BAB 2 ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA

Transkripsi

1 BAB 2 ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA Analisis data, khususnya estimasi parameter dalam regresi multivariat, banyak melibatkan operasi matriks. Dalam bab ini akan dibahas teori matriks yang banyak terkait dengan statistika. Kompetensi Setelah membaca bab ini, pembaca diharapkan memahami aljabar matriks, turunan yang berkaitan dengan matriks serta menggunakannya dalam statistika, khususnya dalam analisis regresi. 51

2 52 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA 2.1 Materi 1. Definisi dan jenis matriks 2. Operasi matriks 3. Kebergantungan linier 4. Bentuk kuadrat dan turunannya 5. Aplikasi R untuk matriks 2.2 Defenisi dan Jenis Matriks Definisi 2.1. Matriks adalah kumpulan unsur yang disusun dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang. Matriks biasanya dinotasikan dengan huruf besar tebal, misalnya A, B, sedangkan unsur-unsurnya bisa berupa bilangan atau huruf kecil. Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks matriks. Matriks yang memiliki n baris dan m kolom,dikatakan berordo n m dan dinotasikan dengan A n m = [a ij ]. Dalam hal ini, a ij adalah unsur yang berada pada baris ke i dan kolom ke j dengan i =1, 2,,n dan j =1, 2, 3,,m. Contoh 2.1. Matriks A berikut adalah matriks yang berordo 4 3; A = Beberapa matriks khusus yang banyak digunakan dalam statistika diantaranya adalah matriks bujur sangkar, matriks diagonal, matriks

3 2.2. DEFENISI DAN JENIS MATRIKS 53 skalar dan matriks simetrik. Definisi formal masing- masing jenis matriks tersebut dapat dilihat pada buku-buku teks standar yang membahas matriks. Definisi 2.2. Matriks bujur sangkar (square matrix), adalah matriks dengan banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya, yaitu n = m. Pada matriks bujur sangkar, unsur unsur yang berada pada baris dan kolom dengan nomor sama disebut diagonal utama (yaitu: a ii,, 2,,n.) Contoh 2.2. B = Definisi 2.3. Matriks diagonal adalah matriks yang semua unsurnya, selain unsur-unsur pada diagonal utamanya, adalah nol, yaitu a ij =0 untuk setiap i j. Contoh 2.3. D = Definisi 2.4. Matriks skalar adalah matriks diagonal yang semua unsurnya sama, tetapi tidak sama dengan 0. Contoh 2.4. C = Definisi 2.5. Matriks identitas I adalah matriks skalar yang semua unsurnya 1

4 54 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA Contoh 2.5. I = Definisi 2.6. Matriks nol (0) adalah matriks yang semua unsurnya adalah 0. Definisi 2.7. Matriks simetris adalah matriks yang unsur-unsurnya simetris terhadap diagonal utama, yaitu a ij = a ji untuk setiap i dan j. Contoh 2.6. Contoh 2.7. A = Dalam statistika, matriks simetris yang banyak ditemukan adalah matriks korelasi (R) dan matriks varians-kovarians atau matriks ragamkoragam(v). 1 r 12 r 1n r R = 21 1 r 2n dan V = r n1 r 2n 1 σ1 2 σ 12 σ 1n σ 21 σ2 2 σ 2n σ n1 σ 2n σn 2 Selain matriks-matriks umum di atas, dalam statistika ada yang disebut matriks desain X. Matriks ini merupakan matriks yang menghubungkan parameter β dengan peubah- peubah penjelas X j. Pada

5 2.3. OPERASI MATRIKS DAN SIFAT-SIFATNYA 55 umumnya model yang dipergunakan selalu mengandung konstanta sehingga kolom pertama matriks X biasanya beranggotakan 1. 1 x 11 x 12 x 1p 1 x X = 21 x 22 x 2p x n1 x n2 x np 2.3 Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya Operasi matriks yang penting yang banyak dipergunakan dalam statistika diantaranya adalah operasi uner yaitu: invers dan transpos dan operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian Operasi uner Untuk melakukan operasi uner diperlukan cukup satu matriks. Operasi yang termasuk uner adalah operasi invers baik untuk penjumlahan maupun perkalian dan operasi transpos. Definisi 2.8. Invers penjumlahan suatu matriks A ditulis A, adalah matriks yang unsur-unsurnya adalah negatif dari unsur-unsur matriks A Contoh 2.8. Jika A = , maka A =

