Jurnal Maemaika Vol. 4 No. 1, Juni 2014. ISSN: 1693-1394 Perancangan Konrol Opimal pada Model Maemaika Bioekonomik G.K. Gandhiadi Jurusan Maemaika FMIPA Universias Udayana e-mail: ganndhiadi@yahoo.co.id Absrac: This paper shows he iniial research abou he design of opimal invesmen policy of he public company in resource conservaion, by using opimal conrol model. The mahemaical bioeconomics model in using of mahemaical modeling for resource conservaion is a dynamics problem. The successfull of resource conservaion managemen mus fully ake accoun of he ime dimension for susained equilibrium bioeconomics. The design of a dynamic opimizaion model is solved by opimal conrol sraegy via maximum principle Ponryagin of Hamilonian expressi. We have he conclusion ha he opimizaion of presen value for resource conservaion very dependen of ime domain, how long sock opimal can be susained for is given iniial sock. Keywords: Mahemaical Bioeconomics, Maximum Principle Ponryagin, Opimal Conrol. 1. Pendahuluan Dalam bidang ekonomi, khususnya invesasi dalam usaha eksplorasi sumber daya alam, salah sau permasalahan yang berhubungan dengan eori konrol opimal adalah masalah pengopimalan presen value keunungan dari perusahaan publik. Presen value diarikan sebagai nilai sekarang dari penerimaan laba bersih pada masa yang akan daang. Suau model maemaika bioekonomik memberikan penjelasan yang ajam pada eksplorasi sumber daya alam open-access, yang sanga konras dengan opimalisasi secara ekonomi. Model ini juga memeberikan keyakinan bahwa parameer biologis (laju perumbuhan, kapasias ersedia) dan parameer ekonomi (harga, biaya, ingka suku bunga) mempunyai peran pening dalam menenukan sraegi opimalisasi hasil invesasi. Pengelolaan sumber daya alam yang berhasil mesi sepenuhnya memperhaian domain waku pada pelaksanaan eksplorasi (invesasi) unuk menjamin keseimbangan bioekonomik di masa yang akan daang. Masalah opimalisasi pada sisem dinamis merupakan esensi dari eori ekonomi enang modal dan invesasi. Keberhasilam perekonomian modern seluruhnya erganung pada keersediaan modal dalam ari luas. Implikasi pening pada eori ekonomi adalah: 1. Teori ekonomi enang modal dan invesasi sanga relevan dengan pengelolaan sumber daya alam erbarukan.
2. Kesalahan dalam pengelolaan sumber daya alam yang hanya mencari keunungan opimal akan merusak siuasi ekonomi dan seringkali menyebabkan kepunahan populasi sumber daya alam yang pening. Krieria yang sesuai dalam perhiungan prospek ekonomi jangka panjang adalah penenuan presen value pada laba bersih di masa yang akan daang yang dierima perusahaan. Disamping iu, hal yang juga pening adalah ingka suku bunga akan sanga kriis menenukan sraegi opimalisasi. Masalah pengopimalan presen value keunungan invesasi dalam usaha eksplorasi sumber daya alam dengan model bioekonomik dapa dirancang sebagai masalah konrol opimal. Variabel sae adalah jumlah sock, sedangkan variabel konrolnya adalah ingka perubahan sock sumber daya lama yang ersedia. Dalam makalah ini, masalah yang dibahas dibaasi pada keadaan sock erenu pada kondisi populasi seimbnag yang sabil. Tujuan penulisan makalah ini, adalah suau proses awal dalam membahas pemodelan maemaika bioekonomik dari invesasi dalam usaha eksplorasi sumber daya alam yang memperhaikan keseimbangan bioekonomik. Selanjunya dirancang sraegi konrol opimal pada masalah opimalisasi sisem dinamis menggunakan prinsip Maksimum Ponryagin dari ekspresi Hamilonian. 