EKUIVALENSI INTEGRAL RIEMANN DAN INTEGRAL LEBESGUE SKRIPSI OLEH ANING ROYATUL KHURIYAH NIM. 0960036 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 06
EKUIVALENSI INTEGRAL RIEMANN DAN INTEGRAL LEBESGUE SKRIPSI Dajuka Kepada Fakultas Sas da Tekolog Uverstas Islam Neger Maulaa Malk Ibrahm Malag utuk Memeuh Salah Satu Persyarata dalam Memperoleh Gelar Sarjaa Sas (S.S) Oleh Ag Royatul Khuryah NIM. 0960036 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 06
EKUIVALENSI INTEGRAL RIEMANN DAN INTEGRAL LEBESGUE SKRIPSI Oleh Ag Royatul Khuryah NIM. 0960036 Telah Dperksa da Dsetuju utuk Duj Taggal 8 Me 06 Pembmbg I, Pembmbg II, Harur Rahma, M.S NIP. 980049 00604 003 Abdul Azz, M.S NIP. 976038 00604 00 Megetahu, Ketua Jurusa Matematka Dr. Abdussakr, M.Pd NIP. 975006 003 00
EKUIVALENSI INTEGRAL RIEMANN DAN INTEGRAL LEBESGUE SKRIPSI Oleh Ag Royatul Khuryah NIM. 0960036 Telah Dpertahaka d Depa Dewa Peguj Skrps da Dyataka Dterma sebaga Salah Satu Persyarata utuk Memperoleh Gelar Sarjaa Sas (S.S) Taggal 0 Ju 06 Peguj Utama : Dr. Usma Pagalay, M.S... Ketua Peguj : Dr. Abdussakr, M.Pd... Sekretars Peguj : Harur Rahma, M.S... Aggota Peguj : Abdul Azz, M.S... Megetahu, Ketua Jurusa Matematka Dr. Abdussakr, M.Pd NIP. 975006 003 00
PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Saya yag bertada taga d bawah : Nama : Ag Royatul Khuryah NIM : 0960036 Jurusa Fakultas Judul Skrps : Matematka : Sas da Tekolog : Ekuvales Itegral Rema da Itegral Lebesgue. meyataka dega sebearya bahwa skrps yag saya tuls bear-bear merupaka hasl karya saya sedr, buka merupaka pegambla data, tulsa, atau pkra orag la yag saya aku sebaga hasl tulsa atau pkra saya sedr, kecual dega mecatumka sumber cuplka pada daftar pustaka. Apabla d kemuda har terbukt atau dapat dbuktka skrps hasl jplaka, maka saya berseda meerma saks atas perbuata tersebut. Malag, 0 Ju 06 Yag membuat peryataa, Ag Royatul Khuryah NIM. 0960036
ôô çç ÎÎÎôô ãã øø $$ tt ÎÎ MOTO #Z ZZ Zô ô ç ç Îô ô ã ãèø ø9$ $# yy yìt y tβ βî Î) Sesugguhya sesudah kesulta tu ada kemudaha
PERSEMBAHAN Skrps peuls persembahka utuk Ayahada H. Nur Al da buda Hj. Masluchah, serta adk peuls Eg Da Nafsatul Nafroh yag kata-kataya selalu member semagat yag berart bag peuls.
KATA PENGANTAR Assalamu alakum Warahmatullah Wabarakatuh Puj syukur kepada Allah berkat rahmat da z-nya peuls dapat meyelesaka skrps sebaga salah satu syarat utuk memperoleh gelar sarjaa dalam bdag matematka d Fakultas Sas da Tekolog Uverstas Islam Neger Maulaa Malk Ibrahm Malag. Dalam meyelesaka skrps, peuls bayak medapat bmbga da araha dar berbaga phak. Utuk tu ucapa terma kash yag sebesar-besarya da peghargaa setgg-tggya peuls sampaka terutama kepada:. Prof. Dr. H. Mudja Rahardjo, M.S, selaku rektor Uverstas Islam Neger Maulaa Malk Ibrahm Malag.. Dr. drh. Bayyatul Muchtaromah, M.S, selaku deka Fakultas Sas da Tekolog Uverstas Islam Neger Maulaa Malk Ibrahm Malag. 3. Dr. Abdussakr, M.Pd, selaku ketua Jurusa Matematka Fakultas Sas da Tekolog Uverstas Islam Neger Maulaa Malk Ibrahm Malag. 4. Harur Rahma, M.S, selaku dose pembmbg I yag dega sabar telah meluagka waktuya dem membmbg, megarahka, meashat serta member motvas dalam peyelesaa skrps. 5. Abdul Azz, M.S, selaku dose pembmbg II yag telah membmbg da berbag lmu kepada peuls. v
6. Segeap svtas akademka Jurusa Matematka, Fakultas Sas da Tekolog, Uverstas Islam Neger Maulaa Malk Ibrahm Malag terutama seluruh dose terma kash atas lmu da bmbga yag telah dberka pada peuls. 7. Ayah, bu da saudara-saudara peuls yag tdak perah berhet memberka kash sayag, doa, serta motvas kepada peuls sampa saat. 8. Semua tema tema mahasswa Jurusa Matematka agkata 009, UKM Jhepret Club Fotograf Uverstas Islam Neger Maulaa Malk Ibrahm Malag da keluarga kata alum KUWAT da KUMAT. Terma kash atas semua pegalama, motvas, serta doaya dalam peyelesaa peulsa skrps. 9. Semua phak yag kut membatu dalam peyelesaa skrps bak morl maupu materl, peuls ucapka terma kash. Semoga skrps bermafaat bag semua phak da semoga Allah membalas kebaka mereka semua. Wassalamu alakum Wrarohmatullah Wabarokatuh Malag, Ju 06 Peuls x
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR... v DAFTAR ISI... x DAFTAR SIMBOL... x ABSTRAK... x ABSTRACT... xv... xv ملخص BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag.... Rumusa Masalah... 5.3 Tujua Peelta... 5.4 Mafaat Peelta... 6.5 Batasa Masalah... 6.5 Metode Peelta... 6.6 Sstematka Peulsa... 7 BAB II KAJIAN PUSTAKA. Sfat Kelegkapa pada R... 9. Barsa da Lmt....3 Kosep Lmt....4 Kosep Kotyu... 4.5 Itegral Rema... 7.6 Sfat-Sfat Dasar Itegral Rema... 36.7 Itegral Lebesgue... 44.8 Kosep Matematka dalam Al-Qura... 50 x
BAB III PEMBAHASAN 3. Sfat Sfat Dasar Itegral Lebesgue... 53 3.. Ketuggala Nla Itegral... 53 3.. Kelera Fugs Itegral Lebesgue... 54 3..4 Kekovergea Seragam Itegral Lebesgue... 56 3..5 Cauchy Itegral Lebesgue... 58 3. Ekuvales Itegral Rema da Itegral Lebesgue... 60 3.3 Kosep Ekuvales dalam Al-Qura... 69 BAB IV PENUTUP 4. Kesmpula... 75 4. Sara... 75 DAFTAR PUSTAKA... 76 RIWAYAT HIDUP x
DAFTAR SIMBOL Istlah-stlah yag dguaka dalam skrps mempuya maka yatu sebaga berkut: = Eleme = Subset dar = Subset dar sama dega = Buka eleme = Kurag dar sama dega = Lebh dar sama dega = Utuk setap = Ifmum = Supermum U = Upper L = Lower [ ] = Iterval tertutup ( ) = Iterval terbuka = Hmpua terukur < = Kurag dar > = Lebh dar = Irsa = Gabuga atau = Barsa (Sampa ke-) R = Hmpua Blaga Rl N = Hmpua Blaga Asl = Delta = Epslo = Fugs Terukur = Ukura Atas = Ukura Bawah = Harga Mutlak lm = Lmt = Sgma # = Itegral = Tak terhgga = Hmpua Kosog = Norm (Pajag) x
