BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah cotoh persamaa diferesial: Persamaa diferesial (disigkat PD) dibagi dalam dua kelas yaitu biasa da parsial. Persamaa diferesial biasa (ordiary differetial equatio) adalah suatu persamaa diferesial yag melibatka haya satu variabel bebas. Jika diambil y(x) sebagai suatu fugsi satu variabel, dega x diamaka variabel bebas da y diamaka variabel tak bebas, maka suatu persamaa diferesial biasa (disigkat PDB) dapat diyataka dalam betuk: Persamaa diferesial parsial (disigkat PDP) adalah suatu persamaa diferesial yag melibatka dua atau lebih variabel bebas. Jadi persamaa (1), (2), (3) adalah PDB sedagka (4) adalah PDP. Orde dari suatu persamaa diferesial ditetuka oleh turua tertiggi dalam persamaa tersebut, cotoh: adalah PDB orde satu adalah PDB orde dua
adalah PDB orde tiga Defiisi Liieritas da Homogeitas. Persamaa differesial biasa order dikataka liier bila dapat diyataka dalam betuk. (A liear differetial equatio is ay differetial equatio that ca be writte i the followig form.) ( ) ( 1) a ( x) y a ( x) y... a ( x) y' a ( x) y F( x) 0 1 1. dega a 0 ( x) 0 1. Jika tidak dapat diyataka dalam betuk di atas dikataka tidak liier. 2. Jika koefisie a x), a ( x),..., a ( ) kosta maka disebut persamaa ( x 0 1 differesial liier dega koefisie kosta, jika tidak disebut persamaa differesial liier dega koefisie variable. 3. Jika F (x) 0, maka disebut persamaa differesial liier homoge, jika F (x) 0 disebut tidak homoge. Solusi (Peyelesaia) PDB. Defiisi: Tijau suatu PDB dy d y F x, y,,..., 0 dega F fugsi real dega (+2) argume dx dx dy d y x, y,,...,. dx dx 1. Jika f adalah fugsi real yag terdefiisi utuk semua x dalam iterval real I da mempuyai derivative ke- utuk semua x I. Fugsi f disebut solusi eksplisit PDB di atas pada I jika memeuhi F x, f ( x), f '( x),..., f ( ) ( x) terdefiisi utuk semua x I, da F x, f ( x), f '( x),..., f ( ) ( x) 0 utuk semua x I 2. Suatu relasi ( x, y) 0 g disebut solusi implisit dari PDB di atas jika g x I dapat ditrasformasi ke miimal satu fugsi f dega variable
sedemikia sehigga f merupaka solusi eksplisit dari PDB pada iterval tersebut. 3. Kedua peyelesaia yaitu peyelesaia implicit da peyelesaia eksplisit biasaya secara sigkat disebut peyelesaia PDB. Secara umum kedua solusi tersebut masih dikategorika lagi dalam tiga jeis solusi yaitu: 1. Solusi Umum (Peyelesaia Umum): solusi PDB yag masih megadug kostata misalya C atau c. Cotoh: y ' 3 mempuyai peyelesaia umum y 3 x C. 2. Solusi Khusus/Partikulir (Peyelesaia Khusus/Partikulir): solusi yag tidak megadug kostata karea adaya syarat awal pada suatu PDB. Cotoh: y ' 3 dega syarat y (0) 1, maka peyelesaia khususya adalah y 3x 1 3. Solusi Sigular (Peyelesaia Sigular): solusi yag tidak diperoleh dari hasil mesubstitusika suatu ilai pada kostata pada solusi 2 umumya. Cotoh: y Cx C adalah solusi umum dari PDB ( y ') 2 xy' y, amu demikia disisi lai PDB tersebut mempuyai peyelesaia sigular 1 x 4 y 2. Metode Peyelesaia. Metoda yag diguaka utuk mecari solusi (meyelesaika) Persamaa Differesial atara lai: 1. Metoda Aalitik: Metoda ii dapat meghasilka dua betuk solusi yaitu betuk eksplisit da implicit yag dicari melalui tekik deduktif aalogis dega megguaka kosep-kosep matematik. Kelebihaya dapat megetahui betuk fugsi solusiya amu tidak cukup fleksibel utuk masalah-masalah yag komplek. Dega komputer dapat diselesaika dega software MATLAB atau MAPLE_ Prosedur dalam MATLAB ditulis sebagai berikut: %Megguaka fugsi dsolve >>dsolve( Dy = 3*y + 1, y(0)=1 )
