ALJABAR : AKAR-AKAR DARI SUATU PERSAMAAN : Jumlah hasil kali akar. jika adalah akar-akar dari, maka hubungan antar akar : Contoh 1: Diketahui a b adalah akar-akar dari, maka tentukan nilai dari: Soal ini bisa didekati dengan berbagai cara, namun sekarang kita gunakan apa yang seg kita pelajari. Karena a merupakan akar-akar, maka kita bisa mendapatkan : dari sini kita bisa memperoleh bentuk:. (senada dengan b, karena dia juga merupakan akar dari persamaan). kita peroleh : Sekarang, kita masuk ke pembahasan soal:.cocokan dengan bentuk-bentuk diatas merupakan perkalian akar, sehingga: Contoh 2: Jika a b adalah akar-akar dari, maka tentukan nilai dari, Mari kita olah dulu, untuk menghasilkan bentuk pangkat 1002 Coba kita kalikan dengan a cocok dengan bentuk yang kita olah di awal 1
Karena 1002 3 x 334, maka: karena a b simetris, maka nilai :, sehingga: Mari berlatih: 1. Persamaan, memiliki akar-akar a,b c. tentukanlah nilai 2. Jika,, adalah akar-akar persamaan dari, maka carilah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya. 3. Satu-satunya akar riil dari adalah 1999, berapakah satu-satunya akar riil dari? 4. Jika. buktikan x+y0 5. Carilah akar-akar riil dari 6. jika adalah akar-akar dari :, carilah nilai dari 7. Tentukan akar-akar riil yang memenuhi: I. Pemisalan Menyederhanakan/memecah masalah menjadi serpihan-serpihan kecil yang lebih sederhana, sehingga memudahkan kita dalam mengerjakannya. Tekniknya sederhana: misalkan saja dengan suatu varibel tertentu Dalam soal latihan pada postingan saya sebelumnya variasi soal bentuk kuadrat, ada soal sederhana tapi bagus/relevan dengan pembahasan kita sekarang. Jika, carilah nilai dari. Bagi pemula, sekilas soal ini membingungkan, kerena akan berhadapan dengan bilangan berpangkat rasional yang agak ngeselin karena melibatkan 3 suku harus dipangkatkan 3. Sekarang akan saya tunjukan keampuhan cara pemisalan: Yang ditanyakan soal bisa saya tulis : Sehingga langkah awal, saya munculkan bentuk., maka Untuk menghindari bentuk akar pangkat tiga atau pangkat rasional, saya memisalkan sebagai. Sehingga kita mendapatkan. 2
Maka: Gimana, jadi gak rumit kan?, sekarang tinggal kita ganti kembali P dengan nilai sebenarnya, sehingga : II. Berfikir keluar jalur Tentukan nilai x yang memenuhi kita stop dulu disini. Saya melihat x >0, soal ini memuat bentuk phytagoras, nah lho?, kemudian saya jadi teringat pada rumus seperti panjang salah satu sisi segitiga siku-siku (kita misalkan P), dengan panjang hipotenusa (sisi miring) 3, sisi lainnya adalah x. Jika kita gambar: dari gambar ini kita mendapatkan:. sekarang kita masukan ke dalam pengerjaan kita: 3
.jadi persamaan kuadrat biasa. Yang memungkinkan adalah p1 karena positif. Sehingga untuk : atau. Ayo berlatih: tak mungkin, karena negatif, sehingga jawabannya adalah. Jika adalah akar-akar riil dari : (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) 3, maka tentukanlah VARIASI SOAL BENTUK KUADRAT Berbagai variasi soal yang merupakan ciri khas soal kompetisi. Contoh 1: Jika diketahui hitunglah nilai x Jawab : bagi pemula, soal ini pasti terasa aneh, ada pengulangan yang terus menerus, karena x di ruas kiri, bisa dimasukan lagi ke ruas kanan. itu berarti terjadi iterasi (pengulangan) yang tak berakhir. Kalau x kita ganti/masukan ke soal, maka yang terjadi adalah soal menjadi lebih panjang ke bawah, kita tidak tahu ujung soal sampai kemana. Dan soal yang kita lihat merupakan penyederhanaan/ wakil dari soal sebenarnya. Nah ternyata dengan menyadari hal itu, berarti soal juga bisa lebih kita sederhanakan ke atas dong, tul gak?, so menjadi : 4
. jika kita kalikan kedua ruas dengan x (untuk menghilangkan penyebut), ternyata kita mendapat persamaan kuadrat biasa. atau Nilai x -1 tidak mungkin sehingga nilai x adalah 3 Contoh 2:. Tentukan nilai, dimana A jumlah dari nilai mutlak semua akar-akar persamaan : jawab : Senada dengan contoh 1, soal bisa kita sederhanakan menjadi : Ingat rumus abc (rumus kuadratis) bernilai positif sehingga bernilai negatif sehingga jadi A Sehingga Contoh 3 : (Olimpiade tingkat Kota 2003-3) Jika a b bilangan bulat sehingga (ingat bahwa 2003 adalah bilangan prima), maka berapakah Jawab : x jadi : (a b) 1 (a + b) 2003 + 2a 2004 a 1002 sehingga b 1001 5
jadi : Tiga contoh di atas adalah soal kompetisi, meskipun bentuk awalnya menyeramkan, ternyata setelah di coba-coba, konsep yang dipake tetep sama dengan yang kita pelajari di kelas. So, biasakan mulai sekarang jangan keder dulu ama bentuk soal yang aneh, karena umumnya setelah kita utak-atik, ternyata soal bisa menjadi lebih sederhana mudah untuk dipecahlan. Ayo berlatih : Soal 1: Tentukan nilai x yang memenuhi : Soal 2 : Jika salah satu akar dari adalah : Soal 3 :, maka buktikan akar yang lain adalah Jika, Tentukanlah nilai dari : Jawaban1. Kuadratkan kedua ruas: Pindahkan ruas: Eliminasi jawaban nol (bagi dengan x), menjadi: KUADRATKAN LAGI (pilih plus karena x tidak boleh negatif) Jawaban 2 : Perhatikan bahwa. Dengan demikian:. Konsep inilah yang digunakan dalam mengerjakan soal gila ini: menyederhanakan bentuk ini: Dengan formula di atas, maka bentuk tersebut menjadi: 6
Ingat bentuk persamaan kuadrat di mana c merupakan, maka: Dengan kali sekawan, didapat bahwa: Jawab 3 : Soal Contoh 1. Jawab : 12 Soal Contoh 2 : Misalkan a * b adalah bilangan bulat untuk setiap bilangan bulat a b. Untuk setiap bilangan bulat a b, kita memilik (a + 1) * b (a 1) * b 4a b * a (a * b) Jika 1 * 0 1, carilah nilai dari 101 * 100. Pembahasan Soal ini menuntut keberanian untuk mencoba mengeksplorasi pada operasi *. Salah satu caranya adalah dengan menetapkan bilangan bulat b. Kemudian perhatikan bahwa 101 * b 99 * b 4.100 100 * b 98 * b 4. 99 99 * b 97 * b 4. 98 98 * b 96 * b 4. 97 97 * b 95 * b 4. 96 96 * b 94 * b 4. 95...... 3 * b 1 * b 4. 2 2 * b 0 * b 4. 1 Jadi, 101 * b 1 * b 4. 50. 51 100 * b 0 * b 4. 502 Khusus untuk b 1, maka 100 * 1 4. 502 1 Untuk b 100, maka 101 * 100 4.50.51 100 * 1 4.50.51 4.502 + 1 4.50 (51 50) + 1 201 7