Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva dapat ditentukan dengan menghitung integral tertentu.

IKA ARFIANI,S.T.

Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva dapat ditentukan dengan menghitung integral tertentu.

Andaikan kurva y = f(x) dan kurva y = g(x) kontinu pada interval a x b, dan kurva y = f(x) terletak di atas atau pada kurva y = g(x), maka luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a Dan x = b adalah sebagai berikut:

Y y =f(x) b L = f a Luasnya? O x = a x = b ( x) g( x) dx y =g(x) X ; f(x) > g(x)

Langkah-langkah Menghitung Luas Daerah :. Tentukan daerah yang diminta dengan menggambar daerahnya. Perhatikan daerah yang dimaksud untuk menentukan batas-batas integrasinya. Tentukan rumus luas yang lebih mudah digunakan (L = y dx atau L = x dy ). Hitung nilai integral sebagai hasil luas daerah

I. Garis dan sumbu-sumbu koordinat a. Daerah yang dibatasi oleh garis Y= x +, sb.y dan sb.x Y= x + Sb.Y Langkah. : Garis Y = X +, Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat Titik pot. dgn. Sb.X (, ) Titik pot. dgn. Sb.Y (, ) Langkah. : Gambar garis tersebut yang melalui titik pot. dan sumbu-sumbu koordinat Langkah. : Arsir daerah yang ada diantara garis Sb.Y dan Sb.X Daerah yang diminta Sb.X

II. Kurva dan sumbu-sumbu koordinat Sb.Y b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X 5X + dan sb.x Langkah. : Garis Y = X 5X +, Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat Titik pot. dgn. Sb.X (, ) & (,) Titik pot. dgn. Sb.Y (, ) Y= X 5X + Langkah. : Gambar kurva tsb. yang melalui titik potong dan sumbu x Daerah yang diminta Sb.X Langkah. : Arsir daerah yang ada diantara kurva dan Sb.X Catatan: Untuk mencari titik potong dengan sumbu X, gunakan faktorisasi Letak daerah ada di bawah sumbu, maka luasnya = nilai integral

Daerah yang diminta II. Kurva dan sumbu-sumbu koordinat c. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X 5X +, sb.y dan sb.x Langkah. : Kurva Y = X 5x +, Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat Titik pot. dgn. Sb.X (, ) & (,) Titik pot. dgn. Sb.Y (, ) Sb.Y Y= X 5X + Sb.X Langkah. : Gambar kurva tsb. yang melalui titik potong dan sumbusumbu koordinat Langkah. : Arsir daerah yang ada diantara kurva Sb.Y dan Sb.X Catatan: Untuk mencari titik potong dengan sumbu X, gunakan faktorisasi

Y+ X - = III. Kurva dan garis Daerah yang diminta Catatan: d. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X + X, dan Y+X = Langkah. : Garis Y = X + X, Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat Titik pot. dgn. Sb.X (, ) & (-,) Titik pot. dgn. Sb.Y (, -) Sb.Y Y= X 5X + Sb.X Langkah. : Garis Y+ X =, Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat Titik pot. dgn. Sb.X (-, ) Titik Pot. Dgn. Sb.Y (, -) Langkah. : Gambar kurva tsb. yang melalui titik potong dan Garisnya Langkah. : Arsir daerah yang ada diantara kurva Sb.Y dan Sb.X Batas-batas daerah tersebut adalah kedua titik potong kurva dan garis

. Batas-batas integrasi merupakan nilai awal dan akhir pada sumbu koordinat dari suatu daerah yang akan dihitung.. Batas-batas integrasi tergantung pada arah integrasi yang dilakukan: L b a f ( x) dx a merupakan batas bawah (awal) b merupakan batas atas (akhir) a dan b terletak pada sumbu x L d c f ( y) dy c merupakan batas bawah (awal) d merupakan batas atas (akhir) c dan d terlat pada sumbu y

I. Garis dan sumbu-sumbu koordinat a. Daerah yang dibatasi oleh garis Y= x +, sb.y dan sb.x Y= x + Sb.Y Batas-batas integrasi ada dua, yaitu: () sampai, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. X Daerah yang diminta L x dx () sampai, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. Y L y dy Sb.X

5 L dx x x 5 9 9 5 5 5 5 y x x x y x x y ) ( ) ( () sampai, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. X Batas-batas integrasi ada dua, yaitu: () sampai, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. Y II. Kurva dan sumbu-sumbu koordinat b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X 5X +, sb.y dan sb.x Y= X 5X + Sb.Y Sb.X Daerah yang diminta Karena basis yang kita gunakan adalah Sb.y, maka Persamaan kurva f(x) diubah menjadi f(y). 5 9 L dy y

III. Kurva dan garis b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X + X, dan Y+X + = Y= X X Daerah yang diminta Sb.Y Sb.X Y+ X = Batas- batas integrasi (berbasis Sb.x) Dengan memperhatikan gambar, maka batas-batas diperoleh dengan cara mencari titik-titik potong kurva dan garis, yaitu Y= X + X, disubtitusikan ke Y+X = ( x x x ( x x L x 6x 7x 8)( x ) x 8 x dan ) x x ( x x ) ( ) dx

Contoh : Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y = x + 6x, sumbu X, dan garis-garis x = dan x =

Penyelesaian: Sketsalah terlebih dahulu grafik y = x + 6x Titik potong dengan sumbu X y = x + 6x = x(x + ) = x = atau x = - sehingga titik potong dengan sumbu X adalah di (,) dan (-,)

Sketsa grafik y = x + 6x Y y = x + 6x - O L=? x = X

Y y = x + 6x - O L=? L = ( x 6x) dx (. ) x = x X x satuan luas

Contoh : Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x, sumbu Y, garis y = 8 adalah

Penyelesaian: Sketsa grafik fungsi y = x dan garis y = 8 Y y = x y = 8 O X

Y y = x x y y = 8 O X L d c xdy 8 y dy 8 8 y y

8 y dy y (8 ).8..6 Jadi, luasnya adalah 8. satuan luas

Contoh : Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x, sumbu Y, dan garis y = x + 6 adalah Saturday, May 8,

Penyelesaian: Sketsa grafik y = x dan garis y = x + 6 Y 6 y = x 6 X

Y y = x 6? 6 batas atas ditentukan oleh perpotongan kedua grafik X

Y 6 y = x 6 Titik potong antara y = x dan y = x + 6 x = x + 6 x x 6 = (x )(x + ) = X

Y 9 6 y = x 6 - (x )(x + ) = x = y = 9 (,9) x = - y = (-,) X

Y 9 6 y = x 6 - X Jadi batas-batas pengintegralannya adalah x = dan x =

Y 9 6 y = x L = 6 - ) ( x 6 x dx X ( x 6x x ). 6.. (. 6.. )

L =. 6.. (. 6.. ) 89 Jadi, luasnya adalah satuan luas

SELESAI

SOAL PENUGASAN. Diketahui D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva dan garis y x x y. Diketahui R adalah daerah yang dibatasi oleh garis x dan parabola y y x. Diketahui Q adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X, dan y x y x Dari ketiga soal tersebut, carilah : a. Gambar daerahnya b. Hitung titik potongnya (jika ada) c. Hitung luasnya