2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf kecil. Misalkan A = [a ij ], artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya a ij, dimana indeks i menyatakan baris ke-i dan indeks j menyatakan kolom ke-j dari elemen tersebut. Pandang matriks A=[a ij ], i = 1,2,3,... m dan j = 1,2,3,... n; yang berarti banyaknya baris m serta banyaknya kolom = n A = [ ] Boleh juga ditulis A (mxn) = [a ij ], diman (m x n) adalah ukuran (ordo) dari matriks Matriks dengan dimensi baris m = 1 disebut dengan vektor baris atau matriks baris. Sedang dengan dimensi kolom n = 1 disebut dengan vektor kolom atau matriks kolom. B = [b 1 b 2... b n ] C = [ ] 2. Operasi-operasi pada Matriks a. Kesamaan Dua Buah Matriks Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B), bila ukurannya sama dan berlaku [a ij ] = [b ij ] untuk setiap i dan j. A =[ ] dan B = [ ] maka A = B
b. Penjumlahan Matriks Jumlah dua matriks A + B bisa dilakukan asalkan kedua matriks tersebut berukuran sama, yaitu : A + B = [a ij + b ij ] = [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] 1. A =[ ] dan B = [ ] maka A + B = [ ] + [ ] = [ ] = [ ] 2. Dalam pengolahan citra digital, operasi kecerahan (brightness) merupakan operasi penjumlahan dua buah matriks, yaitu matriks sembarang dijumlah dengan matriks konstan menggunakan persamaan berikut: C = A + B A adalah matriks citra semula B adalah matriks konstan C adalah matriks hasil operasi brightness Misalkan sebuah matriks [ ] mewakili citra ibu Kartini Dilakukan operasi brightness menggunakan matriks konstan [ ] C = [ ] + [ ] = [ ]
C = + [ ] = Normal Terang Bila dilakukan operasi brightness menggunakan matriks konstan [ ], maka C = [ ] + [ ] = [ ] C = + [ ] = Normal Gelap c. Perkalian Matriks dengan Skalar Kalau k suatu skalar, maka matriks ka = [ka ij ] diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. ka = [ka ij ] = [ ] Jika A, B, C adalah matriks berukuran sama, dan λ adalah skalar maka: 1. A + B = B + A (komutatif) 2. (A + B) + C = A + (B + C) (asosiatif) 3. λ(a + B) = λa + λb (distributif) 1. A =[ ], maka 2A =[ ] = [ ]
2. Selain dengan menggunakan operasi penjumlahan matriks, brightness juga bisa menggunakan operasi perkalian matriks dengan skalar. Misalkan sebuah matriks [ ] mewakili citra ibu Kartini C = 2. [ ] = [ ] C = 2. = Normal terang d. Pengurangan Matriks Mengurangi matriks A dengan B, (A B) adalah menjumlahkan matriks A dengan matriks (-B) 1. A =[ ] dan B = [ ] maka A B = A + (-B) =[ ] + [ ] = [ ] 2. Dalam pengolahan citra digital, operasi negasi merupakan operasi pengurangan matriks konstan dengan matriks sembarang menggunakan persamaan berikut: C = 255 A Misalkan matriks A = [ ] mewakili citra Maka operasi negasi: C=[ ]-[ ]=[ ] C = - =
3. Detektor gerak adalah alat yang digunakan untuk mendeteksi obyek-obyek yang bergerak. Bila diberikan citra yang didalamnya terdapat lebih dari satu obyek. Bagaimana komputer bisa mendeteksi obyak-obyek mana yang bergerak? Jawab: Setiap selang waktu tertentu komputer menyimpan citra yang dideteksi. Misalnya saat t 1 komputer menyimpan citra 1, dan saat t 2 komputer menyimpan citra 2. Untuk mendeteksi obyek yang bergerak, komputer menggunakan pengurangan matriks (citra). Setelah citra 1 dikurangi dengan citra 2, hasilnya adalah smua obyek dalam citra yang tidak bergerak menjadi nol (gambar obyeknya tidak ada), sedangkan obyek yang bergerak tidak nol (tetap tampak gambar obyeknya). Misalkan matriks A = [ ] mewakili citra Misalkan matriks B = [ ] mewakili citra Proses deteksi gerak: C = A B C = [ ] - [ ] = [ ] C = - = Tampak bahwa obyek yang bergerak adalah segitiga dan oval. e. Perkalian Matriks Pada perkalian matrik AB, matriks A kita sebut matriks pertama dan B matriks kedua. Syarat perkalian matriks : banyaknya kolom matriks pertama = banyaknya baris matriks kedua. Hasil perkalian antara matriks A = [a ij ] berordo m x p, dengan matriks B = [b ij ] berordo p x n, adalah matriks C = [c ij ] berordo m x n, dengan nilai :
C ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j +... + a ip b pj = Dimana untuk i = 1, 2,..., m dan j = 1, 2,..., n A = [ ] dan B = [ ] Maka : C = AB = [ ] [ ] = [ ] = [ ] Bagaiman bila C =BA? Pada umumnya perkalian matriks AB BA Beberapa hukum pada perkalian matriks Jika A, B, C matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat perkalian matriks yang diperlukan, maka : 1. A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA +CA, memenuhi hukum distributif 2. A(BC) = (AB)C, memenuhi hukum asosiatif 3. Perkalian tidak komutatif, AB BA 4. Jika AB = 0 yaitu matriks yang semua elemennya = 0, kemungkinannya : a. A = 0 dan B = 0 b. A = 0 atau B = 0 c. A 0 dan B 0 5. Bila AB = AC belum tentu B = C
Latihan soal: 1. Jika A = [ ] dan B = [ ], hitunglah A + B dan A + A + A 2. Jika A = [ ] dan k = 5, hitunglah B = ka 3. Jika P = [ ], Q = [ ] dan Z = [ ], hitunglah PQ, QP dan PZ 4. Jika A= [ ] dan B = [ ] Pandang suatu matriks A = [a ij ] berukuran (m x n), maka tranpose dari A adalah matriks A T berukuran (n x m) yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A, i = 1, 2,..., m sebagai kolom ke-i dari A T. Dengan kata lain: A T = A T nxm = [a ji ] = [ ] 1. A = [ ] maka A T = [ ] 2. Sebuah citra Lena mengalami transpose menjadi citra Lena T Citra asli Citra hasil transpose Beberapa sifat matriks transpose : 1. (A + B) T = A T + B T 2. (A T ) T = A 3. K(A T ) = (ka) T
4. (AB) T = B T A T 3. Beberapa JenisMatriks 1. Matriks Bujur Sangkar Adalah suatu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya, berukuran n. Barisan elemen a 11, a 22,..., a nn disebut diagonal utama dari matriks bujur sangkar A tersebut. A = [ ] adalah matriks bujur sangkar 3 2. Matriks Nol Adalah matriks yang semua elemennya nol A = [ ] adalah matriks nol berukuran 3x3 3. Matriks Diagonal Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol. Dengan kata lain, A = [a ij ] = 0 untuk i j. Contoh: A = [ ] adalah matriks diagonal 4. Matriks Satuan atau Matriks Identitas
Adalah matriks diagonal yang elemen-elemen diagonal utamanya semua 1, sedangkan elemen yang lainnya adalah 0. Dengan kata lain, A = [a ij ] adalah matriks satuan jika [a ij ] = 1, 1 = j, dan [a ij ] = 0 untuk i j. Matriks identitas biasanya ditulis I n dimana n menunjukkan ukuran matriks tersebut. A = [ ] adalah matriks identitas 5. Matriks Skalar Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utamanya sama, yaitu k A = [ ] adalah matriks skalar dengan elemen diagonalnya 37. Matriks tersebut dapat ditulis dengan 37.I = 37 [ ] 6. Matriks Segitiga Bawah (lower triangular) Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di atas diagonal utamanya adalah 0. Dengan kata lain, [a ij ] adalah matriks segitiga bawah bila a ij = 0 untuk i< j [ ] adalah matriks segitiga bawah 7. Matrik Segitiga Atas (upper triangular) Adalah mattriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utamanya adalah 0. Dengan kata lain, [a ij ] adalah matriks segitiga atas bila a ij = 0 untuk i > j