2. Proses Pemodelan Model biologi dasar dari eksplorasi sumber daya alam erbarukan, diberikan oleh, dx G( h(, 0, 0) x0 0, h... (2.1) 0... (2.2) dengan : x =, menyaakan jumlah sock pada waku Fungsi G( menyaakan ingka perumbuhan naural dari populasi, yang berganung pada x dan fungsi h( menyaakan ingka perubahan sock pada waku. Fungsi perumbuhan naural G( diasumsikan memenuhi : G( > 0, unuk 0 < x < K G(0) = G(K) = 0 G ( < 0, unuk 0 < x < K Tingka sock K disebu sebagai kapasias ersedia unuk populasi yang diberikan, yang menyebabkan bahwa bila h( = 0 maka mendekai nilai K unuk waku ak hingga. Ini berari iik x = K adalah iik keseimbangan sabil unuk populasi yang belum dieksplorasi. Didefinisikan variabel baru, E( : usaha unuk memperoleh hasil dalam waku, dan relasi usaha-hasil digambarkan sebagai h = qex,... (2.3) 40
dimana q : konsana yang menyaakan proporsi sock x yang dihasilkan oleh sau sauan usaha peroduksi dalam sau sauan waku (hari, bulan, ahun). Dalam hal ini, G( dapa dinyaakan sebagai ingka perumbuhan populasi dan h( adalah ingka perolehan hasil per sauan waku. Selanjunya didefinisikan parameer ekonomi : p : harga jual dalam sauan usaha/waku c : biaya produksi dalam sauan usaha/waku Penerimaan per sauan waku adalah : R = ph ce = (pqx c)e... (2.4) Perhaikan juga bahwa penerimaan bersih per sauan waku adalah (pqx c) dan nilai R merupakan oal penerimaan bersih dari usaha eksplorasi (invesasi) per sauan waku, sering disebu juga sebagai nilai ekonomis yang diperoleh perusahaan. Prediksi awal dari model ini menyaakan bahwa usaha eksplorasi (invesasi) akan memperoleh keunungan bila dan hanya bila x > c/pq. Bila diambil x BE = c/pq (BE : keseimbangan bioekonomik)... (2.5), maka usaha invesasi seperi ini akan unung pada ingka sock x bila dan hanya bila > x BE, asalkan eap dijaga E( > 0 dalam proses eksplorasinya. Teapi idak dapa diprediksi dari model seberapa besar yang bisa erjadi pada E(. Bila dianggap E( akan menjadi sanga besar seiap kali usaha eksplorasi (invesasi) memperoleh keunungan, hal ini akan menyebabkan ingka sock x akan berkurang perlahan menuju x BE. Saa dibawah x BE, usaha eksplorasi (invesasi) akan berheni, dilain pihak perumbuhan populasi naural (G() berlanju/koninu, sehingga akan erus meningka. Oleh karena iu diharapkan bahwa nilai keseimbangan bioekonomik dipakai sebagai acuan eksplorasi unuk memperahankan posisi sock berada disekiar nilai x BE. Tingka sock pada nilai x BE disebu iik keseimbangan bioekonomik dalam usaha eksplorasi sumber daya alam open-access, eapi dilain pihak menyebabkan penerimaan R = 0. Hal ini memberikan sudu pandang yang lain sebagai suau prinsip uama dari konsep sumber daya alam yang ekonomis bahwa usaha eksplorasi sumber daya alam open-access yang idak erkonrol dan mendorong posisi sock pada iik keseimbangan bioekonomik maka nilai ekonomisnya akan menuju nol. Terliha adanya kondisi yang berlawanan anara iklim invesasi dengan usaha konservasi sumber daya lama yang berkelanjuan. Sebenarnya idak, eapi yang pasi bahwa keberhasilan pengelolaan sumber daya