Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR

Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR Ole : Tony Hartono Bagio 00

KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio KATA PENGANTAR Kalkulus Dasar adala sala satu mata diskusi di Fakultas Ilmu Komputer Universitas Narotama, buku ini merupakan modul untuk menunjang mata kulia tersebut, diarapkan buku ini menjadi buku pegangan bagi maasiswa sebagai modul (and out) untuk melengkapi isi dari modul ini, saya arap para maasiswa membaca buku-buku lain yang sejenis, karena modul (and out) ini sangat jau dari sempurna. Modul / and out dari ttp://blog.uad.ac.id/aris_tobirin/files/008//.pdf,.pdf : terdiri dari 7 files, yakni : kalkulus-diktat.pdf Bab. Pendauluan. kalkulus-diktat.pdf Bab. Fungsi dan Limit (Sub bab. s/d.3) kalkulus-diktata.pdf Bab. Fungsi dan Limit (Sub bab.4 s/d.7) kalkulus-diktat3.pdf Bab 3. Turunan Fungsi. kalkulus-diktat.pdf Bab 4. Integral kalkulus-diktat.pdf Bab 5. Integral Tertentu (Sub bab 5. s/d 5..5) kalkulus-diktat3.pdf Bab 5. Integral Tertentu (Sub bab 5..6) Dari ke 7 files diatas, digabung menjadi satu, dan dapat di download langsung dari ttp://tonyartonobagio.blogspot.com/00//modul-mata-kulia.tml, pili Kalkulus Dasar, muda-mudaan modul/and out ini dapat berguna bagi semua maasiswa, Pembagian diskusi ini dibagi dalam 4 kali pertemuan, yang terdiri dari : I. PENDAHULUAN Sistem Bilangan Real Operasi Bilangan Urutan Pertidaksamaan Nilai Mutlak II. FUNGSI dan LIMIT Fungsi dan Grafik Operasi pada Fungsi Pengertian Limit III. FUNGSI dan LIMIT Teorema Limit Limit Kiri dan :Limit Kanan Limit Tak Hingga Kekontinuan Fungsi IV. TURUNAN FUNGSI Pengertian Turunan Fungsi Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat V. TURUNAN FUNGSI i

KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio Sifat - Sifat Turunan Aturan Rantai VI. TURUNAN FUNGSI Turunan Fungsi Invers Turunan Fungsi Implisit Turunan Tingkat Tinggi VII. TURUNAN FUNGSI Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden Turunan Fungsi Parameter VIII. UJIAN TENGAH SEMESTER IX. INTEGRAL Rumus Dasar Integral dengan Subsitusi X. INTEGRAL Integral Parsial Integral Arcus Tangen dan Logaritma XI. INTEGRAL Fungsi Peca Rasional Keadaan N() D () Keadaan derajat N() derajat D() Keadaan Derajat N() < Derajat D() XII. INTEGRAL Fungsi Trigonometri Rumus-rumus Sederana Bentuk R(sin ) cos d dan R(cos ) sin d Integral dengan memperatikan rumus-rumus XIII. INTEGRAL Fungsi Trigonometri Substitusi y tan (/) Integral R(tan ) Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri XIV. INTEGRAL Fungsi Irrasional Rumus Penting Bentuk Irrasional Satu Suku Satu-satunya Bentuk Irrasional Subsitusi Trigonometri XV. INTEGRAL TERTENTU Pengertian Integral Tertentu Aplikasi Integral XVI. UJIAN AKHIR SEMESTER ii

KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio Angka Romawi diatas, merupakan jadwal pertemuan, termasuk jadwal Ujian, baik UTS (Ujian Tenga Semester) maupun UAS (Ujian Akir Semester), sedang jadwal tugas tidak tercantum diatas, melainkan tergantung dari situasi. Bila para pembaca sekalian ingin memberi tambaan, koreksi atau penyempurnaan, penulis mengaturkan terima kasi sebelumnya, karena modul ini pasti akan menjadi lebi bermanfaat. Atas peratiannya dalam membaca modul ini, penulis mengucapkan terima kasi. Narotama, 0 November 00 Tony Hartono Bagio Dosen Fakultas Ilmu Komputer Universitas Narotama Surabaya iii

KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio DAFTAR ISI Kata Pengantar... Daftar Isi... Hal i iv. PENDAHULUAN.... Sistem Bilangan Real.... Operasi Bilangan... 3.3 Urutan... 3.4 Pertidaksamaan... 4.5 Nilai Mutlak... 7. FUNGSI dan LIMIT.... Fungsi dan Grafik.... Operasi pada Fungsi... 5.3 Pengertian Limit... 6.4 Teorema Limit... 3.5 Limit Kiri dan :Limit Kanan... 3.6 Limit Tak Hingga... 3.7 Kekontinuan Fungsi... 34 3. TURUNAN FUNGSI... 38 3. Pengertian Turunan Fungsi... 38 3. Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat... 39 3.3 Sifat - Sifat Turunan... 40 3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi)... 4 3.5 Turunan Fungsi Invers... 4 3.6 Turunan Fungsi Implisit... 4 3.7 Turunan Tingkat Tinggi... 43 3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden... 44 3.8. Turunan Fungsi Rasional... 44 3.8. Turunan Fungsi Irrasional... 44 3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri... 45 3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri... 46 3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma... 47 3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial... 49 3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik... 50 iv

KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio 3.9 Turunan Fungsi Parameter... 50 4. INTEGRAL... 53 4. Rumus Dasar... 54 4. Integral dengan Subsitusi... 55 4.3 Integral Parsial... 57 4.4 Integral yang Mengasilkan Arcus Tangen dan Logaritma... 59 4.5 Integral Fungsi Peca Rasional... 6 4.5. Keadaan N() D ()... 6 4.5. Keadaan derajat N() derajat D()... 6 4.5.3 Keadaan Derajat N() < Derajat D()... 63 4.6 Integral Fungsi Trigonometri... 70 4.6. Rumus-rumus Sederana... 70 4.6. Bentuk R(sin ) cos d dan R(cos ) sin d... 70 4.6.3 Integral dengan memperatikan rumus-rumus... 7 4.6.4 Substitusi y tan (/)... 7 4.6.5 Integral R(tan )... 73 4.6.6 Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri... 73 4.7 Integral Fungsi Irrasional... 74 4.7. Rumus yang perlu diafal... 74 4.7. Bentuk Irrasional Satu Suku... 75 4.7.3 Satu-satunya Bentuk Irrasional... 75 4.7.4 Subsitusi Trigonometri... 75 5. INTEGRAL TERTENTU... 77 5. Pengertian Integral Tertentu... 77 5. Aplikasi Integral... 83 5.. Luas Daera... 83 5.. Volume Benda Putar... 86 5..3 Panjang Kurva... 93 5..4 Luas Permukaan Benda Putar... 97 5..5 Usaa atau Kerja... 0 5..6 Momen dan Pusat Massa (Titik Berat)... 04 v

PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real, karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang paling sederana adala bilangan asli, yaitu,, 3,... Dengan menggunakan bilangan asli kita dapat mengitung banyaknya buku yang kita miliki, kendaraan yang melalui suatu jalan, orang-orang yang berada dalam suatu ruang dan lain-lainnya. Himpunan semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N. Jadi N {,, 3, 4, } Jika di dalam impunan semua bilangan asli kita tambakan semua negatifnya dan nol, maka diperole bilangan-bilangan bulat, yaitu, 3,,, 0,,, 3, Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z. Jadi Z {, 3,,, 0,,, 3, } Selanjutnya untuk mengukur besaran-besaran seperti panjang, berat dan arus listrik maka bilangan bulat tidak memadai. Dalam al ini bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup. Untuk keperluan ini maka dapat digunakan 3 9 7 bilangan-bilangan rasional, seperti,,, dan. Bilangan rasional 4 5 8 didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b a dengan a dan b keduanya bilangan bulat dan b 0. Dengan demikian bilangan-bilangan bulat termasuk bilangan rasional juga. Bilangan bulat 3 merupakan bilangan rasional sebab 3 dapat ditulis sebagai 6. Himpunan semua bilangan rasional biasa dinotasikan dengan Q. Jadi Q { b a a Z, b Z, b 0} Bilangan rasional yang dapat menjadi ukuran dengan ketelitian yang cukup ternyata masi tidak dapat menjadi ukuran semua besaran misalnya panjang sisi miring segitiga siku-siku berikut.

Gambar Dengan menggunakan bilangan irrasional maka al tersebut di atas tidak menjadi masala. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adala. Bilangan irrasional yang lain antara lain 3, 5, 3 7, e dan π. Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatifnya dan nol bilangan-bilangan real (bilangan nyata). Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R. Hubungan keempat impunan N, Z, Q, dan R dapat dinyatakan dengan N Z Q R dan digambarkan dengan diagram venn berikut. R Q Z N Gambar Masi terdapat sistem bilangan yang lebi luas dari system bilangan real yaitu bilangan yang secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk a b dengan a dan b keduanya bilangan bulat, atau a bi dengan i. Bilangan demikian dinamakan bilangan kompleks dan impunan semua bilangan kompleks dinotasikan dengan C.

Dalam buku ini bilangan kompleks tidak dibicarakan lebi lanjut. Jadi, apabila dalam buku ini disebutkan suatu bilangan tanpa keterangan apapun dimaksudkan adala bilangan real.. Operasi Bilangan Pada R tela dikenal operasi penjumlaan dan perkalian. Misalkan dan y bilangan real maka penjumlaan dan y ditulis y dan perkalian dan y ditulis. y atau secara singkat ditulis y. Sifat-sifat operasi penjumlaan dan perkalian pada R adala sebagai berikut. ) Hukum komutatif: y y dan y y. ) Hukum asosiatif: (y z) ( y) z dan (yz) (y)z. 3) Hukum distributif: (y z) y z. 4) Elemen-elemen identitas: Teradap penjumlaan: 0 sebab 0. Teradap perkalian: sebab.. 5) Invers (balikan): Setiap bilangan real mempunyai invers aditif (disebut juga negatif) yang memenui 0 dan setiap bilangan real yang tidak nol mempunyai invers multiplikatif (disebut juga balikan) yaitu yang memenui.. Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan y ( y) dan. y y.3 Urutan Bilangan-bilangan real bukan nol dibedakan menjadi dua impunan terpisa yaitu bilangan-bilangan real positif dan bilangan-bilangan real negatif. Berdasarkan fakta ini diperkenalkan relasi urutan < (dibaca kurang dari ) yang didefinisikan dengan: < y jika dan anya jika y positif. < y mempunyai arti yang sama dengan y >. 3

Sifat-sifat urutan: ) Trikotomi: Jika dan y bilangan-bilangan real maka pasti berlaku sala satu di antara yang berikut: < y atau y atau > y. ) Transitif: jika < y dan y < z maka < z. 3) Penambaan: < y z < y z 4) Perkalian: Jika z positif maka < y z < yz Jika z negatif maka < y z > yz Relasi urutan (dibaca kurang dari atau sama dengan ) didefinisikan dengan: y jika dan anya jika y positif atau nol. Sifat-sifat ini adala: ) Transitif: jika y dan y z maka z. ) Penambaan: y z y z 3) Perkalian: Jika z positif maka y z yz Jika z negatif maka y z yz.4. Pertidaksamaan Pertidaksamaan merupakan kaat terbuka yang menggunakan relasi <, >, atau. Penyelesaian suatu pertidaksamaan adala semua bilangan yang memenui pertidaksamaan tersebut yang biasanya merupakan interval atau gabungan intervalinterval. Mengenai interval dapat dijelaskan sebagai berikut. Interval terbuka (a,b) adala impunan semua bilangan real yang lebi besar dari a dan kurang dari b. Jadi (a,b) { a < < b}. Sedangkan interval tertutup [a,b] adala impunan semua bilangan real yang lebi besar atau sama dengan a dan kurang atau sama dengan b. Jadi [a,b] { a b}. Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut. 4

