Perbandingan Beberapa Metode Pendugaan Parameter AR(1)

Jural Vokasi 0, Vol.7. No. 5-3 Perbadiga Beberapa Metode Pedugaa Parameter AR() MUHLASAH NOVITASARI M, NANI SETIANINGSIH & DADAN K Program Studi Matematika Fakultas MIPA Uiversitas Tajugpura Jl. Ahmad Yai Potiaak 784 Abstrak: Terdapat bayak model peramala data rutu waktu pada metode Box Jekis, salah satuya adalah model AR(). Pedugaa parameter AR () dapat dilakuka dega beberapa metode diataraya Metode Kuadrat Terkecil, Metode Maksimum Likelihood da Pedekata Bayes. Pada tulisa ii aka membahas hasil pedugaa ilai parameter AR() secara simulasi megguaka ketiga metode tersebut utuk beberapa ukura sampel. Kemudia hasil dugaa dari tiap metode dibadigka utuk megetahui metode maa yag terbaik utuk meduga parameter AR(). Kriteria evaluasi parameter peduga adalah ilai bias da stadar deviasi. Hasil simulasi meujukka Metode Maksimum Likelihood merupaka peduga parameter terbaik bagi AR() dibadigka Metode Kuadrat Terkecil da Pedekata Bayes. Kata-kata kuci: Autoregresif, Metode Kuadrat Terkecil, Metode Maksimum Likelihood, Pedekata Bayes, Simulasi Data Data rutu waktu merupaka data statistik yag serig diguaka dalam metode peramala. Aalisis rutu waktu merupaka suatu tekik atau metode peramala yag megaalisis pola perubaha suatu variabel dari waktu ke waktu. Salah satu model peramala dalam aalisis rutu waktu adalah model Autoregresif (AR). Pedugaa parameter pada model AR dapat dilakuka dega beberapa metode, diataraya adalah Metode Kuadrat Terkecil (MKT), Metode Maksimum Likelihood (MML) da Pedekata Bayes. MKT da MML disebut juga dega Metode Klasik. Pada Metode Klasik pedugaa haya didasarka pada iformasi yag diperoleh dari data sampel, lai halya dega pedekata Bayes. Pada pedekata Bayes pedugaa didasarka pada peggabuga atau kombiasi pegetahua subjektif megeai sebara peluag yag tidak diketahui yaitu distribusi prior dega iformasi yag diperoleh dari data sampel. Pemiliha distribusi prior mejadi hal yag sagat petig karea dapat mempegaruhi bagaimaa hasil dari pedugaa parameter. Ketiga metode dapat memeuhi sifat peduga terbaik ketika peduga yag dihasilka tak bias da variasi miimum

Muhlasah Novitasari M, Nai Setiaigsih & Dada K 6 diatara semua peduga tak bias. Hasil pedugaa parameter juga dipegaruhi ukura sampel. Biasaya peduga efisie saat ukura sampel cukup besar. Permasalaha serig terjadi ketika sampel yag dimiliki kurag dari 50, kualitas peaksiraya kurag baik utuk dijadika peduga parameter. Hal ii terjadi karea iformasi tetag prilaku parameter yag diberika oleh sampel berukura kecil dapat meyimpag dari keadaa populasi (Rahardjo, S, 005). Pada tulisa ii aka diduga parameter AR() dega ilai 0,; 0,3; 0,5; da 0,7 secara simulasi megguaka MKT, MML da pedekata Bayes utuk beberapa ukura sampel. Kemudia hasil dugaa dari ketiga metode dibadigka utuk megetahui metode terbaik utuk meduga parameter AR(). METODE Lagkah awal yag dilakuka adalah melakuka kajia cara meduga parameter AR() dega MKT, MML da Pedekata Bayes. Selajutya dilakuka simulasi data dega megguaka program makro pada Miitab 4. Data simulasi dibagkitka dari distribusi ormal dega rata-rata 0 da variasi. Ukura sampel yag diguaka pada simulasi ii 30, 40, 50 da 60. Sampel yag dipilih dikombiasika dega ilai parameter dari proses AR() yaitu megkorelasika setiap baris dari setiap data sampel dega rumus sebagai berikut: x t x t a t, t =,..., () Dega x t adalah variabel periode ke-t, x t- adalah variabel periode ke-t- da adalah koefisie korelasi dari AR() Nilai koefisie korelasi yag diguaka adalah 0,; 0,3; 0,5; da 0,7. Setiap sampel dikorelasika dega ilai koefisie korelasi sehigga kombiasi yag dilakuka sebayak 6 kemugkia kombiasi. Setiap kombiasi dilakuka sebayak 00 kali simulasi sehigga ilai dugaa yag didapat adalah 00 ilai dugaa dega MKT, 00 ilai dugaa dega MML da 00 ilai dugaa dega Pedekata Bayes. Nilai pedugaa parameter dari tiap metode diperoleh dega