alam mesi sepenuhnya memperhaikan domain waku. Kearifan invesor dalam usaha seperi ini sanga menenukan unuk menjaga keberlanjuan konservasi sumber daya alam. Sayangnya erminologi keseimbangan bioekonomik seringkali idak akura, karena x BE hanya dienukan oleh parameer ekonomi p, c, q, yang akan berubah seiap saa sepanjang ada perubahan parameer ekonomi. Teori bioekonomik sanga kua melibakan sumber daya alam yang dinamis, sehingga masalah konservasi pada eksplorasi sumber daya alam merupakan masalah dinamis. Perhiungan nilai ekonomi 41
yang berkelanjuan unuk jumlah sock x, yang diaur pada h = qex dalam (2.1), dan diapliksikan pada kondisi seady-sae dx/ = 0, maka G( = qex. Oleh karena iu nilai ekonomi berkelanjuan (R SUST ) diberikan oleh, R SUST = (pqx c)e = (pqx c)g(/qx = (p c/qg(... (2.6) Kalau diambil c( = c/qx... (2.7), maka R SUST = (p c()g(... (2.8) Selanjunya digambarkan R sebagai kurva lengkung dengan kondisi R SUST > 0 unuk x BE < x < K dan R SUST = 0 unuk nilai x yang lain. R SUST menuju maksimum disekiar nilai inerior x = x MEY (MEY : nilai ekonomis maksimum yang merupakan nilai ekonomis radisional). Fungsi c( dalam (2.7) menyaakan biaya per sau sauan hasil produksi jika jumlah sock x. Perhaikan bahwa c( berbanding erbalik dengan jumlah sock x, dan akan naik secara proporsional erbalik saa jumlah sock x menurun. Keseimbangan bioekonomik akan ercapai bila biaya unuk memperoleh ambahan sau sauan hasil produksi sama dengan harga jual per sauan, yaiu bila c( = p. Kondisi ini berlaku sebagaimana konsep keseimbangan bioekonomik yaiu saa jumlah sock x = x BE = c/pq. Proses pemodelan dan kendalanya sebagaimana dibahas diaas memberikan hasil model dinamik dasar yang dapa diuliskan ulang sebagai beriku : dx G( h(, 0, 0) x0... (2.9) h qe(... (2.10) R( c( ph( ce( ( p c( ) h( c qx... (2.11)... (2.12) 0, E( 0... (2.13) Fungsi obyekif yang sering digunakan dalam analisi invesasi dan analisis cosbenefi adalah perhiungan presen value unuk penerimaan bersih masa yang akan daang, dinyaakan oleh, PV = e -δ R(... (2.14) dimana δ menyaakan ingka suku bunga sesaa. Misalkan nilai awal V 0 diinvesasikan hari ini dengan ingka suku bunga majemuk δ, maka nilai invesasi akan naik sebesar dv/ = δ. Oleh karena iu, V( = V 0 e δ aau V 0 = e -δ V(, sedangkan persamaan (2.14) menyaakan oal presen value. Masalah opimalisasi pada sisem dinamis dapa didefinisikan oleh, Memaksimalkan {E(} PV,... (2.15) berdasarkan fungsi kendala (syara persamaan (2.9) sampai (2.13). 42
Dalam hal ini akan dienukan sraegi usaha E(, 0 yang akan menghasilkan harga keunungan ekonomis erbesar seperi yang dinyaakan oleh oal presen value PV dalam (2.14). Terliha bahwa masalah opimalisasi dinamis adalah esensi dari eori ekonomi enang modal dan invesasi. Masalah ini dapa diselesaikan dengan eori konrol opimal. 