1 MODEL OSILASI HARMONIK LOGARITMIK PADA GERAK BEBAN DENGAN MASSA YANG BERUBAH SECARA LINIER TERHADAP WAKTU MODEL OF HARMONIC LOGARITHMIC MOTION OSCILLATION WITH THE MASSCHANGING LINEARLY WITH TIME Kunlesiowai H., Nani Yuningsih, Sardjio (Saf Pengajar UP MKU Polieknik Negeri Bandung) ABSTRAK Gerak osilasi benda yang eleka pada sise elasik, seperi pegas, sudah dibahas. Naun, pebahasan ersebu dibaasi unuk benda berassa konsan, baik unuk osilasi bebas, osilasi ereda, osilasi paksa, aupun osilasi paksa ereda. Pada ulisan ini, akan dibahas osilasi benda yang eleka pada pegas dengan assa benda yang berubah secara linier erhadap waku. Analisis diulai dengan ebua odel aeais dari osilasi bebas sise pegas dan assa dengan assa yang berubah secara linier erhadap waku yang hanya digerakkan oleh gaya elasik. Dari odel yang berbenuk persaaan diferensial, diperoleh solusi hoogen unuk sipangan seiap saa yang berbenuk fungsi haronik logariik. Dari solusi ini, diperoleh karakerisik adanya gejala relaksasi yang diakibakan oleh berubahnya assa erhadap waku, baik relaksasi apliudo, aupun periode. Analisis dilanjukan pada keberadaan gaya redaan sera gaya paksa periodik. Seluruhnya enggunakan beban berassa idak eap. Unuk kondisi yang bersifa enyeluruh, yakni osilasi paksa ereda, odel gerak berbenuk persaaan diferensial orde dua yang idak hoogen. Solusinya juga berbenuk fungsi haronik logariik. Kaa kunci : osilasi, pegas, assa berubah, fungsi haronik logariik logariik ABSTRACT Oscillaion oion of objecs aached o he elasic syse, such as a spring, has been uch discussed. Bu, generally he discussion is liied o a consan-ass objec, eiher for free oscillaion, daped oscillaion, forced oscillaion, or forced daped oscillaion. In his paper, i will be reviewed he objec oscillaion aached
Siga-Mu Vol.3 No.1 Mare 11 o he spring, wih he ass of he objec changes linearly wih ie. The analysis begins by aking a aheaical odel of free oscillaion spring syse and ass, wih ass changes linearly wih ie, which is only driven by he elasic force. Fro he odel in differenial equaions, hoogeneous soluion is obained for he deviaion of each ie in he for of haronic logarihic funcion. Fro his soluion, acquired characerisics of he relaaion phenoena caused by he changes in ass over ie, boh relaaion apliude, and period. Then, he analysis is coninued in he presence of daping force and periodic force, which all used unfied ass load. For he condiions ha are coprehensive, ha is forced daped oscillaion, he oion odels for a second order differenial equaion which is no hoogeneous, he soluion also conains a logarihic haronic funcion. Keywords: oscillaion, spring, ass change, haronic logarihic funcion PENDAHULUAN Gerak benda di bawah pengaruh gaya elasik akan eenuhi huku Hooke sehingga benda ersebu akan berosilasi. Persaaan gerak, yang enghubungkan gaya penyebab gerak sera besaran kineaiknya (posisi, kecepaan, percepaan), dapa diperoleh elalui persaaan gaya dengan definisi gaya yang sederhana yakni assa dikalikan percepaan. Uunya, pebahasan yang selaa ini dilakukan didasarkan asusi bahwa assa benda yang berosilasi dianggap konsan. Unuk sise seaca iu, persaaan gerak yang didapa berupa persaaan diferensial orde dua anara posisi erhadap waku dengan solusi yang akan berbenuk fungsi haronik periodik (sinus dan aau cosinus) aau fungsi eksponensial. Bila assa benda yang berosilasi idak konsan, arinya berubah erhadap waku, injauan odel