METODE ITERASI OPTIMAL TANPA TURUNAN BERDASARKAN BEDA TERBAGI Amelia Riski, Putra. Supriadi 2, Agusni 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia riskiameliabintikhaidir@yahoo.com ABSTRACT We discuss an iterative method free from derivative based on divided difference for solving nonlinear equation. This iterative method has the convergence of order six and for each iteration it requires four function evaluation, so the efficiency index has.565. Further more, the computational tes shows that the discussed method superior, both in the number of function evaluations, as well as the number of iterations needed to get a root. Keywords: divided difference, eficiency index, free derivative method, order of convergence. ABSTRAK Kertas kerja ini membahas metode iterasi tanpa turunan berdasarkan beda terbagi untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Metode iterasi ini mempunyai kekonvergenan orde enam dan pada setiap iterasinya melakukan evaluasi fungsi sebanyak empat kali perhitungan, indek efisiensinya adalah.565. Selanjutnya dari uji komputasi terlihat bahwa metode iterasi yang digunakan lebih unggul dari metode pembanding, baik dari perhitungan, maupun jumlah iterasi yang diperlukan untuk mendapatkan akar. Kata kunci: beda terbagi, indek efisiensi, metode iterasi tanpa turunan, orde konvergensi.. PENDAHULUAN Menemukan teknik untuk mendapat solusi persamaan nonlinear yang berbentuk f(x) = 0, () adalah suatu topik yang hangat dalam penelitian di bidang analisis numerik. Hal ini dikarenakan tidak semua kasus persamaan () dapat diselesaikan secara secara
analitik, seperti polinomial berderajat 5 atau lebih, sehingga solusi numerik menjadi alternatif. Metode numerik yang populer digunakan untuk menyelesaikan persamaan () adalah Metode Newton dengan bentuk iterasi x n+ = x n f(x n) f (x n ), f (x n ) 0 dan n = 0,,2,, (2) yang memiliki keonvergenan orde dua, [3, h. 97-98]. Dalam perkembangannya banyak peneliti berusaha untuk memodifikasi metode Newton dengan menghindari munculnya turunan di formula iterasi (2), diantaranya adalah Metode Steffensen, dengan bentuk iterasinya adalah x n+ = x n f(x n +f(x n )) f(x n ) dengan kekonvergenan orde dua [5, h. 278]. Metode iterasi lain yang menghindari munculnya turunan adalah yang diturunkan dari metode Potra dan Ptak yang dikemukakan oleh Dehghan-Hajarian, dengan kekonvergenan orde tiga [4]. Metode ini memiliki bentuk iterasi y n+ = x n (3) f(x n +f(x n )) f(x n ), (4) x n+ = x n f(x n)[f(y n+ f(x n )] f(x n +f(x n )) f(x n ). (5) Selanjutnya metode Jain [6] dengan bentuk sebagai berikut y n = x n f(x n +f(x n )) f(x n ), (6) f(x n ) 3 x n+ = x n f(x n +f(x n )) (f(x n ))(f(x n ) f(y n )). (7) Pada kertas kerja ini di bagian dua dibahas metode iterasi optimal tanpa turunan berdasarkan beda terbagi yang merupakan review dari artikel F. Soleymani [7], dengan judul Eficient Sixth-Order Nonlinear Equation Solver Free from Derivative, kemudian dilanjutkan di bagian tiga dengan melakukan komputasi numerik terhadap lima fungsi uji. 2. METODE ITERASI OPTIMAL Perhatikan Metode Iterasi Tiga Langkah sebagai berikut y n = x n f(x n) f (x n ), z n = y n f(y n) f (y n ), x n+ = z n f(z n) f (z n ). (8) 2