3. Teori Konrol Opimal Sau Dimensi Diberikan persamaan diferensial, dx f ( x,, u( ),0 T 0) x 0 43...... (3.1) (3.2) dimana menyaakan fungsi sae (keadaan) unuk sisem erenu pada waku. Persamaan (3.1) disebu persamaan keadaan, fungsi u( disebu fungsi/signal konrol, keadaan awal x 0 diberikan, dan T menyaakan waku akhir. Fungsi keadaan disebu respon pada saa diberikan fungsi konrol u(. Diasumsikan pula u( U, unuk 0 T, diaman U adalah himpunan konrol erenu yang mungkin berbeda dengan, sehingga fungsi konrol disebu konrol yang dapa dierima. Didefinisikan fungsi obyekif (sasaran) oleh, V ({ u( }) T 0 g(,, u( )... (3.3) Fungsi obyekif ini sering disebu fungsi reward, fungsi nilai, aau fungsi biaya. Masalah konrol opimal menjadi : Memaksimalkan V({u(}) (u( U, berdasarkan kendala/syara persamaan (3.1) dan (3.2). Fungsi konrol u( yang akan memaksimalkan fungsi obyekif V({u(}) berdasarkan semua kendala/syara, disebu konrol opimal. Teori konrol opimal merupakan generlasasi dari kalkulus variasi klasik yang berhubungan dengan g d g persamaan Euler,... (3.4) x Diberikan persamaan/ekspresi yang disebu Hamilonian: H(,,u(,λ() = g(x,,u() + λ( f(,,u()... (3.5) dimana λ( fungsi ambahan yang idak dikeahui, sering disebu variabel adjoin. Jika u( adalah signal konrol opimal dan responnya, maka keadaan prinsip maksimum akan menyaakan bahwa erdapa variabel adjoin koninu λ(, sehingga unuk semua berlaku, d H g f ( (persamaan adjoin... (3.6) x x
dan H(,,u(,λ() = maks (u( U H(,,u(,λ()... (3.7) Signal konrol opimal u( akan memaksimalkan ekspresi Hamilonian seiap waku. Persamaan (3.6) dan (3.7) disebu prinsip Maksimum Ponryagin. Misalkan V(.) adalah nilai ekonomis yang diukur dalam $, maka g(.) adalah cash-flow yang diukur dalam $/sauan waku. Jika x merupakan jumlah ase (sock) fisik dalam ukuran on, maka fungsi f(.) berukuran on/sauan waku. Unuk menyesuaikan sauan dalam Hamilonian H = g + λf, variabel adjoin λ mempunyai sauan $/on dan λ merupakan harga bayangan. Bila V(x, menyaakan nilai ase x pada waku, dengan asumsi ase dapa dikonrol secara opimal dianara waku dan T, maka T g( x, s, u) ds, V ( x, ) x... (3.8) dimana u adalah signal konrol opimal. Dengan menggunakan persamaan-persamaan sebelumnya akan dapa diurunkan hubungan sebagai beriku ; V ( x, (... (3.9) x Variabel adjoin λ( dapa dipandang sebagai nilai ekonomis marginal dari ase x pada waku, yang dalam inerpreasi ekonomi merupakan harga bayangan. Hamilonian H = g + λf dapa juga diinerpreasikan sebagai ingka oal waku dari kenaikan kekayaan pemilik ase, hasil dari dua aspek yaiu cash-flow g diambah kenaikan nilai ase sebesar λf = λ dx/ (dalam jargon finansial disebu deviden dan perumbuhan ekonomi). Memaksimalkan Hamilonian (3.7) juga berari mengopimalkan signal konrol u( pada waku yang memaksimalkan ingka oal kenaikan kekayaan. Unuk menjamin sisem persamaan diferensial mempunyai solusi unggal perlu dienukan kondisi awal erenu pada dan λ( dalam rangka menggunakan eori konrol opimal. Ada dua kondisi ransversalias yang berhubungan dengan waku akhir T dan harus dipenuhi, yaiu iga kemungkinan beriku : 1. Keadaan akhir T) = x T erenu. Konrol u( yang dierima dapa diurunkan dari x 0 ke x T dalam renang wakunya yang disebu kelayakan konrol. Konrol opimal yang layak (jika ada) dan memenuhi prinsip maksimum sehingga sisem persamaan diferensial mempunyai kondisi awal dan akhir. 2. Keadaan akhir T) = x T idak erenu. Dalam kasus ini kondisi eksra menjadi λ(t)= 0. Dalam siuasi ekonomi, dikaakan bahwa sisem akan menuju pada ingka harga bayangan menjadi nol pada waku T. 3. Waku akhir T idak erenu eapi nilai T) erenu, maka H(T) = H(T), T, u(t), λ(t)) = 0 44