ABSTRAK Khuryah, Ag Royatul. 06. Ekuvales Itegral Rema da Itegral Lebesgue. Skrps. Jurusa Matematka, Fakultas Sas da Tekolog, Uverstas Islam Neger Maulaa Malk Ibrahm Malag. Pembmbg: (I) Harur Rahma, M.S. (II) Abdul Azz, M.S. Kata Kuc: Itegral Rema, Itegral Lebesgue, Tertegral Rema da Tertegral Lebesgue. Pada Tahu 875-94 Hery Leo lebesgue matematkawa Peracs memodfkas tegral Rema dega terlebh dahulu medefska jumlah Lebesgue atas da Lebesgue bawah, selajutya medefska tegral Lebesgue atas da tegral Lebesgue bawah. Keduaya memlk ekuvale. Suatu fugs dkataka tertegral Rema jka da haya jka tertegral Lebesgue, jka lala tegral dar keduaaya ada. Karea ekuvale maka sfat tegral Rema yak ketuggala la, kelera, kekovergea seragam da Cauchy juga berlaku pada tegral Lebesgue. Adapu sfat-sfatya adalah:. S ( f, Q) A < ε ( + ) = ( ) ( ) E + E E. ( ) ( x) ( L) f x g dx ( L) f x dx ( L) g E E 3. ( ) α ( ) = α( ) ( ) L f x dx L f x dx b 4. ( ) = lm(l) L f f a 5. (, ) (, ) S f Q S f Q < ε b a x dx x
ABSTRACT Khuryah, Ag Royatul. 06. Rema Itegral ad Lebesgue Itegral Equvalece. Thess. Departmet of Mathematcs, Faculty of Scece ad Techology, State Islamc Uversty of Maulaa Malk Ibrahm Malag. Advsors : () Harur Rahma, M.S. (II) Abdul Azz, M.S. Keywords: Rema Itegral, Lebesgue Itegral, Rema Itegrable ad Lebesgue Itegrable. I 875-94 a Frech mathematca Hery Leo Lebesgue modfed the Rema tegral by defg the Lebesgue upper ad lower sum ad the defed the upper Lebesgue tegral ad lower Lebesgue tegral. Both tegral are equvalet. A fucto s sad to be Rema tegrable f ad oly f t was Lebesgue tegrable, ad f the values of both exst. Sce both are equvalet, Rema tegral propertes amely uqueess, learty, uform covergeces ad Cauchy also apples o Lebesgue tegral. Its characterstcs are:. S ( f, Q) A < ε ( + ) = ( ) ( ) E + E E. ( ) ( x) ( L) f x g dx ( L) f x dx ( L) g E E 3. ( ) α ( ) = α( ) ( ) L f x dx L f x dx b 4. ( ) = lm(l) L f f a 5. (, ) (, ) S f Q S f Q < ε b a x dx xv
ملخص الحرية انيج راية. ۲۰۱٦. مساواة تكامل Rema و تكامل.Lebesgue بعث جامي. شعبة الرضيات كلية العلوم والتكنولجيا الجا معة الا سلامية الحكومية مولا) مالك إبراهيم مالانج.المشرف: (١) خير الرحمن ماجستير (۲) عبد العزيز ماجستير. Lebesgue متكامل Rema متكامل الكلمات الرايسة: تكامل Rema تكامل.Lebesgue هنري ليون Lebesgue في عام ١٨٧٥-١٩٤١ فرنسي تعديل تكامل Rema من خلا تحديد العلوي و السفلي مبلغ تعريفها وقتها العلوي من تكامل Lebesgue العلوي و تكامل Lebesgue السفلي.كلا مساواة تكامل. قال وظيفة أن يكون تكامل Rema إذا وفقط إذا كان تكامل Lebesgue و في حا لة وجود قيم عل حدسواء. Rema تكامل مساواة منذ كلاهما كوشي أيضا عل تكامل Lebesgue.كما خصاي صه هي: خصاي ص وهي التفرد الخطي التقارب موحدة و ينطبق S ( f, Q) A < ε ( ( ) + ( x) ) = ( ) + ( ) ( L) f x g dx ( L) f x dx ( L) g E E E x dx ( ) ( L ) α f ( x ) dx = α( L ) f x dx E E b ( ) = lm(l) L f f a (, ) (, ) S f Q S f Q < ε b a.١.٢.٣.٤.٥ xv
4 ( BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Sebaga dar sejarah lmu pegetahua alam adalah catata dar usaha mausa secara kotyu utuk merumuska kosep-kosep da usur-usur dalam bdag lmu pegetahua utuk dapat duraka ke dalam dua yata. Berbcara tetag lmu pegetahua, al-qura telah memberka kepada mausa kuc lmu pegetahua tetag dua da akhrat serta meyedaka peralata utuk mecar da meelt segala sesuatu agar dapat megugkap da megetahu keajaba dar kedua dua tu (Rahma, 99:). Tdak draguka lag bahwa al-qura dega ajura memperhatka da berfkr yag dulagya beberapa kal mejadka aktvtas stud da peelta dalam berbaga bdag sebaga sebuah keharusa bag umat Islam. Karea tu Islam memertahka mausa utuk berbadah da berfkr. Petgya meutut lmu pegetahua, bak lmu agama maupu lmu matematka secara umum wajb dalam segala hal. Dalam al-qura juga djelaska bahwa mecar lmu wajb hukumya bag mausa utuk persaga tekolog moder, tepatya djelaska dalam al-qura surat al-mujaadlah/58: yag berbuy: Î7yz tβθè=yϑ ès? $yϑî/ ª!$#uρ ;M y_u yš zοù=ïèø9$# (#θè?ρé& t Ï%!$#uρ öνä3ζïβ (#θãζtβ#u t Ï%!$# ª!$# Æìsùötƒ Nscaya Allah aka meggka orag-orag yag berma d ataramu da orag-orag yag dber lmu pegetahua beberapa derajat. da Allah Maha megetahu apa yag kamu kerjaka (QS. al-mujaadlah/58:).
Sebaga saraa lmah, matematka merupaka salah satu dspl lmu yag tdak haya terdapat satu kelmua saja d dalamya. Aka tetap mash terdapat lmu-lmu la yag mejad saraa kelmua bag dspl lmu la. Utuk megetahu semua tu kta sebaga pelajar berkewajba utuk mempelajar berbaga lmu sedalam-dalamya. Matematka sebaga dspl lmu dkeal sebaga Quee Of Scece, da mempuya cabag kelmua sepert lmu aalss maupu lmu terapa. Sela aalss dalam matematka kta juga megeal lmu Kalkulus yag merupaka lmu dasar matematka. Kalkulus (Bahasa Lat calculus yag artya "batu kecl") adalah cabag lmu matematka yag mecakup lmt, turua, tegral, da deret tak terhgga. Kalkulus mempuya aplkas yag luas dalam bdag sas da tekk. Kalkulus memlk dua cabag utama, kalkulus dferesal da kalkulus tegral yag salg berhubuga melalu teorema dasar kalkulus. Pada perode zama kuo beberapa pemkra tetag tegral kalkulus telah mucul, amu tdak dkembagka dega bak da sstemats. Salah satu lmu matematka yag termasuk d dalam cabag lmu aalss adalah tegral. Sepert lmu-lmu yag la d dalam matematka, teor tegral merupaka lmu deduktf da mash tetap berkembag sepert lmu-lmu laya, bak dar seg teor maupu pemakaaya. Itegral dtemuka meyusul dtemukaya masalah dalam dferesas d maa matematkawa harus berpkr bagamaa meyelesaka masalah yag berkebalka dega solus dferesas. Proses pecara la dar sebuah tegral damaka pegtegrala (tegrato). Lambag dar tegral adalah " ".
