BAB I PENDAHULUAN Sebuah jarngan terdr dar sekelompok node yang dhubungkan oleh busur atau cabang. Suatu jens arus tertentu berkatan dengan setap busur. Notas standart untuk menggambarkan sebuah jarngan G adalah G=(N,A), dmana N adalah hmpunan node dan A adalah hmpunan busur. Suatu jens rute tertentu berkatan dengan setap jarngan. Pada umumnya, arus dalam sebuah busur dbatas oleh kapastasnya, yang dapat terbatas dan tdak terbatas. Sebuah busur dkatakan terarah dan terorentas jka busur tersebut memungknkan arus postf dalam satu arah dan arus nol dalam arah yang berlawanan. Karena tu, jarngan yang terarah adalah jarngan dengan semua busur yang terarah. Jalur adalah urutan busur-busur tertentu yang menghubungkan dua node tanpa bergantung pada orentas busur-busur tersebut secara ndvdual. Jalur akan membentuk sebuah loop atau skls jka jalur tu menghubungkan sebuah node dengan drnya sendr. Sebuah loop yang terarah (atau sebuah srkut) adalah sebuah loop d mana semua busur-busurnya memlk arah atau orentas yang sama. Jarngan yang berhubungan adalah sebuah jarngan dmana setap dua node dhubungkan dengan sebuah jalur. Masalah rute terdekat berkatan dengan penentuan busur busur yang dhubungkan dalam sebuah jarngan transportas yang secara bersama sama membentuk jarak terdekat d antara sumber dan tujuan. Suatu jarngan dkatakan bersfat askls jka tdak memlk loop dan bersfat skls jka memlk loop. 1
BAB II PEMBAHASAN Algortma askls ddasar oleh penggunaan perhtungan rekursf yang merupakan dasar dar penghtungan pemprograman dnams. Langkah-langkah dar algortma n adalah : Langkah 1 : Node 1 adalah node awal (sumber atau asal), u 1 = 0. Nla nla u j, j = 1, 2,,n dhtung secara rekursf dengan rumus d bawah n u j = = mn jarak terdekat u jarak d { u + d } j j ke satu node yang tepat mendahulunya plus antara node saat n j ke node sebelumnya Langkah 2 : Mengdentfkas node node yang dtemu d sepanjang rute dengan menggunakan prosedur pelabelan yang mengatkan label berkut n dengan node j: label node j = [u j, n] d mana n adalah node j yang tepat mendahulunya, yang mengarah pada jarak terdekat u j, yatu : u j = mn = u n { u + d } + d nj j Rute optmum tersebut dperoleh dengan dmula dar node akhr dan menelusur ke belakang dengan menggunakan nformas label. Contoh penerapan algortma askls : 1. Teka tek Tga Tempayan Dber satu tempayan ukuran 8 galon yang ds dengan caran tertentu. Dber pula dua tempayan kosong ukuran 5 galon dan 3 galon. Yang dperlukan adalah membag caran tersebut ke dalam dua bagan yang masng masng bers 4 galon dengan menuang d antara ketga tempayan tersebut. Alat ukur lan tdak djnkan. Kta menggunakan representas jarngan untuk membuat model stuas n. Sebuah node ddefnskan untuk mewakl jumlah caran dalam tempayan 8 galon, 5 galon, dan 3 galon secara berturut turut. Kta menggunakan notas (a, b, c) untuk merngkas defns node tersebut. Contohnya, node (8, 0, 0) berart bahwa 2
