 8 Msal dberka =, da vektor a = ( aaa ), b = ( bb b ) Kemuda dega modulo x, a( x) b( x ) = ( a + a x + a x )( b + b x + b x ) = ( ab + ab + ab ) + ( ab + ab + ab ) x + ( ab + ab + ab ) x Koefse dar x adalah a ( bb b ) ( b b b ) dperoleh dar b dega meggeser b secara sklk sebayak = poss dar ( bb b ) da meempatka koefse terakhr ke koefse pertama, sehgga dperoleh ( bbb ) Karea a( x) b( x) ( mod x ), koefse dar setap x haruslah Hal megakbatka a c = (yatu a da c salg orthogoal) dmaa c adalah sebarag cyclc shft dar vektor yag dperoleh dar b dega meukar kompoe b Karea h( x ) k membagu C ', maka { h( x), xh( x),, x h( x) } merupaka bass utuk adalah matrks geerator utuk h( x) x h( x) G ' = : k x h( x) C ' Akbatya G ' membagu kode C ' da C ', dega dmes C ' adalah -k yag juga sama dega dmes dar C Dega megguaka b( x ) d atas mejad h( x ), aka kta lhat bahwa dega meukar kolom terakhr dar G ' ke kolom pertama, kta aka memperoleh suatu matrks H yag membagu C, da matrks merupaka matrks party-check utuk C Cotoh 9 Msalka kta aka megkostrukska suatu matrks geerator da matrks party-check utuk suatu (7,4)-bary cyclc code Karea g( x) x x = + + membag f x 7 ( ) x =, 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

maka g( x ) membagu (7,4)-cyclc code tersebut h( x) = f ( x) / g( x) = + x + x + x 4 membagu suatu (7,)-cyclc code C ' Matrks geerator utuk C adalah g( x) x g( x) G = = x g( x) x g( x) Matrks geerator utuk C ' adalah G h( x) x h( x) ' = x h( x) = Dega meukar kolom terakhr ke kolom pertama dar utuk C yatu G ', dperoleh matrks geerator H = T Dapat dtujukka bahwa GH = Karea vektor, maka C ' da C C ' da C dapat dperoleh dega meukar kompoe-kompoe pada semua merupaka kode yag ekuvale Jad C merupaka dual code dar C h( x ) dkataka membagu dual code yag juga membagu dar kode yag ekuvale dega dual codeya Dega mudah dapat dlhat dar kostruks H bahwa C juga merupaka cyclc code 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

4 Defs Dberka polyomal k h( x) = a x dega derajad k ( a ) Ddefska = k recprocal polyomal hr ( x ) dar h( x ) dega k = = h ( x) a x k Dapat dlhat bahwa h ( x) = x h( x), dega k = deg h( x) R R k Teorema Dberka g( x ) moc yag membag f ( x) = x (atas F) dega derajad - k yag mejad geerator utuk cyclc (,k)-code Dberka h( x) = f ( x) g( x) Maka h ( x ) adalah recprocal polyomal dar h( x ) yag membagu C R Polyomal h(x) serg dsebut dega party-check polyomal 5 Ecodg Cyclc Codes Dberka polyomal g( x ) yag membagu suatu cyclc (,k)-code C atas F Suatu matrks geerator utuk C dega betuk [ R I k ] yag dkostrukska sebaga berkut Baglah k x + dega g( x ) utuk k Dperoleh k x + = q ( x) g( x) + r ( x) dega deg r ( x) < deg g( x) = k atau r ( x ) = Maka k x + r ( x) = q ( x) g( x) C k Jka kta megambl vektor-vektor koefse yag berkorespodes dega x + r ( x) sebaga bars-bars dar suatu matrks, maka kta aka memperoleh suatu matrks geerator dega betuk [ R I k ], dmaa bars-bars dar R berkorespodes dega r ( x), k 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

5 Cotoh Msal dberka bary cyclc (7,4)-code sepert cotoh 9, yag dbagu oleh g( x) x x = + + Dega algortma pembaga, dperoleh x = x + x + + + x ()( ) ( ) 4 x = ( x)( x + x + ) + ( x + x ) 5 x = ( x + )( x + x + ) + ( + x + x ) 6 x = ( x + x + )( x + x + ) + ( + x ) Matrks geerator utuk kode tersebut adalah G = = [ R I ] 4 dega R = Bars-bars dar R berkorespodes dega polyomal x, x x, x x + + + + da + x Suatu message m=() dkodeka mejad c = mg = ( ) Padag suatu message polyomal a( x) k = a x = Telah kta ketahu bahwa a( x) g( x ) adalah suatu codeword tetap dega megguaka a( x) g( x ) formato symbols mejad tdak jelas Jka G = [ R I k ] adalah matrks geerator utuk C, maka message symbols ( aa a ) teryata berada d k poss terakhr dar codeword Codeword yag berkorespodes dega message a( x ) dapat dtetuka k 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

