.. Kekakuan Rangka batang Bdang (Plane Truss) BAB ANAISIS STRUKTUR RANGKA BATANG BIANG Struktur plane truss merupakan suatu sstem struktur ang merupakan gabungan dar seumlah elemen (batang) d mana pada setap ttk smpulna danggap berperlaku sebaga send dan setap elemenna hana dapat menerma gaa berupa gaa aksal (tark ataupun tekan). Y Gambar.. Struktur Plane Truss Sumbu X-Y adalah sstem koordnat global struktur, ang nantna dacu semua elemen. Sedangkan sumbu Z tegak lurus terhadap bdang gambar (mengarah pembaca) mengkut kadah tangan kanan, sehngga terbentuk sstem koordnat ang mengkut rght-handed rule. Sumbu - merupakan sstem koordnat lokal elemen, ang hana berlaku untuk satu elemen tertentu saa, ang orentasna dsesuakan dengan arah elemen ang bersangkutan. a Setap elemen plane truss selalu memlk dua nodal (ttk smpul) uung. Uung awal elemen dber notas nodal sedangkan uung lanna e-mal: swdodo@un.ac.d dber notas. Pusat sumbu lokal elemen adalah nodal, dan arah sumbu X

lokal post selalu dbuat dar nodal ke nodal dar elemen tersebut. Sumbu lokal dbuat tegak lurus sumbu, sedangkan sumbu lokal arah z dbuat searah dengan sumbu Z global dan tegak lurus terhadap bdang struktur (bdang X-Y). Orentas elemen secara global dapat dkenal berdasarkan sudut, ang dbuat oleh sumbu lokal dar elemen ang dtnau dengan sumbu X global dar struktur. Sudut dber tanda post berdasarkan kadah tangan kanan (rght-handed rule), atu dukur dar sumbu X global berputar menuu sumbu lokal dengan poros sumbu Z post, sehngga pada gambar. sudut akan bernla post ka perputaran berlawanan dengan arah putaran arum am. Hubungan antara aks dan deormas pada elemen plane truss secara umum dapat dormulaskan dengan orentas sumbu lokalna sebaga berkut : v, g Translas Arah Aksal (satu satuan) Konvens Arah Tanda Post u, θ, m Gambar.. Hubungan Aks-eormas pada Elemen Plane Truss 5 e-mal: swdodo@un.ac.d v, g u, AE θ, m AE

Persamaan hubungan antara aks dan deormas elemen dalam sstem koordnat lokal ang dperoleh berdasarkan prnsp superposs dapat durakan sebaga berkut : AE AE u +. v u +. v g. u +. v +. u +. v AE AE u +. v + u +. v d mana : g. u +. v +. u +. v (.) : sumbu batang, : sstem koordnat lokal (elemen) u v g : dsplacement aksal pada ttk nodal : dsplacement arah tegak lurus sumbu batang pada nodal : gaa aksal pada ttk nodal ang sesua dengan u : gaa tegak lurus sumbu batang pada ttk nodal ang sesua dengan v Persamaan hubungan aks-deormas ang dtunukkan Persamaan (.) dapat dnatakan dalam bentuk matr : g g dengan : A E AE u v. u v : uas tampang batang : Modulus elaststas batang : Panang batang Persamaan kesembangan elemen dalam sstem koordnat lokal adalah { } [ k ]{ d } e-mal: swdodo@un.ac.d (.) (.) 6

d mana : { } : vektor gaa dalam sstem koordnat lokal [ k ] { } : matr kekakuan elemen plane truss dalam sstem koordnat lokal d : vektor dsplacement dalam sstem koordnat lokal. Subscrpt menunukkan nomor elemen ang bersangkutan. Selanutna matr kekakuan elemen plane truss dalam sstem koordnat lokal dapat dtulskan sebaga berkut : AE k (.).. Transormas Sumbu alam analss struktur ang dlakukan pada kebanakan kasus, perlu dlakukan penesuaan antara matr kekakuan elemen struktur lokal (ang mengacu sumbu lokal secara ndvdual) ke dalam matr kekakuan elemen struktur global (mengacu pada sstem struktur global ang danut semua elemen struktur. Penesuaan tersebut dapat dlakukan dengan memandang ttk nodal awal dan nodal akhr dalam bdang X-Y (global) dar elemen mengalam perpndahan ke nodal dan dalam bdang - (lokal), sebagamana dlustraskan pada Gambar.. e-mal: swdodo@un.ac.d 7

