Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada 1

2. ALJABAR LOGIKA 2.1 Pernyataan / Proposisi Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah), tetapi tidak keduanya. Contoh 1 : P = Tadi malam BBM mulai naik (memiliki nilai kebenaran benar/true) Q = 2 3 = 3 2 (memiliki nilai kebenaran salah/false) Contoh 2 : Berikut ini adalah beberapa contoh proposisi : a. 1 + 2 = 3 b. Presiden RI tahun 2005 adalah SBY c. 6 adalah bilangan prima d. Warna bendera RI adalah biru dan merah Kalimat-kalimat di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui benar/salahnya. Kalimat (a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan (d) bernilai salah. Contoh 3 : Berikut ini adalah beberapa contoh kalimat yang bukan merupakan proposisi : a. Di manakah letak pulau seribu? b. Ersa lebih tua dari Arsi c. x + y = 5 d. 2 mencintai 3 Kalimat (a) jelas bukan proposisi karena merupakan kalimat tanya sehingga tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat (b) juga bukan proposisi karena ada banyak orang dibumi ini yang bernama Ersa dan Arsi. Kalimat tersebut tidak memberikan keterangan yang lebih spesifik sehingga tidak diketahui kebenaran bahwa Ersa lebih tua dari Arsi. Dalam kalimat (c), nilai kebenaran kalimat tergantung pada harga x dan y yang ada. Jika x =1 dan y = 4, maka kalimat tersebut menjadi kalimat yang benar. Tetapi jika x = 4 dan y = 5, maka kalimat tersebut menjadi kalimat yang salah. Jadi secara umum tidak dapat ditentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah. Kalimat (e), walaupun mempunyai susunan kalimat yang benar, tetapi tidak mempunyai arti karena relasi mencintai tidak berlaku pada bilangan. Oleh karena itu, kalimat tersebut tidak ditentukan benar atau salahnya. Suatu pernyataan yang selalu benar dalam semua keadaan dinamakan tautologi, sedangkan pernyataan yang selalu salah dalam semua keadaan dinamakan kontradiksi. Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada 1

2.2 Tabel Kebenaran Ada 2 metode: Contoh: ~(p Λ ~q) Metode 1: p q ~q p Λ ~q ~(p Λ ~q) Metode 2: p q ~ (p Λ ~ q) 2.3 Notasi Polish Merupakan notasi yang mengacu pada penempatan sebuah simbol operasi sebelum pernyataannya. Pernyataan yang dapat disusun dengan notasi polish adalah yang mengandung Λ (and) yang diganti dengan A, dan ~ (not) yang diganti dengan N. Contoh: p Λ q ditulis dengan notasi polish: A p q ~ p ditulis dengan notasi polish: N p p Λ ~ q ditulis dengan notasi polish: A p N q ~ (~ p Λ q) ditulis dengan notasi polish: N A N p q 2.4 Negasi / Ingkaran Negasi suatu kalimat akan mempunyai niali kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran kalimat aslinya. Jadi jika nilai p bernilai benar maka p bernilai salah. Sebaliknya jika p bernilai salah, maka p akan bernilai benar. Atomic/tunggal Proposisi Majemuk/compound - konjungsi - disjungsi - implikasi/kondisional - biimplikasi Konjungsi Kalimat p q (dibaca p dan q ) akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya bernilai salah (apalagi keduanya) bernilai salah, maka p q bernilai salah. Tabel kebenaran dari Konjungsi dapat dilihat pada Tabel 3.1 dibawah ini : p Q p q Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada 2

Disjungsi 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Tabel 2.1 Kalimat p q (dibaca p atau q ) akan bernilai salah jika bail p maupun q bernilai salah. Secara umum, yang dimaksud dengan penghubung atau adalah inclusive OR (kedua penyusun kalimat boleh bernilai benar). Tabel kebenaran dari disjungsi dapat dilihat dibawah ini : Contoh : p Q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Tabel 2.2 1. Dalam perayaan itu, tamu boleh menyumbang uang atau barang 2. Saya akan melihat pertandingan itu di TV atau di lapangan Dalam kalimat (1), keseluruhan kalimat tetap bernilai benar jika kedua kalimat penyusunnya benar. Jadi, tamu diperbolehkan menyumbang uang sekaligus barang. Sebaliknya, dalam kalimat (2), hanya salah satu diantara kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar, tetapi tidak keduanya. Keseluruhan kalimat akan bernilai jika saya melihat pertandingan itu di TV saja, atau di lapangan saja, tetapi tidak keduanya. Kata penghubung atau (or) dalam kalimat (1) disebut Inclusive OR, sedangkan dalam (b) disebut Exclusive OR. Equivalensi Dua kalimat disebut ekuivalen ( p q ) bila dan hanya bila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Atau dengan kata lain, jika hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang selalu sama. Negasi dari konjungsi dan disjungsi p q p q p q p q p q p q p q p q 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada 3