Penulisan Interval Penulisan Himpunan Dalam Garis Bilangan (a, b) { a < < b} [a, b] { a b} [a, b) { a < b} (a, b] { a < b} (, b) { < b} (, b] { b} (a, ) { > a} [a, ) { a} (, ) R a a a a a a a a b b b b b b b b Conto Pertidaksamaan ) 7 < 4 ) 5 6 < 4 3) 6 < 0 4) 3 > 0 5 5) Conto Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan 7 < 4. Penyelesaian: 7 < 4 < 4 5 < 5 > 5 5 Hp: interval (, ) { > 5 } 5

Conto Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan 5 6 < 4. Penyelesaian: 5 6 < 4 < < Hp: interval [, ) { < } Conto 3 Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan 6 < 0. Penyelesaian: 6 < 0 ( 3)( ) < 0 Hp: interval (, 3) { < < 3} 3 Conto 4 Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan 3 > 0 Penyelesaian: 3 > 0 ( )(3 ) > 0 3 Hp: interval (, ) (, ) { < 3 atau > } 3 Conto 5 5 Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan Penyelesaian: 5 5 0 5 ( ) 0 6

3 0 ( 3)( ) 0 dengan syarat (mengapa?) Hp: interval (, 3] { < 3} 3.5 Nilai Mutlak Konsep nilai mutlak sangat diperlukan untuk mempelajari kalkulus. Ole karena pembaca yang ingin memaami betul konsep-konsep dalam kalkulus disarankan mempunyai ketrampilan dalam bekerja menggunakan nilai mutlak. Definisi: Nilai mutlak bilangan real, ditulis didefinisikan dengan jika 0 jika < 0 Misal: 5 5, 5 ( 5) 5, 0 0 Sifat-sifat nilai mutlak ) ab a b ) a b a b 3) a b a b (ketidaksamaan segitiga) 4) a b a b Pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak dapat digunakan teorema berikut. 7

Teorema:. < a a < < a. > a < a atau > a. Secara fisis dapat menyatakan jarak ke 0, seingga yang memenui < a menyatakan yang jaraknya ke 0 kurang dari a. Secara fisis c dapat menyatakan jarak ke c, seingga yang memenui c < a menyatakan yang jaraknya ke c kurang dari a. 64 7 a 448 64 7 a 448 a 0 a 64 7 a 448 64 7 a 448 a c a Conto Tentukan penyelesaian < 3. Penyelesaian: Nilai yang memenui 3 < < 3 merupakan penyelesaian pertidaksamaan < 3. Gambarkan penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan. Conto Tentukan penyelesaian pertidaksamaan < 3. Penyelesaian: < 3 3 < < 3 3 < < 3 < < 5 Jadi, penyelesaiannya adala yang memenui < < 5. Gambarkan pada garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan ini. 8

Conto 3 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 3 5. Penyelesaian: 3 5 3 5 atau 3 5 3 4 atau 3 6 3 4 atau Jadi, penyelesaiannya adala yang memenui 3 4 atau. Gambarkan pada garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan ini. Conto 4 Andaikan ε (epsilon) adala bilangan positif. ε Tunjukkan bawa < 5 0 < ε. 5 Penyelesaian: ε < 5 < ε 5 5 < ε 5( ) 5 0 < ε < ε Conto 5 Andaikan ε (epsilon) adala bilangan positif, carila bilangan positif δ sedemikian seingga 3 < δ 6 8 < ε Penyelesaian: 6 8 < ε 6( 3) < ε 6 3 < ε 6 3) < ε ε 3 < 6 Ole karena itu dapat dipili δ 6 ε. 9

Secara mundur dapat diliat bawa 3 < δ 6 8 < ε. Terkait dengan bilangan akar pangkat dua dapat dinyatakan bawa SOAL Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan berikut dan gambarkan impunan penyelesaiannya pada garis bilangan.. 4 7 < 3 5 6. ( )( )(3 7) 0. 6 < 5 7. 3 5 6 < 0 3. 7 0 4 8. ( 5)( ) ( ) > 0 4. 6 0 5 6 9. < 4 5. 0 > 8 5 0. 3 6. 6 < 3 <. < 4 7. 3 < 4 9 <. 3 4 < 8 8. 3 < 5 < 6 3. 3 6 9. 4 6 7 3 6 4. 4 0 0. < 0 5. 4 0. 3 5 6 > 0 6. 5. 3 4 0 7. 7 3. 7 5 0 8. 5 4. 0 3 5. > 0 9. 4 > 3 4 5 5 > 30. 3 > 6. 0

Buktikan bawa implikasi yang ditunjukkan adala benar 3. 3 < 0, 5 5 5 <, 5. ε 3. < 6 < ε. 6 ε 33. 4 < 8 < ε. Dalam soal berikut, jika ε bilangan positif, carila bilangan positif δ sedemikian seingga implikasi yang diberikan benar. 34. 5 < δ 3 5 < ε 35. < δ ( 4 5) 3 < ε

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI. Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebua fungsi f dari impunan A ke impunan B adala suatu aturan yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut domain (daera asal) fungsi f dan B disebut kodomain (daera kawan). Sedangkan impunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range (daera asil). f A B Gambar. Fungsi Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan kodomain. Domain dapat berupa impunan yang beranggotakan orang atau yang lain, demikian pula kodomain. Dalam uraian selanjutnya domain dan kodomain dibatasi pada impunan-impunan bilangan real. Untuk memberi nama fungsi digunakan uruf tunggal seperti f (atau g, atau F), maka f() menunjukkan nilai yang diberikan ole f kepada. Jadi jika f() 3 4, maka Fungsi dan Limit Fungsi

f() 3 4 4 f( ) ( ) 3 4 5 f(a) a 3 4 f(a ) (a ) 3 4 a 3 3a 3a 3 4 Conto Untuk f(), carila dan sederanakan: a. f(4) b. f(4 ) c. f(4 ) f(4) f ( 4 ) f (4) d. dengan 0. Penyelesaian: Conto Untuk f() dengan daera asal {, 0,,, 3}, carila daera asil fungsi f. Penyelesaian: Fungsi dan Limit Fungsi 3