dan sau lagi adalah penyeraan reward di saa akhir yang diberikan oleh, V ({ u( }) T g(,, u( ) 0 W ( T ))... (3.10) Seperi pada kasus T) idak erenu eapi waku T erenu, maka diambil kondisi λ(t) = W (T)). Kondisi ransversalias akan melengkapi Prinsip Maksimum Ponryagin sehingga menjadi suau pernyaaan yang lengkap enang Prinsip Maksimum. Prinsip Maksimum adalah kumpulan syara-syara yang diperlukan unuk konrol opimal dan responnya. 4. Pembahasan 4.1 Perancangan Konrol Opimal Model dinamis bioekonomik dasar yang akan diselesaikan dengan sraegi konrol opimal menggunakan prinsip maksimum, digambarkan sebagai masalah beriku: memaksimalkan PV T 0 ( p c( ) h( berdsarakan pada fungsi kendala, dx G( h(, 0) x0...(4.2) 0...(4.3) h( q( E(... (4.4) 0 E ( E... (4.5) maks 45... (4.1) Dalam hal ini, c( diberikan oleh : c c(... (4.6) q( x ( q yang berganung pada jumlah sock Hamilonian menjadi, H = e -δ (p c()h + λ(g( h) = [e -δ (p c() λ] h + λ G(... (4.7) dalam hal ini x, h dan λ semua dalam fungsi waku. Akan dipandang h( sebagai variabel konrol, dengan 0 h( h maks ( dimana, h maks ( = q( E maks x... (4.8) Didefinisikan : σ(x, = e -δ (p c()) λ(... (4.9) sehingga persamaan (4.7) menjadi, H = σ(x, h + λ G(... (4.10)
Proses memaksimalkan pada persamaan (3.7), dapa dikaakan bahwa konrol opimal h( memaksimalkan Hamilonian pada 0 h( h maks (. Karena H linier dalam h, maka diperoleh, 0, jika σ(x, < 0 h( = idak erenu, jika σ(x, = 0... (4.11) h maks (x,, jika σ(x, > 0 Fungsi σ(x, selanjunya disebu fungsi pemisah. Kasus konrol opimal h( = idak erenu pada σ(x, = 0 merupakan hal yang pening, karena dengan kondisi σ(x, =0 pada inerval 1 < < 2 maka dari (4.9) akan diperoleh, λ( = e -δ (p c()... (4.12) dan d dx e [ ( p c( ) c' ( ]... (4.13) e [ ( p c( ) c' ( G( h] dalam sauan inerval waku diaas. Oleh karena iu sesuai persamaan (4.9) dan (4.10) dihasilkan, H e c' ( h G' ( x e [ c' ( h ( p c( ) G' ( ] Memperhaikan dua ekspresi erakhir dan menginga persamaan adjoin (3.6) sera melalui beberapa penyederhanaan, akan diperoleh : c' ( G( G '( (Golden Rule)... (4.14) p c( Dalam hal ini variabel konrol h( diabaikan, meninggalkan persamaan implisi unuk variabel keadaan x =. Ini adalah ipikal masalah konrol opimal yang linier erhadap variabel konrolnya. Variabel keadaan x = yang dienukan dari (4.14) disebu solusi singular. Solusi singular erjadi jika fungsi pemisah σ(x, adalah nol pada inerval waku erenu. Konrol singular selanjunya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan keadaan melalui variabel konrolnya, dan hal ini erjadi jika model konrol adalah linier dalam variabel konrolnya. Sraegi unuk memperoleh hasil opimal, dapa diperlihakan dengan menggunakan prinsip maksimum yang merupakan kombinasi variabel konrol h( = 0 aau h maks (fenomena konrol bang-bang) dan konrol singular (h( = G(x op ), dimana x op adalah ingka sock singular opimal yang diberikan oleh (4.14)). 46