6 k dega melakuka operas perhtuga sebaga berkut Baglah x a( x) utuk medapatka dega g( x ) k x a( x) = q( x) g( x) + t( x) atau k q( x) g( x) = t( x) + x a( x), dega t( x ) = atau deg t( x) < deg g( x) = k Maka q( x) g( x ) adalah suatu codeword dega formato symbols sebayak k yatu ( aa a ) yag mejad k kompoe terkahr, da k party-check symbols, koefse dar t( x) merupaka k kompoe pertama k Cotoh Dberka g( x) x x = + + yag membagu suatu bary cyclc (7,4)-code Msalka kta g mecar suatu codeword c yag mempuya formato symbols () pada 4 poss terakhr Ambl a( x) x x = + + Kemuda x a( x) dbag dega g( x ), x a x x x x g x ( ) = ( + + + ) ( ) + da 5 6 ( x + x + x + ) g( x) = + x + x + x Oleh karea tu c = ( ) merupaka codeword dega formato symbols () dega poss teratas Dberka suatu cyclc (,k)-code dega geerator polyomal k k g( x) = g + gx + + g k x + x da matrks geerator G = [ R I k ] Bars-bars R adalah egated coeffcets dar polyomal ssa yatu r ( x), k dmaa k x + = q ( x) g( x) + r ( x), 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

7 deg r ( x) < deg g( x) atau r ( x ) = Kemuda k party-check symbols utuk formato symbols ( aa a ) dberka sebaga k k ar ( x) = Pada kasus ber, kta dapat megkodeka dega suatu algortma yag sederhaa da efse, da mudah utuk dmplemetaska pada hardware (peragkat keras) Algortma dguaka utuk megkodeka suatu pesa m = ( a a a ) mejad codeword c s s s a a a = ( k k ) k Ecodg Algorthm for Bary Cyclc Codes gˆ ( g g g ) Let = k Let Message symbols ( aa ak ) Let Party-check symbols s = ( ss s k ) () Set s =, j k () Set = j () If a = s the k Otherwse (4) = + k For j from k to, set s = s = j s j For j from k to, set s = s + g s = g (5) If > k, stop Otherwse, go to () j j j 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

8 Pejelasa sgkat tetag algortma Dega megguaka matrks geerator G = [ R I k ], kemuda, sepert pada pejelasa sebelumya, k party-check symbols berkorespodes dega suatu message a( x ) yatu koefse-koefse dar t( x) dmaa k x a( x) = q( x) g( x) + t( x) k Utuk meghtug t( x ), kta htug x a( x)(mod g( x)) Karea dperoleh a( x) a a x a x k = + + + k x a( x) = a x + a x + + a x k k k + k Dega memperhatka proses perkalaya, hal sama halya dega meghtug (((( k ) k ) k ) ) a x x + a x x + a x x + + a x k k k k Setap ekspres dalam kurug, mula dar yag palg dalam, berkorespodes dega suatu teras sesua dega algortma Reduks dega modulo g( x ) pada setap teras aka dambl da pada pejumlaha pada tap teras tersebut yag berkorespodes dega s, yatu suatu polyomal dega derajad terbesar adalah k Selama teras ke- berlagsug, s dkalka dega x, da djumlahka a k k x Maka s aka mempuya derajad k, sebab betuk k x dperoleh dar prosesproses pergesera atau pejumlaha Utuk megambl ssa dar modulo g( x ), k x dreduks dega meghlagkaya da mejumlahka kembal gˆ( x) = g( x) x k (karea x gˆ( x)(mod g( x)) ) Jka = sebelum s dgeser, maka pergesera s k k meghaslka suatu k x, aka memerluka perhtuga ulag kembal Jka k a =, 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

9 maka hal memerluka perhtuga ulag kembal (ecesstates feedback) Jka keduaya s k da k k a adalah, maka x + x (mod ), da aka megakhr k perhtuga yag laya Oleh karea tu perhtuga ulag (feedback) dperluka dalam melakuka teras jka da haya jka s k a k Setelah teras ke-k, suatu (,k)-tuple s k berkorespodes dega x a( x) (mod g( x)), da meghaslka k party-check symbols Utuk megguaka skema pegkodea, matrks geerator G = [ R I k ] tdak harus dsajka secara ekplst Cotoh Pada cotoh, g( x) x x = + + membagu suatu bary cyclc (7,4)-code Kta aka megkodeka message m = () sabaga berkut Kta mempuya gˆ = ( ggg ) = (), ( aaa a ) = (), da kta mula dega ( sss ) = () s ak 4 Dperoleh party-check symbols adalah () Maka message m = () tersebut dkodeka mejad codeword c = ( ) 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd

Cotoh Dberka g( x) x x x x 4 6 7 8 = + + + + geerator utuk suatu bary (5,7)-code C Aka kta kodeka suatu message m = () sebaga berkut Kta mempuya g ˆ = ( ) s ak 4 5 6 7 Message m dkodeka mejad codeword c = ( ) DAFTAR PUSTAKA Vastoe, Scott A ad va Oorschot, Paul C, 989, A Itroducto to Error Correctg Codes wth Applcatos, Kluwer Academc Publshers, Massachusetts, USA 6 oleh M Zak Ryato emal: zak@malugmacd http://zakwebugmacd