Metode Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA 10 Maret 2010 (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 1 / 16
Ekspansi Taylor Misalkan f 2 C [a, b] dan x 0 2 [a, b], maka untuk nilai-nilai x di sekitar x 0 dan x 2 [a, b], f dapat dinyatakan dalam deret Taylor f (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) 1! + f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) + f 00 (x 0 ) 2! (x x 0 ) n + (x x 0 ) 2 + (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 2 / 16
Ekspansi Maclaurin Untuk x 0 = 0, maka deretnya dinamakan Deret Maclaurin f (x) = f (0) + f 0 (0) 1! x + f 00 (0) 2! x 2 + + f (n) (0) x n + n! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 3 / 16
Contoh Ekspansikan fungsi f (x) = cos x di sekitar x = π 2! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 4 / 16
Contoh f 0 (x) = sin x f 0 π 2 = 1 f 00 (x) = cos x f 00 π 2 = 0 f 000 (x) = sin x f 000 π 2 = 1 f (4) (x) = cos x f (4) π 2 = 0 f (5) (x) = sin x f (5) π 2 = 1 f (6) (x) = cos x f (6) π 2 = 0 cos x = x π 2 + x π 3 2 3! x π 5 2 + 5! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 5 / 16
Contoh Ekspansi fungsi f (x) = sin x, f (x) = cos x, f (x) = e x, dan f (x) = ln (x + 1) di sekitar 0 sin x = x cos x = 1 x 3 3! + x5 5! x 2 2! + x4 4! x 7 e x = 1 + x + x2 2! + ln (1 + x) = x x 2 2 + x3 3 7! + x 6 6! + x 4 4 + (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 6 / 16
Latihan Ekspansikan fungsi-fungsi berikut di sekitar 0 : 1. f (x) = e x2 2. f (x) = p 1 + x 3. f (x) = 1 1 x 0.4 R p 4. Hitunglah 1 + x 4 dx 0 (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 7 / 16
Galat Eksak Galat Mutlak: ε = jx bxj (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 8 / 16
Galat Eksak Galat Mutlak: Galat Relatif: ε = jx bxj ε R = ε x atau ε R = ε x.100% (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 8 / 16
Galat Hampiran ε RA = x r+1 x r+1 Proses iterasi dihentikan jika jε RA j < toleransi x r (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 9 / 16
Contoh Soal: Hitunglah akar persamaan x 3 + 6x 3 = 0! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 10 / 16
Metode Contoh Soal: Hitunglah akar persamaan x 3 + 6x 3 = 0! Jawab: x n+1 = x3 n + 3, x 1 = 0, 5 6 (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 10 / 16
Sumber Galat 1 Galat Bawaan (inheren): Galat dalam nilai data disebabkan oleh ketidakpastian dalam pengukuran atau oleh perlunya pendekatan untuk menyatakan suatu bilangan yang angkanya tidak secara tepat dapat dinyatakan dengan banyaknya angka yang tersedia (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 11 / 16
Metode Sumber Galat 1 Galat Bawaan (inheren): Galat dalam nilai data disebabkan oleh ketidakpastian dalam pengukuran atau oleh perlunya pendekatan untuk menyatakan suatu bilangan yang angkanya tidak secara tepat dapat dinyatakan dengan banyaknya angka yang tersedia 2 Galat Pemotongan: Galat yang timbul karena penggunaan aproksimasi sebagai pengganti metode eksak (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 11 / 16
Metode Sumber Galat 1 Galat Bawaan (inheren): Galat dalam nilai data disebabkan oleh ketidakpastian dalam pengukuran atau oleh perlunya pendekatan untuk menyatakan suatu bilangan yang angkanya tidak secara tepat dapat dinyatakan dengan banyaknya angka yang tersedia 2 Galat Pemotongan: Galat yang timbul karena penggunaan aproksimasi sebagai pengganti metode eksak 3 Galat Pembulatan: Galat yang timbul karena keterbatasan (komputer) menyajikakn bilangan real (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 11 / 16
memiliki suku tak hingga buah Galat Pemotongan f (x) = f (x 0 ) + (x x 0) f 0 (x 0 ) + (x x 0) 2 f 00 (x 0 ) + 1! 2! + (x x 0) n f (n) (x 0 ) + n! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 12 / 16
memiliki suku tak hingga buah Galat Pemotongan f (x) = f (x 0 ) + (x x 0) f 0 (x 0 ) + (x x 0) 2 f 00 (x 0 ) + 1! 2! + (x x 0) n f (n) (x 0 ) + n! Karena keterbatasan alat, maka dilakukan pemotongan f (x) = f (x 0 ) + (x x 0) 1! f 0 (x 0 ) + (x x 0) 2 f 00 (x 0 ) + 2! + (x x 0) n f (n) (x 0 ) + + R n (x) n! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 12 / 16
Galat Pemotongan f (x) = P n (x) + R n (x) dengan R n (x) = (x x 0) n+1 f (n+1) (x 0 ), (n + 1)! x 0 < c < x (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 13 / 16
Rumus Besarnya Galat Pemotongan pada adalah: jr n (x)j < max f (n+1) (c) (x x 0) n+1 x 0 <c<x (n + 1)! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 14 / 16
Contoh Soal: Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar 0 untuk menghitung ln (1, 1) dan berikan taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang dibuat! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 15 / 16
Contoh Soal: Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar 0 untuk menghitung ln (1, 1) dan berikan taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang dibuat! Jawab: ln (1 + x) = x x 2 2 + x3 x 4 3 4 + R 4 (x) ln (1.1) = 0.1 0.1 2 2 + 0.13 0.1 4 3 4 + R 4 (x) = 9. 530 8 10 2 + R 4 (x) (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 15 / 16
Contoh R 4 (1.1) < max 0<c<0.1 24.c 5 (0.1 0) 5. 5! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 16 / 16