Bilamana untuk sebua fungsi daera asalnya tidak dirinci, maka dianggap daera asal fungsi tersebut adala impunan bilangan real seingga aturan fungsinya bermakna dan memberikan nilai bilangan real. Conto 3 a. Daera asal f() 3 adala { R 3}. b. Daera asal g(t) 9 t adala {t R 9 t 0}. Apabila daera asal dan daera asil sebua fungsi merupakan impunan bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat, dan grafik fungsi f adala grafik dari persamaan y f(). Conto 4 Buatla sketsa grafik dari: (a) f() 4 (b) g() (c) () Penyelesaian: Fungsi dan Limit Fungsi 4

. Operasi pada Fungsi Jika f dan g dua fungsi maka jumla f g, selisi f g, asil kali fg, asil bagi f/g dan perpangkatan f n adala fungsi-fungsi dengan daera asal berupa irisan dari daera asal f dan daera asal g, dan dirumuskan sebagai berikut. (f g)() f () g() (f g)() f () g() (f g)() f () g() f ( ) (f / g)() asalkan g() 0 g( ) Conto 5 Jika f() dan g(), tentukan f g, f g, fg, f/g dan f 3. Selanjutnya gambarla sketsa grafiknya. Penyelesaian: Fungsi dan Limit Fungsi 5

Selanjutnya didefinisikan komposisi fungsi sebagai berikut. Jika f dan g dua fungsi dengan daera asal g merupakan daera asil f maka komposisi g o f memenui (g o f)() g (f()) Conto 6 Jika f() dan g(), tentukan g o f dan f o g. Selanjutnya gambarla sketsa grafiknya. Penyelesaian: (g o f)() g (f()) g ( ) (f o g)() f (g()) f ( ) ( ) ( ) 4 3 Gambar grrafik dibiarkan untuk latian..3 Pengertian Limit Perkataan it berarti mendekati, seperti Saya suda menaan sampai mendekati batas kesabaran saya, atau Janganla kamu mendekati zina. Untuk memaami pengertian it fungsi kita awali dengan fungsi berikut. 3 f() Fungsi tersebut tidak terdefinisi di sebab di titik ini f() berbentuk 00. Tetapi dapat diselidiki mengenai nilai f() di titik-titik yang dekat dengan ( mendekati ). Peratikan nilai f() untuk beberapa seperti terliat pada daftar dan grafik y f() dapat diliat pada gambar berikut. Fungsi dan Limit Fungsi 6

y f(),5 3,83, 3,30,0 3,030,00 3,003? 0,999,997 0,99,970 0,9,70 0,75,33 Gambar. Berdasarkan informasi pada tabel dan pada grafik menunjukkan bawa f() mendekati 3 apabila mendekati. Secara matematis al tersebut dituliskan dengan 3 3 dan ini dibaca it ( 3 )/ ( ) untuk mendekati adala 3. Dalam conto ini kita mengubungkan it dengan perilaku fungsi dekat dengan, bukannya di. Conto Dengan menggunakan beberapa nilai pendekatan tentukan sin 0 Fungsi dan Limit Fungsi 7

Penyelesaian: y sin 0,8447 0,5 0,95885 0, 0,99833 0,0 0,99998 0? 0,0 0,99998 0, 0,99833 0,5 0,95885 0,8447 Jadi, sin. 0 Ingat kembali mengenai nila mutlak. Jika ε adala sembarang bilangan positif, maka jarak f() ke bilangan L kurang dari ε dapat dinyatakan dalam bentuk: f ( ) L < ε dan ini ekuivalen dengan L ε < f() < L ε yang menunjukkan bawa f() terletak pada interval terbuka (L ε, L ε) seperti terliat pada gambar.3 (a). Selanjutnya misalkan δ adala suatu bilangan positif dan cukup dekat dengan c seingga jarak ke c kurang dari δ, tetapi c maka 0 < c < δ dan ini ekuivalen dengan c δ < < c δ yang berarti terletak dalam interval terbuka (c δ, c δ) dan dapat digambarkan seperti terliat pada gambar.3 (b). Fungsi dan Limit Fungsi 8

f() f() L ε L L ε c δ c c δ f ( ) L (a) < ε 0 < c (b) < δ Gambar.3 Gambar-gambar dalam Gambar. dan Gambar.3 diarapkan dapat memudakan kita untuk memaami definisi formal dari it sebagai berikut. Definisi Limit f() untuk mendekati c adala L, ditulis f ( ) L c jika dan anya jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila 0 < c < δ berlaku f ( ) L < ε. Fungsi dan Limit Fungsi 9

Untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila 0 < c < δ berlaku f ( ) L < ε Gambar.4 Conto Buktikan bawa (3 7) 5 4 Analisis pendauluan: Misalkan ε > 0 sembarang, kita arus dapat menemukan bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila 0 < 4 < δ berlaku ( 3 7) 5 < ε. Peratikan ( 3 7) 5 < ε 3 < ε 3( 4) < ε 3 4 < ε ε 4 < 3 Fungsi dan Limit Fungsi 0

Ole karena itu dapat dipili δ 3 ε. Tentu saja dapat dipili bilangan δ yang kurang dari 3 ε. Bukti: ε Ambil sembarang bilangan ε > 0. Kita pili δ > 0, yaitu δ. Apabila 0 < 4 < δ 3 maka berlaku ( 3 7) 5 3 Jadi, terbukti (3 7) 5. 4 3( 4) 3 4 3 4 < 3δ 3. 3 ε ε. Conto 3 3 Buktikan bawa 5 Analisis pendauluan: Misalkan ε > 0 sembarang, kita arus dapat menemukan bilangan δ > 0 sedemikian 3 seingga apabila 0 < < δ berlaku 5 < ε. 3 Peratikan 5 ( )( ) < ε 5 ( ) 5 < ε ( ) < ε < ε ε < < ε Ole karena itu dapat dipili δ ε atau yang lebi kecil dari ε. Fungsi dan Limit Fungsi