Teorema fudametal kalkulus meyataka bahwa turua da tegral adalah dua operas yag salg berlawaa. Teorema meghubugka la dar at dervatf dega tegral tertetu, karea lebh mudah meghtug sebuah at dervatf darpada megaplkaska defs dar tegral. Teorema memberka cara yag prakts dalam meghtug tegral tertetu, yak jka sebuah fugs f adalah kotyu pada terval [ a, b ] jka F adalah fugs turuaya adalah pada terval ( a, b ) maka b f ( x ) dx = F ( b ) F ( a ) a Kosep tegral Rema da tegral Lebesgue dperkealka oleh Georg Fredrch Berhard Rema (86-866) da Her Leo Lebesgue (875-944) juga dalam stud aalss. Cotoh laya, blaga ordal da kardal tak hgga dkembagka oleh G. Cator (845-98) dalam upayaya memecahka suatu masalah aalss rl Joes (993). Seorag matematkawa yatu Rema (86-866) meemuka pertama kal betuk kostruktf yag kemuda dkeal dega tegral Rema. Setap fugs kotyu f pada [ a, b ] djam tertegral Rema. Keyataa meujukka bahwa mash terdapat bayak fugs yag tdak tertegral secara Rema. Salah satu fugs yag tdak tertegral secara Rema adalah fugs Drchle f :[0,] >R dega ; +,-,. () = ( 0; +,-,. Berkat de matematkawa Peracs yatu Hery Leo Lebesgue (875-94), a berhasl meyusu tpe tegral utuk megatas permasalaha yag mucul, yatu bayakya fugs yag tdak tertegral secara Rema. Itegral 3
( 4 3 4 4 yag dbagu Lebesgue bayak medasarka pada teor ukura. Dega kosep tegral Lebesgue maka dapat dtujukka bahwa fugs Drchlet tersebut tertegral secara Lebesgue. Meurut Lee (989:), tegral dapat ddefska melalu dua cara yatu secara kostruktf da deskrptf. Bak tegral Rema ataupu tegral Lebesgue dapat ddefska melalu dua cara tersebut. Defs tegral Rema secara kostruktf dsajka dalam betuk lmt dar suatu jumlaha. Defs dkeal dega tegral Rema sebaga lmt jumlah yag kemuda dapat dguaka utuk membuktka sfat-sfat yag berlaku pada tegral Rema. Berdasarka hal tersebut, peuls tertark utuk membahas tegral Lebesgue melalu lmt jumlah sebagamaa halya pada tegral kostruktf Rema. Aka tetap, pembahasa sedkt berbeda karea parts yag dbagu adalah pada daerah hasl (rage) fugs. Selajutya betuk tegral dkeal dega tegral Lebesgue sebaga lmt jumlah. Adapu tetag sesuatu yag mempuya la yag sama tersebut djelaska juga dalam al-qura dalam surat a-nsa/4:3 tetag kesetaraa atara lak-lak da perempua yag hampr sama kosepya dega tegral Rema da tegral Lebesgue. Mesk pada dasarya perempua dkataka sama dega lak-lak tap tetap lak-laklah yag bsa mejad pemmp, Allah mejelaska dalam al-qura surat a-nsa/4:3 yag berbuy: Ò=ŠÅÁtΡ Ï!$ ÏΨ=Ï9uρ (#θç6 okò$# $ ϑïβ Ò=ŠÅÁtΡ ÉΑ%ỳ Ìh=Ïj9 <Ù èt/ 4?tã öνä3ÿò èt/ ϵÎ/ ª!$# Ÿ āòsù $tβ (#öθ ΨyϑtGs? Ÿωuρ $VϑŠÎ=tã > ó_x«èe ä3î/ šχ%ÿ!$# βî) ÿ Ï&Î#ôÒsù ÏΒ!$# (#θè=t ó uρ t tgø.$# $ ÿêeε Da jagalah kamu r hat terhadap apa yag dkaruaka Allah kepada sebahaga kamu lebh bayak dar sebahaga yag la. (karea) bag orag lak-lak ada bahaga dar pada apa yag mereka usahaka, da bag Para wata (pu) ada bahaga dar apa yag mereka usahaka, da moholah
kepada Allah sebaga dar karua-nya. Sesugguhya Allah Maha megetahu segala sesuatu (Q.S. a-nsa/4:3). Ayat d atas memberka doroga bahwa perempua juga dapat berkarr da mecapa prestas sama dega kaum lak-lak, hal tersebut bergatug pada usaha da doroga dar masg-masg. Demka juga dega tegral Lebesgue, mesk mempuya kesamaa dega tegral Rema, tap tetaplah tegral Rema yag mejad acua karea tegral Lebesgue merupaka perluasa dar tegral Rema. Berdasarka uraa d atas, maka peuls g megkaj lebh dalam permasalaha da membahasya dega judul Ekuvales Itegral Rema da Itegral Lebesgue. 5. Rumusa Masalah Berdasarka latar belakag d atas, maka rumusa masalah dalam peulsa skrps adalah sebaga berkut:. Bagamaa bukt sfat-sfat tegral Lebesgue?. Bagamaa bukt ekuvales tegral Rema da tegral Lebesgue?.3 Tujua Peelta Berdasarka rumusa masalah d atas maka tujua dar peulsa skrps adalah:. Utuk membuktka sfat-sfat tegral Lebesgue.. Utuk membuktka ekuvales tegral Rema da tegral Lebesgue.
6.4 Mafaat Peelta Mafaat dar peulsa skrps adalah dapat megetahu tetag hal-hal yag berkata dega tegral Lebesgue, sfat-sfat trgral Lebesgue da ekuvales tegral Rema da tegral Lebesgue..5 Batasa Masalah Pada peulsa skrps, permasalaha haya dbatas pada terval [ a, b ], d maa a=0 da b=..6 Metode Peelta Metode yag dguaka oleh peuls dalam meyusu peelta adalah metode kaja pustaka, yatu deskrps teorts tetag objek yag dtelt dega cara medalam, mecermat, meelaah, da megdetfkas pegetahua yag ada dalam kepustakaa (sumber bacaa, buku-buku referes atau hasl peelta la) utuk meujag peelta. Adapu lagkah-lagkah dalam peulsa peelta adalah:. Merumuska masalah, sebelum peuls memula kegataya, peuls membuat racaga terlebh dahulu megea suatu permasalaha yag aka dbahas.. Megumpulka data da formas dega cara membaca da memaham Rema maupu beberapa lteratur yag berkata dega tegral bak tu Lebesgue. D atara buku yag dguaka peuls adalah Pegatar Aalss Real, Kalkulus da Geometr Aalts serta buku la yag meujag peulsa peelta.
7 3. Membuktka sfat-sfat tegral Rema da sfat-sfat tegral Lebesgue dega megguaka teorema yag telah ada kemuda mejelaska da melegkap bukt tersebut. Lagkah selajutya yatu membuktka ekuvales dar tegral Rema da tegral Lebesgue. 4. Membuat kesmpula, yag merupaka gambara lagkah dar pembahasa atas apa yag sedag dtuls. Kesmpula ddasarka pada data yag telah dkumpulka da merupaka jawaba dar permasalaha yag dkemukaka..7 Sstematka Peulsa Utuk mempermudah memaham peulsa secara keseluruha, maka peuls meggambarka sstematka peulsaya sebaga berkut: Bab I Pedahulua Bab membahas latar belakag yag mecertaka dasar pemkra da alasa peuls megagkat permasalaha, rumusa masalah yag meyataka secara sgkat da sederhaa permasalaha yag aka dbahas, tujua da mafaat peulsa, serta sstematka peulsa yag mejabarka struktur peulsa dar awal hgga akhr. Bab II Kaja Pustaka Bab bers tetag kosep dasar da teorema-teorema yag medukug pembahasa tegras atara ekuvales tegral Rema da tegral Lebesgue, serta beberapa teorema da beberapa pembahasa cotoh yag dguaka sebaga acua maupu pembadg dalam pembahasa da kosep matematka dalam al-qura.
8 Bab III Pembahasa Bab membahas proses terjadya sfat-sfat tegral Rema da sfat-sfat tegral Lebesgue serta ekuvales atara tegral Rema da tegral Lebesgue, serta kosep ekuvales dalam al-qura. Bab IV Peutup Bab bers tetag kesmpula da sara-sara sebaga tdak lajut bag pembaca yag g megembagka pembahasa tetag ekuvales tegral Rema da tegral Lebesgue.
BAB II KAJIAN PUSTAKA. Sfat Kelegkapa pada R Sfat kelegkapa hmpua blaga R aka mejam keberadaa usur-usur pada R terhadap hpotess tertetu. Sstem blaga-blaga rasoal Q memeuh sfat-sfat aljabar da sfat uruta blaga, tetap dketahu bahwa tdak dapat dyataka sabaga suatu blaga rasoal, maka tdak termuat pada Q jka blaga rrasoal yag termuat pada Q. Utuk meujukka hal tersebut dperluka sfat tambaha, sfat kelegkapa (sfat supremum), adalah sfat-sfat stmewa dar R. Defs. (Batas Atas da Batas Bawah) Msalka E adalah hmpua baga d R, maka:. E dsebut terbatas (bouded) jka terbatas d atas da terbatas d bawah.. E dsebut terbatas d atas (bouded above) jka terdapat v R sehgga x v utuk semua x E da v dsebut batas atas (upper bouded) utuk E.. 3. E dsebut terbatas d bawah (bouded below) jka terdapat u R sehgga u x utuk semua x E da u dsebut batas bawah (lower boud) utuk E. Cotoh. (Bartle da Sherbert, 98:47). Msalka A = {,,3, 4,5, 6}. Hmpua A terbatas d atas karea a 6 utuk semua a A Hmpua A juga terbatas d bawah karea 0 a, utuk semua a A Semua blaga rl v 6 merupaka batas atas utuk A da 9
semua blaga rl u merupaka batas bawah utuk A. Jad hmpua A adalah terbatas. 0. Hmpua blaga asl N = {,, 3, 4,...} terbatas d bawah da merupaka batas bawah, tetap tdak terbatas d atas. Jka dberka v R maka terdapat R sehgga > v. Defs. (Supremum) Msalka E R, E φ da terbatas d atas, v R dsebut batas atas terkecl (supremum) dar E, jka ) u x, utuk semua x E ) v s utuk semua s batas atas dar E Defs d atas meyataka bahwa agar v R mejad supremum dar E, () v haruslah batas atas dar E, da () v selalu kurag dar batas atas yag la d E. Defs.3 (Ifmum) (Rahma, 008:47) Msalka E R, E φ da terbatas d bawah, u R dsebut batas bawah terbesar (fmum) dar E, jka ) u x, utuk semua x E ) s u utuk semua s batas bawah dar E Defs d atas meyataka bahwa agar u R mejad supremum dar E, maka () u haruslah batas atas dar E, da () u selalu kurag dar batas atas d E. (Rahma, 008:4)
Cotoh.. Hmpua E =,,,,... = N, terbatas d atas oleh sebarag 3 4 blaga rl v da terbatas d bawah oleh sebarag blaga rl u 0 batas atas terkecl (supremum) adalah da batas bawah terbesar (fmum) adalah 0.. Hmpua kosog yatu φ terbatas d atas da terbatas d bawah oleh semua blaga x R Dega demka, φ tdak mempuya batas atas terkecl da batas bawah terbesar. tak terbatas. Cotoh. Berkut dberka cotoh hmpua yag terbatas da hmpua yag Hmpua { x R x 5} terbatas d atas, da hmpua { x R x > } terbatas d bawah. Msalka A = { N }, A adalah hmpua terbatas. Hmpua blaga asl N = {, 3,...}, N adalah hmpua tak terbatas, walupum hmpua tersebut terbatas d bawah.. Barsa da Lmt Defs.4 (Barsa) Barsa blaga rl adalah suatu fugs dar hmpua blaga asl N ke hmpua blaga rl R. (Rahma, 008:54)
Cotoh.3 Barsa X = (, 4,6,8,9,...,,...) meyataka barsa blaga asl geap. Sedagka salah satu rumus umumya adalah X = ( N ). Barsa Y = (,,,,...,,...) 3 4 meyataka barsa yag salah satu rumus umumya adalah X = ( N ). Serg kal, rumus umum suatu barsa dyataka secara rekursf, yatu dtetapka usur x da rumus utuk x ( ) + setelah x dketahu, sebaga cotoh barsa blaga bulat geap postf dapat dyataka dega rumus x =, x = x +,( ) + atau dega rumus x =, x = x + x,( ). + Defs.5 (Barsa Koverge) Msalka X = ( x ) adalah blaga rl. Suatu blaga rl x dkataka lmt dar X, jka utuk masg-masg lgkuga V dar x terdapat suatu blaga asl K sehgga utuk semua K, maka x adalah aggota V. Jka x adalah lmt dar X, maka dkataka X koverge ke x (atau X mempuya lmt x ). Jka suatu barsa mempuya lmt, maka barsa dkataka koverge. Jka tdak mempuya lmt, barsa tu dkataka dverge. Jka barsa blaga rl X = ( x ) mempuya lmt x R, maka serg dtuls x = lm X, x = lm( x ), atau x = lm( x ).