6 56 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA Definisi 2.9. Transpos matriks A (berordo m n) ditulis A T adalah matriks berordo n m yang diperoleh dengan menukar baris matriks A menjadi kolom dan sebaliknya, yaitu jika B = A T, maka b ij = a ji. Contoh ( ) Jika A = 1 7 maka A T = Hasil 2.1. Jika A adalah matriks simetris, maka A = A T Definisi Invers perkalian suatu matriks A ditulis A 1, adalah matriks yang jika dikalikan dengan A menghasilkan matriks identitas yaitu A.A 1 = A 1.A = I Operasi biner Dalam operasi matriks secara simbolik kita akan banyak menggunakan notasi. dan. Untuk itu dalam subbab ini akan dibahas secara sepintas kedua notasi tersebut. Definisi n f(x i )=f(x 1 )+f(x 2 )+ + f(x i )+ + f(x n ). Sifat-sifat operator Sigma diberikan dalam hasil berikut ini. Hasil 2.2. Sifat- sifat operator Sigma adalah 1. Jika k adalah suatu konstanta, maka n k = nk.

7 2.3. OPERASI MATRIKS DAN SIFAT-SIFATNYA Jika k adalah suatu konstanta, dan f adalah fungsi dalam x i maka n n kf(x i )=k f(x i ). 3. Jika k 1,k 2 adalah konstanta dan f(x i )=x 2 i + k 1x i + k 2, maka Bukti: n k n f(x i )= n x 2 i + k 1 = k + k + + k }{{} n = nk. n +nk 2. 2 n kf(x i) = kf(x 1 )+kf(x 2 )+ + kf(x n ) = k(f(x 1 )+f(x 2 )+ + f(x n )) n = k f(x i ). 3 n f(x i) = n ( ) x 2 i + k 1 x i + k 2 = ( x 2 ) ( ) 1 + k 1 x 1 + k x 2 n + k 1 x n + k 2 = x x 2 n + k 1 x k 1 x n + k k }{{} 2 = = n x 2 i + n k 1 x i + nk 2 n x 2 i + k 1 n x i + nk 2. Untuk lebih meringkas notasi, kadang-kadang jumlah untuk seluruh rentangan indeks hanya dinotasikan dengan tanda titik (.) untuk n

8 58 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA indeks tersebut, misalnya x i. = x.j = n x ij j=1 m x ij. Jika operator merupakan penjumlahan yang berulang, maka operator untuk perkalian berulang disebut operator yang didefinisikan seperti berikut ini. Definisi n f(x i )=f(x 1 ) f(x 2 ) f(x i ) f(x n ). Sedangkan sifat-sifat operator dinyatakan dalam hasil berikut. Hasil 2.3. Sifat- sifat operator adalah: jika k adalah suatu konstanta, maka n k = k n ; jika k adalah suatu konstanta, dan f adalah fungsi dalam x i maka n n kf(x i )=k n f(x i ); jika k 1,k 2 adalah konstanta dan f(x i )=(x 2 i )(k 1x i )(k 2 ), maka n f(x i )= n x 2 i k1 n n x i k2 n. Pembuktian hasil di atas analog dengan pembuktian sifat- sifat operator.

9 2.3. OPERASI MATRIKS DAN SIFAT-SIFATNYA 59 Penjumlahan Matriks Matriks yang bisa dijumlahkan (ditambah dan dikurangi) adalah matriks yang berdordo sama. Matriks yang berordo sama disebut Konformabel (conformable terhadap penjumlahan. Penjumlahan matriks dilakukan dengan menjumlahkan unsur unsur yang seletak, yaitu unsur unsur yang terletak pada baris dan kolom yang sama atau yang mempunyai indeks yang sama. Definisi Jika A =(a ij ) dan B =(b ij ) i =1, 2,,m; j = 1, 2,,nmaka A + B adalah matriks C yang berordo m n dengan unsur unsurnya adalah c ij = a ij + b ij. Contoh Jika maka 3 5 A = dan B = 2 4, A + B = = Definisi Selisih dua matriks didefinisikan sebagai jumlah dengan negatif matriks pengurang, yaitu A B = A +( B). Hasil 2.4. Sifat- sifat penting dari penjumlahan matriks adalah A + B = B + A komutatif A + 0 = 0 + A identitas A +( A) =0 invers A +(B + C) =(A + B)+C assosatif (A + B) T = A T + B T distribusi transpus