Gambar 3.1. Trayekori Sock Opimal op Pada Model Linier. Terliha dari Gambar 3.1, pada fase awal : x 0 > x op maka konrol opimal h( = h maks, dimana ingka sock urun menuju x op dengan cepa. Dilain pihak saa x 0 < x op konrol opimal h( = 0, dan pada saa ini akan erjadi fase pemulihan sock dengan cepa. Perhaikan pada fase akhir dimana mendekai T, karena T) idak erenu dengan kondisi ransversalias maka λ(t) = 0. Dilain pihak λ( = e -δ (p c(x op )) > 0 pada segmen singular, maka segmen singular ini akan diinggalkan pada suau waku 2 < T dengan menggunakan h( = h maks dari posisi waku 2 menuju T. Khususnya, bila T) x BE yang disebabkan oleh x < x BE, akan memberikan penerimaan (p c() bernilai negaif, dalam hal ini x BE didefinisikan dengan p c(x BE ) = 0. Perhiungan pada kasus waku akhir T ak berhigga (T = + ) memerlukan sraegi opimalisasi yang melipui proses penyesuaian sock awal x 0 ke x op yang sanga cepa, seelah iu diperoleh hasil produksi berkelanjuan dengan konrol opimal h( = h op = G(x op ) yang merupakan proses bekerja anpa baas waku. 4.2. Inerpreasi Ekonomis Dari persamaan (3.9) dikeahui bahwa λ( = V/ x yang merupakan harga bayangan dari sock x. Pada segmen singular diperoleh λ( = e -δ (p c(x op )), kenaikan marginal x akan segera menghasilkan ingka produksi yang memberikan penerimaan bersih marginal saa ini sebesar (p c(x op )). Ahli ekonomi lebih suka menggunakan isilah harga bayangan saa ini, µ( = e δ λ(. Jika diformulasikan ulang prinsip maksimum menggunakan konsep ini, maka Hamilonian saa ini diberikan oleh, H c = e δ H... (5.1) Sehingga, d d d ( e ( ) e ( 47
dan persamaan adjoin, d H x menjadi, d H c d H c e e aau... (5.2) x x (Benuk ini sering diemui pada buku-buku ekonomi). Dengan benuk Hamilonian awal (4.7) dan persamaan (5.1) diperoleh, H c = (p c()h + µ((g( h), dan ini adalah jumlah pendapaan diambah perumbuhan x saa ini (dalam nilai suku-suku). Tingka hasil produksi opimal diperoleh dengan memaksimalkan jumlahan suku-suku ini unuk semua waku. Masalah opimalisasi dari model dinamis bioekonomik (persamaan (4.1) sampai (4.5)) yang memua 0, merupakan iik poin akhir. Namun, karena perolehan hasil produksi idak akan pernah opimal bila < x BE dan syara ini idak mengika, maka kondisi seperi ini dapa diabaikan. Penyelsaian masalah oprimalisasi diaas idak selamanya benar apabila c( = 0, eapi syara sae/keadaan 0 sanga mengika dan hal ini mesi dimasukkan dalam perhiungan prinsip maksimum. Fase akhir pada saa mendekai T mengindikasikan bahwa perolehan hasil dalam eksplorasi (invesasi) akan menyebabkan kepunahan sumber daya alam pada waku T. 4.3. Parameer Time-varying Masalah opimalisasi di aas menunjukkan solusi singular = x op adalah konsan, dan nilai x op merupakan ingka sock opimal yang mempunyai keseimbangan bioekonomik. Sensiivias x op erhadap sejumlah parameer ekonomi dapa diurunkan dari Golden Rule (4.14), yang dapa digambarkan pada abel beriku, Parameer ekonomi Sensiivias erhadap x op Harga, p - Biaya usaha, c + Tingka suku bunga, δ - Caaan : Sensiivias x op erhadap parameer ekonomi : + berari x op naik bila parameer ekonominya naik, dan sebaliknya. Analisis masalah bila erjadi pada kondisi yang dinamis, misalkan parameer harga p( yang bervariasi seiap waku maka akan menyebabkan perubahan pada x op ( yang idak lagi konsan. Pada kasus seperi ini, p digani dengan p( pada proses memaksimalkan PV (4.1), sehingga benuk Hamilonian menjadi, H = [e -δ (p( c() λ] h + λ G(, dan fungsi pemisah-nya adalah, σ(x, = e -δ (p( c()) λ(. Melalui perhiungan yang sama seperi pada (4.12) dan (4.13), akan diperoleh : 48