Gambar.. Transormas Sumbu Kartesan Berdasarkan Gambar. dtunukkan perputaran sumbu Kartesan dar sumbu global X-Y menuu sumbu lokal - dengan kemrngan sudut, sehngga dapat dperoleh Persamaan Transormas Sumbu ang menunukkan perubahan poss suatu ttk nodal dalam bentuk berkut : X. + Y. sn (.5.a.) X. sn + Y. (.5.b.) Persamaan d atas ka dubah dalam bentuk matr, dapat dnatakan sebaga berkut : sn sn X Y (.6.) Analog dengan cara d atas, transormas koordnat untuk suatu elemen struktur ang dbatas oleh dua buah ttk nodal ( dan ) dapat dtunukkan dengan persamaan berkut : X. Cos + Y Sn. X. Sn + Y Cos. X. Cos + Y Sn. X. Sn + Y Cos (.7.). Y O X Y e-mal: swdodo@un.ac.d a X 8

e-mal: swdodo@un.ac.d 9 Atau dalam bentuk matr dapat dtuls sebaga berkut : Y X Y X sn sn sn sn (.8) analog d atas untuk vektor dsplacement dperoleh Y X Y X d d d d sn sn sn sn (.9.a) atau { } { } T d (.9.b) sedangkan untuk transormas gaa dperoleh : G G g g sn sn sn sn (..a) atau { } { } T (..b) d mana; { } : vektor gaa pada koordnat lokal { } : vektor gaa pada koordnat global { } d : vektor dsplacement pada koordnat lokal { } : vektor dsplacement pada koordnat global T : matr transormas

.. Matr Kekakuan Elemen dalam Koordnat Global Sstem Persamaan Kekakuan Struktur Elemen dalam orentas sumbu lokal dapat dtunukkan pada persamaan d bawah n : { } { } k (.) d dengan mensubsttuskan Persamaan (.9) dan (.) ke dalam Persamaan (.) maka dperoleh : { } [ k ][ T ]{ } T (.) selanutna dengan mempra-kalkan (premultpled) ruas kr dan ruas kanan Persamaan (.) dengan matr [ T ] [ T ]{ } [ T ] [ k ][ T ]{ } dan mengngat [ T ], dan [ T ] T atau T T [ T ] [ k ][ T ]{ } T, dapat dperoleh : s : sn c : e-mal: swdodo@un.ac.d T, maka (.) { } { } K (.) ang merupakan Persamaan Kesembangan Elemen dalam Sstem Koordnat Global, dengan : atau T [ K ] [ k ][ T ] d mana; T (.5) K merupakan matr kekakuan elemen dalam sstem koordnat global. c s. c c s. c AE s. c s s. c s K (.6) c s. c c s. c s. c s s. c s d mana;

angkah berkutna adalah menusun matr kekakuan struktur global [ K ] s, berdasarkan prnsp kompatbltas d mana terdapat keselarasan perpndahan d antara elemen-elemen struktur ang ada. Matr kekakuan struktur global K dapat dsusun dengan metode kekakuan s langsung (drect stness method) berdasarkan matr kekakuan elemen dalam koordnat global K, ang telah dperoleh pada tahapan sebelumna. Pembentukan matr kekakuan struktur global dapat dnatakan dalam persamaan berkut : n [ K s ] [ K ] d mana; K : matr kekakuan struktur global s K : matr kekakuan elemen global (.7) Analog dengan cara d atas, setap vektor gaa pada ttk nodal masngmasng elemen dapat dumlahkan untuk membentuk vektor gaa total; n [ s ] [ ] d mana; : vektor gaa pada sstem struktur global s : vektor gaa elemen pada koordnat global.. Perhtungan Tegangan pada Elemen Struktur Plane Truss (.8) Untuk keperluan penghtungan tegangan pada elemen struktur plane truss, terlebh dahulu harus dsusun sstem persamaan kesembangan elemen pada sumbu lokal sebaga berkut : atau { } [ k ]{ d } ; AE d d (.9) e-mal: swdodo@un.ac.d

Tegangan aksal tark ang terad pada elemen batang dapat dhtung dengan : σ (.) A d mana merupakan gaa aksal ang bekera pada nodal akhr suatu elemen, ang dapat dhtung dengan cara : AE d (.) d [ ] dengan menggabungkan Persamaan (.) dan (.) dperoleh : atau E d σ (.) d { } [ ] E σ (.) { } [ ][ T ]{ } ang dapat dsederhanakan dalam bentuk : d mana; { } [ C' ]{ } σ (.) C S ' (.5) C S E [ C ] [ ].5. Contoh Penerapan Contoh. : Suatu struktur plane truss tersusun dar tga elemen batang, sepert dtunukkan pada Gambar., menerma beban searah gravtas sebesar. lb tepat pada nodal. Tentukan besarna dsplacement ke arah X dan Y dan tegangan pada masng-masng elemen, ka dketahu nla Elaststas (E) 6 ps dan luas tampang (A) n. e-mal: swdodo@un.ac.d

Penelesaan : Gambar.. angkah pertama ang dlakukan adalah membentuk matr kekakuan elemen dalam orentas sumbu global, sehngga perlu dketahu besaran sudut transormas () dar sumbu global ke sumbu lokal masng-masng elemen, sepert dtunukkan pada Tabel.. Tabel.. ata Elemen Struktur pada Gambar.. Elemen o C S C S CS... t. lb 9 o 5 o o 5 o / t 5 o / ½ e-mal: swdodo@un.ac.d ½ ½ Y X