persaaan geraknya asih dapa dilakukan elalui persaaan gaya asalkan definisi gaya diperluas enjadi laju perubahan oenu. Model gerak yang berbenuk persaaan diferensial dengan koefisienkoefisien yang berganung pada waku enghasilkan solusi yang berbenuk fungsi haronik (periodik) logariik anara posisi erhadap waku. Dengan engabil injauan assa yang berubah secara linier erhadap waku, diperoleh kenyaaan bahwa benda eap bergear secara haronik, eapi periodenya berubah secara logariik. Perubahan periode ini enunjukkan erjadinya relaksasi. Selain periode, apliudonya pun akan berkurang baik karena efek berabahnya assa benda, aupun karena keberadaan gaya pereda. PEMBAHASAN a. Osilasi Benda Berassa Konsan Aai suau benda (= beban berassa) yang dilekakan pada ujung sebuah pegas. Jika beban yang eleka pada ujung pegas ini disipangkan dari keadaan seibang lalu dilepaskan, benda
Model Osilasi Haronik Logariik pada Gerak Beban 3 dengan Massa yang Berubah Secara Linier erhadap Waku akan berosilasi secara bebas di sekiar iik seibangnya dengan apliudo dan periode yang konsan. ( ) Acos( f n ). (4) Solusi ini enyaakan bahwa beban akan berosilasi dala gerak haronis sederhana yang eiliki apliudo A dan frekuensi f n ( f n = ω / π ) aau fn 1 k Gabar 1. Pegas dan Beban yang Berosilasi Bebas Dala keadaan ini, gaya elasik berlaku karena pegas F s sebanding dengan panjang peregangan sesuai dengan huku Hooke aau bila diruuskan secara aeais enjadi F k (1) Osilasi ereda akan erjadi pada sise pegas. Benda ersebu selain bekerja dengan gaya elasik, bekerja pula gaya redaan yang nilainya cukup kecil (under daping). Besar gaya redaan (gesekan, habaan) yang erjadi berganung pada besar kecepaan dan arahnya berlawanan dengan kecepaan. Konsana kesebandingannya dinaakan koefisien pereda ( c ). dengan k adalah eapan pegas. Karena gaya yang diibulkan sebanding dengan percepaan, dv F a () didapakan persaaan diferensial hoogen, k (3) dengan solusi berbenuk fungsi rigonoeri dari posisi erhadap waku Gabar. Pegas dan Beban sera Pereda F cv c (5) Dengan enjulahkan seua gaya yang berlaku pada benda, akan didapakan persaaan c k (6)
4 Siga-Mu Vol.3 No.1 Mare 11 Solusi persaaan ini berganung pada besarnya redaan. Bila redaan cukup kecil, solusinya berbenuk bilangan kopleks dengan sise asih akan berosilasi naun pada akhirnya akan berheni. Keadaan ini disebu kurang reda aau redaan kecil (under daping) dan erupakan kasus yang paling endapakan perhaian dala analisis vibrasi. Bila peredaan diperbesar sehingga encapai iik saa sise idak lagi berosilasi, dicapai iik redaan kriis (criical daping). Bila peredaan diabahkan elewai iik kriis ini, sise disebu dala keadaan lewa reda aau redaan besar (over daping). Unuk kondisi lewa reda dan redaan kriis, solusi persaaan diferensial ersebu berbenuk bilangan nyaa yang engecil secara eksponensial erhadap waku. Nilai koefisien redaan yang diperlukan unuk encapai iik redaan kriis pada odel assa-pegas-pereda adalah dengan c k ( ) Cc k (7) Ruus unuk nisbah redaan (ζ) adalah c k Solusi sise osilasi dengan redaan kecil e n cos 1, (kurang reda) pada odel assa-pegaspereda adalah n n (8) fn Gabar 3. Grafik Sipangan erhadap Waku unuk Osilasi Tereda Osilasi paksa erjadi karena adanya gaya luar yang bekerja pada suau sise sehingga sise ersebu berosilasi. Gaya luar ini uunya bersifa periodik isalnya, berbenuk F Focos( f) Dengan kaa lain, gaya ini bernilai aksiu F o dan eiliki frekuensi f.