Turunan pertama f (x n ) di x dapat ditaksir dengan menggunakan rumus forward difference[8] yaitu f (x n ) f(x n +f(x n )) f(x n ). (9) f(x n ) Untuk memperoleh metode Iterasi Tiga Langkah yaitu dengan menaksir turunan yang ada pada langkah pertama dengan Forward Difference (9) ke persamaan (8) diperoleh y n = x n f(w n ) f(x n ). (0) Turunan pada langkah kedua dan ketiga ditaksir dengan menngunakan interpolasi linear dan interpolasi kuadratik berdasarkan beda terbagi. Sehingga diperoleh Metode Iterasi Tiga Langkah yang berorde dua [7], y n = x n f(w n ) f(x n ),w n = x n +f(x n ) z n = y n f(y n) f (y n ), x n+ = z n f(z n) f (z n ). Dengan menggunakan hubungan w n = (x n +f(x n )) dan definisi beda terbagi [, h. -2], maka () y n = x n f(x n) f[w n,x n ]. (2) Selanjutnya akan dicari bentuk lain dari f (y n ) dan f (z n ) yaitu dengan cara mengaproksimasi bentuk turunan pertama f (y n ) dan f (z n ) pada persamaan (2). Nilai p (t) = a 0 +a (t x n ) adalah interpolasi polinomial orde satu untuk f(t), yaitu dengan nilai p (t) xn = f(x n ) dan p (t) yn = f(y n ). Sehingga diperoleh dan karena a 0 = f(x n ) maka f(t) p(t) = a 0 +a (t x n ), (3) f(x n ) = p (t) xn = a 0 +a (x n x n ) = a 0, (4) f(y n ) = p (t) yn = a 0 +a (y n x n ) = a 0, (5) a = f(y n) f(x n ) y n x n, = f[x n,y n ], a = f (y n ). (6) 3
Selanjutnya untuk mencari f (z n ), misalkan f(t) = p 2 (t) = b(t x n ) 2 +c(t x n )+d dengan p 2 (t) xn = f(x n ),p 2 (t) yn = f(y n ),p 2 (t) zn = f(z n ). Menggunakan kondisi ini diperoleh f(x n ) = b(x n x n ) 2 +c(x n x n )+d = d. (7) f(y n ) = b(y n x n ) 2 +c(y n x n )+f(x n ). (8) f(z n ) = b(z n x n ) 2 +c(z n x n )+f(x n ). (9) Dengan menggurangkan persamaan (8) dan (9) akan diperoleh nilai b dan c b = f[y n,x n ]+f[x n,z n ] y n z n, (20) c = (x n z n )f[x n,y n ]+(y n x n )f[x n,z n ], y n z n (2) f(z n ) =f[x n,z n ] f[x n,y n ]+f[y n,z n ]. (22) Dengan menggunakan hasil ini maka persamaan (20) dapat ditulis dalam bentuk y n = x n f(x n) f[x n,w n ],w n = x n +f(x n ) z n = y n f(y n) f[x n,y n ], (23) f(z n ) x n+ = z n f[x n,z n ] f[x n,y n ]+f[y n,z n ], yang disebut dengan metode Iterasi Optimal Tanpa Turunan Berdasarkan Beda Terbagi. Teorema (Orde Konvergensi) Misalkan α I akar sederhana dari fungsi f, f : I R yang terdiferensial secukupnya pada interval terbuka I. Jika x 0 cukup dekat dengan α, maka MIO mempunyai konvergensi orde enam sebagai berikut: e n+ = x n+ α = (+c ) 2 c 3 2(c 2 2 c c 3 ) e 6 c 5 n +O(e 7 n). dengan c k = f (k) (α), k =,2,3,. Bukti: Misalkan α adalah akar dari persamaan f(x) = 0, maka f(α) = 0 dan asumsikanf (α) 0. Misalkanjugae n = x n α. Denganmelakukanekspansitaylor [2, h.84] terhadap f(x n ) disekitar x n = α sampai orde enam dan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh f(x n ) = f(α)+f (α)(x n α)+ 2 f (α)(x n α) 2 + +O(x n α) 7. (24) 4