Matr kekakuan untuk masng-masng elemen dalam orentas sumbu global dapat dhtung dengan cara berkut : Elemen ang berawal dar nodal menuu nodal, menghaslkan : 6 ()( ) K (.6) Elemen ang berawal dar nodal menuu nodal, menghaslkan : 6,5,5,5,5 ()( ) K,5,5,5,5 (.7),5,5,5,5,5,5,5,5 Elemen ang berawal dar nodal menuu nodal, menghaslkan : 6 ()( ) K (.8) Selanutna ketga matr kekakuan elemen dalam sumbu global tersebut dgunakan untuk menusun matr kekakuan struktur total, dalam kasus n karena struktur ang dhtung terdr dar empat ttk nodal dan masng-masng nodal mempuna dua deraat kebebasan pergerakan (d.o.), maka matr kekakuan struktur ang terbentuk nantna akan berukuran 8 8. Pembentukan matr kekakuan struktur total (Ks) dapat dlakukan dengan cara menambahkan bagan-bagan matr kekakuan elemen global (K) ke dalam matr kekakuan struktur total sesua dengan lokas bars dan kolomna, sehngga dperoleh : e-mal: swdodo@un.ac.d

e-mal: swdodo@un.ac.d 5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 ) ()( 6 s K (.9) atau,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 (5.) s K Matr kekakuan struktur global pada Persamaan (.9), selanutna dhubungkan dengan vektor gaa dan dsplacement dalam sumbu global, sehngga dperoleh sstem persamaan kekakuan struktur total :,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 (5.) (.)

Sstem Persamaan d atas selanutna dreduks sesua dengan konds batas (tumpuan) ang ada dalam sstem struktur. Karena pada nodal nomor, dan merupakan tumpuan send, maka hana dmungknkan teradna pergerakan pada nodal ke arah X dan Y ( dan ). Selanutna dapat dbentuk sstem persamaan kekakuan struktur ang telah dreduks :,5 (5.).,5,5,5 Persamaan (.) dapat dselesakan dengan metode nvers matr :,585, 6 7,,585 7 6,.,59 nch nch (.) Tanda mnus (-) pada arah menunukkan bahwa komponen dsplacement pada nodal dalam arah Y, haslna berkebalkan dengan arah Y posst, dengan kata lan perpndahan terad menuu ke bawah. Perhtungan tegangan pada elemen batang dapat dlakukan dengan menggunakan Persamaan (.) dan memanaatkan Tabel (.), sehngga untuk masng-masng elemen ddapatkan : Elemen :, 6,59 σ Elemen : [ ] 965 ps, 6,59 σ 7 ps 6 e-mal: swdodo@un.ac.d

Elemen :, 6,59 σ [ ] 5 ps Kebenaran hasl perhtungan d atas dapat dperksa dengan cara berkut : (7 (965 ps)( ps)( n ) (5 n ) + (7 ps)( ps)( n ). e-mal: swdodo@un.ac.d n ) Contoh. : Suatu struktur plane truss tersusun dar dua elemen batang, m sepert dtunukkan pada Gambar.5, menerma beban horsontal sebesar kn tepat pada nodal. Selan tu pada nodal uga terad penurunan (vertcal settlement) sebesar δ 5 mm. Tentukan besarna dsplacement nodal ke arah sumbu Y dan gaa aksal pada masng-masng elemen, ka dketahu nla Elaststas (E) GPa dan luas tampang (A) 6 cm. Y kn δ 5 mm m Gambar.5 7 X

Penelesaan : ata Geometr Struktur Tabel.. ata Elemen Struktur pada Gambar.5. Elemen o C S C S CS.. 9 o 5 o,6,8 Penusunan Matr Kekakuan Elemen Global ; Elemen : 6,6 (6 m )( kn / m ),8 5m,6,8 [ K ] atau;,8,6,8,6 e-mal: swdodo@un.ac.d,6,6,8,6,8,6,8,6,8,6,8,6,8,6,8 K (5.),8,6,8,6 (.),6,8,6,8,8,6,8,6 Elemen : 6 (6 m )( kn / m ) m [ K ] atau; 8

K (5.),5,5 (.),5,5 Penusunan Matr Kekakuan Struktur Global :,6,8,6,8,8,89,8,6,5 K s (5.),6,8,6,8 (.),8,6,8,6,5,5 Penusunan Sstem Persamaan Kekakuan Struktur Total :,6,8,6,8,8,89,8,6,5 ( 5.),6,8,6,8 (.5),8,6,8,6,5,5 Penusunan Sstem Persamaan Kekakuan Struktur ang Telah reduks : Kasus d atas memlk konds batas (boundar condtons) sebaga berkut; δ; ; ; ; Sehngga dperoleh Persamaan :,6,8 δ, 5m (5.) P,8,89 P 5.(,8δ +,89 ) ( 6,8) + 768 (.6) 9 e-mal: swdodo@un.ac.d

e-mal: swdodo@un.ac.d m 7, 768 6,8) ( + Penghtungan Gaa Aksal masng-masng elemen; Elemen : d d AE atau S C S C AE,7,5,8,6,8,6 (5.) (.7) maka dperoleh : -76,6 kn dan 76,6 kn atau pada elemen menerma gaa aksal tark sebesar 76,6 kn. Elemen :,7,5 (.5) (.8) maka dperoleh : 6 kn dan -6 kn atau pada elemen menerma gaa aksal tekan sebesar 6 kn.