Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil sembarang 0 dipilih c. Oleh karenanya jika 0 c maka berlaku c c c c c..4 Teorema Limit Teorema.4. Misalkan n bilangan bulat positif k konstanta serta f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai it di c maka: ) k k c ) c c ) kf( ) k f ( ) c c Fungsi dan Limit Fungsi
4) [ f ( ) g( )] f ( ) g( ) c c c 5) [ f ( ) g( )] f ( ) g( ) c c c 6) [ f ( ). g( )] f ( ). g( ) c c c 7) 8) f ( ) f ( ) c asalkan g( ) 0 c g( ) g( ) c c [ f ( )] c n c n c f ( ) n 9) f ( ) n f ( ) asalkan f ( ) 0 untuk n bilangan genap. c c Bukti teorema.4. ini dibiarkan untuk latihan. Dengan menggunakan teorema ini maka penentuan nilai it suatu fungsi akan menjadi lebih mudah. Contoh 6 Carilah 5 5 5 teorema.. ) 5 teorema.. 8) 5() teorema.. ) 45. Contoh 7 Carilah (5 0) (5 0) 5 0 teorema.. 5) 45 0 teorema.. ) 5. Fungsi dan Limit Fungsi 4
Contoh 8 Carilah 5 0 5 0 5 0 teorema.. 7) 5 0 teorema.. ) dan 9) 5 dari contoh 7. 5 Ingat bentuk f ( polinom disebut fungsi rasional n ) a 0 a a... a n disebut polinom dan hasil bagi a b 0 0 a a b b... a... b n n. m m Teorema.4. ) Jika f fungsi polinom maka f ( ) f(c) c ) Jika f fungsi rasional maka f ( ) f(c) asalkan nilai penyebut di c tidak nol. c Teorema.4. ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema.4.. Dengan adanya teorma.4. maka penentuan nilai it fungsi polinom atau fungsi rasional menjadi sangat mudah tentunya asalkan syarat perlu pada teorema tersebut untuk fungsi rasional dipenuhi. Fungsi dan Limit Fungsi 5
Contoh 9 5 4 Tentukan 7 0 6 5 4 7 0 6 7() 5 0() 4 () + 6 44 Contoh 0 Tentukan 5 7 0 6 6 8 4 5 7 0 6 6 8 4 5 4 7() 0() () 6 () 6() 8 44 8. Contoh 7 Tentukan 7 ( ) Teorema.4. tidak dapat digunakan karena nilai penyebut di adalah nol dan teorema.4. bagian 7) juga tidak dapat dugunakan karena it penyebut nol. Tetapi karena it pembilang maka selama mendekati terjadi pembagian bilangan yang dekat dengan bilangan positif dekat 0. Hasilnya adalah sebuah bilangan positif yang besar dan dapat dibuat besar sekehendak kita dengan membiarkan cukup dekat dengan. Dalam hal ini dikatakan itnya tidak ada. Contoh seperti ini akan diuraikan lebih lanjut pada bagian lain. Contoh 0 Tentukan 6 Sebelum mencoba mengambil itnya terlebih dahulu diadakan penyederhanaan pecahan dengan faktorisasi. 0 ( )( 5) 6 ( )( ) 5 7 5 Fungsi dan Limit Fungsi 6
Teorema.4. (Teorema Apit) Misalkan f g dan h adalah fungsi-fungsi dengan f() g() h() untuk setiap di sekitar c kecuali mungkin di c. Jika f ( ) h( ) L c c maka g( ) L. c Bukti: Diberikan bilangan 0 Karena f ( ) L berarti terdapat bilangan 0 sedemikian hingga c 0 c f() L L f() L +. Karena h( ) L berarti terdapat bilangan 0 sedemikian hingga c 0 c h() L L h() L + Dipilih min{ } Apabila 0 c maka berlaku L f() g() h() L + L g() L + g() L Terbukti g( ) L. c Contoh Dapat diselidiki bahwa tidak 0. Tunjukkan bahwa 6 sin sin. 0 untuk semua yang mendekati tetapi Misalkan f() sin g() dan h() maka 0 f ( ) 6 dan h( ) sehingga diperoleh 0 sin 0 6 0 0 sin 0 0 6 Fungsi dan Limit Fungsi 7