10 60 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA Perkalian matriks Perkalian matriks bisa dilakukan apabila banyaknya kolom matriks terkali sama dengan banyaknya baris matriks pengali. Matriks-matriks yang dapat dikalikan disebut matriks-matriks yang conformable terhadap perkalian. Selain perkalian dengan sesama matriks, matriks juga dapat dikalikan dengan skalar. Definisi Hasil kali suatu matriks dengan suatu skalar adalah matriks yang unsur- unsurnya adalah hasil kali setiap unsur matriks dengan skalar tersebut, yaitu ka =(ka ij ). Contoh = Definisi Hasil kali dua matriks adalah matriks yang berordo sedemikian sehingga barisnya sama dengan baris matriks yang dikalikan dan kolomnya sama dengan kolom matriks pengali. Unsur unsur dari matriks pengali merupakan kombinasi linier dari baris matriks terkali dengan kolom dari matriks pengali. Jadi jika A m n B n p, maka C m p = AB dengan Contoh c ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k + + a in b nk n = a ij b jk. j=1 Jika A = dan B = ,

11 2.3. OPERASI MATRIKS DAN SIFAT-SIFATNYA 61 maka AB adalah = = (3)(3) + ( 2)(5) + ( 6)(0) (3)( 1)+( 2)(2) + ( 6)(2) (1)(3) + (2)(5) + (0)(0) (1)( 1) + (2)(2) + (0)(2) ( 5)(3) + (0)(5) + (4)(0) ( 5)( 1) + (0)(2) + (4)(2) (3)(2) + ( 2)(0) + ( 6)(4) (1)(2) + (2)(0) + (0)(4) ( 5)(2) + (0)(0) + (4)(4) Hasil 2.5. Sifat-sifat operasi perkalian yang penting di antaranya adalah: 1. nonkomutatif, yaitu secara umum AB BA; 2. assosiatif, yaitu (AB)C = A(BC); 3. distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu A(B + C) =AB + AC. 4. distributif transpos terhadap perkalian, yaitu (AB) T = B T A T Determinan dan Invers Matriks Definisi Determinan dari suatu matriks bujur sangkar A, dinotasikan dengan A atau det(a), adalah fungsi skalar yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga merupakan jumlah hasil kali

12 62 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA unsur- unsur yang sejajar diagonal utama dikurangi jumlah unsurunsur yang sejajar diagonal lain. Dalam bentuk notasi A = n a ii + n n 1 a 11 a n+2 i,i. i=2 n 1 a i,i a 1n a i+1,i n a n+1 i,i Definisi Matriks yang determinannya tidak nol disebut matriks nonsinguler, sedangkan matriks yang determinannya 0 disebut matriks singuler. Contoh Jika A = 5 7 6, maka det A adalah A = (3)(7)(5) + (4)(6)(3) + (1)(5)(2) (3)(7)(1) (5)(4)(5) (3)(2)(6) = = =30 Definisi Teras(trace) suatu matriks bujur sangkar adalah jumlah unsur diagonal utama dari matriks tersebut, yaitu tr(a) = n a ii. Contoh Dari A = ,

13 2.4. KEBERGANTUNGAN LINIER DAN RANK MATRIKS 63 maka tr(a) = = 8. Untuk matriks bujur sangkar beordo 2, cara mencari invers adalah sebagai berikut. ( ) a c Hasil 2.6. Jika A =, maka b d A = ac bd ( A 1 = 1 d A b ) c a Contoh Bertikut adalahcontoh matriks bujur sangkar berordo 2 2 dan inversnya ( ) 1 2 A =, 1 2 maka ( ) ( ) A 1 = /2 1/2 = /4 1/4 2.4 Kebergantungan Linier dan Rank Matriks Dalam statistika pada umumnya kolom-kolom matriks mewakili peubah - peubah acak yang bisa saling bebas atau tidak saling bebas satu sama lain. Kondisi ini akan mempengaruhi apakah matriks yang akan dihasilkan mempunyai rank penuh atau tidak, apakah matriks yang dihasilkan akan mempunyai invers atau tidak. Definisi Suatu kolom dari matriks A dikatakan bergantung linier dengan kolom-kolom lainnya jika dia dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari kolom-kolom lainnya tersebut.