Serg kal dguaka smbol x x. Dega demka dapat dyataka Teorema. 3 x utuk meyataka X = ( x ) koverge ke x x V ( x) K N x V ( x), K. Bukt: Lmt suatu barsa (jka ada) adalah tuggal. Msalka lm a = L da lm a = M, adaka L M tapa M megurag keumuma pembukta, msalka L = M. Ambllah ε = L maka ada blaga asl N da N sehgga a L M L < bla >N da a L M M < bla >N. Ambllah N = maks{ N, N }. L + M L M L M = L < a < L da L M L M L + M M < a < M + = Hal mustahl, Jad pegadaa L M salah sehgga terbuktlah L = M. (Hutahea, 994:) Teorema. (Ketuggala Lmt) Bukt: Barsa blaga rl dapat memlk palg bayak satu lmt. Msalka X = ( x ) barsa blaga rl, adaka X mempuya lebh dar satu lmt. Msalka, x da,, x adalah lmt dar X, dega x, x,,.
4 Msalka, V lgkuga dar, x da,, V adalah lgkuga dar x,,, dega,,, V V = φ. Karea, x lmt dar X maka ada blaga asl, K sehgga jka, K maka x V,. Karea,, x lmt dar X maka ada blaga asl,, K sehgga jka,, K maka x V,,. Plh K K K,,, = sup{, }.maka K K, sehgga xk, V da K,, K sehgga xk V,,, berart x V V,,, k. Hal kotradks dega,,, V V = φ. Berart pegadaa salah, terbukt bahwa X tdak lebh mempuya dar satu lmt. (Rahma, 008:59-6) Teorema.3 Msalka X = ( x ) adalah barsa blaga rl da x R, peryataa berkut adalah ekuvale. a. X koverge ke x,. b. Utuk setap V ε lgkuga ε dar, x terdapat asl K sehgga utuk semua K, maka x adalah aggota V ε. c. Utuk setap ε > 0 terdapat blaga asl K sehgga utuk semua K, maka x ε < x < x + ε. d. Utuk setap ε > 0 terdapat blaga asl K sehgga utuk semua K, Bukt: maka x x < ε. ( a b) Dketahu X koverge ke x. Ambl sebarag V ε lgkuga ε dar x karea V ε adalah lgkuga dar x, maka terdepat blaga asl K sehgga utuk semua K maka x adalah aggota V. Karea V ε
5 sebarag lgkuga ε dar x terbukt bahwa utuk setap V ε lgkuga ε dar x terdapat blaga asl asl K sehgga utuk semua K maka x adalah aggota V ε. ( b c) Ambl sebarag ε > 0, msalka V ε adalah lgkuga ε dar x. Berart ada blaga asl K sehgga utuk semua K maka x V ε berart x ε < x < x + ε. Karea ε > 0 dambl sebarag berart utuk setap ε > 0 terdapat blaga asl K sehgga utuk semua K, maka x ε < x < x + ε. ( c d) Ambl sebarag ε > 0, berart ada blaga asl K sehgga utuk semua K maka x V ε. Karea x V ε berart x ε < x < x + ε. Karea x ε < x < x + ε maka x x < ε. Karea ε > 0 dambl sebarag berart utuk setap ε > 0 terdapat blaga asl K sehgga utuk semua K, maka x x < ε. ( d a) Msalka V sebarag lgkuga dar x. Sesua defs lgkuga, berart ada ε > 0 sehgga Vε = ( x ε, x + ε ) V. Karea ε > 0, berart ada blaga asl K sehgga utuk semua K, maka x x < ε. Sehgga x x < ε, berart x ε < x < x + ε. Berart bahwa utuk semua K, maka x ε < x < x + ε. Jad x. Karea Vε = ( x ε, x + ε ) V, berart K, maka x V ε. Berart utuk V sebarag lgkuga dar x terdapat blaga asl K sehgga utuk semua K maka x. Karea V dambl sebarag berart utuk V ε V ε
Cotoh.4 Peyelesaa: setap lgkuga V dar x terdapat blaga asl K sehgga utuk semua K, maka x adalah aggota V. Sesua defs berart X koverge ke x. Tujukka bahwa barsa X ( ) ( ) = + N tdak koverge ke 0. Utuk meujukka bahwa X tdak koverge ke 0, maka perlu 6 dtemuka suatu ε > 0 tetap tdak ada K, sehgga berlaku x 0 < ε, jka K. Plh ε = > 0, berapapu la K dplh, maka aka ada blaga asl geap dega K. Karea geap, maka x =. Hal berart bahwa x 0 = 0 = > = ε. Hal berart bahwa 0 buka lmt dar Z. Teorema.4 Msalka X = ( x ) adalah barsa blaga rl. X dkataka terbatas jka terdapat blaga rl M > 0 sedemka hggga x M, utuk semua N. Berdasarka defs maka barsa X = ( x ) terbatas jka da haya jka hmpua { x N } terbatas. Cotoh.5 Msalka X = (( ) N ) = (,,,,...). Maka X terbatas sebab ada blaga rl sehgga ( ), utuk semua N.
7 Msalka Y 4 = (,,,...,,...). 3 5 + Y terbatas karea ada blaga rl sehgga +, utuk semua N. Teorema.5 Barsa blaga rl yag koverge adalah terbatas. Bukt: Msalka X = ( x N) adalah barsa blaga rl da lm x = x, plh ε =. Maka ada K N sehgga utuk semua K berlaku x x <. Dega ketaksamaa segtga dperoleh x x + utuk semua K, plh M = sup{ x, x, x,..., x, x + }. Maka dperoleh bahwa x M, utuk 3 K semua N. Terbukt jka X koverge maka X terbatas. Teorema.6 Bukt: Jka ( x ) koverge, maka ( x ) terbatas. Ambl sebarag ( x ) koverge ke L, plh N sedemka sehgga utuk N berlaku Akbatya, utuk N berlaku x L <. x x L + L < + L. Plh K = maks x,, x, + L}, maka jelas bahwa x I meujukka bahwa ( x ) terbatas. K utuk setap N.