7 Perbadiga Beberapa Metode merata-rataka 00 ilai dugaa utuk setiap metode pedugaa. Tigkat ketepata da ketelitia suatu peduga parameter dilakuka dega melakuka perbadiga terhadap ilai bias da ilai stadar deviasi dari hasil pedugaa. Nilai bias Stadar Deviasi = ˆ () i ˆ k i dega ilai koefisie korelasi sebearya, ˆ ilai rata-rata peduga koefisie korelasi dari hasil simulasi, i = ilai koefisie korelasi ketika i da k bayakya simulasi yag dilakuka. HASIL Nilai peduga parameter AR(), ilai bias da ilai stadar deviasi dari setiap peduga parameter yag dihasilka dari simulasi megguaka program makro pada Miitab 4 disajika dalam Tabel, da 3 berikut. Tabel. Nilai peduga parameter dega MKT, MML da Pedekata Bayes Jumlah Koefisie korelasi Nilai peduga parameter sampel MKT MML Bayes 0, 0.4 0.07405 0.080744 30 0,3 0.8580 0.75964 0.096309 0,5 0.5069 0.484853 0.03400 0,7 0.69340 0.669499 0.0775549 0, 0.0956 0.09053 0.083740 40 0,3 0.9764 0.9000 0.055760 0,5 0.49446 0.4878 0.05436 0,7 0.690550 0.67843 0.04909 0, 0.0479 0.05 0.08035 50 0,3 0.304847 0.9866 0.07436 0,5 0.49736 0.48699 0.0673 0,7 0.69848 0.6848 0.044000 0, 0.0666 0.04465 0.05535 60 0,3 0.9564 0.906 0.05688 0,5 0.53083 0.504386 0.05038 0,7 0.705856 0.693893 0.045439 Tabel. meujukka bahwa ilai rata-rata peduga yag dihasilka oleh MKT da MML cederug medekati ilai koefisie korelasi dibadigka dega ilai (3)

Muhlasah Novitasari M, Nai Setiaigsih & Dada K 8 rata-rata peduga yag dihasilka oleh Pedekata Bayes. Ukura sampel da ilai koefisie korelasi yag diduga tidak mempegaruhi hasil dugaa MKT da MML. Sedagka pada Pedekata Bayes ukura sampel da ilai koefisie korelasi yag diduga cukup berpegaruh. Semaki besar koefisie korelasi da ukura sampelya maka semaki mejauh ilai rata-rata peduga yag dihasilka oleh Pedekata Bayes. Tabel. Nilai bias dari setiap peduga parameter dega MKT, MML da Pedekata Bayes Koefisie Nilai bias peduga MKT MML Bayes Jumlah sampel korelasi 0, -0.04-0.007405 0.0956 30 0,3 0.0480 0.04036 0.0369 0,5-0.00689 0.0547 0.396600 0,7 0.0065903 0.03050 0.6445 0, 0.0074745 0.0098469 0.0766 40 0,3 0.003584 0.009990 0.4440 0,5 0.0055394 0.088 0.447564 0,7 0.009450 0.0757 0.65098 50 0, -0.00479-0.005 0.07965 0,3-0.0048469 0.00375 0.5764 0,5 0.008635 0.03009 0.43877 0,7 0.00576 0.0577 0.656000 60 0, -0.00666-0.004464 0.048465 0,3 0.004836 0.009839 0.437 0,5-0.03083-0.004386 0.44968 0,7-0.0058563 0.00607 0.654568 Nilai bias yag dicetak tebal merupaka ilai yag relatif besar karea ilai bias.0 Tabel. meujukka bahwa bias yag dihasilka oleh MKT relatif kecil baik utuk ilai koefisie korelasi yag diduga besar ataupu kecil ketika ukura sampel besar. Namu ketika ukura sampel kecil da ilai koefisie korelasi yag diduga juga kecil maka bias yag dihasilka besar. Pada MML, secara keseluruha baik besar ataupu kecil ilai koefisie korelasi da ukura sampelya maka bias yag dihasilka relatif kecil. Sedagka pada Pedekata Bayes, ketika ukura sampel da koefisie korelasiya kecil maka bias yag dihasilka kecil amu