14 64 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA Definisi Rank suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya maksimum kolom yang saling bebas linier. Definisi Suatu matriks dikatakan mempunyai rank penuh jika ranknya sama dengan banyaknya kolom Hasil 2.7. Suatu matriks bujur sangkar akan nonsingular jika mempunyai rank penuh, sebaliknya akan singular jika tidak mempuyai rank penuh. Contoh Matriks A = adalah matriks nonsingular dengan rank penuh 3. Tetapi B = tidak mempunyai rank penuh karena kolom pertama merupakan 3 kolom ketiga dan karenanya B adalah matriks singular dan tidak memiliki invers. Penyelesaian konkrit dari kegergantungan ini dapat dihitung dengan membentuk sistim persamaan homogen antara kolom-kolom matriks dan mencari apakah sistem persamaan homogen tersebut mempunyai atau tidak penyelesaian tidak nol. Hasil 2.8. Jika matriks A np bukan matriks bujur sangkar (n <p), paling tidak ada (p n) kolom yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari kolom lainnya. Dengan demikian maka A tidak akan mempunyai rank penuh. Contoh Matriks A = mempunyai banyak kolom yang lebih besar dari banyaknya baris, karena itu pasti salah satu dari kolom

15 2.4. KEBERGANTUNGAN LINIER DAN RANK MATRIKS 65 yang ada dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari yang lainnya. Secara aljabar hal ini mengandung pengertian bahwa sistim persamaan ak 1 + b + k 2 + ck 3 + d k 4 = 0, dengan k j adalah kolom ke j, mempunyai penyelesaian dimana sekalar a, b, c, d tidak semuanya sama dengan nol. 3a +4b + c + d = 0 (1) 5a +7b +6c + d = 0 (2) 3a +2b +5c + d = 0 (3) Selanjutnya (1)-(3) dan (2)-(3) akan menghasilkan 2b + 4c = 0 (4) 2a +5b + c = 0 (5) Persamaan (4) menghasilkan hubungan b = 2c yang dapat disubstitusikan ke (5) 2a +10c + c7 =0 2a +11c =0 a = 11 2 c (7) Selanjutnya jika (7) disubstitusikan ke persamaan (1) akan menghasilkan 33 c +8c + c + d =0 2 d = 33 2 c 9c = 15 2 c

16 66 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA Jadi sistim persamaan ini mempunyai penyelesaian yang bersifat parametrik, salah satu diantaranya adalah untuk c = 2, maka diperoleh b =4,a= 11,d=15. Dalam statistika, jika X adalah matriks desain yang kolomnya menunjukkan peubah-peubah penjelas dan barisnya merupakan sampel, untuk menjamin agar X mempunyai rank penuh, maka banyaknya sampel selalu diusahakan jauh lebih banyak dari banyaknya peubah penjelas yang menjadi perhatian. 2.5 Bentuk Kuadrat dan Diferensial Matriks Definisi Misalkan x 1 x a 11 a 12 a n1 2 a x = x 3 dan A = 21 a 22 a n , x a n1 a n2 a nn n n n maka Q = x T Ax = x j a ij x i ; merupakan matriks 1 1 j=1 (skalar) yang disebut matriks bentuk kuadrat. Matriks A pada umumnya merupakan matriks simetrik, misalnya matriks korelasi ataupun matriks ragam - koragamnya. Dalam statistika Definisi Matriks bentuk kuadrat Q disebut definit positif apabila Q > 0 untuk setiap x 0 dan Q = 0 jika dan hanya jika x =0. Selanjutnya matriks A dari Q disebut matriks positif definit.

17 2.5. BENTUK KUADRAT DAN DIFERENSIAL MATRIKS 67 Definisi Matriks bentuk kuadrat Q disebut semi definit positif apabila Q 0 untuk setiap x 0 dan Q = 0 paling tidak untuk satu x 0. Selanjutnya matriks A dariq disebut matriks positif semi definit. sering diperlukan turunan suatu matriks terhadap sekelompok peubah dalam satu vektor. Pada dasarnya turunan satu peubah terhadap suatu vektor adalah adalah suatu vektor atau matriks yang unsur-unsurnya adalah turunan peubah pertama terhadap peubah unsur-unsur vektor penurun sedemikain sehingga posisi unsurnya sesuai dengan posisi unsur yang diturukan dan unsur penurun. Definisi Misalkan x = x 1 x 2 x 3. x n dan g = ( ) g(x) maka dan g x T = g x = g x 1 g x 2 g x 3. g x n ( ) g T = x g x 1 g x 2 g x 3 g x n