Kekovergea barsa ( x ) dtetuka oleh pola suku-suku yag sudah jauh berada d ujug. Walaupu pada awalya suku-suku barsa berfluktuas cukup besar amu bla pada akhrya suku-suku megumpul d sektar ttk tertetu maka barsa tetap koverge. Teorema.7 Jka X = ( x ) x, Y = ( y ) y da c R maka:. X ± Y x ± y. X Y xy 8 (Guawa, 0:75). cx = cx Bukt:. Ambl sebarag ε > 0 karea X = ( x ) x maka terdapat 0 N sedemka hgga utuk setap 0 berlaku x x < ε. Karea Y = ( y ) y, maka terdapat N sedemka hgga utuk setap berlaku Plh max {, } 0 y y < ε. = maka akbatya utuk berlaku x y ( x y) = ( x x) ( y y) x x + y y
9 ε ε < + = ε. Karea berlaku utuk sebarag ε > 0, maka ( x y ) koverge ke x + y. Dega cara yag sama dperoleh bahwa x y koverge ke x y terbukt bahwa X ± Y x ± y.. Aka dbuktka bahwa utuk setap ε > 0 terdapat K N sedemka hgga utuk setap K berlaku x y x y. Dketahu x y x y = x y x y + x y x y) x y x y + x xy Karea ( x ) hgga x M, = x y y + x x y. x maka ( x ) terbatas, akbatya terdapat M > 0 sedemka utuk semua N damaka M { M y } = max,. Dambl sebarag ε > 0, karea ( x ) x maka terdapat K N sedemka hgga utuk setap K berlaku Karea ( y) K berlaku x x < ε. M y maka terdapat K N. Sedemka hgga utuk setap Damaka K maks { K, K } y y < ε. M = maka utuk setap K berlaku x y x y x y y + x x y
0 ε ε ε ε < M. +. M = + = ε. M M Jad terbukt bahwa utuk setap ε > 0 terdapat K N sedemka hgga utuk setap K berlaku x y x y < ε. Dega kata la terbukt bahwa X Y xy.. Ambl sebarag ε > 0 karea ( x ) x maka terdapat K N sedemka ε hgga utuk setap K berlaku x x <. Perhatka bahwa cx x = cx x + x x x x + x x = x c + x x. Karea ( x ) x maka ( x ) terbatas, yatu terdapat M > 0 sedemka hgga x M utuk semua N akbatya ε ε x c + x x < M c + = ( M c ) + < ε. Terbukt bahwa utuk setap ε > 0 terdapat K N sedemka hgga utuk setap K berlaku C < ε dega kata la terbukt bahwa cx = cx. x (Ryato, 008:45-47)
.3 Kosep Lmt Defs.6 (Lmt Fugs) Dketahu fugs : 4 R R da a ttk lmt hmpua A. Jka ada blaga l R sehgga utuk setap blaga ε > 0 terdapat blaga δ > 0 sedemka sehgga jka x A N ( a) da 0 < x a < δ, maka berlaku δ f ( x) l < ε Pertdaksamaa 0 < x a meujukka bahwa x a, sehgga jka x A N ( a) berakbat f ( x) N ( l). Sehgga dperoleh f ( x) l < ε, basa δ dtulska dega ε lm f ( x ) = l. x a Jka l adalah lmt fugs dar fugs f d c maka dapat dkataka f koverge ke l d c. Dtuls l = lm f ( x) atau l = lm f. Cotoh.6. x c x a (Bartle da Sherbert, 000:98) Aka dbuktka bahwa lm(3x 7) = 5. Adaka ε x 4 blaga postf sebarag, maka dhaslka suatu δ > 0 sedemka sehgga Padag ketaksamaa d sebelah kaa ( x ) 3 7 5 < δ 3x < ε 3( x 4) < ε 3 x 4 < ε ( x ) 0 < x 4 < δ 3 7 5 < ε.
ε x 4 < 3 (Purcell da Verberg, 987:8) Teorema.8 Dberka f : A R R da α ttk lmt A. Jka f ( x) mempuya lmt utuk x a, maka lmtya tuggal Bukt: Ambl blaga ε > 0 sebarag da adaka f ( x ) mempuya lmt K da L dega K L utuk x a. Jad utuk setap blaga ε > 0 yag dtujuk dapat dplh blaga r > 0 da blaga r > 0. Sehgga berlaku f ( x) K < ε 3 utuk setap x A dega 0 < x a < r da f ( x) L < ε. Utuk setap x A 3 dega 0 x a r. dperoleh < < Selajutya dega megambl blaga r = m { r, r } K L = K + f ( x) f ( x) L f ( x) L + K + f ( x) ε ε < + < ε. 3 3 Utuk setap x A dega 0 < x a < r, dega kata la dperoleh K = L, suatu kotradks. Jad yag bear lmt f ( x) utuk x a adalah tuggal. (Rahma, 008:05-06)
3 Cotoh.6 Aka dtujukka bahwa Peyelesaa: lm x x 0 x tdak ada. x x x, 0, lm lm x x > = = x 0 x x 0 x = < x x x, x 0, lm = lm = x 0 x x 0 x Karea la lmtya tdak tuggal, maka Teorema.9 lm x x 0 x tdak ada. Msalka lm ( ), lmg ( ) f x = K x = L berlaku: x a x a. lm ( )( ) α. lm ( ) af x = f x = αk utuk α sebarag kostata α. x a x a lm f + g x = lm f x + lm g x = K + L.. ( )( ) ( ) ( ) x a x a x a 3. ( ) ( ) ( ) ( ) lm f. g x = lm f x. lm g x = K. L. x a x a x a 4. ( x) ( ) f lm f x a K lm ( x) = =, jka L 0. x a g lm g x L x a Bukt:. Dambl sebarag barsa blaga yata { x } yag koverge ke α. Oleh karea tu dperoleh barsa { f ( x )} da barsa { ( )} koverge ke K da L, maka selajutya dperoleh ( ), lm ( ) lm f x = L g x = L x a x a f x berturut-turut
4 ( )( ) α ( ) lm af x =. lm f x = α. K. x a x a. ( f + g)( x) = ( f + g)( x ) lm lm x a x a { f ( x ) g ( x )} = lm + x ( ) lm ( ) = lm f x + g x x = K + L. 3. ( ) = ( ) lm fg ( x) lm fg ( x) x a x x ( ) lm ( ) = lm f x + g x x = K. L. f f lm = lm x a g x a g 4. ( x) ( x ) f ( x) = lm x a g ( x ) x K =, asalka L 0. L (Bartle da Sherbert, 000:0).4 Kosep Kotyu Defs.7 (Fugs kotyu) f dkataka kotyu pada 0 utuk ε > 0 maka ada 0 x jka lm f ( x) f ( x ) x x0 δ > sehgga ( ) ( ) = atau bsa dkataka 0 0 f x f x < ε d maa x x0 < δ. Dar defs d atas maka dapat dkataka terdapat tga syarat agar kotyu terpeuh, yatu:
5. f ( x ) ada atau terdefska. lm f ( x) x x0 ada, da 3. lm f ( x) = f ( x ) x x0 Cotoh.7 Dberka fugs 0 Car lm g( x) x ( ) g x x utuk x = x Autuk x = da tetuka A agar fugs g kotyu d, maka x lm g ( x) = lm =. x x x Meurut yag dketahu A da g ( ) = A oleh karea tu agar fugs g kotu d, harus berlaku ( ) x g x ( ) x A = g = lm g( x) =. Lebh lajut, utuk x rumus fugs g dapat dsederhaaka mejad = + da dega rumus mudah dperlhatka bahwa fugs g kotyu d setap ttk x. Dgabug dega hasl d atas, yatu dega megambl A = maka fugs g kotyu pada R. Teorema.0 Jka f kotyu pada [ a, b ], maka f tertegralka pada [ a b ],.
6 Bukt: Fugs yag kotyu pada [ a, b ] past kotyu seragam pada [ a b ],. Karea tu dberka ε > 0 sebarag terdapat δ > 0 sedemka hgga utuk [ a b] x, y, dega x y < ε berlaku ε f ( x) f ( y) <. b a Selajutya utuk setap N dega < b a δ tjau parts a + b a = {,,, } dega x, 0,,, δ Q x0 x x mejad, la maksmum hal dperoleh akbatya = = (terval [, ] sub terval sama pajag). Setap sub terval [ ] M da mmum m maka f ( u ) = M da f ( v ) = m ε M m = f ( u ) f ( v ) < b a = = a b terbag x,, x f mecapa ε b a 0 U ( f, Q ) U ( f, Q ) = M m ( x x ). = ε. b a δ Kemuda dsmpulka bahwa U ( f Q ) U ( f Q ) tertegralka pada [ a, b]. lm,, = 0 da karea f (Guawa, 000:3-4)
