SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA DENGAN KODE LINEAR A- Riigsih, Idah Emilia Wijayati 2 Mahasiswa S Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Gadjah Mada 2 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Gadjah Mada Abstrak Skema pembagia rahasia dikembagka secara terpisah oleh Shamir da Blakely pada tahu 979. Sejak saat itu perkembaga skema pembagia rahasia mejadi sagat pesat. Kebayaka dari skema adalah sistem (,k) threshold. Pada makalah ii aka dibahas megeai skema pembagia rahasia dega megguaka kode liear yag diperkealka oleh Massey serta beberapa hal yag terkait atara lai codeword miimal, himpua akses miimal, da struktur akses. Kata kuci: skema pembagia rahasia, kode liear, codeword miimal, himpua akses miimal, struktur akses PENDAHULUAN Dalam struktur Aljabar, dikeal sejumlah struktur himpua yag dilegkapi dega operasi bier, atara lai adalah grup, gelaggag, lapaga, da ruag vektor. Dalam sejumlah kasus khusus, terdapat lapaga yag elemeya berhigga. Dalam perkembagaya, bayak aplikasi yag megguaka ruag vektor atas lapaga higga. Sebagai cotohya dalam teori pegkodea. Metode pembagia kuci rahasia mejadi suatu hal yag petig dalam beberapa persoala keamaa. Bayak faktor yag melatarbelakagi pegguaa metode pembagia rahasia. Faktor kepercayaa idividu serta faktor kealpaa mausia mejadi sebab petigya pegguaa metode ii. Skema pembagia rahasia megguaka kode liear adalah salah satu metode terapa dari metode pembagia rahasia. Kosep dasar skema pembagia rahasia secara sederhaa dapat digambarka sebagai berikut, diberika kuci K, sebagai data rahasia. Kemudia kuci K dibagi-bagi mejadi beberapa bagia misalka 5 bagia, a, b, c, d, da e, sehigga dapat ditulis K = a + b + c + d + e. Utuk medapatka ilai K kembali, maka masig-masig bagia dari a, b, c, d, da e harus dikumpulka da direkostruksika lagi sehigga didapatka kuci K. Jika ada satu bagia yag hilag, maka kuci K mustahil utuk didapatka. Pada implemetasiya, pembagia data rahasia dapat dilakuka mejadi beberapa bagia yag bayak. Kemudia haya beberapa bagia saja, sesuai atura yag telah ditetuka sebelumya, dapat direkostruksika ilai awal yag dicari. Pada perkembaga selajutya, pegguaa skema pembagia rahasia ii telah megalami perkembaga yag amat pesat salah satuya adalah skema pembagia rahasia megguaka kode liear. Pada prisipya, setiap kode liear bisa diguaka utuk megkotruksika skema pembagia rahasia. Aka tetapi utuk meetuka struktur aksesya Makalah dipresetasika dalam Semiar Nasioal Matematika da Pedidika Matematika dega tema Kotribusi Pedidika Matematika da Matematika dalam Membagu Karakter Guru da Siswa" pada taggal November 22 di Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY
adalah hal yag sagat sulit. Hal ii dikareaka memerluka karakteristik yag legkap dari codeword miimal yag berdasarka pada kode liear. Beberapa istilah yag serig dipakai dalam makalah ii atara lai partisipa, share, secret, himpua akses miimal, serta struktur akses. Secret adalah iformasi yag igi dirahasiaka sedagka partisipa merupaka aggota suatu himpua yag diperbolehka megetahui secret. Share adalah bagia dari secret yag dibagika kepada partisipa, sedagka himpua akses miimal adalah keluarga dari semua subhimpua pertisipa yag dapat merekostruksi secret. Tulisa pada makalah ii secara keseluruha merupaka uraia detail dari paper yag ditulis oleh Ozama dkk (27). Utuk dasar teori megeai struktur aljabar, khususya lapaga higga da ruag vektor atas lapaga higga diguaka buku karaga Fraleigh (982) da buku karaga Mordeso-Malik (2). Pembahasa yag berisi tetag defiisi, teorema, da proposisi tetag dasar-dasar pegkodea diambil dari buku yag ditulis oleh Sa Lig da Chaopig Xig (24) serta buku karaga Vastoe da Oorschot (989). PEMBAHASAN Suatu lapaga higga F dega bayak eleme q diotasika dega F q. Lapaga F q dapat dipadag sebagai ruag vektor atas diriya sediri. Kemudia ruag vektor F q atas F q adalah himpua semua vektor dega pajag dega etri-etri aggota F q, atau F q = v, v 2,, v : v i εf q Selajutya kode liear C dega pajag atas lapaga higga F q adalah subspace atau ruag (vektor) bagia dari ruag vektor F q (atas F q ). Eleme-eleme dalam C disebut codeword. Pada ruag vektor terdapat beberapa operasi yaitu operasi atara vektor dega skalar yag hasilya vektor, ada pula operasi atar vektor yag hasilya skalar. Selai itu ada operasi hasil kali dalam (ier product). Pada operasi hasil kali dalam ii dapat didefiisika C, yaitu kompleme orthogoal dari C. Aggota-aggota dari C adalah semua vektor tak ol yag hasil kali dalam dega setiap aggota di C adalah ol. Prisip dasar pegkodea adalah medeteksi kesalaha (error) dalam pegirima data da memperbaikiya sehigga pesa yag dikirim dapat terbaca kembali. Proses ii disebut proses ecodig da decodig. Kemudia aka didefiisika matriks pembagu da matriks parity-check yag bayak diguaka dalam proses ecodig da decodig. Defiisi 2.. Jika C kode liear, maka: a) Matriks pembagu utuk kode liear C adalah matriks G dimaa baris-barisya dibetuk dari basis C. b) Matriks parity-check H utuk kode liear C adalah matriks pembagu utuk kode dual C. Ide awal dari skema pembagia rahasia megguaka kode liear yaitu ketika secret dapat diubah atau diecode mejadi suatu codeword (D, D 2,, D ). Adaika diketahui jumlah D i da megguaka mekaisme error correctig dapat ditetuka D i sisaya da dapat ditetuka secret utuhya. Diberika kode liear C F q dega dimesi k da matriks pembagu G = g, g,, g dega ukura k. Diasumsika bahwa G tidak memiliki kolom ol. Secret s adalah eleme F q, terdapat partisipa da satu dealer. Utuk meetuka share, dealer memilih t C yaitu t = (t,, t ) sedemikia sehigga t = s. Kemudia dipilih t dega megambil sebarag vektor u = (u,, u k ) F q k sedemikia sehigga s = ug. Akibatya Yogyakarta, November 22 MA - 92
u dapat dipilih dega q k cara. Sehigga t dapat dihitug dega t = ug, diperoleh shareya adalah {t, t 2,, t } da G diketahui oleh semua partisipa. Jika g, g i,, g im bergatug liear maka secret dapat ditetuka dega cara sebagai berikut. Perhatika bahwa g = m j = setelah x j ditemuka, secret dapat dihitug sebagai m x j g ij t = ug = x j ug ij = x j t ij j = Utuk meetuka g, g i,, g im yag bergatug liear, terlebih dahulu aka dibahas megeai hal-hal yag terkait utuk memudahka dalam meetuka secret. Diasumsika haya ada satu jala utuk meetuka secret dari sebarag himpua share. Didefiisika pedukug suatu