Model Osilasi Haronik Logariik pada Gerak Beban 5 dengan Massa yang Berubah Secara Linier erhadap Waku Dari persaaan gaya dan gerak, akan diperoleh persaaan diferensial orde dua idak hoogen yang epunyai benuk k F( ) (9) Persaaan diferensial seaca iu akan eiliki solusi yang erupakan resulan dari solusi uu dan solusi khusus. Solusi uu eiliki benuk epa saa dengan solusi yang diperoleh jika ruas kanan persaaan saa dengan nol. Jadi, solusi uu akan berbenuk saa dengan solusi osilasi bebas. Solusi khusus eiliki benuk fungsi yang irip dengan fungsi yang ada pada ruas kanan persaaan hanya saja apliudonya berbeda dengan F o /. Dala kondisi unak (seady sae), biasanya erjadi seelah waku yang cukup laa, solusi khusus akan lebih doinan. Jadi, solusi uu persaaan ersebu dapa dianggap bernilai kecil sekali (endekai nol) sehingga solusi unaknya akan berbenuk X = {( F o / ) / [ ( k/ ) ω ]} ) cos (πf) (1) Osilasi paksa ereda eiliki persaaan gerak yang erupakan hasil perpaduan anara gosilasi ereda dengan osilasi paksa, yakni dala benuk c k F( ) (11) Seperi halnya solusi osilasi paksa, solusi persaaan gerak osilasi paksa ereda pun eiliki dua bagian, yakni solusi uu dan solusi khusus. Saa encapai keadaan unak, solusi khusus yang berbenuk ( ) cos( f ) (1) dengan apliudo F k 1 r 1 akan enjadi doinan. Hasilnya dapa digabarkan pada gabar beriku. Gabar 4. Grafik Sipangan erhadap Waku unuk Osilasi Paksa Tereda b. Osilasi Beban Berassa Berubah secara Linier erhadap Waku Bila assa benda yang enjadi beban pada sise osilasi pegas idak lagi konsan, eapi berubah erhadap waku, gaya idak lagi cukup diulis sebagai F = a r
6 Siga-Mu Vol.3 No.1 Mare 11 eapi harus berbenuk F (13) dp d( v) v d dv Dengan deikian, persaaan gerak unuk osilasi bebas (yang hanya erdiri aas pegas dan beban dengan gaya yang bekerja hanya gaya elasik) enjadi d dv v k (14) Kecepaan adalah v aka persaaan gerak ersebu dapa diulis dala benuk d k Jika assa berubah secara linier erhadap waku, yakni dala benuk o (15) laju perubahannya erhadap waku d o, konsan (16) k Dengan deikian, persaaan gerak unuk osilasi bebas yang berassa linier erhadap waku akan berbenuk (17) ( ) Solusi dari persaaan ersebu berbenuk ( ) Asin ln( D ) Bcos ln( D ) (18) dengan A, B, dan D erupakan bilanganbilangan konsan. Solusi yang berbenuk fungsi osilasi haronik logariik ini enjadi spesifik karena apilannya yang eperlihakan adanya ekanise relaksasi pada doain waku (arinya nilai periodenya berubah ebesar aau elaba secara logariik). Dengan deikian, dapa disipulkan bahwa perubahan assa (yang dala kasus ini berabah secara linier erhadap waku) beban pada sise gearan engakibakan ibulnya gejala relaksasi. Tapilan visual (anara sipangan erhadap waku) dapa digabarkan sebagai grafik beriku. dengan asusi bahwa perubahan nilai frekuensi sudu ( ω ) sanga kecil sehingga eapan pegas dapa diulis sebagai
Model Osilasi Haronik Logariik pada Gerak Beban 7 dengan Massa yang Berubah Secara Linier erhadap Waku ( F L ) () Gabar 5. Grafik Sipangan erhadap Waku unuk Osilasi Bebas dengan Massa yang Berubah Linier erhadap Waku Terdapa beberapa kasus khusus dengan benuk ln (1 + ) yang dapa diabil pendekaannya enjadi, yakni jika nilai sanga kecil. Dengan deikian, pada kasus khusus ersebu, benuk ln (D ) dapa digani enjadi F ( F konsana ) sehingga solusi ersebu dapa diulis sebagai unuk gaya luar yang berubah secara periodik, isalnya berbenuk sinusoida erhadap waku FL FLM sin p sehingga persaaan geraknya akan berbenuk F LM sin p (1) dengan solusi lengkap yang erupakan penjulahan solusi uu dan solusi khusus, yakni ( ) Asin ln( D B cos ln( D E cos p ( ) Asin E Bcos E yang erupakan solusi dari osilasi bebas unuk assa beban konsan. Dengan cara perhiungan yang irip dengan peodelan gearan ereda dari beban berassa konsan, unuk sise osilasi ereda benda berassa berubah, akan dihasilkan persaaan gerak (19) c Sise osilasi paksa dari benda berassa berubah epunyai persaaan gerak () Osilasi paksa ereda dari benda berassa berubah akan epunyai persaaan gerak (3) c ( F L Jika FL FLM sin p, diperoleh persaaan gerak lengkapnya c ) F LM sin p (4)
