ANUITAS 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 1
OVERVIEW Auitas adl suatu pembayara dalam jumlah tertetu, yag dilakuka setiap selag waktu da lama tertetu, secara berkelajuta. Suatu auitas yg pasti dilakuka selama jagka pembayara disebut Auitas Tetu. Suatu auitas yg pembayaraya tergatug hidup matiya seseorag disebut Auitas Hidup. Pembayara premi yg dilakuka oleh pemegag polis dalam betuk auitas. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 2
Auitas Awal adl auitas yg dibayarka di awal jagka waktu pembayara auitas. Auitas Akhir adl auitas yg dibayarka di akhir jagka waktu pembayara auitas. Nilai Tuai (Preset Value) yaitu ilai seluruh pembayara jika auitas dibayar sekaligus dlm satu kali. Nilai Akhir (Cumulative Value) yaitu jumlah seluruh pembayara pada suatu waktu di kemudia hari. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 3
Kosep asurasi tak lepas dari tigkat buga (iterest rate) yag diguaka (istilah dalam ISLAM, RIBA ) dalam peetua besar auitas ataupu yg laiya. Demikia pula jika igi megetahui ilai tuai da ilai akhir. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 4
TINGKAT BUNGA Bila seseorag pijam uag Rp. 1juta dg buga 10% per tahu, mk orag tsb harus membayar buga uag tsb tiap akhir tahu sebayak Rp. 100rb, da hutagya tetap Rp. 1juta. Bagaimaa jika ia meuggak membayar bugaya selama 5 tahu, berapakah ia harus membayar agar seluruh hutag da bugaya luas? Jika bugaya ikut dibugaka maka perhituga buga seperti ii disebut Buga Majemuk Jika bugaya tidak ikut dibugaka maka disebut Buga Tuggal. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 5
BUNGA TUNGGAL Misal: P adl pokok, yaki besarya pijama atau modal pertama, i adl tigkat buga setahu, jagka waktu pijama, da S adl ilai akhir (ilai ke-) KONSEP BUNGA TUNGGAL: Pd tahu pertama mejadi P + Pi Pd tahu kedua mejadi P + 2Pi Pd tahu ke- mejadi P + Pi S P I P Pi P 1 i 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 6
Buga tuggal sebearya da biasa: Buga tuggal sebearya : dihitug dega asumsi satu tahu adl 365 hari. Buga tuggal biasa : dihitug dega asumsi satu tahu adl 360 hari. Waktu sebearya da waktu pedekata: Waktu sebearya: dihitug meurut hari yag sebearya dari seluruh jumlah hari pada kaleder. Waktu pedekata: diaggap bahwa setiap bula terdiri atas 30 hari. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 7
Cotoh: Hitug buga tuggal sebearya da biasa dari Rp. 2juta utuk 50 hari dega buga 5% per tahu! Buga tuggal sebearya: 50 10 6 10, I Pi 210 0, 05 Rp.13.700, 365 73 73 Buga tuggal biasa : 50 5 6 5, I Pi 210 0, 05 Rp.13.890, 360 36 36 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 8
Cotoh: Tetuka waktu sebearya da waktu pedekata dari taggal 3 Jui 2012 sampai dega 18 September 2012! Waktu sebearya: Jumlah hari tersisa dari bula Juli + Jumlah hari sampai tgl yag diyataka dalam bula September = 27+31+31+18 = 107 hari. Waktu pedekata: 18 September 2012 2012 : 9 : 18 3 Jui 2012 2012 : 6 : 3_ atau 105 hari (diasumsika 1 bula = 30 hari). 0 : 3 : 15 (3 bula 15 hari) 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 9
Cotoh: Tetuka buga tuggal sebearya da biasa dari Rp. 2juta,- utuk buga 6% per tahu dari taggal 20 April 2012 sampai 1 Juli 2012 dega megguaka: (a). Waktu sebearya, (b). Waktu pedekata.! Buga tuggal sebearya: a.waktu sebearya: 72 6 72, I Pi 210 0,06 Rp.23.670, 365 365 b.waktu pedekata: 71 6 71, I Pi 210 0,06 Rp.23.340, 365 365 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 10
Buga tuggal biasa: a.waktu sebearya: 72 6 72, I Pi 210 0, 06 Rp.24.000, 360 360 b.waktu pedekata: 71 6 71, I Pi 210 0, 06 Rp.23.670, 360 360 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 11
BUNGA MAJEMUK KONSEP BUNGA MAJEMUK: Pd tahu pertama mejadi P 1 = P + ip Pd tahu kedua mejadi P 2 = P 1 + ip 1 = P + ip + i (P + ip) = P + 2iP + i 2 P = P (1 + i) 2 Pd tahu ke- mejadi S = P (1 + i). S P 1 i P 1 i 1 jika, v, maka P v S. 1 i S 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 12