vektor. m j = Defiisi 2.2. Pedukug suatu vektor v F q didefiisika sebagai { i : v i }. Selajutya diberika defiisi cover. Defiisi 2.3. Vektor v F q dikataka meligkupi\megkover v 2 F q jika pedukug vektor v berada atau termuat di v 2. Kemudia didefiisika vektor miimal. Defiisi 2.4. Vektor v disebut miimal jika haya meligkupi perkalia skalar dari v. Selajutya diberika defiisi codeword miimal. Defiisi 2.5. Suatu codeword yag kompoe pertamaya da meligkupi perkalia skalar disebut codeword miimal. Setiap codeword miimal adalah vektor miimal, aka tetapi tidak berlaku sebalikya. Utuk suatu codeword v = (, v,, v ) C dega tidak semua v j =, secret dapat dibetuk kembali sebagai vt = t + v t + + v t = dega v C, t C. Kemudia diperoleh t = (v t + + v t ) dimaa t,, t adalah share-ya. Lebih lajut jika terdapat w C sedemikia sehigga w = (,,,, w l,,,, w lm,,,) Yogyakarta, November 22 MA - 93
dega tidak semua w lj = maka t dapat diperoleh dari wt = t + w l t l + + w lm t lm Hal ii kemudia medasari pemikira bahwa himpua akses miimal dapat ditetuka dega codeword-codeword dalam kode dual C dimaa etri pertamaya adalah da meligkupi perkalia skalar yag diamaka dega codeword miimal. Hal ii berarti bahwa struktur akses dari skema ii seluruhya ditetuka oleh codeword miimal. Selajutya aka dibahas megeai korespodesi atara vektor kolom yag bergatug liear dari G dega codeword di C dega proposisi di bawah ii. Proposisi 2.6. Kolom-kolom g i,, g im dari G bergatug liear jika da hayika terdapat suatu codeword c = (,,, c i,,,, c im,,,) C. Bukti. Misalka g ir s merupaka kompoe ke-s dari vektor kolom g ir. Jika g i, g i2,, g im bergatug liear maka terdapat c i,, c im yag tidak semua ol, sehigga c i g i + c i2 g i2 + + c im g im = Kemudia, c i g i s + + c im g im s =, s =,, m Ambil sebarag v C. Karea v kombiasi liear dari vektor baris dari G diperoleh, v = j = Utuk c = (,,, c i,,,, c im,,,) diperoleh vc = j = = j = = = j = (g j,, g j ) g j,, g j,,, c i,,,, c im,,, c i g i j + + c i m g i j Sehigga, c C. Sebalikya, diketahui bahwa c = (,,, c i,,,, c im,,,) C. Ambil sebarag v C, v merupaka kombiasi liear dari vektor baris dari G, diperoleh Sehigga, vc = j = j = v = j = (g j,, g j ) g j,, g j,,, c i,,,, c im,,, = c i g i j + + c i m g i j = Yogyakarta, November 22 MA - 94
Karea maka c i g i j + + c i m g i j =. Sehigga, tidak semua c i,, c im. Dega kata lai, vektor-vektor g i,, g im bergatug liear. Proposisi 2.7. Misalka c da c 2 adalah codeword miimal yag berbeda di C maka c da c 2 tidak ol pada kompoe yag sama. Bukti. Adaika pada kompoe yag sama pada codeword c da c 2 adalah. Karea c da c 2 merupaka codeword yag berbeda terdapat suatu kompoe ke-j yag berbeda. Misalka c = (,, a, ) da c 2 = (,, b, ) dimaa a da b kompoe ke-j, a b, a, b maka c 3 = c 2 a bc juga merupaka codeword di C. Perhatika bahwa pedukug vektor c 3 merupaka subset sejati dari pedukug vektor c da c 2. Diperhatikuga bahwa kompoe pertama dari c 3 adalah tak ol. Sehigga, c 4 = ( a b)c 3 merupaka codeword dega kompoe pertama adalah da buka merupaka pergadaa skalar dari c da c 2 serta c da c 2 meutupi c 4. Kotradiksi dega yag diketahui yaitu c da c 2 merupaka codeword miimal. Jadi, c da c 2 