Karena f(α) = 0 dan e n = x n α maka f(x n ) = c e n + +c 6 e 6 n +O(e 7 n), (25) dengan c k = f (k) (α), k =,2,3,. Dan dengan menggunakan bentuk f(x n ) ini diperoleh w n = x n +c e n +c 2 e 2 n +c 3 e 3 n +c 4 e 4 n +c 5 e 5 n +c 6 e 6 n +O(e 7 n). (26) Melalui cara yang sama, hasil ekspansi Taylor dari f(w n ) disekitar w n = α adalah f(w n ) =(c 2 +c )e n +(c 2 +3c c 2 +c 2 c 2 )e 2 n + +8c 2 2c 4 +7c 2 3c 2 +7c c 6 +7c 2 c 5 +7c 3 c 4 +c 3 c 3 2 +5c 6 c 2 +20c 6 c 3 +5c 6 c 4 +6c 6 c 5 +c 6 c 6 +22c 2 c c 5 +2c 4 c c 2 2 +6c 4 c 2 c 2 2 +20c 5 c 3 c 2 +30c 5 c 2 c 2 +5c 5 c 4 c 2 +5c 3 c 2 c 4 +8c 3 c c 4 +6c 2 3c c 2 +4c 4 c 3 c 3 +c 6 )e 6 n. (27) Dengan menggunakan hasil yang dibentuk oleh persamaan(24) dan(27) dan dengan menggunakan deret geometri y n = α+(+ )c 2 e 2 n + (2+(2+c )c )c 2 2 +c (c +)(c +2). (28) c c 2 Cara yang sama, bentuk ekspansi f(y n ) disekitar y n = α sampai orde enam dan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh ( ) f(y n ) =(+c )c 2 e 2 (2+c (2+c ))c 2 2 n + +(+c )(2+c )c 3 e 3 n c + +O(e 7 n). (29) Dengan menggunakan definisi beda terbagi untuk f[x n,y n ] dan setelah dilakukan penyederhanaan seperti langkah sebelumnya diperoleh z n =α+ c 2 c e 3 n + + ( 3+c (3+c ))c 3 2 +c (+c )(3+c )c 2 c 3 e 4 c 3 n + +O(e 7 n), (30) dan melakukan ekspansi Taylor terhadap f(z n ) disekitar z n = α sehingga diperoleh f(z n ) =(+ )c 2 c 2e 3 n +( (3+c (3+c ))c 3 2 +c (+c )(3+c )c 2 c 3 e 4 c 2 n + +O(e 7 n). (3) Selanjutnya dengan menggunakan hasil-hasil yang telah diperoleh x n,f(x n ) y n,f(y n ),z n dan f(z n ) maka beda terbagi pada persamaan (20) dapat ditulis sebagai berikut [f(x n ),f(z n )]+[f(z n ),f(y n )] [f(x n ),f(y n )] =c + (+c2 )c 2 (2c 2 2 c c 3 ) e 3 c 2 n + +O(e 7 n), (32) 5
sehingga dengan membagi persamaan (3) dan persamaan (32) dan menggunakan langkah terakhir dari persamaan (20) diperoleh karena e n+ = x n+ α maka x n+ = α (+c2 )c 3 2(c 2 2 c c 3 ) e 6 c 5 n +O(e 7 n), (33) e n+ = (+c2 )c 3 2(c 2 2 c c 3 ) e 6 c 5 n +O(e 7 n). (34) Dari definisi orde konvergensi diperoleh kekonvergenan orde enam, maka Teorema terbukti. Pada setiap iterasinya MIO melakukan evaluasi fungsi sebanyak empat kali maka indek efisiensinya adalah.565 [7]. 3. SIMULASI NUMERIK Pada bagian ini dilakukan simulasi numerik yang bertujuan untuk membandingkan banyak iterasi dari metode Newton (MN) persamaan (2), metode Steffensen (MS) persamaan (3), metode Dehghan-Hajarian (MDH) persamaan (4)-(5) dan metode Iterasi Optimal Tanpa Turunan Berdasarkan Beda Terbagi(MIO) persamaan (20) dalam menemukan akar dari persamaan nonlinear. Dalam melakukan perbandingan ini, persamaan nonlinear yang digunakan adalah: f = (sin(x)) 2 +x α = 0 f 2 = (+x 3 )cos( πx )+.85 α = 0.333333333333333 2 f 3 = (sin(x)) 2 x 2 + α =.404496482534 f 4 = e x +sin(x) α = 2.076832745333 f 5 = xe x 0. α = 0.83255958963 Perbandingan kelima contoh di atas menggunakan program MATLAB 5.3 dengan kriteria pemberhentian untuk setiap adalah. Jika selisih nilai mutlak antara dua iterasi yang berdekatan bernilai lebih kecil dari toleransi yang diberikan. 2. Jika nilai mutlak fungsi lebih kecil dari tolerasnsi yang diberikan. 3. Jika jumlah iterasi mencapai maksimum iterasi. 6
