BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakag Dalam keadaa dimaa meghadapi persoala program liier yag besar, maka aka berusaha utuk mecari peyelesaia optimal dega megguaka algoritma komputasi, seperti algoritma simpleks dega biaya sekecil mugki. Salah satu variasi model program liier adalah pemrograma separabel. Pemrograma separabel adalah pemrograma tak liear yag fugsi obektif da fugsi kedalaya dapat diekspresika sebagai peumlaha fugsi da setiap fugsiya haya terdiri atas satu variabel. Secara umum model dasar dari suatu pemrograma separabel adalah sebagai berikut: Optimumka Z f 1,,..., f Fugsi kedala : 1 1,,..., g g atau b i i i 1 0 Utuk i = 1,,..,m = 1,,.., Bayak aplikasi masalah yag dapat diselesaika dega pemrograma separabel atara lai masalah fittig, ekoometrik, aalisis ariga listrik, desai da maaeme sistem suplai air, logistik, da statistik.
Pemrograma separabel haya diguaka utuk megaalisis persoalapersoala yag memiliki fugsi-fugsi kotiu dega perubaha gradie yag kecil. Jika fugsi kotiu megalami perubaha besar pada gradieya, maka dapat meerapka program iteger tercampur. Sifat laiya adalah pemrograma separabel memberika optimum pada fugsi oliear, sedagka program iteger dapat memberika global optimum. Pada umumya masalah pemrograma separabel dapat diselesaika dega megguaka kodisi Karush-Kuh-Tucker. Selai itu dapat uga diselesaika dega megguaka hampira fugsi liier piecewise, atau dega metode lai seperti metode cuttig plae, program diamik, da lai-lai. Pada tulisa ii aka membahas masalah pegoptimuma yag meghampiri masalah pemrograma separabel. Hampira dilakuka dega meggati setiap fugsi oliier dega fugsi liier piecewise. Suatu fugsi tuua f ( ) dalam pemrograma separabel dikataka putusbersambug (piece-wise) karea segme-segme dari fugsi f ( ) tersebut secara sediri-sediri (terputus-putus) dipisah-pisahka da membetuk fugsi yag liier sehigga diperoleh f1( 1 ), f( ), f3( 3), da seterusya. Jika fugsi yag diputusputus tersebut disambug, maka hasilya diperkiraka aka medekati fugsi oliier. Pada pemrograma separabel, ada tiga kodisi yaitu fugsi tuuaya oliier, fugsi kedalaya liier, atau fugsi tuua da kedalaya oliier. Sehigga pada ketiga kodisi tersebut dapat digati dega fugsi liier yag diaggap sama atau medekati keadaa oliier, yaitu dega cara membagi suatu bidag fugsi oliier meadi beberapa sub bidag atau segme. Setelah membagi suatu bidag fugsi oliier meadi beberapa sub bidag, ada dua cara utuk memformulasika fugsi liier piecewise, yaitu dega formulasi lambda da formulasi delta.
3 Peyelesaia masalah hampira fugsi liier piecewise dapat uga diselesaika metode simpleks dega restricted basis etry rule (variabel terbatas). Jika fugsi obektifya merupaka fugsi koveks sempura da fugsi kedalaya merupaka koveks, maka atura variabel terbatas pada metode simpleks dapat dihilagka da bisa diguaka haya dega metode simpleks biasa. Keakurata dari hampira fugsi liier piecewise dipegaruhi oleh bayakya titik kisi. Jika titik kisi bertambah, maka variabel pada masalah hampira pemrograma liier aka bertambah. Utuk megatasi hal tersebut, dapat diguaka modifikasi metode hampira yag megguaka sedikit titik kisi diawal perhituga. Misalka f ( ) da g( ) memeuhi semua asumsi dari pemrograma separabel da fugsi liier bagia demi bagia yag diperoleh, dapat dituliska kembali sebagai fugsi liier dega meghapus ideks khusus pada suatu model pemrograma liier, maka peyelesaia optimalya secara otomatis memeuhi suatu batasa yag diberika. Cara efisie da cepat utuk meyelesaika model tersebut adalah dega megguaka eis tertetu dari metode simpleks yag berhubuga dega batas atas kedala. Kemudia setelah memperoleh suatu peyelesaia optimal dari model tersebut, maka hituglah secara beruruta, dega =1,,..., utuk melihat peyelesaia yag optimal dari pemrograma separabel sebelumya (yag didekati secara bagia demi bagia). k 1 k Dari uraia di atas, maka peulis memilih udul Peyelesaia Pemrograma Separabel Megguaka fugsi liier Piecewise dega Formulasi Delta.