tak ol pada kompoe yag sama. Sebarag himpua dari partisipa yag termasuk dalam himpua akses aka dapat merekostruksi secret. Aka tetapi kita haya tertarik pada himpua dari partisipa yag dimaa sebarag subsetya tidak dapat merekostruksi secret. Kemudia diberika defiisi megeai himpua akses miimal. Defiisi 2.8. Suatu himpua dari partisipa disebut himpua akses miimal jika himpua ii dapat meetuka kembali secret awal dega megkombiasika share yag mereka miliki tetapi sebarag subset dari himpua ii tidak bisa meetuka secret. Defiisi 2.9. Struktur akses dari suatu skema pembagi rahasia adalah himpua dari semua himpua akses miimal. Pada beberapa kasus, terdapat suatu partisipa yag berada di semua himpua akses miimal, sehigga utuk meetuka secret tidak mugki tapa partisipa ii. Partisipa yag seperti ii disebut partisipa diktator. Kemudia suatu skema pembagi rahasia disebut demokratis berderajat t jika setiap grup dari t partisipa berjumlah sama dega himpua akses miimal. Sebelum meetuka korespodesi atara codeword miimal dega himpua akses Yogyakarta, November 22 MA - 95
miimal, terlebih dahulu aka dijelaska megeai beberapa hal yag terkait. Proposisi 2.. Jika {P i,, P im } adalah himpua akses miimal maka kolom-kolom yag berkorespodesi g i,, g im bebas liear. Bukti. Utuk suatu himpua akses miimal {P i,, P im } adaika bahwa g i,, g im bergatug liear, maka λ g i + + λ m g im = (2..) dimaa tidak semua λ j =. Tapa meguragi keumuma, diasumsika λ =. Sehigga, g i dapat ditetuka dega meyelesaika persamaa liear (2..). Sehigga partisipa P i2,, P im dapat megetahui share yag dimiliki oleh P i dega megkombiasika share yag mereka miliki. Oleh karea itu, partisipa P i2,, P im dapat merekostruksi secret awal. Kotradiksi dega {P i,, P im } merupaka himpua akses miimal. Jadi, g i,, g im bebas liear. Selajutya aka dijelaska megeai korespodesi atara codeword miimal da himpua akses miimal. Proposisi 2.. Terdapat korespodesi satu-satu atara codeword miimal da himpua akses miimal dega arti bahwa utuk setiap himpua akses miimal {P i,, P im } terdapat suatu codeword miimal yag uik, c = (,,,, c i,,,, c im,,,) C sedemikia sehigga c ij utuk suatu j =,, m da begitu juga sebalikya. Bukti. Jika {P i,, P im } merupaka himpua akses miimal maka kolom-kolom g, g i,, g im bergatug liear. Dari Proposisi 2.6, terdapat a = (a,,,, a i,,,, a im,,,) C dega a jika tidak (,,,, a i,,,, a im,,,) C yag merupaka kotradiksi dega Proposisi 2.6 da 2.. Diberika c = a a = (,,,, c i,,,, c im,,,) Jika c ij = utuk suatu j,, m maka berdasarka Proposisi 2. bahwa P i,, P ij, P ij +,, P im dapat merekostruksi secret. Hal ii kotradiksi dega {P i,, P im } merupaka himpua akses miimal. Jika c buka vektor miimal maka c meligkupi suatu vektor c da c λc utuk sebarag skalar λ. Dega Proposisi 2., c. Misalka c = cc c, c meligkupi c da c =. Jadi, c memiliki betuk (,,,, c i,,,,, c im,,,) C Yogyakarta, November 22 MA - 96