Berdasarkan teorema.4. maka dapat disimpulkan sin. 0 SOAL. Untuk fungsi f() + hitunglah masing-masing nilai a. f() c. f( ) b. f( 6) d. f( ) t. Untuk fungsi g(t) hitunglah masing-masing nilai t a. f() c. f( 4 ) b. f(9) d. f( ) 4. Gambarlah grafik fungsi a. 4 f ( ) b. g ( ) 0 0 4. Jika f() + dan g() tentukan: a. (f + g)() d. (f / g)() b. (f g)() e. (g o f)() c. (f g)() f. (f o g)() 5. Jika f() dan g() tentukan: a. (f g)() d. (f o g)() b. (f / g)() e. f 4 () + g 4 () c. (g o f)() Dalam soal nomor 6 0 buktikan it-it tersebut. 6. ( 7) 7. ( 4) 8 Fungsi dan Limit Fungsi 8
5 8. 0 5 5 5 6 9. 7 0.. Buktikan bahwa jika f ( ) L dan f ( ) M maka L M. c. Misalkan F dan G adalah fungsi-fungsi sedemikian sehingga 0 F() G() untuk semua dekat dengan c kecuali mungkin di c buktikan bahwa jika G( ) 0 maka F( ) 0. c c Untuk soal-soal berikut (no. s.d. 0) tentukan nilai it fungsi berikut. (7 4) 4. ( 5) 5. (4 )(7 ) 0 c 6. 7. 8. 4 8 4 u u u u 4 t 7t 7 t t 4t 5 9. ( w )( w w 6) w 4w 4 w 0. ( y )( y y ) y y y Fungsi dan Limit Fungsi 9
.5 Limit Kiri dan Limit Kanan Definisi Limit f() untuk mendekati c dari kiri adalah L ditulis f ( ) L c jika untuk setiap bilangan 0 (betapapun kecilnya) terdapat bilangan 0 sedemikian sehingga apabila 0 c maka berlaku f ( ) L. Limit f() untuk mendekati c dari kanan adalah L ditulis f ( ) L c jika untuk setiap bilangan 0 (betapapun kecilnya) terdapat bilangan 0 sedemikian sehingga apabila 0 c maka berlaku f ( ) L. Teorema.5. f ( ) L jika dan hanya jika f ( ) c c f ( ) L c Contoh 4 f() Tentukan f ( ) f ( ) dan f ( ) selanjutnya gambarkan grafik fungsi f. f ( ) f ( ) Karena f ( ) f ( ) maka f ( ). Fungsi dan Limit Fungsi 0
Contoh 5 g() Tentukan g( ) g( ) dan g( ) selanjutnya gambarkan grafik fungsi g Tentukan g( ) g( ) dan g( ) selanjutnya gambarkan grafik fungsi f. g( ) g( ) Karena g( ) g( ) maka g( ) tidak ada..6 Limit Tak Hingga Contoh 6 Carilah 0 jika ada. 05 4 0 5 0 00 005 400 00 0.000 000.000.000 bilangan sehingga tidak ada. 0 Untuk menunjukkan jenis perilaku seperti uang ditunjukkan dalam contoh ini kita gunakan notasi Semakin mendekati 0 juga semakin dekat dengan 0 dan nilai menjadi sangat besar (lihat tabel di samping). Nampak dari grafik fungsi f() yang diperlihatkan pada gambar.4 bahwa nilai f() dapat dibuat sangat besar dengan mengambil cukup dekat ke 0. dengan demikian nilai f() tidak mendekati suatu Fungsi dan Limit Fungsi