8 Siga-Mu Vol.3 No.1 Mare 11 Dengan enggunakan perangka lunak Derive for Windows 6, diperoleh solusi dari persaaan diferensial ( 4 ) ersebu yang berbenuk = A + [ (1 + (-B) {sin(d ln E)} + G sin ω ] e (-H) + J sin (y ) (5) dengan A. B, D, E, G, H, J, ω, dan y, eapan. Bila digabarkan dala benuk grafik anara sipangan erhadap waku (enggunakan perangka lunak Derive for Windows 6), diperoleh visualisasi persaaan (5) seperi pada gabar 6 beriku ini. Gabar 7. Grafik Sipangan erhadap Waku unuk Osilasi Paksa Tereda Sise Pegas dengan Beban Berassa idak Konsan dala Kondisi Sesaa seelah crash Gabar 6. Grafik Sipangan erhadap Waku unuk Osilasi Paksa Tereda Sise Pegas dengan Beban Berassa idak Konsan Gabar 8. Grafik Sipangan erhadap Waku unuk Osilasi Paksa Tereda Sise Pegas dengan Beban Berassa idak Konsan dala Kondisi Mendekai Tunak
Model Osilasi Haronik Logariik pada Gerak Beban 9 dengan Massa yang Berubah Secara Linier erhadap Waku bahwa fungsi osilasi haronik logariik juga erupakan solusi dari Persaaan Voigh (Sornee & Sais, 1995 dala Pralong, Birrer, Sahel, Funk, 5). Persaaan Voigh sendiri berbenuk Gabar 9. Grafik Sipangan erhadap Waku unuk Osilasi Paksa Tereda Sise Pegas dengan Beban Berassa idak Konsan dala Kondisi Tunak Gabar 7, 8, dan 9 erupakan bagian dari gabar 6 unuk engga waku yang dipersepi. Gabar 7 enunjukkan keadaan sesaa seelah gaya luar diberikan pada saa erjadi lonjakan (crash). Gabar 8 enunjukkan perubahan sipangan erhadap waku dala kondisi endekai unak (seady) yakni unuk nilai waku yang cukup besar laa seelah adanya lonjakan pada =. Gabar 9 enunjukkan sipangan erhadap waku unuk nilai waku yang sudah cukup laa dihiung dari lonjakan = sehingga dapa dianggap sebagai keadaan unak. Dala keadaan crash (sesaa seelah gangguan), erliha perubahan yang encolok, dengan berabahnya waku. Terjadi relaksasi baik unuk apliudo (verikal) aupun periode endaar (horizonal). Jadi, apliudonya engecil sehingga periodenya berabah besar. Unuk kondisi unak, erliha bahwa di saping ada perubahan global, erjadi pula osilasi yang lebih kecil dengan apliudo yang sanga kecil. Peodelan persaaan gerak sera solusi yang diperoleh ersebu enjadi sau hal yang enarik enginga adanya kenyaaan d y (6) f dy Persaaan diferensial ini epunyai solusi osilasi periodik logariik X = E+F(G-) H (1 +J sin (K log ( G )+L)) (7) Persaaan Voigh sering digunakan unuk eruuskan berbagai fenoena fisis yang engikui Huku Pangka (Power Law) seperi perisiwa kereakan srukur, gepa bui, longsor, hingga ke perisiwa-perisiwa ekonoi dan keuangan (Canessa, 9). Dengan deikian, dapa diperkirakan bahwa sise gearan pun, dengan solusi berupa fungsi osilasi haronik logariik, dapa digunakan unuk enjelaskan fenoenafenoena ersebu. SIMPULAN Sise pegas dengan beban berassa dapa enghasilkan gerak gearan yang diandai dengan berubahnya posisi beban erhadap waku engikui fungsi osilasi haronik logariik. Jika assa beban konsan, fungsi posisi erhadap waku akan berbenuk haronik urni (sinus dan/aau cosinus). Massa beban yang berubah secara linier engakibakan erjadinya relaksasi
1 Siga-Mu Vol.3 No.1 Mare 11 periode gearan aupun apliudo. Solusinya erupakan superposisi dari solusi uu yang berbenuk fungsi haronik logariik sera solusi khusus yang berbenuk haronik urni. Perlu dielii lebih lanju pengaruh assa yang berubah secara uu erhadap waku pada benuk solusi persaaan gearan. Dala peneliian ini, baru dibahas assa yang berubah secara linier erhadap waku. Selain iu, perlu dihiung secara lebih rinci solusi bagi gearan ereda sera gearan paksa ereda unuk beban yang assanya berubah. DAFTAR PUSTAKA Canessa E. 9. Sock arke and oion of a ass spring, hp//:arxiv.95.445vl ( q.fin.st ), 7 May Pralong A., Birrer C., Sahel W.W., Funk M. 5. On he predicabiliy of ice avalanches, Nonlinear Processes in Geophysics, 1, pp 849 861