Hal ii kotradiksi dega Proposisi 2.6 da 2. da oleh sebab itu c merupaka codeword miimal. Ketuggala codeword c sudah terbukti dari Proposisi 2.6. Selajutya aka dibuktika peryataa sebalikya. Jika c = (,,,, c i,,,, c im,,,) merupaka codeword miimal maka g, g i,, g im bergatug liear berdasarka Proposisi 2.6. Sehigga himpua dari partisispa {P i,, P im } dapat merekostruksi secret. Jika sebarag subset sejati dari partisipa ii dapat merekostruksi secret maka P i,, P ij, P ij +,, P im juga dapat merekostruksi secret. Hal ii megakibatka keterjamia eksistesi dari suatu codeword tak ol yag meligkupi c. Kotradiksi dega miimalitas c. Sehigga P i,, P im merupaka himpua akses miimal. Cotoh 2.2. Misalka C kode liear di F 3 5 da ada 4 partisipa yag diotasika dega P, P 2, P 3, P 4. Diberika matriks parity-check dari C yaitu, H = 2 2 Sehigga H merupaka matriks pembagu dari C. Matriks pembagu utuk C adalah G = 2 = g g g 2 g 3 g 4 Adaika secret yag igi dibagi adalah 2. Ambil sebarag codeword t dari C dimaa kompoe pertamaya adalah 2. Kataka t = 222 sehigga share yag dibagika adalah K = 2, K 2 =, K 3 = 2, K 4 =, dimaa K i merupaka share dari P i. C = 2,, 2, 222, 2222, 22, 2, 2, (22). Vektor miimal dari C adalah 2, 222, 22, 2, 2, 22. Sedagka codeword miimalya (2) da (2). Codeword pertama meyataka bahwa kolom-kolom g, g, g 2 bergatug liear da sebarag subsetya bebas liear sehigga P 2, P 3, P 4 merupaka himpua akses miimal. Sedagka codeword kedua meyataka bahwa {P, P 2 } merupaka himpua akses miimal yag lai. Sehigga P 2 berada di setiap himpua akses miimal. Jadi P 2 merupaka partisipa diktator. Himpua P 2, P 3, P 4 dapat membetuk kembali secret awal dega meyelesaika sistem persamaa yag ditetuka, yaitu g = a 2 g 2 + a 3 g 3 + a 4 g 4 = a 2 2 + a 3 + a 4 Yogyakarta, November 22 MA - 97
= 2a 2 a 2 + a 4 a 3 + a 4 Diperoleh solusi dari sistem persamaa di atas adalah a 2 = 2, a 3 = 2, da a 4 =. Dega megkombiasika share diperoleh a 2 K 2 + a 3 K 3 + a 4 K 4 = 2. + 2.2 +. = 2 Adaika P 4 tidak ada da P 2, P 3 igi megkombiasika share yag mereka miliki agar bisa meemuka secret. Mereka perlu mecari codeword dimaa kompoe kedua adalah da kompoe ketiga adalah 2. Dega catata bahwa ideks dimulai dari. Ada 3 codeword di C yag memeuhi yaitu, (22), (2), da (222). Kompoe ke- dari tiap codeword tersebut berbeda. Akibatya dega megkombiasika share yag dimiliki oleh P 2 da P 3 tidak aka memberika iformasi apapu megeai secret. KESIMPULAN Masalah skema pembagia rahasia dapat diselesaika dega megguaka kode liear. Pada prisipya, setiap kode liear bisa diguaka utuk megkostruksika skema pembagi rahasia. Aka tetapi utuk meetuka struktur aksesya adalah hal yag tidak mudah. Hal ii dikareaka memerluka karakteristik yag legkap dari codeword miimal yag berdasarka pada kode liear. Pada perkembaga selajutya dapat diselidiki atau diteliti pemakaieisjeis kelas kode liear yag sifatyauh lebih khusus da istimewa serta dapat dikembagka megeai metode pecaria codeword miimalya. DAFTAR PUSTAKA Fraleigh, Joh B., 982, A First Course i Abstract Algebra, Addiso Wesley, USA. Lig, Sa ad Chaopig X., 24, Codig Theory, A First Course, Cambridge Uiversity Press, USA. Malik, D.S., 2, Fudametals of Abstract Algebra, Mc Graw Hill, USA. Ozama, Haka, ad F. Ozbudak, Z. Saygi., 27, Secret Sharig Schemes ad Liear Codes, ISC Turkey, Turkey. Vastoe, S.A da Scott A.O., 989, A Itroductio to Error Correctio with Aplicatios, Kluwer Academic Publisher, USA. Yogyakarta, November 22 MA - 98