0 Hal ini tidak berarti bahwa kita menganggap sebagai suatu bilangan. Tidak juga bermakna bahwa it tersebut ada. Notasi tersebut hanyalah menyatakan cara khusus untuk menunjukkan bahwa it tersebut tidak ada. Secara umum kita tuliskan f ( ) c untuk menunjukkan nilai f() menjadi semakin besar ketika semakin mendekati c. Limit jenis serupa untuk fungsi yang menjadi negatif tak berhingga ketika mendekati c dituliskan dengan f ( ) c Contoh 7 0 Hal ini juga dapat diberlakukan untuk it kiri dan it kanan f ( ) f ( ) c c c f ( ) f ( ) c Sebuah garis c disebut asimtot tegak kurfa y f() jika paling sedikit salah satu dari pernyataan berikut benar: f ( ) f ( ) f ( ) c c c f ( ) f ( ) f ( ) c Sebagai contoh sumbu Y atau 0 merupakan asimtot tegak kurva y karena 0. c c Fungsi dan Limit Fungsi
Contoh 8 Hitunglah tan dan tan tan tan sin cos sin cos sin cos sin cos.7 Kekontinuan Fungsi Definisi Misalkan f : A R suatu fungsi maka a. Fungsi f dikatakan kontinu di c A jika f ( ) f ( c) b. Fungsi f dikatakan kontinu pada himpunan A jika f kontinu disetiap anggota A. c Definisi a mengandung arti bahwa f dikatakan kontinu di c A jika dipenuhi ketiga syarat berikut: ) f ( ) ada c ) Nilai f(c) ada ) f ( ) f ( c) c Fungsi dan Limit Fungsi
Contoh 9 4. f() Apakah f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. 4 ) f ( ) ) f() (ada) ( )( ) ( ) ) Karena f ( ) f() maka f tidak kontinu di. 4 (ada) Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada pembaca. 4. f() Apakah f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. 4 ) f ( ) ) f() tidak ada ( )( ) ( ) ) Karena f() tidak ada maka f tidak kontinu di. Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada pembaca. 4 (ada) 4. f() 4 Apakah f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. Fungsi dan Limit Fungsi 4
4 ) f ( ) ) f() 4 (ada) ( )( ) ( ) ) Karena f ( ) f() maka f kontinu di. 4 (ada) Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada mahasiswa. 4. f() Apakah f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. ) f ( ) f ( ) Karena f ( ) f ( ) Lihat kembali contoh 4. maka f ( ) (ada) ) f() (ada) ) Karena f ( ) f() maka f kontinu di. Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada mahasiswa. 5. g() Apakah g kontinu di? Gambarkan grafik fungsi g. ) g( ) g( ) Fungsi dan Limit Fungsi 5
Karena g( ) g( ) maka g( ) tidak ada. (lihat kembali contoh 5) Karena g( ) tidak ada maka g tidak kontinu di Teorema.7.. Fungsi polinom (fungsi suku banyak) kontinu pada R.. Jika fungsi-fungsi f dan g keduanya kontinu di c dan k sembarang konstanta maka fungsi f + g f g kf f /g (asal g( ) 0) juga kontinu di c.. Jika g fungsi yang kontinu di c dan f fungsi kontinu di g(c) maka f o g kontinu di c. c SOAL. Tentukan it (sepihak) berikut: a. b. c. 0 f ( ) 0 f ( ) f ( ) f ( ) dan f ( ) 0 0. Apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di? t 8 t t a. h(t) t Fungsi dan Limit Fungsi 6
Fungsi dan Limit Fungsi 7 b. h(t) 8 4 t t t t c. g() d. f() 4. f() 0 0 a. Apakah f kontinu di 0? b. Apakah f kontinu di? 4. 0 0 ) ( g a. Apakah g kontinu di 0? b. Apakah g kontinu di?