Bukti: ε Ambil sembarang ε > 0 dipili δ seingga 0 < < δ berlaku 3 5 ( )( ) 5 ( ) 5 ( ) < δ ε < ε 3 Berarti terbukti bawa 5. Conto 4 Buktikan ( m b) mc b c Analisis Pendauluan: Untuk setiap ε > 0, akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila 0 < c < δ berlaku (m b) (mc b) < ε. Peratikan: (m b) (mc b) < ε m mc < ε m c < ε ε c < asalkan m 0 m Dapat dipili δ m ε. Bukti: Untuk m 0, bukti cukup jelas. ε Misal m 0. Untuk setiap ε > 0 dipili δ. Ole karenanya jika 0 < c < δ m maka berlaku (m b) (mc b) (m b) (mc b) m mc Fungsi dan Limit Fungsi

m c < m m ε ε. Fungsi dan Limit Fungsi 3

Conto 5 Buktikan, jika c > 0, maka c c Analisis Pendauluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Peratikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat dipili δ ε c Bukti: Ambil sembarang ε > 0 dipili δ ε c. Ole karenanya jika 0 < c < δ maka c ε c berlaku c < < ε. c c.4 Teorema Limit Teorema.4. Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai it di c, maka: ) k k c ) c c 3) kf ( ) k f ( ) c c Fungsi dan Limit Fungsi 3

4) [ f ( ) g( )] f ( ) g( ) c c c 5) [ f ( ) g( )] f ( ) g( ) c c c 6) [ f ( ). g( )] f ( ). g( ) 7) 8) c c c f ( ) f ( ) c, asalkan g( ) 0 g( ) g( ) c c n n [ f ( )] f c ( ) c c 9) n f ( ) n f ( ), asalkan f ( ) > 0 untuk n bilangan genap. c c c Bukti teorema.4. ini dibiarkan untuk latian. Dengan menggunakan teorema ini maka penentuan nilai it suatu fungsi akan menjadi lebi muda. Conto 6 Carila 5 3 Penyelesaian: 5 teorema.. 3) 5 3 3 5 teorema.. 8) 3 5(3) teorema.. ) 45. Conto 7 3 Carila (5 0) 3 3 3 Penyelesaian: (5 0) 5 0 teorema.. 5) 45 0 teorema.. ) 5. Fungsi dan Limit Fungsi 4

Conto 8 Carila 3 5 0 5 0 5 0 Penyelesaian: 3 teorema.. 7) 3 3 5 0 3 3 teorema.. ) dan 9) 5 3 dari conto 7. 5 3 Ingat, bentuk f ( ) a a a... a polinom disebut fungsi rasional, b 0 0 0 a a b b n a n disebut polinom dan asil bagi... a... b n m n m. Teorema.4. ) Jika f fungsi p olinom maka f ( ) f(c) c ) Jika f fungsi rasional maka f ( ) f(c) asalkan nilai penyebut di c tidak nol. c Teorema.4. ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema.4.. Dengan adanya teorma.4. maka penentuan nilai it fungsi polinom atau fungsi rasional menjadi sangat muda, tentunya asalkan syarat perlu pada teorema tersebut untuk fungsi rasional dipenui. Fungsi dan Limit Fungsi 5

Conto 9 5 Tentukan 7 0 3 6 5 4 4 Penyelesaian: 7 0 3 6 7() 5 0() 4 3() 6 44 Conto 0 Tentukan 5 4 7 0 3 6 3 6 8 Penyelesaian: 5 4 7 0 3 6 3 6 8 7() 5 0() 3() 4 3() 6 6() 8 44 8. Conto 3 3 7 Tentukan Penyelesaian: 3 3 7 ( ) Teorema.4. tidak dapat digunakan karena nilai penyebut di adala nol dan teorema.4. bagian 7) juga tidak dapat dugunakan karena it penyebut nol. Tetapi, karena it pembilang, maka selama mendekati terjadi pembagian bilangan yang dekat dengan bilangan positif dekat 0. Hasilnya adala sebua bilangan positif yang besar dan dapat dibuat besar sekeendak kita dengan membiarkan cukup dekat dengan. Dalam al ini dikatakan itnya tidak ada. Conto seperti ini akan diuraikan lebi lanjut pada bagian lain. Conto 3 0 Tentukan 6 Penyelesaian: Sebelum mencoba mengambil itnya terlebi daulu diadakan penyederanaan pecaan dengan faktorisasi. 3 0 ( )( 5) 6 ( )( 3) 5 3 7 5 Fungsi dan Limit Fungsi 6

Teorema.4.3 (Teorema Apit) Misalkan f, g dan adala fungsi-fungsi dengan f() g() () untuk setiap di sekitar c, kecuali mungkin di c. Jika f ( ) ( ) L, c g( ) c c maka L. Bukti: Diberikan bilangan ε > 0 Karena Karena c f ( ) L, berarti terdapat bilangan δ > 0 sedemikian ingga 0 < c < δ f() L < ε L ε < f() < L ε. ( ) L, berarti terdapat bilangan δ > 0 sedemikian ingga c 0 < c < δ () L < ε L ε < () < L ε Dipili δ min{δ, δ } Apabila 0 < c < δ maka berlaku L ε < f() g() () < L ε L ε < g() < L ε g() L < ε Terbukti g( ) L. c Conto 3 Dapat diselidiki bawa 6 tidak 0. Tunjukkan bawa sin 0 sin. untuk semua yang mendekati tetapi Fungsi dan Limit Fungsi 7