[ ] adalah matriks segitiga atas 8. Matriks Simetris Adalah matriks yang tranposenya sama dengan dirinya sendiri, dengan kata lain jika A = A T atau a ij = a ji untuk semua i dan j A = [ ] dan A T = [ ], karena A = A T maka A adalah simetris 9. Matriks Antisimetris Adalah matriks yang transposenya adalah negatifnya. Dengan kata lain, jika A T = -A atau a ij = - a ij untuk semua i dan j. A = [ ], transposenya adalah A T =[ ] Karena A T = -A, maka A adalah matriks antisimetris 10. Matriks Invers Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar berordo n dan berlaku AB = BA = I, maka B invers dari A ditulis B = A -1 dan sebaliknya A adalah invers dari B, ditulis A = B -1. Buktikan bahwa invers dari matriks A = [ ], adalah A -1 =[ ]
Bukti : AA -1 = [ ] [ ] = [ ] = I (terbukti) 11. Matriks Komutatif Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain. A = [ ] dan B = [ ], maka A dan B berkomutatif karena : AB = [ ] [ ] = [ ] BA = [ ] [ ] = [ ] AB = BA 12. Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten Bila berlaku AA = A 2 = A, dikatakan matriks bujur sangkar A adalah matriks yang idempoten. Bila p bilangan asli terkecil sehingga AA...A = A, maka dikatakan A matriks periodik dengan periode p-1. Kalau A T = 0, dikatakan A nipolten dengan indeks r. A = [ ] adalah nipolten dengan indeks = 3. Karena A 3 = [ ] [ ] [ ] = [ ]
5. Transformasi Elementer pada Baris dan Kolom suatu Matriks Ada 6 transformasi (operasi) elementer pada baris/kolom suatu matriks A, yaitu : 1. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j, ditulis H ij (A) A = [ ] maka H 12 (A) = [ ] 2. Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j, ditulis K ij (A) A = [ ] maka K 12 (A) = [ ] 3. Mengalikan elemen-elemen baris ke-i dengan skalar λ, ditulis H i (λ) (A) atau λb i (A) A = [ ] maka H 3 (-2) (A) = [ ] 4. Mengalikan elemen-elemen kolom ke-i dengan skalar λ, ditulis K i (λ) (A) atau λk i (A) A = [ ] maka K 2 (3) (A) = [ ] 5. Menambahkan baris ke-i, dengan λ kali baris ke-j ditulis H ij (λ) (A) A = [ ] maka H 13 (-2) (A) = [ ]
6. Menambahkan kolom ke-i, dengan λ kali kolom ke-j ditulis K ij (λ) (A) A = [ ] maka K 21 (3) (A) = [ ] 6. Matriks Ekuivalen Dua matriks A dan B dikatakan ekuivalen (A ~ B) bila salah satu matriks tersebut dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi elementer terhadap baris atau kolom. Jika transformasi elementernya pada baris elementer saja, dikatakan ekuivalen baris, dan jika pada kolom saja, dikatakan ekuivalen kolom. A = [ ] dan B = [ ] adalah ekuivalen baris, karena B = H 12 (A) 7. Matriks Elementer Adalah suatu matriks yang dihasilkan dari satu kali transformasi elementer terhadap suatu matriks identitas I. H 13 (I) = [ ], H 31 (2) (I) = [ ] K 13 (I) = [ ], H 32 (2) (I) = [ ] 8. Ruang Baris dan Ruang Kolom dari suatu Matriks Ruang baris dari matriks A (mxn) adalah suatu ruang vektor bagian dari R n yang dibentuk dari vektor-vektor baris dari A.
Ruang kolom dari matriks A (mxn) adalah suatu ruang vektor bagian dari R n yang dibentuk dari vektor-vektor kolom dari A. A = [ ] Ruang baris dari matriks A adalah : [2 3 1], [2 1 2], [4 4 3] Ruang kolom dari matriks A adalah : [ ] [ ] [ ] Latihan soal : 1. Hitunglah 4A 2 8A + 4I 2, bila A = [ ] 2. Tunjukkan bahwa A adalah matriks idempoten, A = [ ] 3. Diketahui A = [ ], matriks B dihasilkan dari sederetan transformasi elementer H 31 (2), H 12 (2), H 12, K 41 (1), K 3 (2) terhadap A. Carilah B tersebut. 4. Diketahui K = [ ] dan L = [ ] jika K = L maka c 2 + 4b a =... 5. Diketahui [ ] = [ ] maka 4p + 3q =... 6. Jika A = [ ] B = [ ] C =[ ] maka bentuk yang paling sederhana dari (2A+C) (3A T +4B) adalah... 7. Hasil kali [ ] [ ] adalah...
8. 2 [ ] + 3 [ ] + k [ ] = [ ] maka : 2k + 5 =... 9. Jika [ ] [ ] = [ ] maka nilai : 2a + 4b =... 10. Jika diketahui matriks A = [ ] dan B = [ ] maka (A T + B) 2 =...