4 1.. Perumusa Masalah Permasalaha yag aka diuraika dalam tulisa ii adalah bagaimaa cara megoptimumka masalah pada pemrograma separabel. Di maa pada pemrograma ii, fugsi yag oliier dapat diselesaika dega hampira fugsi liier piecewise dega megguaka formulasi delta. 1.3. Pembatasa Masalah Ada dua cara utuk memformulasika fugsi liier piecewise, yaitu dega formulasi lambda da formulasi delta. Pada formulasi lambda, variabel didefiisika utuk setiap titik kisi, sedagka formulasi delta, variabel didefiisika utuk setiap iterval diatara titik kisi. Aka tetapi pada tulisa ii utuk membatasi persoala, maka haya aka membahas fugsi liier piecewise dega formulasi delta. Karea, utuk formulasi lambda telah dibahas pada tulisa sebelumya. 1.4. Tuua Peelitia Tuua peelitia dari peulisa ii adalah meyelesaika permasalaha pemrograma separabel dega hampira fugsi liier piecewise dega megguaka formulasi delta tapa harus megabaika kedala yag ada, kemudia megoptimalka fugsi tuua dari pemrograma separabel. 1.5. Mafaat Peelitia Dega adaya peelitia ii diharapka dapat bermafaat utuk meyelesaika permasalaha pegoptimala pada pemrograma separabel dega megguaka hampira fugsi liier piecewise dega formulasi delta. Permasalaha pegoptimala
5 yag dimaksud adalah memaksimumka atau memiimumka fugsi tuua dari pemrograma separabel. 1.6. Metode Peelitia Utuk melacarka peelitia ii, maka metode yag dilakuka adalah dega studi literatur. Oleh karea itu, ada beberapa tahap yag dilakuka dalam pemecaha masalah yag dihadapi, yaitu: 1. Meelaska pegertia dasar pemrograma separabel,. Meelaska pemrograma separabel dega megguaka hampira fugsi liier piecewise, 3. Meelaska pegertia formulasi lambda da formulasi delta, 4. Meyelesaika suatu masalah sebagai aplikasi dari hampira fugsi liier piecewise dega formulasi delta. 1.7. Tiaua Pustaka Hiller da Liberma (1990) megataka pemrograma separabel dapat diasumsika bahwa fugsi obektif f ( ) disebut kokaf, da fugsi kostrai g ( ) disebut kofek merupaka fugsi-fugsi dari pemrograma separabel. Model dasar program separabel adalah sebagai berikut: Optimumka ( maksimumka atau miimumka ): 1,,..., Z f f Fugsi kedala : 1 1,,..., g g atau b i i i 1 0 Utuk i = 1,,..,m da = 1,,.., dimaa fugsi g ( ) adalah koveks (cembug) da f ( ) adalah kokaf (cekug). i i
6 Cotoh : Mi Kedala Z 30 35 3 1 1 1 50 1 0 1, 0 Utuk persoala pegoptimuma cotoh tersebut yag merupaka sebuah persoala pemrograma separabel dega : f ( ) 30 1 1 1 1 g ( ) 11 1 1 g ( ) 1 1 1 1 b 50 f ( ) 35 3 g ( ) 1 g ( ) b 0 B.D. Nasedi da Affedi Awar (1984) meelaska eis-eis variasi model program liier, meelaska pegertia program separabel da model dasar dari suatu pemrograma separabel. Fugsi f() dikataka dapat dipisahka (separabel) ika dapat meuliska fugsi tersebut sebagai umlah dari buah fugsi yag terpisah-pisah. Secara sistematis, peryataa tersebut adalah sebagai berikut: Z f f 1 ( ) (,,..., ) adalah separabel, Jika f 1 f1 1 f f (,,..., ) ( ) ( )... ( ) Suatu fugsi tuua f ( ) dalam program separabel disebut putusbersambug (piece-wise) karea segme-segme dari fugsi f ( ) tersebut secara sediri-sediri, dipisah-pisahka da membetuk fugsi yag liier sehigga dapat f1( 1 ), f( ), f3( 3), da seterusya. Jika fugsi yag diputus-putus tadi disambug, maka hasilya diperkiraka aka medekati fugsi oliier. Jural dari Adrew da Wolsey (001) dega udul Discrete Lot-Sizig ad Cove Iteger Program meelaska bahwa setelah membagi suatu bidag fugsi
7 oliier ke dalam beberapa sub-bidag, ada dua cara utuk memformulasika fugsi liier putus-bersambug, yaitu dega formulasi lambda da formulasi delta. Buku lai karaga Wisto (1995) meelaska bahwa fugsi yag didefiisika oleh rumus yag berlaia dibagia yag berbeda dari daerah asalya diamaka fugsi putus-bersambug. F.S.Hiller, G.J.Lieberma, E.Guawa, A.W.Mulia (1994) meelaska bahwa dalam pemrograma separabel diasumsika fugsi tuuaya yaitu f ( ) adalah cekug da semua fugsi kedalaya yaitu gi ( ) cembug serta semua fugsifugsiya yag terlibat adalah fugsi separabel (fugsi yag dapat dibuat dari betukbetuk yag haya memuat satu peubah). Pedekata suatu fugsi dega fugsi liier bagia demi bagia merupaka cara pedekata yag sagat dibutuhka pada masalah pemrograma separabel.