Penyelesaian: Misalkan f() sin, g(), dan (), maka f ( ) 6 0 dan ( ) 0, seingga diperole sin 0 6 0 0 sin 0 0 6 Berdasarkan teorema.4.3 maka dapat disimpulkan sin. 0 SOAL. Untuk fungsi f() 3 3, itungla masing-masing nilai a. f() c. f( ) b. f( 6) d. f( ) t. Untuk fungsi g(t) t, itungla masing-masing nilai a. f() c. f( 4 ) b. f(9) d. f( ) 4 3. Gambarla grafik fungsi 4, a. f ( ) b. 3, > g( ),,, 0 0 < < 4. Jika f() dan g(), tentukan: 3 a. (f g)() d. (f / g)() b. (f g)() e. (g o f)() c. (f g)() f. (f o g)() 5. Jika f() dan g(), tentukan: Fungsi dan Limit Fungsi 8

a. (f g)() d. (f o g)() b. (f / g)() e. f 4 () g 4 () c. (g o f)() Dalam soal nomor 6 0, buktikan it-it tersebut. 6. (3 7) 3 7. ( 4) 8 5 8. 0 5 5 9. 0. 5 6 7. Buktikan bawa jika f ( ) L dan f ( ) M, maka L M. c. Misalkan F dan G adala fungsi-fungsi sedemikian seingga 0 F() G() untuk semua dekat dengan c, kecuali mungkin di c, buktikan bawa jika G( ) 0 maka F( ) 0. c c Untuk soal-soal berikut (no. 3 s.d. 0), tentukan nilai it fungsi berikut 3. (7 4) 3 c 4. 5. 6. 7. ( (4 0 3 5) 3)(7 4 3 8 3 4 u u u u 4 3 ) 8. t 7t 7 t 4t 5 t Fungsi dan Limit Fungsi 9

9. ( w )( w w 6) w 4w 4 w 0. ( y )( y y 3) y y y Fungsi dan Limit Fungsi 30

.5 Limit Kiri dan Limit Kanan Definisi Limit f() untuk mendekati c dari kiri adala L, ditulis f ( ) L c jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila 0 < c < δ, maka berlaku f ( ) L < ε. Limit f() untuk mendekati c dari kanan adala L, ditulis f ( ) L c jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila 0 < c < δ, maka berlaku f ( ) L < ε. Teorema.5. f ( ) L jika dan anya jika f ( ) f ( ) L c c c Conto 4 f(),, < Tentukan f ( ), f ( ), dan f ( ), selanjutnya gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian: f ( ) f ( ) Karena f ( ) f ( ) maka f ( ). Fungsi dan Limit Fungsi 3

Conto 5 3, g() Tentukan g( ), g( ), dan g( ),, < selanjutnya gambarkan grafik fungsi g Tentukan g( ), g( ), dan g( ), selanjutnya gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian: g( ) g( ) 3 Karena g( ) g( ) maka g( ) tidak ada..6 Limit Tak Hingga Conto 6 Carila 0 jika ada. Penyelesaian: Semakin mendekati 0, juga semakin dekat ± dengan 0, dan nilai menjadi sangat besar ± 0,5 4 ± 0, 5 (liat tabel di samping). Nampak dari grafik ± 0, 00 fungsi f() yang diperliatkan pada ± 0,05 400 ± 0,0 0.000 gambar.4 bawa nilai f() dapat dibuat sangat ± 0,00.000.000 besar dengan mengambil cukup dekat ke 0. dengan demikian nilai f() tidak mendekati suatu bilangan, seingga tidak ada. 0 Untuk menunjukkan jenis perilaku seperti uang ditunjukkan dalam conto ini kita gunakan notasi Fungsi dan Limit Fungsi 3

0 Hal ini tidak berarti bawa kita menganggap sebagai suatu bilangan. Tidak juga bermakna bawa it tersebut ada. Notasi tersebut anyala menyatakan cara kusus untuk menunjukkan bawa it tersebut tidak ada. Secara umum kita tuliskan f ( ) c untuk menunjukkan nilai f() menjadi semakin besar ketika semakin mendekati c. Limit jenis serupa, untuk fungsi yang menjadi negatif tak beringga ketika mendekati c dituliskan dengan f ( ) c Conto 7 0 Hal ini juga dapat diberlakukan untuk it kiri dan it kanan f ( ) f ( ) c c f ( ) f ( ) c c Sebua garis c disebut asimtot tegak kurfa y f() jika paling sedikit sala satu dari pernyataan berikut benar: f ( ) f ( ) f ( ) c c c c f ( ) f ( ) f ( ) c Sebagai conto, sumbu Y atau 0 merupakan asimtot tegak kurva y karena 0. c Fungsi dan Limit Fungsi 33

Conto 8 Hitungla ( π ) tan dan ( π ) tan Penyelesaian: tan ( π ) tan ( π ) sin ( ) cos π sin ( ) cos π sin π ( ) π ( ) π ( ) π ( ) cos sin cos.7 Kekontinuan Fungsi Definisi Misalkan f : A R suatu fungsi, maka a. Fungsi f dikatakan kontinu di c A jika f ( ) f ( c) b. Fungsi f dikatakan kontinu pada impunan A jika f kontinu disetiap anggota A. c Definisi a mengandung arti bawa f dikatakan kontinu di c A jika dipenui ketiga syarat berikut: ) f ( ) ada c ) Nilai f(c) ada 3) f ( ) f ( c) c Fungsi dan Limit Fungsi 34

Conto 9 4,. f(), Apaka f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian: ) f ( ) ) f() (ada) 4 ( )( ) ( ) 3) Karena f ( ) f() maka f tidak kontinu di. 4 (ada) Gambarkan grafik fungsi f diserakan kepada pembaca. 4. f() Apaka f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian: ) f ( ) 4 ( )( ) ( ) ) f() tidak ada 3) Karena f() tidak ada, maka f tidak kontinu di. Gambarkan grafik fungsi f diserakan kepada pembaca. 4 (ada) 4, 3. f() 4, Apaka f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. Fungsi dan Limit Fungsi 35

Penyelesaian: ) f ( ) ) f() 4 (ada) 4 ( )( ) ( ) 3) Karena f ( ) f() maka f kontinu di. 4 (ada) Gambarkan grafik fungsi f diserakan kepada maasiswa. 4. f(),, < Apaka f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian: ) f ( ) f ( ) Karena f ( ) f ( ) maka f ( ) (ada) Liat kembali conto 4. ) f() (ada) 3) Karena f ( ) f(), maka f kontinu di. Gambarkan grafik fungsi f diserakan kepada maasiswa. 3, 5. g(), < Apaka g kontinu di? Gambarkan grafik fungsi g. Penyelesaian: ) g( ) g( ) 3 Fungsi dan Limit Fungsi 36