0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Kesimpulan : p q p q hukum de Morgan p q p q Implikasi Tabel 2.3 Kalimat p q akan bernilai salah kalau p benar dan q salah. p disebut hipotesis (anteseden) dan q disebut konklusi (konsekuen). Kalimat berbentuk p q disebut kalimat berkondisi karena kebenaran kalimat q tergantung pada kebenaran kalimat p. Tabel kebenaran untuk implikasi adalah : Contoh : p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Tabel 2.4 Apabila ada seorang pria yang berkata jika besok cerah, maka aku akan datang kerumahmu. p = Besok cuaca cerah q = aku kan datang ke rumahmu. Jika p maupun q keduanya benar, maka akan bernilai benar. Jika p salah (ternyata keesokannya hujan lebat atau cuaca tidak cerah), maka pria tersebut terbebas dari janjinya karena janji tersebut bersyarat, yaitu kalau besok cerah. Jadi, baik pria tersebut datang (berarti q bernilai benar) maupun tidak datang (q bernilai salah), ia tidak akan disalahkan (bernilai benar). Akan tetapi, pria tersebut akan disalahkan apabila keesokan harinya cuaca cerah (p bernilai benar) apabila keesokan harinya cuaca cerah (p bernilai benar) tetapi ia tidak datang (q salah). p Q p p q p q p q p q 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 p q p q p q p q p q p q Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada 4

Biimplikasi Tabel 2.5 p q dibaca p jika dan hanya jika q. p q (p q) (q p). p q bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar atau salah. Tabel kebenaran untuk p q (p q) (q p) adalah : Jika : Maka : p Q p q q p (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 p q: implikasi q p:konvers p q : Invers q p : Kontraposisi q p p q p q q p Tabel 2.6 2.5 Hukum-hukum Aljabar Proposisi Hukum idempoten: o p V p p o p Λ p p Hukum asosiatif: o (p V q) V r p V (q V r) o (p Λ q) Λ r p Λ (q Λ r) Hukum komutatif o p V q q V p o p Λ q q Λ p Hukum distributif: o p V (q Λ r) (p V q) Λ (p V r) o p Λ(q V r) (p Λ q) V (p Λ r) Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada 5

Hukum identitas: o p V F p o p V T T o p Λ T p o p Λ F F Hukum komplemen: o p V ~p T o ~ ~p p o p Λ ~p F o ~T F, ~F T Hukum de Morgan: o ~ (p V q) ~p Λ ~q o ~ (p Λ q) ~p V ~q 2.6 Tautologi dan Kontradiksi Proposisi P(p, q, ) adalah sebuah tautologi jika kolom terakhir pd tabel kebenarannya hanya memuat T, artinya P benar untuk setiap nilai kebenaran dari variabel-variabelnya. Contoh: p V ~p Kontradiksi P(p, q, ) adalah sebuah kontradiksi jika kolom terakhir pd tabel kebenarannya hanya memuat F, artinya P salah untuk setiap nilai kebenaran dari variabelvariabelnya. Contoh: p Λ ~p 2.7 Argumen Argumen adalah sebuah pernyataan dari himpunan proposisi P1, P2,, Pn yg disebut premis, menghasilkan proposisi Q yg lain yg disebut konklusi. Notasi argumen: P1, P2,, Pn Q Argumen disebut valid atau logis jika Q benar bilamana semua premis P1, P2,, Pn benar. Argumen yg tidak valid dikatakan sbg argumen palsu. 2.8 Membuat Kesimpulan (Inferensi Logis) Modus Ponens Secara simbolik, modus ponens dapat dinyatakan sebagai berikut : Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada 6

p q (T) p (T) q (T) Atau dapat ditulis {(p q) p} q. Implikasi bila p maka q yang disumsikan bernilai benar. Apabila selanjutnya diketahui bahwa anteseden (p) benar, supaya implikasi p q benar, maka q juga harus bernilai benar. Inferensi seperti itu disebut Modus Ponens. Tabel kebenaran untuk {(p q) p} q adalah : p Q p q (p q) p p q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 {(p q) p} p {(p q) p} q Modus Tollens {(p q) p} q {(p q) p} q (p q) q p (q q) T Tabel 2.7 {(p p) (q p) q Secara simbolik, bentuk inferensi Modus Tollens adalah sebagai berikut : p q p p Contoh : Jika Zeus seorang manusia, maka ia dapat mati Zeus tidak dapat mati Zeus bukan seorang manusia Sylogisme Jika p q (T) q p r (T) r (T) Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada 7

{(p q) (q r)} (p r) 2.9 Kuantifikasi Ada 2 macam: o Kuantor universal ( ): untuk semua ( x A) p(x) atau x p(x), utk semua x A, p(x) benar o Kuantor eksistensial ( ): terdapat ( x A) p(x) atau x p(x), terdapat x A sedemikian sehingga p(x) benar Teorema de Morgan: o ~( x A) p(x) ( x A) ~p(x) o ~ ( x A) p(x) ( x A) ~p(x) Kuantifikasi Multi Variabel Fungsi proposisi p(x, y, ) yg diawali dg kuantifier utk setiap variabel Contoh: x y p(x, y) x y z p(x, y, z) Contoh proposisi dg himpunan semesta {1, 2, 3}: x y, x 2 < y + 1 x y, x 2 + y 2 < 12 Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada 8