2. Metoda Kualitatif: Solusi ii haya dapat memberika gambara secara geometris bagaimaa visualisasi dari solusi PDB. Dega megamati pola grafik gradie field (directio field) maka dapat diestimasi solusi PDB itu. Keuggulaya dapat memahami secara mudah kelakua solusi suatu PDB amu fugsi asli dari solusiya tidak diketahui da juga kurag fleksibel utuk kasus yag komplek 3. Metoda Numerik. Pada saat sekarag metoda ii merupa-ka metoda yag fleksibel. Metoda ii berkembag sesuai dega perkembaga computer, da dapat meyelesaika PDB dari level yag mudah sampai pada level yag kompleks. Meskipu fugsi tidak solusi tidak diketahui secara eksplisit maupu implicit amu data yag diberika dapat divisualisir dalam betuk grafik sehigga dapat diaalisis dega baik. Metoda ii berdasarka prisip-prisip pedekata (aproksimasi) sehigga solusi yag diperoleh adalah solusi hampira (solusi pedekata). Pembetuka Persamaa Diferesial Secara matematis, persamaa diferesial mucul jika ada kostata sembarag dielimiasika dari suatu fugsi tertetu yag diberika, lihat cotoh berikut: Betuklah persamaa diferesial dari fugsi berikut: Peyelesaia: dari fugsi yag diberika (soal) kostata sembarag A adalah: sehigga
Satu cotoh lagi, betuklah persamaa diferesial utuk: Peyelesaia: substitusika kostata A ke: sehigga dega mesubstitusika A da B pada persamaa: kita dapatka: hasil akhir peyelesaia di atas adalah persamaa diferesial orde dua. Jadi fugsi dega satu kostata sembarag meghasilka persamaa diferesial orde satu, sedagka fugsi dega dua kostata sembarag meghasilka persamaa diferesial orde dua. Sehigga berlaku kaidah: Persamaa Diferesial orde ke dituruka dari fugsi yag mempuyai buah kostata sembarag.
Peyelesaia Persamaa Diferesial Biasa Orde Satu Peyelesaia Persamaa Diferesial adalah pecaria fugsi yag memeuhi persamaa diferesial tersebuat dega cara maipulasi persamaa tersebut sehigga seluruh turuaya hilag da harga meyisaka hubuga atara x da y. Metode 1 : Dega itegrasi secara lagsug Jika persamaa dapat disusu dalam betuk, maka persamaa tersebut dapat diselesaika dega itegrasi sederhaa. Cotoh1: maka Cotoh2: maka sehigga Nilai c tidak dapat ditetuka kecuali jika dalam persamaa di atas diberi keteraga syarat (sebuah ilai y utuk x tertetu). Solusi dega ilai kostata sembarag atau c disebut solusi umum/primitif, sedagka solusi disebut khusus jika ilai c dapat dihitug. Cotoh3: Tetuka solusi khusus persamaa berikut jika y=3 utuk x=0: Peyelesaia
maka dega megetahui y=3 utuk x=0 dapat dihitug ilai c yaitu sehigga solusi khusus adalah: Metode 2: Pemisaha variabel Jika persamaa diferesial berbetuk, yaitu persamaa yag ruas kaaya dapat diyataka sebagai perkalia atau pembagia fugsi x da fugsi y, maka peyelesaia PD dega cara memisahka variabelya sehigga faktor y bisa kita kumpulka dega dy da faktor x dega dx. cotoh: selesaika PD berikut maka jika kita pisahka berdasarka variabelya mejadi: jika kita itegrasika kedua ruas mejadi: Metode 3: Persamaa Homoge substitusi y=vx tijau persamaa diferesial berikut: persamaa di atas tidak dapat diselesaika dega cara memisahka variabelya. Dalam hal ii kita lakuka substitusi y =vx, dega v adalah fugsi x. Sehigga peyelesaiaya:
dari y = vx dideferesialka mejadi sehigga Persamaa sekarag mejadi: kedua ruas diitegrasika mejadi: substitusi v=y/x didapatka