Karena g( ) g( ) maka g( ) tidak ada. (liat kembali conto 5) Karena g( ) tidak ada, maka g tidak kontinu di Teorema.7.. Fungsi polinom (fungsi suku banyak) kontinu pada R.. Jika fungsi-fungsi f dan g keduanya kontinu di c dan k sembarang konstanta maka fungsi f g, f g, kf, f /g (asal g( ) 0) juga kontinu di c. 3. Jika g fungsi yang kontinu di c dan f fungsi kontinu di g(c) maka f o g kontinu di c. c SOAL. Tentukan it (sepiak) berikut: a. 0 b. 0, < 0 c. f ( ), 0,, > f ( ), f ( ), f ( ), dan 0 0 f ( ). Apaka fungsi-fungsi berikut kontinu di? 3 t 8, t t a. (t), t Fungsi dan Limit Fungsi 37

b. (t),, 8 4 t t t t c. g() <,, 3 d. f() >,, 4 3 3. f() > <, 0, 0, a. Apaka f kontinu di 0? b. Apaka f kontinu di? 4. > <, 0, 0, ) ( g a. Apaka g kontinu di 0? b. Apaka g kontinu di? Fungsi dan Limit Fungsi 38

3 TURUNAN FUNGSI 3. Pengertian Turunan Fungsi Definisi Turunan fungsi f adala fungsi f yang nilainya di c adala f ( c ) f ( c) f (c) 0 asalkan it ini ada. Conto Jika f() 3 4, maka turunan f di adala f ( ) f () f () 0 3( ) ( ) 4 (3.. 4) 0 3( 4 4 ) 4 4 ( 4 4) 0 3 0 ( 3 ) 0 ( 3 ) 0 4 Jika f mempunyai turunan di setiap anggota domain maka f ( ) f ( ) f () 0 dy Jika y f() turunan y atau turunan f dinotasikan dengan y, atau, atau f (), atau d df ( ) d Turunan Fungsi 38

Conto Jika f() 3 4, maka turunan f di sembarang adala f () f f ) ( ) ( 0 4) (3 4 ) ( ) 3( 0 4) (3 4 ) 3( 0 3 6 0 ) 3 (6 0 ) 3 (6 0 6 3. Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat. Jika f() k dengan k konstan untuk setiap (f fungsi konstan), maka f () 0. Bukti: f () f f ) ( ) ( 0 k k 0 0. Jika f() untuk setiap (f fungsi identitas), maka f (). Bukti: f () f f ) ( ) ( 0 ) ( 0 0. 3. Jika f() n dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap, maka f () n n. Bukti: f () f f ) ( ) ( 0 n n ) ( 0 Turunan Fungsi 39

0 n n n 0 n n n( n ) n( n ) n n... n... n n n n n n( n ) n n n n... n 0 n 0 n n n n n Conto 3 Jika f() 5, maka turunan f adala f () 5 4 3.3 Sifat-sifat Turunan Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsifungsi dalam seingga u f() dan v g() maka berlaku:. Jika y ku maka y k(u ). Jika y u v maka y u v 3. Jika y u v maka y u v 4. Jika y u v maka y u v u v 5. Jika y v u u ' v uv ' maka y v Conto 4. Jika f() 3 5, maka f () 3.5 4 5 4. Jika f() 3 5, maka f () 5 4 3. Jika f() 3 5, maka f () 5 4 4. Jika f() (3 5 )(4 7), maka f () (5 4 ) (4 7) (3 5 )4 5. Jika f() 3 5 4 (5 )(4 7) (3, maka f () 4 7 (4 7) 5 )4 Turunan Fungsi 40

6. Jika f() p dengan p bilangan bulat negatif maka f() n dengan n p, seingga f() n 0.. n f () n ( ) n n n n p p n n n n u n. Dengan menggunakan turunan y diperole v n 3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi) Untuk menentukan turunan y (3 4 7 8) 9 dengan cara mengalikan bersama kesembilan faktor (3 4 7 8) kemudian mencari turunan polinom berderajat 36 tentula sangat melelakan. Cara yang muda untuk menentukan turunan y (3 4 7 8) 9 adala dengan menggunakan aturan rantai. Aturan Rantai Misalkan y f(u) dan u g() menentukan fungsi komposisi yang dirumuskan dengan y f(g()) (f o g)(). Jika g terdiferensialkan di dan f terdiferensialkan di u g() maka y (f o g)() terdiferensialkan di dan y (f o g) () f (g()) g () atau dy d dy du du d Fungsí komposisi dapat diperluas menjadi komposisi 3 fungsi, 4 fungsi dan seterusnya. Jika y f(u) u g(v) v () yakni y (f o g o )() maka dy d dy du du dv dv d Turunan Fungsi 4

Conto 5 Tentukan turunan y (3 4 7 8) 9 Penyelesaian: Misalkan u 3 4 du 7 8 3 7 d y u 9 dy 9u 8. du dy dy du 9u 8 ( 3 7) d du d 9(3 4 7 8) 8 ( 3 7) 3.5 Turunan Fungsi Invers Misalkan y f() dan f mempunyai invers f seingga f (y). Dengan menggunakan aturan rantai pada f (y) diperole d df ( y) d dy d dy d dy dy d dy d dy d 3.6 Turunan Fungsi Implisit Fungsí implisit secara umum dapat ditulis sebagai f(, y) 0 dengan y sebagai fungsí dalam. Conto fungsi implisit: ) y 3 8 0 ) 3 y 7y 0 Conto 6 dy. Tentukan dari fungsí yang dirumuskan dengan y 3 8 0 d Penyelesaian: Apabila kedua ruas y 3 8 0 diturunkan teradap, maka diperole: Turunan Fungsi 4

dy 6 0 d dy 6 d dy. Tentukan dari fungsí yang dirumuskan dengan 3 y 7y 0 d Penyelesaian: Apabila kedua ruas 3 y 7y 0 diturunkan teradap, maka diperole: 6 y 3 dy dy 7 0 d d dy ( 3 7) 6 y d dy 6 y d 3 7 3.7 Turunan Tingkat Tinggi Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f juga berupa fungsi seingga bole jadi f mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan ole (f ) f. Fungsi yang f baru ini disebut turunan kedua dari f karena dia merupakan turunan dari turunan f. Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari y f() sebagai Notasi lain adala f () D f() d d dy d y d d Conto 7 Jika f() 3 4 7 8, tentukan f (). Penyelesaian: f () 3 7 untuk mencari f () kita turunkan f (): d f () ( 3 7) d 36 Conto 8 Jika f() (3 5 )(4 7), tentukan f (). Turunan Fungsi 43