tempayan 8 galon adalah penuh, tempat 5 galon dan 3 galon kosong. Jka kta menuang dar tempayan 8 galon untuk mengs tempat 5 galon, kta tba d node (3, 5, 0). Node (8, 0, 0) sebenarnya mewakl keadaan awal dar sstem n sebelum pembagan dlakukan, sementara node (3, 5, 0) mewakl satu node yang mungkn d sepanjang jalur yang pada akhrnya mengarahkan kta ke pemecahan yang dngnkan (4, 4, 0). Tujuan kta adalah menemukan jalur (urutan node) yang akan membawa kta dar keadaan awal n, node (8, 0, 0), ke pemecahan akhr (4, 4, 0). Amat bahwa tdak ada kombnas selan (4, 4, 0) yang memberkan pemecahan akhr yang dngnkan, karena tempayan ketga hanya memlk kapastas 3 galon. Panjang busur yang menghubungkan berbaga busur akan dpandang sebaga jumlah operas penuangan yang dperlukan untuk mencapa satu node dar node lannya. Msalnya, panjang busur dar node (8, 0, 0) ke node (3, 5, 0) adalah 1 karena hanya satu operas dperlukan untuk mengubah keadaan node tersebut. Tujuan kta tentu saja menemukan jalur terdekat dar node awal (8, 0, 0) ke node akhr (4, 4, 0). Jad model n termasuk dalam kategor algortma rute terdekat. Gambar 1-1 mewakl semua node yang menjanjkan yang dapat mengarah dar node (8, 0, 0) ke node akhr (4, 4, 0). Setap busur dalam jarngan n bersesuaan dengan tepat satu operas penuangan; jad masng masng memlk panjang nomnal sebesar 1 unt. 2,3,3 2,5,1 7,0,1 5,3,0 7,1,0 5,0,3 4,1,3 8,0,0 4,4,0 3,5,0 1,4,3 3,2,3 1,5,2 6,2,0 6,0,2 3
Gambar 1-1. Jalur jalur dar node awal (8, 0, 0) ke node akhr (4, 4, 0). Kemungknan Penuangan: (8, 0, 0) (5, 0, 3) (5, 3, 0) (2, 3, 3) (2, 5, 1) (7, 0, 1) (7, 1, 0) (4, 1, 3) (4, 4, 0) memerlukan 8 operas penuangan. (8, 0, 0) (5, 0, 3) (5, 3, 0) (3, 5, 0) (3, 2, 3) (6, 2, 0) (6, 0, 2) (1, 5, 2) (1, 4, 3) (4, 4, 0) memerlukan 9 operas penuangan (8, 0, 0) (5, 0, 3) (5, 3, 0) (2, 3, 3) (2, 5, 1) (3, 5, 0) (3, 2, 3) (6, 2, 0) (6, 0, 2) (1, 5, 2) (1, 4, 3) (4, 4, 0) memerlukan 11 operas penuangan (8, 0, 0) (5, 0, 3) (5, 3, 0) (2, 3, 3) (2, 5, 1) (7, 0, 1) (7, 1, 0) (3, 5, 0) (3, 2, 3) (6, 2, 0) (6, 0, 2) (1, 5, 2) (1, 4, 3) (4, 4, 0) memerlukan 13 operas penuangan (8, 0, 0) (3, 5, 0) (3, 2, 3) (5, 0, 3) (5, 3, 0) (2, 3, 3) (2, 5, 1) (7, 0, 1) (7, 1, 0) (4, 1, 3) (4, 4, 0) memerlukan 10 operas penuangan (8, 0, 0) (3, 5, 0) (3, 2, 3) (6, 2, 0) (6, 0, 2) (5, 0, 3) (5, 3, 0) (2, 3, 3) (2, 5, 1) (7, 0, 1) (7, 1, 0) (4, 1, 3) (4, 4, 0) memerlukan 12 operas penuangan (8, 0, 0) (3, 5, 0) (3, 2, 3) (6, 2, 0) (6, 0, 2) (1, 5, 2) (1, 4, 3) (5, 0, 3) (5, 3, 0) (2, 3, 3) (2, 5, 1) (7, 0, 1) (7, 1, 0) (4, 1, 3) (4, 4, 0) memerlukan 14 operas penuangan (8, 0, 0) (3, 5, 0) (3, 2, 3) (6, 2, 0) (6, 0, 2) (1, 5, 2) (1, 4, 3) (4, 4, 0) memerlukan 7 operas penuangan Pemecahan optmal memerlukan tujuh operas penuangan dan (jelas) dketahu berdasarkan urutan berkut n : (8, 0, 0) (3, 5, 0) (3, 2, 3) (6, 2, 0) (6, 0, 2) (1, 5, 2) (1, 4, 3) (4, 4, 0) 2. Penggantan Peralatan Sebuah perusahaan penyewaan mobl sedang mengembangkan sebuah rencana penggantan armadanya dalam 5 tahun mendatang. Sebuah mobl harus 4