Cotoh: Rp. 1000 dibugaka selama 3 tahu dg tigkat buga 7% setahu. Berapakah besarya seluruh uag pada akhir tahu ketiga? >> Buga tuggal S = 1000 (1+3i) = 1000 (1+0,21) = Rp. 1.210 >> Buga majemuk S = 1000 (1+i) 3 = 1000 (1+0,07) 3 = 1000 (1,22504) = Rp. 1.225,04 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 13
Cotoh: Seorag ayah mpy aak berumur 8 th. Si ayah igi medepositoka uagya di bak da aka memberikaya pd si aak sbg biaya di uiversitas waktu si aak tepat berumur 18 th. Bila bak memberi buga majemuk 12% setahu da si ayah igi meyerahka Rp. 1juta pd si aak 10th kemudia, berapakah dia harus medepositoka uagya sekarag? 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 14
Jawab: S 10 = Rp. 1juta, i = 0,12 P = S 10 (1+i) - = S 10 (1+0,12) -10 = (1.000.000,00) (1,12) -10 = 321.973,24 Jadi, jika si Ayah igi memberika si aak Rp. 1juta pada 10 th yg aka datag maka si Ayah harus medepositoka sebesar Rp. 321.973,24. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 15
TINGKAT BUNGA NOMINAL & TINGKAT BUNGA RIIL Beberapa bak, asurasi, atau yg lai terkadag dlm perhituga bugaya megguaka dasar setegah tahua. Cotoh i per tahu 6%, maka 1 tahu kemudia mejadi sebesar: 0,06 S P 1 2 2 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 16
Secara umum, jika setahu terjadi pembayara k kali, dg buga tahua sebesar i, maka 1 tahu kemudia Pokok beserta Bugaya mejadi sebesar 1 Atau setahu kemudia besarya buga adl j k k i j 1 1 k k 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 17
Dimaa: k 1 k j j k jumlah koversi buga dalam 1 tahu jagka waktu tiap koversi tigkat buga omial yag diguaka setiap buga omial 1 k tahu Tigkat buga omial diyataka dg i (k), da tigkat buga riil diyataka dg i. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 18
Cotoh: Jika modal awal Rp. 1juta,- diivestasika dega buga majemuk kwartala. Hitug jumlah uag pada saat 8,5 tahu medatag jika diketahui tigkat buga 7% pertahu! P 34 Rp.1.000.000, 0,07 i 0,0175 (1 tahu = 4 kwartal) 4 34 (48,5tahu 34 kwartal) S P i Rp 34 6 34 (1 ) 10 (1 0, 0175).1.803.724,52. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 19
ANUITAS TENTU Auitas tetu adl seragkaia pembayara berkala yg dilakuka selama jagka waktu tertetu. Nomial pembayara tiap periode diaggap sama. Auitas tetu yag dibayarka di awal jagka waktu pembayara auitas disebut auitas tetu awal, sedag bila di akhir jagka waktu disebut auitas tetu akhir. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 20
ANUITAS TENTU AKHIR Pembayara dilakuka di akhir periode. Misal, agsura sebesar Rp. 1,- da bayakya agsura adalah kali, maka ilai tuai dari auitas tetu akhir dpt dicari sbb: a Nilai tuai pembayara pertama: 1 (1 i ) Nilai tuai pembayara kedua: 1 (1 i ) 2 v v 2 1 Nilai tuai pembayara ke- : v (1 ) i 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 21
Sehigga ilai tuai keseluruha: 2 a v v v merupaka deret geometri turu : a 1 1 v(1 v ) 1 v 1 i 1 (1 i) 1 v 1 1 1 i 1 i v. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 22
S S : ilai akhir/ilai akumulasi dari auitas tetu akhir dg tiap pembayara sebesar Rp.1, dapat dicari sebagai berikut: Nilai akumulasi dari pembayara pertama: (1 i) Nilai akumulasi dari pembayara kedua : (1 i) Nilai akumulasi dari pembayara ketiga : (1 i) 1 2 3 Nilai akumulasi dari pembayara ke- : (1 i) 1 Sehigga, S 1 (1 i) (1 i) (1 i) (1 i) 1 (1 i) 1. (1 i) 1 i 2 1 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 23
Hubuga atara a da S : S a (1 i) a S (1 i) 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 24
Cotoh: Suatu pijama Rp. 100juta dega buga 3% setahu aka diluasi dalam waktu 25th. Hitug auitas yag harus dibayar tiap akhir tahu! Jawab : Xa X 25 10 8 8 8 10 10 25 a 1 (1 0, 03) 25 0,03 Rp.5.742.787,18. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 25