Penyelesaian: f () d d (3 5 ) (4 7) (3 5 d ) ( 4 7) d (5 4 ) (4 7) (3 5 )4 d f () [(5 4 ) (4 7) (3 5 )4] d d [(5 4 d ) (4 7)] [(3 5 )4] d d d 4 4 d (5 ) (4 7) (5 ) (4 7) d d d d (3 5 5 d ) 4 (3 ) 4 d 60 3 (4 7) (5 4 ) 4 (5 4 ) 4 (3 5 ).0 60 3 (4 7) (5 4 ) 4 (5 4 ) 4 3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden Fungsi Fungsi Aljabar Fungsi Rasional Fungsi Irrasional Fungsi Trigonometri Fungsi Siklometri Fungsi Transenden Fungsi Logaritma Fungsi Eksponensial Fungsi Hiperbolik 3.8. Turunan Fungsi Rasional Conto-conto tentang turunan yang diuraikan sebelumnya (conto 3) adala conto-conto turunan fungsi rasional. Jadi turunan fungsi rasional ini tidak perlu dibaas kembali. 3.8. Turunan Fungsi Irrasional Fungsi Irrasional adala akar dari fungsi-fungsi rasional Turunan Fungsi 44

Conto 9 Tentukan turunan y n dengan n bilangan bulat positif Penyelesaian: y n y n d seingga ny n dy Conto 0 dy d Tentukan turunan y Penyelesaian: y d dy n ny 3 4 4 y n 3 4 n 3 ( ) n ( ) n n n ( ) n n n Dengan aturan rantai diperole: y 3 ( 4) ( 3 4) 3 3 4 4 n 3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri Akan dicari turunan fungsi kosinus sebagai berikut. Ingat: cos (a b) cos a cos b sin a sin b. Jika f() cos, maka f ( ) f ( ) f () 0 cos( ) cos 0 cos cos sin sin cos 0 cos (cos ) sin sin 0 cos (cos ) sin sin 0 0 (cos ) sin cos sin 0 0 0 0 cos. 0 sin. sin Turunan Fungsi 45

Jadi, jika f() cos, maka f () sin Analog: jika f() sin, maka f () cos jika f() tg, maka f () sec jika f() ctg, maka f () cosec jika f() sec, maka f () sec tg jika f() cosec, maka f () cosec ctg 3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri Fungsi siklometri adala invers fungsi trigonometri. Akan dicari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus) berikut. y arc sin sin y y d cos y dy dy d cos y cos y Jadi, jika y arc sin, maka y Turunan Fungsi 46

Analog: jika y arc cos, maka y jika y arc tg, maka y jika y arc ctg, maka y jika y arc sec, maka y jika y arc cosec, maka y 3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma Akan dicari turunan f() ln berikut. f ( ) f ( ) f () 0 ln( ) ln 0 ln 0 ln 0 ln 0. 0 ln Turunan Fungsi 47

0 ln ln 0 0 Mengingat () ln f ( ) ln f ( ) dan () 0 Seingga diperole: f () ln 0 0 0 0 e ln 0 ln e 0 Jadi, jika f() ln, maka f () Selanjutnya jika y a log maka turunannya dapat dicari sebagai berikut. y a ln log y ln a Seingga y ln a ln ln a ln a Turunan Fungsi 48

Jadi, jika y a log, maka y ln a 3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial Akan dicari turunan y a sebagai berikut. y a ln y ln a ln y ln a ln y ln a ln y ln a d Seingga dy ln a y dy Diperole y ln a. d a ln a Jadi, jika y a, maka y a ln a Kususnya untuk a e, jika y e, maka y e ln e e Jadi, jika y e, maka y e Turunan Fungsi 49

3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik Definisi sin e e cot tan e e e e cos e e sec cos e e tan sin cos e e e e csc sin e e Jika f() sin, maka dengan menggunakan turunan fungsi eksponensial diperole f '( ) d e e d e ( e ) e e cos. Jadi, jika f() sin, maka f () cos 3.9 Turunan Fungsi Parameter Apabila disajikan persamaan berbentuk: f(t) y g(t) maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari dan y, dan t disebut dy parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dengan cara sebagai d berikut. Dari f(t) dibentuk t () dengan fungsi invers dari f. Nampak bawa y g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi y g(t) g(()) Turunan Fungsi 50

dy dy Diperole d dt seingga dy d dt d dy dy atau d dt dy dt d dt d dt SOAL dy Carila untuk yang berikut d. y (3 4 )( 7) 5. y. y ( 3 3 )(4 ) 6. y 3. y 4. y 7. y 3 5 4 3 9 3 dy Dengan aturan rantai tentukan untuk yang berikut d 8. y ( 9) 5 9. y (5 8) 5 3 5. y sin 5 0. y 9 (4 3 9) 6. y cos 4. y sin (3 ) 7. y arcsin (3 4 ). y cos (3 4 ) 8. y arctg (3 4 ) 8 3. y sin 3 9. y ln (5 8) 4. y 4 0. y e ( 9) Tentukan turunan fungsí implisit berikut. y 9 6. 4 3 y y 3 0. 4 9y 36 7. y 3y 0 3. y 4 8. y sin y 4. y 6 0 9. cos (y) y 5. 3 3 y 9y 0 30. 6 y y 3 y Turunan Fungsi 5

dy Tentukan untuk fungís parameter berikut d 3. y 9t 34. ln (t 9) sin t y (t 7) 3 3. y 9t (t 9) 35. e arc sin (t ) y cosec t 33. ln ( 9t) 36. y sec (t ) y sin t tg (t ) Turunan Fungsi 5