Tabel : Perbandingan Komputasi dan TNE untuk MN, MS, MDH, MJ, MLi dan MIO f i x 0 Metode n TNE f(x n ) x n x n MN 22 7.2825e 07 8.5338e 009 2 MS 2 24 9.529e 026 2.89e 03 MDH 6 8 2.095e 028.5905e 02 f MJ 7 2 5.0487e 029.8805e 03 MLi 5 5 5.667e 027.7489e 007 MIO 4 6.5423e 024 8.5307e 005 MN 8 6 5.6798e 028 2.3890e 04 2.0 MS 9 8.8292e 022 9.5635e 02 MDH 5 5 7.8593e 06 5.0786e 006 MJ 6 8.2925e 026 7.7640e 0 MLi 7 2 3.6978e 032 6.2642e 009 MIO 4 6 0.0000e + 000 8.5585e 05 MN 6 2 0.0000e + 000 4.4768e 0 0.8 MS 5 0 0.0000e + 000 2.45e 00 MDH 4 2 0.0000e + 000 2.2828e 02 f 2 MJ 4 2 0.0000e + 000 6.2387e 02 MLi 3 9 0.0000e + 000 4.6727e 007 MIO 3 2 2.2204e 06 2.4036e 04 MN 5 0 2.2204e 06 9.8342e 009 0.5 MS 4 8 2.2204e 06 3.982e 00 MDH 3 9 2.2204e 06 2.500e 007 MJ 3 9 2.2204e 06 4.5933e 008 MLi 3 9 0.0000e + 000.5072e 0 MIO 2 8 0.0000e + 000 5.4e 005 MN 8 6 3.3307e 06.3323e 05 0.6 MS 6 2 4.4409e 06 3.9080e 04 MDH 4 2 3.3307e 06 5.3946e 02 f 3 MJ 4 2 4.4409e 06 2.7699e 007 MLi 3 9 4.4409e 06 6.2059e 006 MIO 3 2 3.3307e 06 5.2223e 02 MN 5 0 4.4409e 06.732e 008 2.0 MS 6 2 3.3307e 06.254e 008 MDH 4 2 4.4409e 06 2.8824e 009 MJ 5 5 3.3307e 06 3.33e 02 MLi 3 9 3.3307e 06.0575e 005 MIO 3 2 3.3307e 06.525e 005 7
f x 0 Metode n TNE f(x n ) x n x n MN 27 54 2.2204e 06 2.623e 008.6 MS 6 2 0.0000e + 000 4.9458e 02 MDH 4 2 0.0000e + 000.3899e 007 MJ 4 2 0.0000e + 000 8.2020e 009 MLi 3 9 0.0000e + 000 5.0974e 008 MIO 3 2 0.0000e + 000 2.0294e 007 MN 6 2 0.0000e + 000 2.245e 02.6 MS 5 0 0.0000e + 000 7.4776e 02 MDH 4 2 0.0000e + 000 6.72e 009 MJ 4 2 0.0000e + 000.3767e 04 MLi 3 9 0.0000e + 000.868e 006 MIO 2 8 0.0000e + 000 3.2062e 003 MN 5 0 0.0000e + 000.34e 009 0.2 MS 6 2 0.0000e + 000.33e 00 MDH 4 2 0.0000e + 000 4.4766e 008 MJ 4 2 0.0000e + 000.979e 02 MLi 3 9 0.0000e + 000 2.9082e 007 MIO 2 8 0.0000e + 000 7.9880e 004 MN 4 8 6.9389e 07 8.2757e 009 0.2 MS 5 0 0.0000e + 000 4.5060e 03 MDH 3 9 0.0000e + 000 8.8268e 007 MJ 3 9.3878e 07 8.3294e 009 MLi 3 2 0.0000e + 000 4.807e 04 MIO 2 8 0.0000e + 000.402e 006 f 4 f 5 Hasil komputasi untuk setiap metode yang dibandingkan diberikan pada Tabel. Berdasarkan komputasi numerik, Tabel, tidak terlihat perbedaan yang cukup berarti antara MN, MS, MDGH, MJ, MLi dan MIO baik dari segi iterasi maupun dari tingkat kesalahan (error). Secara keseluruhan untuk semua komputasi yang dilakukan metode Iterasi Bebas Turunan lebih cepat mencapai akar. DAFTAR PUSTAKA [] Atkinson, K. E. 993. Elementary Numerical Analysis, 2 nd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [2] Bartle, R. G. & D. R. Shebert. 999. Introduction to Real Analysis, 3 rd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [3] Cheney, W.and Kincaid, D. 2004. Numerical Methods for Mathematics and Computing, 6 th Edition. Brook/Cole Publishing Company, California 8
[4] Deghan, M., & M. Hajarian, 200. Some derivative free quadratic and cubic convergence iterative formulas for solving nonlinear equation.applied Mathematics and Computation. 29:9-3. [5] Gautschi, W. 20. Numerical Analysis, 2 nd. West Lafayette, Indiana. [6] Jain, P. 2007. Steffensen type method for solving nonlinear equation.applied Mathematics and Computation. 209:206-29. [7] Soleymani, F. 20. Eficient Sixth-Order Nonlinear Equation Solver Free from Derivative. Computational and Applied Mathematics, 2. h. 2503-2508. [8] Samuer, T. Numerical Analysis. Pearson Education, Inc., Boston. [9] Traub, J.F. 964. Iterative Methods for the Solution of Equations. Prentice Hall Inc. Englewood Cliffs. 9