dpergunakan setdaknya 1 tahun sebelum penggantan dapat dpertmbangkan. Tabel 1-1 merngkaskan baya penggantan per mobl (dalam rbuan dollar) sebaga fungs dar waktu dan jumlah tahun operas. Baya n mencakup pembelan, nla ssa, baya operas, dan perawatan. Tabel 1-1 1 2 3 4 5 1 4,0 5,4 9,8 13,7 Tahun 2 4,3 6,2 8,1 3 4,8 7,1 4 4,9 Masalah n dapat drepresentaskan dengan sebuah jarngan sebaga berkut. Setap tahun dwakl dengan sebuah node. Panjang sebuah busur yang menghubungkan dua node sama dengan baya penggantan yang bersangkutan sepert yang dberkan Tabel 1-1. Gambar 1-2 memperlhatkan jarngan n. Masalahnya menjad menemukan rute terdekat dar node 1 ke node 5. 13.7 9.8 5.4 [0 ; -] [4 ; 1] [5.4 ; 1] [9.8 ; 1] [12.1 ; 2] 4 4.3 4.8 4.9 1 2 3 4 5 6.2 8.1 7.1 Gambar 1-2. Jarngan dar node 1 ke node 5. Berdasarkan defns, label node 1 adalah [0,-], yang menunjukkan bahwa node 1 adalah sumber Node j Perhtungan u j Label 1 u 1 = 0 [0 ; -] 5
2 u 2 = u 1 + d 12 = 0 + 4 = 4, dar 1 [4 ; 1] 3 u 3 = mn {u 1 + d 13 ; u 2 + d 23 } = mn {0 + 5.4 ; 4 + 4.3}=5.4, dar 1 [5.4 ; 1] 4 u 4 = mn { u 1 + d 14 ; u 2 + d 24 ; u 3 + d 34 } = mn {0 + 9.8 ; 4 + 6.2 ; 5.4 + 4.8} = 9.8, dar 1 [9.8 ; 1] 5 u 5 = mn { u 1 + d 15 ; u 2 + d 25 ; u 3 + d 35 ; u4 + d 45 } = mn {0 + 13.7 ; 4 + 8.1 ; 5.4 + 7.1 ; 9.8 + 4.9} = 12.1, dar 2 [12.1 ; 2] Rute optmum tersebut dperoleh dengan dmula dar node 5 dan menelusur ke belakang dengan menggunakan nformas label. Urutan berkut n memperlhatkan prosedur tersebut: (5) [12.1; 2] (2) [4 ; 1] (1) Pemecahan optmal akan menghaslkan rute 1 2 5 dengan baya total 4 + 8,1 = 12,1 (rbuan dollar). In berart bahwa setap mobl akan dgant d tahun 2 dan dsngkrkan d tahun 5. 3. Rute yang Palng Andal I.Q. Smart harus mengendara mobl setap har dar tempat kedamannya ke tempat kerja. Setelah baru saja mengkut kulah analss jarngan, Smart mampu menentukan rute terdekat ke tempat kerja. Sayangnya, rute terdekat tu sangat djaga oleh pols. Dengan semua denda yang dbayarkan karena pelanggaran terhadap batas kecepatan, rute terdekat tu jelas bukan merupakan plhan yang bak. Smart karena tu memutuskan untuk memlh rute yang memaksmumkan probabltas tdak dhentkan pols. Setelah mengamat semua segmen jalan yang layak, probabltas tersebut dkumpulkan sepert yang dberkan sebaga busur busur yang berbeda (segmen jalan) dalam Gambar 1-3. 6