7.5 Itegral Rema Msalka : f I R terbatas da Q { x x x } = 0,,, parts dar I pada selag [ a, b ], suatu hmpua berhgga { a x x x b} hgga, = 0,,, = sedemka a = x < x < < x < x = b. 0, = 7 7 7 = 9 a, b Gambar. Parts pada [ ] Norma parts Q yag dyataka dega Q la terbesar d atara blaga ( ) x,,,... x = Kemuda ddefska { } Q = max x x0, x x,, x x. Jka Q adalah parts sepert yag tampak pada gambar d atas, maka jka Rema pada fugs defs jumlah f : I R Defs.8 (Parts Peghalus) ( ) = ( ) S f, Q f ( t ) x x. = (Bartle da Sherbert, 000:94-95) Dberka terval tertutup [ a, b ], parts Q dsebut peghalus (refemet) parts Q pada [, ] a b jka Q Q. Utuk suatu terval [ a, b] tak berhgga bayak parts yag dapat dbuat. Koleks semua parts pada terval [ a, b ] dotaska dega Q[ a b ] Cotoh.8 Dberka terval I [ a b],. =,. Berkut adalah beberapa parts pada I :
8 3 3 4 5 Q = 0,,, Q = 0,,,, Q3 = 0,,,,, Q4 = 0,,,,, 4 3 4 4 4 6 6 6 6 6 Q 3 4 5 6 7 3 5 3 7 = 0,,,,,,,,, Q = 0,,,,,,,, 8 8 8 8 8 8 8 8 4 8 4 8 4 8 4 5 Dapat dhtug bahwa Q = 3, Q =, Q3 = 4 4 Q5 merupaka peghalus dar Q 3 sebab Q3 Q5 tetap Q 5 buka peghalus Q maupu Q 4 sebab Q Q5 da Q4 Q5 parts Q 3, Q 4 da Q 5 dsebut parts seragam. Lemma Bukt: Jka Q, Q R[ a, b] dega Q Q maka berlaku Q Q. (Thobr, 008) Dberka Q = { a = x, x, x,..., x = b; ζ, ζ,..., ζ } parts pada [ a b ] 0,. Q = sup{ x =,,..., } = sup{ x =,,..., }. Dketahu Q Q atau Q peghalus dar Q, maka Q dapat dyataka sebaga Q = { a = x, x,..., x, x = x, x,..., x,..., x = x, x,..., x,..., x = b; ζ, ζ,..., ζ,..., ζ,..., ζ, ζ,..., ζ } 0 k 0 k 0 k k k k Q = sup{{ x x =,,..., ; j =,,..., k } { x x =,,..., }}. maka j ( j ) k Dapat dpaham bahwa xj x ( j ) x x utuk setap =,,...,, j =,,..., da x x x x utuk setap =,,...,. Oleh karea tu sup{{ x x =,,..., ; j =,,..., } { x x =,,..., }} j ( j ) { x x =,,..., }
9 Jad Q Q. Defs.9 (Jumlah Rema Atas da Jumlah Rema Bawah) (Thobr, 008:3) Msalka A parts Q dar [ a, b ] adalah terbatas f pada [, ] berdasarka kosep parts Q = { a = x0, x,, x = b} pada [ a b ],, a b dsusu < = f { ( ) : [, ]} da b < M = { f ( x) x [ x x ]} a m f x x x x sup :,. Sub terval sehgga jumlah tegral Rema atas dar f dega parts Q adalah. = (, ) = ( ) L f Q m x x Sedagka jumlah tegral Rema bawah adalah ( ) = ( ) U f, Q M x x. = Jka Q adalah sebarag parts pada [ a, b ] da Q adalah parts peghalusa dar parts Q pada [ a, b ], maka berlaku U ( f, Q) U ( f, Q) ( ) L( f Q) L f, Q,. da Itegral Rema bawah fugs f dotaska dega I = sup{ U ( f, Q); Q π[ a, b]} da tegral Rema atas dotaska dega J = f{ L( f, Q); Q π[ a, b]}. Utuk setap fugs terbatas berlaku ( ) ( ) L f, Q I J U f, Q. Selajutya fugs terbatas pada f dkataka tertegral Rema jka I = J. (Guawa, 000:96)
30 Defs.0 (Itegral Rema Atas da Itegral Rema Bawah) msalka fugs rl adalah terbatas yag ddefska pada selag tertutup [ a, b]. Utuk setap parts Q pada [, ] a b dbetuk jumlah atas U = M ( x x ) = da jumlah bawah L = m ( x x ) = dega da M = sup f ( x) da m = f f ( x) =,,3,..., x x x maka dbetuk b ( R) f ( x) dx = f U( Q, f ) Dsebut tegral Rema atas fugs f pada [ a, b ] da a b ( R) f ( x) dx = sup L( Q, f ) a da dsebut tegral Rema bawah fugs f pada [ a, b] fmum da supremum dambl melput semua parts Q pada [ a, b ]. Jka la tegral atas da tegral bawah sama. Maka dkataka bahwa f dapat tertegral Rema pada [ a, b ] da dyataka Rema fugs f pada [, ] pada f [ a b] a b da dyataka dega,. Nla yag sama damaka tegral Rema fugs f pada [ a, b ] da dtuls
3 b ( R) f ( x) dx a jad Defs. ( Itegral Rema) b b b ( R) f ( x) dx = ( R) f ( x) dx = ( R) f ( x) dx. a a a Dberka terval tertutup, fugs berla rl f :[, ] (Rahma, 008:76) a b R dkataka tertegral Rema jka terdapat blaga rl A sehgga utuk setap blaga rl ε > 0 terdapat blaga δ > 0 dega sfat = { =,,,, =,,, } parts pada [, ] Q a x x x x ζ ζ ζ berlaku atau 0 ( Q) f ( )( x x ) = M A < ε ( ) S f, Q A < ε. a b dega Q < δ Blaga rl A pada defs d atas dsebut la tegral Rema fugs f pada terval [ a, b ] da dtuls b A = ( R) f ( x) dx. a Selajutya utuk memudahka peulsa, koleks semua fugs yag Rema pada [ a, b ] dotaska dega R[ a, b ]. Jad jka [ ] tertegral dkataka tertegral Rema cukup dtuls dega f R[ a b] f : a, b R.,.
Defs tegral Rema d atas juga dapat pula dyataka sebaga lmt dega persamaa berkut: Cotoh.9 Q 0 ( ) lm S f, Q = A. 3 (Hutahea, 989:3) Msal f :[ 0,] R adalah sebuah fugs yag megambl la pada setap ttk. Rema pada terval [ 0, ] aka mempuya la. Da tegral Rema, maka jumlah Remaya aka berla satu. Defs. (Itegral Sebaga Lmt) Dberka fugs f rl da terbatas pada selag [ a, b ] utuk setap parts = { } pada [, ] Q x0, x,, x D maa a b dbetuk jumlah S f, Q f ( t ) x x. = ( ) = ( ) t ttk sebarag pada subselag tertutup [ ] x,,,,,. x = Blaga rl A dsebut lmt S ( f, Q ) utuk orma Q < 0 da dtuls Q 0 ( ) lm S f, Q = A jka da haya jka utuk setap ε > 0 yag dberka da sebarag pegambla ttk t [ x x ],, terdapat δ > 0 sedemka utuk semua parts Q pada [ a, b ], dega Q < δ berlaku ( f, Q) <. S A ε (Rahma, 008:64)
33 Cotoh.0 Perlhatka bahwa fugs f ( x) = x, 0 x tertegral Rema pada [ 0, ]. Amblah Q = 0,,,, maka m =, M =, =,,,. L( f, Q) = m ( x x ) =. = = = U. = =. = + = =. ( f, Q) M ( x x ) Karea { Q : } { Q : Q Q[ a, b] } sehgga N maka sup sup = [ ] L ( Q,, f ) [, ] L ( f, Q) f U ( f, Q) f U ( f, Q ) =, Q q a b Q q a b f ( x) dx = = f ( x) dx. a a I berart fugs f ( x) = x, 0 x tertegral Rema pada [ 0, ] da f ( x ) dx =. a Teorema. (Hutahea, 989:37) Msalka f terbatas pada I, da terdapat suatu blaga A R sedemka hgga utuk setap ε > 0 terdapat parts Q dar I sedemka hgga utuk sebarag parts Q berlaku maka I tertegralka pada I da da sebarag jumlah Rema S ( f, Q) Q ε ( ) S f, Q A < ε,
34 b ( ) =. a f x dx A Bukt: Dega megguaka teorema sebelumya yak b ( ) ( ) S f, Q f x dx < ε. Bahwa pada defs sebelumya tegral Rema a dapat pula dyataka sebaga lmt dega Q 0 ( ) lm S f, Q = A maka Jad teorema terbukt. Cotoh. b ( ) sehgga f ( x ) dx = A. a A f x dx < ε a Buktka bahwa f ( x ) dx ada, d maa 0 s x x 0 f ( x) = x x = 0 b (Hutahea, 989:3). s x x adalah kotyu utuk da s x lm f (0) x 0 = = x. Sehgga f adalah kotyu pada [ 0, ] da f tertegral Rema pada [ 0, ]. Sehgga ( ) ada. Teorema. 0 f x dx f tertegral pada [ a, b ] jka da haya jka utuk setap ε > 0 terdapat suatu parts dar Q ε [ a, b ] sedemka hgga