9 Perbadiga Beberapa Metode ketika ukura sampel da koefisie korelasi yag diduga besar maka bias yag dihasilka relatif besar. Tabel 3. meujukka bahwa semaki besar ilai koefisie korelasi yag diduga da ukura sampel yag diguaka maka semaki kecil stadar deviasi yag dihasilka oleh MKT da MML. Namu demikia dari kedua metode ii, MML meghasilka ilai stadar deviasi yag lebih kecil dibadigka dega stadar deviasi yag dihasilka oleh MKT. Sedagka pada Pedekata Bayes semaki kecil ilai koefisie korelasi yag diduga maka semaki besar stadar deviasi da semaki besar ukurasampel yag diguaka maka stadar deviasiya semaki kecil. Tabel 3. Nilai stadar deviasi dari setiap peduga parameter dega MKT, MML da Pedekata Bayes Jumlah sampel Koefisie Nilai stadar deviasi peduga korelasi MKT MML Bayes 0, 0.8660 0.79838 0.3659 30 0,3 0.793 0.7946 0.48967 0,5 0.66098 0.60370 0.58887 0,7 0.583 0.0866 0.5303 0, 0.5445 0.5090 0.4749 40 0,3 0.4534 0.4588 0.03587 0,5 0.30048 0.674 0.9637 0,7 0.56 0.658 0.7503 0, 0.5885 0.49765 0.3738 50 0,3 0.34047 0.33 0.539 0,5 0.3880 0.989 0.7974 0,7 0.07658 0.0546 0.94737 0, 0.9479 0.784 0.9070 60 0,3 0.506 0.986 0.97483 0,5 0.0775 0.05359 0.86589 0,7 0.09776 0.09559 0.743 PEMBAHASAN Dalam model AR, ilai pegamata x t berhubuga lagsug dega sejumlah p pegamata pada waktu sebelumya. Betuk umum dari model AR dega order p atau yag biasa ditulis AR(p) diyataka sebagai berikut : x t xt xt p xt p at (4)

Muhlasah Novitasari M, Nai Setiaigsih & Dada K 0 dega x t adalah ilai pegamata pada periode ke-t, x t-p adalah ilai pegamata pada p periode sebelumya, ø p adalah parameter AR dega order p, da at adalah ilai error pada periode ke-t. Nilai error a t diasumsika bebas da memiliki ilai rata-rata ol da variasi ø. Nilai a t merupaka proses white oise, diotasika dega {a t }~ WN (0, ø ) (Hamilto, 994). Model AR(p) pada persamaa () adalah proses yag memeuhi asumsi stasioer jika akar-akar dari (L) = 0 harus berada diluar ligkara satua ( G i ), dimaa i =,,..., p (Box da Jekis, 976). Nilai autokorelasi sampel dihitug dega rumus x xx x t tk tk ˆ k (5) xt x t Nilai dari fugsi autokorelasi parsial sampel dirumuska sebagai berikut: (6) k ˆ k ˆ ˆ k, jk j ˆ j kk k utuk k =, 3, 4, (7) ˆ ˆ k j, j j dega kj k, jkkk, k j utuk j =,,, k- (8) Pedugaa parameter AR dapat dilakuka dega beberapa metode. Dalam tulisa ii, peulis haya membahas tiga metode dari pedugaa parameter yaki MKT, MML da Pedekata Bayes. MKT adalah metode pedugaa parameter dega memiimumka jumlah kuadrat error. Dalam meduga parameter AR () memiimumka jumlah kuadrat error dilakuka memiumka jumlah kuadrat S, sehigga diperoleh peduga parameter AR() yag diotasika dega ˆ pada persamaa (9) : xt xt ˆ t (9) x t3 t Fugsi likelihood adalah fugsi padat peluag dipadag sebagai fugsi dari parameter utuk ilai x, x,, x. Fugsi likelihood dapat dituliska dalam betuk