18 68 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA Contoh ( Jika g =(2x 1 +5x 2 ), dan x = Contoh Jika g = g 1 g 2 g 3. g n ( g x = x 1 x ), dan x = maka yang dapat dilakukan adalah g x T n p atau gt x g x T = ), maka x 1 x 2 x 3. x p, yang menghasilkan matriks p n. yang menghasilkan matriks dg 1 /dx 1 dg 1 /dx 2 dg 1 /dx p dg 2 /dx 1 dg 2 /dx 2 dg 2 /dx p dg 3 /dx 1 dg 3 /dx 2 dg 3 /dx p dg n /dx 1 dg n /dx 2 dg n /dx p Contoh ( ) ( ) Misalkan x = x dan A = x maka ( ) 1. Ax = x 1 +2x 2 2x 1 + x 2 ;

19 2.5. BENTUK KUADRAT DAN DIFERENSIAL MATRIKS 69 ( ) 2. x T Ax = x 1 (x 1 +2x 2 )+x 2 (2x 1 + x 2 ) = yang merupakan bentuk kuadrat; (x 1 +2x 2 ) (x 1 +2x ( 3. 2 ) Ax x T = x 1 x 2 = (2x 1 + x 2 ) x 1 (2x 1 + x 2 ) x 2 ( ) x x 1x 2 + x Turunan x T Ax terhadap x adalah (x 2 x T 1 Ax +4x 1x 2 + x 2 2 ) = x 1 x (x x 1x 2 + x 2 2 ) x ( ) 2 2x 1 +4x 2 = 4x 1 +2x 2 ( )( ) 1 2 x 1 =2 2 1 x 2 =2Ax; ) = A; 5. Karena x T Ax pada dasarnya adalah suatu skalar, maka dapat juga diturunkan terhadap x T. x T ( Ax (x x T = x 1 x 2 + x 2 2 ) (x x 1x 2 + x 2 2 ) ) x 1 x ) 2 = (2x 1 +4x 2 4x 1 +2x 2 ( ) ( ) 1 2 =2 x 1 x =2x T A; 6. berdasarkan hasil butir 3 dan 4 di atas maka, maka diperoleh 2 [ x T Ax ] [ x T = 2 x T Ax ] x x x T =2A.

20 70 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA Hasil 2.9. Misalkan A adalah matriks simetrik berordo n n dan x adalah vektor baris berordo n, maka 1. xt A x = Ax x T = A 2. xt Ax = 2Ax x 3. 2 x T Ax ] x T = 2A x Contoh ( ) ( ) 2 1 x 1 Misalkan A =, x =, sedangkan x 1 =2t 1 +3t 2 dan 1 3 x 2 ( ) 2 3 x 2 =3t 1 + t 2, jika t =, maka: x = Bt dan x t T = B; ( ) ( ) 2x 1 + x 2 2(2t 1 +3t 2 )+3t 1 + t 2 2. Ax = =, sehingga Ax x 1 +3x 2 2t 1 +3t 2 + 3(3t 1 + t2) x T = A dan ( ) ( )( ) Ax 3. t T = = = AB = Ax x x T t T. Hasil di atas dapat diperluas pada hasil berikut. dari hasil berikut tidak dibahas dalam buku ini. Bukti umum Hasil Misalkan y adalah vektor peubah yang merupakan fungsi dari x, yaitu merupakan hasil perkalian antara x dengan suatu matriks simetrik dan F adalah matriks peubah yang merupakan fungsi

21 2.5. BENTUK KUADRAT DAN DIFERENSIAL MATRIKS 71 dari y, yaitu hasil kali y dengan suatu matriks simetrik, maka berlaku sifat turunan rantai sebagai berikut: F x = F y T y x F atau x = F y y T x Contoh Misalkan X, Y dan β adalah matriks-matriks sedemikian sehingga Q =(Y Xβ) T (Y Xβ) adalah suatu bentuk kuadrat (matriks 1 1). Tentukan 1. Q/ β 2. 2 Q/ ( β T β) Jawab: Q =(Y Xβ) T (Y Xβ) = ( Y T β T X T ) (Y Xβ) = Y T Y β T X T Y ( β T X T Y ) T + β T X T Xβ mengingat β T X T Y adalah matriks 1 1, maka identik dengan trasposnya dan persamaan di atas menjadi Q = Y T Y 2β T X T Y + β T X T Xβ. Maka Q β = 0 2XT Y +2X T Xβ =2 ( X T Xβ X T Y ) = 2 ( X T Y X T Xβ ) = 2X T (Y Xβ), dan 2 Q β T β =2XT X.