35 ( ) ( ) U f, Q L f, Q <. ε ε ε Bukt: Msalka f tertegralka pada [ a, b ]. Ambl sebarag ε > 0 dar defs supremum terdapat suatu parts Q dar [, ] a b sehgga ε L( f ) < L( Q, f ). Dar defs fmum terdapat pula suatu parts Q dar [ a, b] sehgga U, ε. ( Q f ) U ( f ) Sekarag msalka Q ε = Q Q maka Q ε merupaka perhalusa Q da Q akbatya ε ε L ( f ) < L ( f, Q ) L( Pε, f ) U ( f, Qε ) U ( f, Qε ) < U ( f ) +. Sebalkya msalka utuk setap 0 sedemka hgga Maka, utuk setap ε > 0 berlaku ε > terdapat suatu parts Q ε dar [ a, b ] ( ) ( f, Q ) U f, Q L <. ε ε ε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 U f L f U f, Q L f, Q L f, Q < ε ε ε ε Dar s dsmpulka bahwa U ( f ) = L( f ) atau f tertegralka pada [ a b],. (Guawa, 000:-)
36.6 Sfat-Sfat Dasar Itegral Rema Baga membahas sfat-sfat dasar tegral Rema, d ataraya ketuggala la tegral, kelera fugs, keterbatasa, kekovergea da Cauchy. Teorema.3 Bukt: Jka f [ a, b] R maka la tegralya tuggal. Dketahu f [ a, b] R aka dbuktka A = A. Dberka sebarag blaga ε > 0. Msalka A da A keduaya la tegral Rema fugs f. A la tegral fugs f pada [ ] a, b, maka terdapat δ > 0 setap parts Q = { x, x, x,, x = b; ζ, ζ,, ζ } pada [ a, b] 0 sehgga utuk dega sfat Q < δ berlaku ε S ( f, Q ) A <. A la tegral fugs f pada [ ] a, b, maka terdapat δ > 0 sehgga utuk setap parts Q = { x, x, x,, x = b; ζ, ζ,, ζ } pada [ a, b] 0 dega sfat Q < δ berlaku ε S ( f, Q ) A <. Plh δ = m { δ, δ }, akbatya jka Q sebarag parts pada [ a, b ] dega sfat Q < δ berlaku Q < δ da Q < δ. Akbatya ε S ( f, Q ) A <
37 da ε S ( f, Q ) A <. Lebh lajut ( ; ) ( ; ) A A = A S f Q + S f Q A ( ; ) ( ; ) A S f Q + S f Q A ( ; ) ( ; ) S f Q A + S f Q A ε ε < + = ε. Karea ε sebarag blaga postf maka dapat dsmpulka A = A. (Thobr, 008) Teorema berkut meyataka bahwa koleks semua fugs yag tertegral Rema, yatu R[ a, b] adalah ruag ler. Teorema.4 Jka f, g R[ a, b] da α sebarag blaga rl, maka: b b b f g R a, b da ( R) f g x dx ( R) f x dx ( R) g x dx. a. ( + ) [ ] ( + )( ) = ( ) + ( ) a a a f R a b b, b da R f x dx R f x dx. b. α [ ] ( ) ( α )( ) = α ( ) ( ) Bukt: a. Dketahu f g R[ a b] f a a,,. Dberka sebarag blaga ε > 0. Karea b R[ a, b] maka terdapat ( ) setap parts Q pada [, ] A = ( R) f x dx da δ > 0 sehgga utuk a a b dega sfat Q < δ berlaku
38 ε S ( f, Q ) A <. b Karea g R[ a, b] maka terapat ( ) utuk setap parts Q pada [, ] A = ( R) f x dx da δ > 0 sehgga a a b dega sfat Q < δ berlaku ε S ( f ; Q ) A <. Plh δ = m { δ, δ }, akbatya jka Q sebarag parts pada [, ] a b dega sfat Q < δ berlaku Q < δ da Q < δ. Akbatya ( ; + ) ( + ) = ( ) ( + )( ζ )( ) ( + ) S Q f g A A Q f g x x A A = = { ( ζ )( ) ( ζ )( )} ( ) = ( Q) f x x + g x x A + A = ( Q) f x x + ( Q) g x x A + A ( ζ )( ) ( ζ )( ) ( ) = = ( ) ( ζ )( ) ( ) ( ζ )( ) Q f x x A + Q g x x A ε ε < + = ε. Terbukt ( f g ) R[ a, b] + da = = b b b ( ) ( + )( ) = + = ( ) + ( ) R f g x dx A A ( R) f x dx ( R) g x dx. b. Dketahu f R[ a b] a a a,, da dberka sebarag blaga ε > 0 da α b merupaka kostata. Karea f R[ a, b] maka terapat ( ) ( ) A = R f x dx a
39 δ > sehgga utuk setap parts Q pada [ a, b] da 0 dega sfat berlaku Q < δ berlaku (, ) S f Q A < ε. Jka setap parts Q pada [ a, b] dega sfat berlaku Q < δ berlaku (, ) ( ) ( )( )( ) S f Q A = Q α f ζ x x A < ε = ( ) α ( ζ )( ) = Q f x x A < ε. = Karea α merupaka kostata maka dapat kta keluarka sehgga (, ) α ( ) ( ζ )( ) = S f Q A = Q f x x A < ε ( ; ) = α S f Q A < ε b ( ) = α( R) f x dx a Terbukt ( α f ) R[ a, b] da ( α )( ) = α ( ) Teorema.5 (Kekovergea Seragam) Dketahu fugs N dega b ( R) f x dx ( R) f x dx. a b a (Thobr, 008:4) f tertegral Rema pada [, ] a b utuk setap. Jka barsa fugs f koverge seragam ke fugs f pada [ a b ],, maka f tertegral Rema pada [ a, b ], da b ( R) f = lm(r) f. a b a
40 Bukt: [ ] f : a, b R, f dega N tertegral Rema ke suatu la a pada [, ], a b jka ε > 0 δ > 0 artya sehgga utuk parts Q pada [, ] f δ ε < < f ( ζ )( x x ) A. = a b dega Q < δ. f ε < δ < f ( ζ )( x x ) A. = Ambl δ terbesar (, ) (, ) = ( ζ )( ) + ( ζ )( ) S f Q S f Q f x x A A f x x = = (, ) (, ) S f Q S f Q. (, ) (, ) =. a S f Q S f Q ( ζ )( ) ( ζ )( ) f x x A + A f x x = = ( ζ )( ) ( ζ )( ) f x x A + f x x A = = ε ε < + = ε. Teorema.6 (Cauchy Itegral Rema) Meurut Thobr (008:5) f [ a, b] R jka da haya jka utuk setap blaga ε > 0 terdapat blaga δ > 0 sehgga utuk setap dua parts pada [, ] a b Q = { a = x0, x, x,..., x = b; ξ, ξ,..., ξ} da
4 Q = { a = x, x, x,..., x = b; ξ, ξ,..., ξ } dega sfat Q 0 m < δ da Q < δ berlaku Q f ( ξ )( x x ) Q f ( ξ )( x x ) = = m. Bukt: Syarat Perlu Dketahu f R[ a, b] dberka sebarag blaga ε > 0 maka terdapat b A = R f ( x) dx da terdapat δ > 0 sehgga utuk setap a = = = parts pada [, ] Q { a x, x, x,..., x b; ξ, ξ,..., ξ } 0 a b dega Q < δ berlaku m Q f ( ξ )( x x ) A < ε. = = = = juga sebarag parts pada [ a, b ] Q { a x, x, x,..., x b; ξ, ξ,..., ξ } Jka 0 m dega Q < δ berlaku m Q f ( ξ )( x x ) A < ε. = Dperoleh Q f ( ξ )( x x ) Q f ( ξ )( x x ) = = m = Q f ( ξ )( x x ) Q f ( ξ )( x x ) A + A = = m
4 Q f ( ξ )( x x ) A + A Q f ( ξ )( x x ) = = m = Q f ( ξ )( x x ) A + Q f ( ξ )( x x ) A = = m Syarat Cukup ε ε < + = ε. Jka dketahu utuk setap blaga ε > 0 terdapat δ > 0 sehgga utuk setap dua parts pada [, ] a b Q = { a = x0, x, x,..., x = b; ξ, ξ,..., ξ} da Q = { a = x, x, x,..., x = b; ξ, ξ,..., ξ } dega sfat Q 0 m < δ da Q < δ berlaku Aka dtujukka f R[ a b] Q f ( ξ)( x x ) Q f ( ξ)( x x ) < ε = =.,. m Dbetuk barsa ( ) ε dega ε > 0 utuk setap N yag mooto turu da koverge ke 0. Jad utuk setap blaga ε > 0 terdapat blaga N sehgga utuk setap blaga asl berlaku. Berdasarka yag dketahu, maka setap ε terdapat blaga δ > 0 ' sehgga utuk setap Q = { a = x0, x, x,..., x = b; ξ, ξ,..., ξ} da = = = dua parts pada [ a, b] Q { a x, x, x,..., x b; ξ, ξ,..., ξ } 0 m dega Q < δ da ' Q < δ berlaku ' Q f ( ξ )( x x ) Q f ( ξ )( x x ) < ε. = = m
43 Selajutya ddefska s = ( Q ) f ( ξ )( x x ). = utuk setap blaga N.. Dbetuk barsa blaga rl postf δ dega δ( ξ ) = δ da { } δ ( ξ ) = m δ ( ξ ), δ ( ξ ) { } δ ( ξ ) = m δ ( ξ ), δ ( ξ ),..., δ ( ξ ), δ = 3, 4,5,.. (*) Selajutya dambl blaga asl m da dega m da. Tapa megurag keumuma, dasumska m, maka berdasarka persamaa (*) berlaku δ m δ. Ambl sebarag parts Q = { a = x0, x, x,..., x = b; ξ, ξ,..., ξ} da Q = { a = x, x, x,..., x = b; ξ, ξ,..., ξ } dega sfat Q < δ da Q < δ 0 m sehgga dperoleh s s = Q f ( ξ )( x x ) Q f ( ξ )( x x ) < ε m = = m da karea maka dperoleh: ε ε 0 < s s < ε.