c' ( G( p' ( G' ( p( c( p( c( (Modifikasi Golden Rule)...(5.3) Efek kenaikan harga p(, misalkan pada sock opimal x op ( akan erdapa dua efek yang saling mengimbangi. Perama, efek sock marginal dari benuk ruas kiri pada (5.3) akan menurun seiap waku yang menyebabkan x bernilai rendah. Kedua, suku yang memua p ( di ruas kanan dari (5.3) akan negaif, sehingga mempunyai efek yang sama dengan penurunan ingka suku bunga yang berimplikasi pada nilai x menjadi lebih besar. Yang mana mempunyai efek lebih besar akan bergaung pada deail secara numerik. Mudah dipahami efek perama bersifa inuiif, yang mana harga sumber daya alam yang lebih besar (relaif erhadap biaya) menyebabkan proses eksplorasi (invesasi) lebih mengunungkan dan berimplikasi ingka sock opimal rendah. Sedangkan efek kedua, jika p ( > 0 berari harga jual saa iu naik sehingga keunungan masa depan lebih besar dibandingkan sebelumnya, ini berari biaya proses produksi sumber daya alam berkurang relaif dan keunungan bisa disimpan unuk masa depan. Jika ingka harga menurun di masa depan, maka ingka sock opimal x op ( juga menurun, seperi yang diunjukkan oleh sensiivias x op erhadap parameer harga (p). Semua pembahasan diaas menjelaskan bahwa permasalahan pengelolaan sumber daya alam bersifa dinamis dan mirip dengan permasalahan invesasi. Konservasi sumber daya alam adalah permasalahan dalam invesasi yang opimal. 5. Kesimpulan Opimalisasi presen value invesasi pada eksplorsi sumber daya alam dapa dimodelkan dalam konrol opimal dengan discoun erm yang memua variabel keadaan dan variabel konrol yang dinamis. Dalam penyelesaiannya dapa digunakan konsep prinsip maksimum Ponryagin dalam fenomena konrol bang-bang. Dalam hal ini dicari ingka perolehan hasil eksplorasi opimal berhubungan dengan sock sumber daya alam yang opimal unuk memaksimalkan keunungan invesasi. Solusi opimal yang diperoleh dengan memaksimalkan ekspresi Hamilonian yang linier pada variabel konrol yang erbaas (mempunyai nilai maksimum), dalam domain waku erenu. Proses memaksimalkan Hamilonian menghasilkan Golden Rule pada kondisi erenu. Golden Rule memberikan solusi singular yang dapa dipakai dalam analisis sensiivias sock opimal erhadap parameer ekonomi yang bersifa imevarying. Masalah opimalisasi dinamis dalam invesasi pada eksplorasi sumber daya alam yang dinamis merupakan esensi dari eori ekonomi enang modal dan invesasi. Inves- 49
asi yang opimal sanga dipengaruhi oleh domain waku unuk mencipakan konservasi sumber daya alam yang berkelanjuan. Dafar Pusaka [1] Anderson, B.D.O. and Moore, J.B., 1989, Opimal Conrol: Linear Quadraic Mehods, Prenice-Hall Inernaional. [2] Asrom, K.J. and Wiernmark, B., 1990, Compuer-Conrolled Sysems: Theory and Design, Prenice-Hall Inernaional. [3] Clark, Colin W., 2010, Mahemaical Bioeconomics: The Mahemaics of Conservaion, John Wiley & Sons, USA. [4] Grimble, M.J. and Johnson, M.A., 1988, Opimal Conrol and Sochasic Esimaion : Theory and Applicaions, John Wiley & Sons. [5] Lewis, F.L., 1992, Applied Opimal Conrol and Esimaion, Prenice-Hall Inernaional. [6] Ogaa, K., 1995, Modern Conrol Enginering, John Wiley & Sons. [7] Panca W., Ponidi dan Ida Fihriani, 2004, Pengopimalan Presen Value Saham Perusahaan Publik dengan Konrol Opimal, Prosiding Konferensi Nasional Maemaika XII, Jurusan Maemaika FMIPA UNUD, Bali 50