22 72 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA Contoh Misalkan X, Y dan β adalah matriks-matriks sedemikian sehingga Q =(Y Xβ) T V 1 (Y Xβ) adalah suatu bentuk kuadrat (matriks 1 1), dengan V adalah matriks simetrik. Tunjukkan bahwa Q β = 2XT V 1 (Y Xβ), dan 2 Q β T β =2XT V 1 X. 2.6 Aplikasi R untuk Operasi Matriks Untuk aplikasi R tentang matriks dan operasinya, selain menggunakan beberapa fungsi yang telah didefinisikan secara internal, pembaca dapat juga mencari paket/library yang berkaitan dengan matriks. Beberapafungsi R terkait matriks diberikan pada Tabel Mendefinisikan matriks Matriks dapat didefinisikan dengan beberapa cara yaitu: 1. memberikan data elemen matriks (c(a11, a21, a31,..., a21, a22,...) yang selanjutnya disusun dalam bentuk baris dan kolom. Ingat bahwa R akan melengkapi seluruh baris kolom 1 baru melengkapi kolom 2 dan seterusnya. >x<-seq(1,10,1) >xmat<-matrix(x,2,5)

23 2.6. APLIKASI R UNTUK OPERASI MATRIKS 73 Tabel 2.1: Fungsi R terkait matriks No perintah R Keterangan 1 matrix(c,b,k) menyusun matriks berordo b k 2 diag(m) menyusun matriks diagonal, atau mengambildiagonal dari matriks bujur sangkar 3 t(m) transpos matriks M 4 A*B perkalian unsur-unsur pada baris dan kolom yang bersesuaian 5 A%*%B perkalian dua matriks yang konformabel 6 solve(m) menghitung inverse matriks M >ymat<-matrix(x,5,2) >xmat [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] [2,] > ymat [,1] [,2] [1,] 1 6 [2,] 2 7 [3,] 3 8 [4,] 4 9 [5,] menjadikan matriks data yang sudah tersusun dalam bentuk baris dan kolom dengan perintah as.matrix(). Untuk matriks berukuran besar, mungkin tidak praktis mencetak seluruh el-

24 74 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA emennya, tetapi kita bisa memeriksa dimensi/ordonya dengan dim(). Pada contoh berikut data kecepatan dan jarak tempuh mobil yang berupa tabel dengan 50 baris dan 2 kolom didefinisikan menjadi matriks berordo >data(cars) >x<-as.matrix(cars) >dim(x) [1] 50 2 >amat<-x%*%t(x) >bmat<-t(x)%*%x >dim(amat) [1] >dim(bmat) [1] beberapa matriks didefinisikan secara khusus diantaranya adalah (a) matriks dengan elemen yang sama, misalnya k dengan ordo m n. >matrix(0,2,3) [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] >matrix(1,2,3) [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] 1 1 1

25 2.6. APLIKASI R UNTUK OPERASI MATRIKS 75 >matrix(5,2,3) [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] (b) matriks diagonal atau matriks identitas. > diag(1,3) [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] > diag(2,3) [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] >diag(c(1,2,3,4,5)) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] Sebaliknya jika diag() dilakukan pada matrik bujur sangkar, maka fungsi ini akan mengekstrak diagonal matriks tersebut. > diag(bmat)

26 76 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA speed dist Operasi Matriks dengan R Beberapa operasi matriks yang dapat dilakukan yang terkait dengan kebutuhan statistika diantaranya adalah perkalian matriks, determinan ((det()) invers dan transpose matriks. xmat%*%ymat [,1] [,2] [1,] [2,] > ymat%*%xmat [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] >det(xmat%*%ymat) [1] 500 > solve(xmat%*%ymat) [,1] [,2] [1,] [2,] > det(ymat%*%xmat)