Perbadiga Beberapa Metode persamaa (0) berikut: Dega: xf,, xxf xf xf L, = f x i i L = fugsi likelihood bagi, x, x,, x dega parameter, i,,,3,. (0) f x i = fugsi dari ilai-ilai sampel Berdasarka persamaa (0) maka fugsi likelihood pada rutu waktu diyataka seperti pada persamaa () berikut:,, L x Z Z exp E u t x () t Secara khusus, fugsi likelihood utuk model AR() dapat diyataka dalam persamaa (): L, x exp x x t xt () t Peduga Maksimum Likelihood bagi parameter pada AR() adalah ilai ˆ yag memaksimumka fugsi likelihood L, yaitu xx t t t ˆ. x t t3 Selajutya aka dibahas tetag meduga parameter AR () dega Pedekata Bayes. Parameter prior yag diguaka adalah prior o-iformatif berdistribusi Jeffrey da diotasika dega f. f f, dega, 0 (3) Selajutya aka dicari distribusi posterior utuk model AR(). Distribusi posterior, f x, merupaka perbadiga perkalia atara prior da likelihood sampel. f x f f x (4) Dega megguaka fugsi likelihood sampel utuk AR () pada persamaa (3) da fugsi prior pada persamaa (4) diperoleh distribusi posterior proses

Muhlasah Novitasari M, Nai Setiaigsih & Dada K AR() seperti pada persamaa (5) berikut: f ( )ˆ xt t3 x (5) S()ˆ Nilai ˆ pada persamaa (5) berdasarka ilai ˆ dari MKT pada persamaa (9) ˆ da ˆ S SIMPULAN DAN SARAN Simpula Berdasarka hasil aalisis dapat ditarik kesimpula bahwa pada proses AR(): ) MKT baik diguaka utuk meduga parameter AR() ketika sampel data besar karea MKT meghasilka peduga tak bias da efisie ketika sampelya besar; ) Pedekata Bayes meghasilka peduga tak bias da efisie ketika ilai parameter AR() yag diduga da ukura sampel kecil; da 3) MML dapat meghasilka peduga tak bias da efisie utuk parameter AR()pada segala kodisi. Baik pada saat ilai parameter AR() yag diduga tiggi maupu redah da ukura sampel data besar ataupu kecil. Oleh karea itu, Metode Maksimum Likelihood merupaka peduga parameter terbaik bagi AR() dibadigka MKT da Pedekata Bayes. Sara Peelitia ii dilakuka haya pada AR() sehigga tidak berlaku secara umum utuk semua model ARIMA. Megigat hal tersebut perlu dilakuka peelitia lebih lajut utuk model ARIMA yag lai seperti AR dega orde lebih tiggi da model MA(q). DAFTAR PUSTAKA Abraham, B. ad Ledolter, J. (983). Statistical Methods for Forecastig. New York: Joh Wiley ad Sos, Ic.

3 Perbadiga Beberapa Metode Assauri, S. (984). Tekik da Metoda Peramala: Peerapaya Dalam Ekoomi da Duia Usaha. Edisi Satu. Jakarta: Fakultas Ekoomi Uiversitas Idoesia. Blak, L., (980). Statistical Procedures for Egieerig, Maagemet ad Sciece. New York: McGraw-Hill, Ic. Box, G. E. P. ad Jekis, G. M. (976). Time Series Aalysis Forecastig ad Cotrol. Revised Editio. Sa Frasisco: Holde Day. Bruk, H. D. (960). A Itroductio to Mathematical Statistics. Third Editio, Massachucetts: Xerox College Publishig. DeGroot, M. H. (986). Probability ad Statistics. Secod Editio. Caada: Addiso-Wesley Publishig Compay, Ic. Hamilto, J. D. (994). Time Series Aalysis. New Jersey: Priceto Uiversity Press. Hies, W. W. ad Motgomery, D. C. (990). Probability ad Statistics i Egieerig ad Maagemet Sciece.Third Editio. New York: Joh Wiley ad Sos, Ic. Judge, G.G. et al. (98). Itroductio to The Theory ad Practice of Ecoometrics. New York: Joh Wiley ad Sos, Ic. Maddala, G.S. (977). Ecoometrics. Sigapore: McGraw-Hill, Ic. Rahardjo, S. (005). Idetifikasi Kestasioer Proses Autoregressive Secara Aalitis. http://digilib.math.itb.ac.id/go.php?id=jbptitbmath-gdl-s3-006- swasoorah-983 (3 Mei 007). Spiegel, M. R., ad Stephe, L. J. (999). Schaum s Outlies Statistik. Edisi Ketiga Kastawa, W., da Harmei, I. (alih bahasa). Jakarta: Erlagga. Suharjo, B. (007). Estimasi Parameter Distribusi Mixture Normal dega Pedekata Bayesia Megguaka Software Wibugs.4. http://www.aal.ac.id/~bambag_suharjo/uploads/file/mixture%0ormal.pdf. ( November 007). Warsito, B. (004). Model Neural Network utuk Proses Noliier Autoregressive Data Fiasial (Tesis).Yogyakarta: Uiversitas Gadjah Mada.