0.8 0.35 0.2 2 4 6 0.5 1 0.6 0.1 0.4 7 0.9 3 6 0.3 0.25 Gambar 1-3. Probabltas tdak dhentkan pols pada masng-masng jalan. Setelah menelt nformas probabltas n, Smart menyadar bahwa probabltas total untuk tdak dhentkan pols dalam satu rute tertentu sama dengan hasl perkalan probabltas yang berkatan dengan segmen jalan yang membentuk rute tersebut. Msalnya, probabltas yang berkatan dengan rute 1 2 3 5 7 adalah 0,2 x 0,6 x 0,3 x 0,25 = 0,009. Walaupun adalah mungkn untuk menghtung semua probabltas sepert n (delapan rute dalam kasus n), Kemungknan rute yang terjad adalah: 1 2 4 6 7 = 0.2 x 0.8 x 0.35 x 0.5 = 0.028 1 2 4 5 7 = 0.2 x 0.8 x 0.4 x 0.25 = 0.016 1 2 3 5 7 = 0.2 x 0.6 x 0.3 x 0.25 = 0.009 1 2 3 4 6 7 = 0.2 x 0.6 x 0.1 x 0.35 x 0.5 = 0.0021 1 2 3 4 5 7 = 0.2 x 0.6 x 0.1 x 0.4 x 0.25 = 0.0012 1 3 4 6 7 = 0.9 x 0.1 x 0.35 x 0.5 = 0.01575 1 3 4 5 7 = 0.9 x 0.1 x 0.4 x 0.25 = 0.009 1 3 5 7 = 0.9 x 0.3 x 0.25 = 0.0675 Smart memutuskan untuk mengkonverskan masalah n menjad sebuah model rute terdekat dengan menggunakan konvers berkut n. Anggalah P 1k = P 1 x P 2 x x P k adalah probabltas tdak dhentkan pols dalam satu rute tertentu (1,k), maka log P 1k = log P 1 + log P 2 + + log P k 7
Maksmsas P 1k secara aljabar adalah setara dengan memaksmumkan log P 1k dan, konsekuensnya, setara dengan memaksmumkan jumlah logartma dar probabltas ndvdual d sepanjang rute yang dplh. Karena log P j 0, j = 1, 2,, k, memaksmumkan jumlah log P j adalah setara dengan memnmumkan jumlah (-log P j ). Tabel 1-2 merngkaskan probabltas dalam Gambar 1-3 dan logartmanya. Gambar 1-4 sekarang mengekspreskan masalah Smart sebaga model rute terdekat. Rute terdekat dalam Gambar 1-4 ddefnskan dengan node 1 3 5 7 dengan jarak yang bersesuaan 1,1707. Jad log P 7 = -1,1707, atau P 7 = 0,0675. In berart bahwa probabltas maksmum untuk tdak dhentkan pols hanyalah 0,0675. Tabel 1-2 Segmen Jalan (,j) P j log P j -log P j (1,2) 0.2-0.699 0.69897 (1,3) 0.9-0.0458 0.04576 (2,3) 0.6-0.2219 0.22185 (2,4) 0.8-0.0969 0.09691 (3,4) 0.1-1 1 (3,5) 0.3-0.5229 0.52288 (4,5) 0.4-0.3979 0.39794 (4,6) 0.35-0.4559 0.45593 0.25-0.6021 0.60206 (6,7) 0.5-0.301 0.30103 8
0.09691 0.45593 0.69897 2 0.22185 4 6 0.30103 1 1.0 0.39794 7 0.04576 3 6 0.52288 0.60206 Gambar 1-4. Masalah Smart sebaga rute terdekat. 9
BAB III PENUTUP Algortma askls untuk menyelesakan permasalahan rute terdekat pada suatu jarngan yang tdak memlk loop (askls) dengan penggunaan perhtungan rekursf dengan rumus d bawah n : u j = = mn jarak terdekat u jarak d { u + d } j j ke satu node yang tepat mendahulunya plus antara node saat n j ke node sebelumnya Dengan u 1 = 0, rute optmum tersebut dperoleh dengan dmula dar node akhr dan menelusur ke belakang dengan menggunakan nformas label. 10
DAFTAR PUSTAKA Taha, Hamdy A.2007.Operatons Research : an ntroducton.-8 th ed. Pearson Educaton, Inc., Upper Saddle Rver, New Jersey. 11