27 2.6. APLIKASI R UNTUK OPERASI MATRIKS 77 [1] 0 > solve(ymat%*%xmat) #tes walau kita tahu det=0. Error in... system is exactly singular Untukmatriks yang berordo sama, ada kalanya diperlukan hasil perkalian dari unsur-unsur seletak. Pada R perkalian ini dinotasikan dengan A*B. Berikut adalah contoh perkalian tersebut. > A.mat<-matrix(c(2,3,4,1),2,2) > B.mat<-matrix(c(1,3,2,5),2,2) > A.mat [,1] [,2] [1,] 2 4 [2,] 3 1 > B.mat [,1] [,2] [1,] 1 2 [2,] 3 5 > A.mat*B.mat [,1] [,2] [1,] 2 8 [2,] 9 5 > B.mat*A.mat [,1] [,2] [1,] 2 8 [2,] 9 5 Jadi perkalian tersebut di atas bersifat komutatif (A* B=B*A). Akan tetapi, tidak demikian halnya dengan perkalian umum matriks,

28 78 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA seperti pada contoh berikut, yang pada umumnya A%*% B B%*% A > B.mat%*%A.mat [,1] [,2] [1,] 8 6 [2,] > A.mat%*%B.mat [,1] [,2] [1,] [2,] 6 11 Berikut adalah matriks pada Contoh 2.15 yang dihitung dengan R. > A<-matrix(c(1,-1,2,2),2,2) > print(a) [,1] [,2] [1,] 1 2 [2,] -1 2 > solve(a) [,1] [,2] [1,] [2,] Bacaan Lebih Lanjut Referensi umum mengenai matriks dapat dijumpai pada buku-buku teks tentang matriks atau aljabar linier. Namun tidak banyak referensi yang membahas turunan matriks/ vektor terutama yang terkait

29 2.8. RINGKASAN 79 dengan statistika. Pembahasan dalam bab ini, terutama mengenai aplikasi matriks dalam statistika, dapat dijumpai pada Timm (1975, Bab 1), Searle (1982), Harville (1997), dan Neter et al. (1985). 2.8 Ringkasan Beberapa halpenting terkait matriks perlu dipahamidenganbaik diantaraya seperti berikut ini. 1. Matriks adalah kumpulan unsur yang disusun dalam baris dan kolum sehingga membentuk persegi panjang. 2. Operasi matriks ada yang bersifat uner (negatif dan transpos) dan bersifat biner(penjumlahan dan perkalian). 3. Matriks yang dapat dilakukan operasi tertentu dikatakan konformabel untuk operasi tersebut. 4. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, memiliki identitas 0, memiliki invers, dan komutatif. 5. Operasi perkalian secara umum memehuhi sifat asosiatif, matriks bujur sangkar memiliki identitas, beberapa diantaranya memiliki invers. 6. Suatu kolom dari matriks A dikatakan bergantung linier dengan kolom-kolom lainnya jika dia dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari kolom-kolom lainnya tersebut. 7. suatu matriks bujur sangkar dikatakan memiliki rank penuh jika semua kolomnya bebas(tidak bergantung) linier dengan kolom lainnya.

30 80 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA 8. Matriks bujursangkar yang memiliki invers disebut matriks nonsinguler, matriks ini memiliki rank penuh dan determinan tidak nol. 9. Bentuk y T Ay dengan ymatriks peubah, dan A matriks konstanta, disebut matriks bentuk kuadrat. 2.9 Latihan Soal-soal Kerjakan soal-soal berikut secara sendir atau berkelompok. 1. Sebutkan definisi matriks berikut dan beri masing- masing satu (1) contoh. (a) Matriks diagonal (b) Matriks skalar (c) Matriks simetrik (d) Matriks nonsinguler. 2. Buatlah dua buah matriks (A, B), masing- masing berordo 2 2, selanjutnya hitung (a) AB (b) BA (c) A 1 3. Selidiki apakah matriks-matriks berikut mempunyai rank kolom lengkap atau tidak (a) A =

31 2.9. LATIHAN SOAL-SOAL (b) B = (c) C = Diketahui dan A = x x = y z Tentukan (a) Q = X T AX (b) Q x (c) 2 Q x T x baik dengan cara menurunkan unsur-unsurnya maupun dengan cara keseluruhan dengan cara matriks.

32 82 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA 5. Diketahui A = Definisikan A pada R, selanjutnya tentukan: (a) A T (b) A T A (c) AA T (d) ( AA T ) 1 (e) ( A T A ) 1