Jad ( s ) merupaka barsa Cauchy dalam R, oleh kareaya ( s ) barsa koverge. Msalka koverge ke s R, berart terdapat blaga asl dega sehgga berlaku s ε s <. Dplh blaga asl maks { } Q { a x, x, x,..., x b; ξ, ξ,..., ξ } 0 0 44 =,. Jka = = = sebarag parts pada [, ] a b dega Q < δ, 0 dperoleh: Q f ( ξ )( x x ) s = m m = Q f ( ξ )( x x ) Q f ( ξ )( x x ) + Q f ( ξ )( x x ) s 0 0 = = = m m Q f ( ξ )( x x ) Q f ( ξ )( x x ) + Q f ( ξ )( x x ) s 0 0 = = = < ε + s s 0 0 ε ε < + = ε. Terbukt f R[ a, b].6 Itegral Lebesgue Pada persp tegral Lebesgue dbagu atas teor ukura. Itegral Remaa dar suatu fugs terbatas f pada [ a, b ] dsusu berdasarka atas kosep parts Q { a x, x,, x b} 0 = = = pada [ a b],. Meurut Lfto (004), bahwa peyusua tegral Lebesgue sebaga lmt jumlah atau dsebut defs tpe
Rema utuk tegral Lebesgue dar suatu fugs terbatas da terukur f pada hmpua terukur E dsusu berdasarka kosep parts Q = { a = y, y,, y = b} 0 pada terval [, ]. ( ) 45 a b Dega ketetua a = f{ f ( x); x E} da b > sup{ f x ; x E} d maa la b cukup dekat dega la ( ) sup{ f x ; x E}. Peyususa parts Q pada [, ] a b bsa juga dambl dega π adalah ketetua a > f{ f ( x) ; x E} da b sup{ f ( x) ; x E}. Notas [ a, b] hmpua semua parts Q pada [, ]. dkotrukska hmpua-hmpua ( ) maka a b Selajutya utuk setap =,,3,, E = { x; y f x < y }, karea f terukur E juga terukur. Dbetuk jumlaha-jumlaha, = da ( ) = ( ) L f, Q y m( E ) = U f, Q ym( E ) dega m( E ) adalah ukura Lebesgue hmpua E. Jka Q adalah sebarag parts pada [ a, b ] da P adalah parts peghalusa dar parts Q pada [ a b ] maka berlaku = (, ) L( f, Q) da U ( f, P) U ( f, Q) L f P. Itegral Lebesgue bahwa fugs f da E dotaska dega ( ) π [ ] I = sup{ L f, Q ; Q a, b } da tegral Lebesgue atas fugs f pada dotaska dega J U ( f Q) Q π [ a b] da terukur f berlaku,, = f{, ;, }. Utuk setap fugs terbatas (, ) (, ) L f Q I J U f Q selajutya da terukur f dkataka tertegral Lebesgue pada E jka I = J.
46 Defs.3 (Lmt Jumlah pada Itegral Lebesgue) Fugs f terbatas da terukur pada E dkataka tertegral Lebesgue pada E, dotaska f L( E), jka la I = J. D la phak meurut Lfto (969), utuk setap fugs terbatas da terukur f pada hmpua terukur E da utuk setap parts = = = pada terval [, ] Q { a y, y,, y b} 0 a b dambl sebarag ttk y = [ y, y ]; =,,3,..., da dua betuk jumlaha ( ) Jka la S f, Q y m( E ). ( ) = = lm y m( E ) ada (berhgga). = Maka fugs f dkataka tertegral Lebesgue sebaga lmt jumlah pada E dega otas Defs.4 (Itegral Lebesgue ) = = ( ) lm y m( E ) ( L) f x dx. E (Makaw, 009:4) Dberka fugs terbatas da terukur f pada hmpua terukur E. Fugs f dkataka Lebesgue ke la A pada E, jka utuk setap ε > 0 terdapat = = = pada [, ] δ > 0 sehgga utuk setap parts Q { a y0, y,, y b} { } Q = maks y ;,,3,, y = < δ berakbat S f, Q A = y m( E ) A < ε. ( ) = a b dega
47 (Makaw, 009:4) Teorema.3 Dberka fugs terbatas da terukur f pada hmpua terukur E fugs f tertegral Lebesgue pada E jka da haya jka utuk setap ε > 0 terdapat parts Q { a y0, y,, y b} pada [ a, b ] sehgga berlaku Bukt: Syarat Perlu ( ) ( ) U f, Q L f, Q < ε. Dketahu f L( E), terdapat blaga I da J sehgga I = J. Jad utuk setap ε > 0 dega megguaka sfat supremum da frmum, terdapat parts Q da Q pada [, ] Dambl parts Q Q Q da berakbat Syarat Cukup a b sehgga I ε < L( f, Q) I = J U ( f, Q) < J + ε. = pada [ ] a, b, maka berlaku I ε < L( f, Q ) L( f, Q) I = J ( f, Q) U ( f, Q) < J + ε Dketahu utuk setap 0 U ( f, Q) L( f, Q) < J + ε ( I ε ). ε > terdapat parts Q pada [, ] ( ) ( ) U f, Q L f, Q < ε. Karea selalu berlaku L( f Q) I J U ( f Q) a b sehgga,,, maka dperoleh
48 (, ) (, ) J I U f Q L f Q < ε. Karea dambl sebarag blaga ε > 0 maka berlaku I = J. Dega demka, dperoleh kesmpula bahwa fugs f tertegral Lebesgue pada E. Jad teorema terbukt bahwa Defs.5 (Fugs Terukur) (, ) (, ) U f Q L f Q < ε (Makaw, 009:4) Fugs berla rl f yag ddefska pada hmpua terukur E dsebut terukur Lebesgue atau lebh sederhaaya dsebut terukur E jka hmpua terukur utuk semua blaga rl c. Keempat peryataa berkut ekuvale:. Utuk setap c, hmpua E(f < c) terukur.. Utuk setap c, hmpua E(f c) terukur. 3. Utuk setap c, hmpua E(f > c) terukur. 4. Utuk setap c, hmpua E(f c) terukur. Bukt: Karea ( :) = (( < :)) ;, da ( < :) terukur maka ( :) = (( < :)) ; terukur. Karea ( > :) =? => ( : + > ), da ( : + > ) terukur maka ( > :) =? => ( : + > ) terukur. 3 Karea ( :) = (( < :)) ;, da ( > :) terukur, maka ( :) terukur.
49 4 Karea ( < :) =? => ( : > ), da ( : > ) terukur =,,3,, maka ( < :) =? => ( : > ) terukur. Defs.6 (Hmpua Terukur) Msalka F hmpua terukur, F G = ( I),, F blaga rl yag dketahu ( =,,3,, ). Fugs F=> F R yag ddefska oleh () = F=>, F Defs.7 (Ukura) K LF () damaka fugs sederahaa. Ukura selag terbuka ( a, b ) dyataka dega µ (( a, b)) atau dega µ [( a, b)] da ddefska dega µ ( a, b) = b a. Ukura selag terbuka ( a, ) atau (, b) atau (, ) ddefska sebaga Defs.8 (Hmpua Terukur) µ ( a, ) = µ (, b) = µ (, ) =. Hmpua E dkataka terukur, jka µ ( E) = µ ( E). Jka E terukur, maka ukura E. Dyataka µ ( E) da d defska sebaga µ ( E) = µ ( E) = µ ( E). Ukura lebesgue adalah suatu fugs hmpua berla rl. Dalam barsa blaga rl suatu barsa adalah koverge jka lmt da jka da haya jka fmumya sama dega lmt supermumya, maka pada barsa hmpua pu bahwa suatu barsa hmpua adalah koverge jka da haya jka lmt ferorya dama dega lmt superorya.
50.8 Kosep Matematka dalam Al-Qura Matematka merupaka lmu pegetahua dasar yag dbutuhka semua mausa dalam kehdupa sehar-har bak secara lagsug maupu tdak lagsug. Matematka merupaka lmu yag tdak terlepas dar alam da agama, semua tu kebearaya dapat dlhat dalam al-qura. Alam semesta bayak megadug rahasa tetag feomea-feomea alam. Namu keberadaa feomea-feomea tu sedr haya dapat dketahu oleh orag-orag yag bear megert art kebesara Allah (Rahma, 007:). Alam semesta memuat betuk-betuk da kosep matematka, meskpu alam semesta tercpta sebelum matematka tu ada. Alam semesta serta segala sya dcptaka Allah dega ukura-ukura yag cermat da telt, dega perhtuga-perhtuga yag mapa da dega rumus-rumus serta persamaa yag sembag da rap (Abdussakr, 007:79). Dalam al-qura surat al-qamar/54:49 dsebutka 9 y s)î/ çµ oψø)=yz > ó x«ä. $ ΡÎ) Sesugguhya Kam mecptaka segala sesuatu meurut ukura (Q.S. al- Qomar/54:49). Demka juga dalam al-qura surat al-furqa/5: yag berbuy: t,=yzuρ Å7ù=ßϑø9$# Îû Ô7ƒÎŸ ã&! ä3tƒ öνs9uρ #Y s9uρ õ Ï Gtƒ óοs9uρ ÇÚö F{$#uρ ÏN uθ yϑ 9$# à7ù=ãβ çµs9 Ï%!$# #\ƒï ø)s? çνu s)sù & ó x«à Yag kepuyaa-nya-lah kerajaa lagt da bum, da Da tdak mempuya aak, da tdak ada sekutu bagya dalam kekuasaa(nya), da Da telah mecptaka segala sesuatu, da Da meetapka ukura-ukuraya dega serap-rapya (Q.S. al-furqa/5:). Matematka merupaka suatu lmu yag megkaj tetag cara berhtug da megukur sesuatu dega agka, smbol, atau jumlah. Pokok kajaya