ANUITAS TENTU AWAL Setiap awal tahu, selama tahu dibayar auitas sebesar Rp. 1,-, maka ilai tuai dari auitas tetu awal a dapat dicari sbb: Bayar ke-1 sekarag da ilai tuaiya: Rp.1,- Bayar ke-2 di awal periode ke-2 & ilai tuaiya: 1 (1 i ) Bayar ke-3 di awal periode ke-3 & ilai tuaiya: 1 (1 i ) 2 v v 2 1 Bayar ke- di awal periode ke- & ilai tuaiya: v (1 ) 1 i 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 26 1
Sehigga ilai tuai keseluruha: a 1 v v v a 1 2 1 2 va v v v a a 1a 1 (1 i) iv.. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 27
S S : ilai akhir/ilai akumulasi dari auitas tetu awal dg tiap pembayara sebesar Rp.1, dapat dicari sebagai berikut: Nilai akumulasi dari pembayara pertama: (1 i) Nilai akumulasi dari pembayara kedua : (1 i) Nilai akumulasi dari pembayara ketiga : (1 i) 1 2 ( 1) Nilai akumulasi dari pembayara ke- : (1 i) (1 i) 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 28
Sehigga, S i i i S 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 i) 1 (1 i) 1 (1 i) (1 i) (1 i) 1 i (1 is ). S 1 1. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 29
Cotoh: Setiap selag 6 bula, Ali meyimpa Rp. 100.000,-. Peyimpaa dimulai sejak aakya berusia 6 bula da diakhiri sesudah aakya berusia 20 tahu (setiap awal periode). Selajutya uag tersebut tetap tidak diambil da sesudah aakya berusia 25 th uag tsb diberika kepada aakya sebagai modal usaha. Hitug berapa bayak uag yag aka diterima aakya! (buga = 1,5% per periode). 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 30
Jawab : Setelah meyimpa Rp.100.000,- selama 20 2 = 40 periode, uagya mejadi : 40 5 5(1 0, 015) 1 P 10 S 10.5.426.789,34 40 0,015 Rp Setelah aak berusia 25th (ada10periode), maka uagya mejadi: S 10 P(1 i) (5.426.789,34)(1 0, 015) Rp.6.298.010,58. 10 10 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 31
Beberapa hubuga: s 1 i s ; s s 1 1 s s 1 ; a 1 i a 1 a a 1 ; a a 1 1 1 v s a ; v s a 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 32
Auitas yag pembayaraya dijajika aka dilakuka selag beberapa waktu kemudia disebut auitas tuda, sedag auitas yag pembayara pertama dilakuka pada waktu auitas tersebut dimulai disebut auitas segera. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 33
Nilai sekarag dari auitas yag pembayara pertamaya dilakuka f tahu kemudia da dilakuka selama tahu, diotasika dg f a (auitas awal) atau f a (auitas akhir). Berikut rumus-rumusya: a v v v v a f f 1 f 1 f f a v v v v a f 1 f 2 f f f a a a f f f a a a f f f 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 34
ANUITAS TENTU PEMBAYARAN k KALI SETAHUN Persamaa yg lalu dikaitka dg pembayara k kali setahu adl k 1 s i i i k 1 1 k 1 k k 1 1 1 k 1 i 1 i 1 1i 1 k k i d 1 2 k 1 s 1 i k 1 i k 1 k 1i 1 i 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 35
Utuk auitas: 1 a 1 v v k 1 1 k k k 1 k 1i 1v 1 v k i d k 1 2 k 1 k k a v v v k 1 v k i 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 36
Cotoh: Hituglah ilai tuai da akhir dari suatu ragkaia pembayara sebesar Rp. 150 tiap akhir tahu selama 20 th bila tigkat buga 5% pertahu! Jawab: = 20; i = 0,05 Maka, I. Nilai tuaiya: II. Nilai akhirya: 20 [1 (1,05) ] 150. a 150. 20 0,05 150(1 0,376889) / 0, 05 150(12, 4622) 1869,33 150. s 150. a. v 20 20 20 1869,33(1/1, 05) 20 1869,33(2, 653298) 4959,89 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 37
Cotoh: Suatu polis asurasi jiwa memberika piliha sbg berikut: Jika si Ali mati, mk Ny. Ali dpt meerima uag tuai sebesar Rp. 1jt atau meerima satua selama 10th. Pembayara dilakuka tiap awal tahu dg tigkat buga diperhitugka 6% pertahu. Hituglah pembayara tahua tsb! Jawab: Nilai tuai = Rp. 1jt; = 10; i = 0,06 Misal: x = pembayara tahua. Jika ilai tuai Rp. 1jt artiya ke-10 pembayara tahua tsb haruslah sama dega Rp. 1jt. Jadi, xa. 1.000.000 10 1.000.000 x a10 1.000.000 128.177,3191 7,80169 a 1a 10 9 9 [1 (1,06) ] 1 0,06 1 (1 0,591898) / 0,06 16,80169 7,80169 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 38
LATIHAN 1. Buktikalah secara aljabar da verbal: a). b). a a v 1 s s v 1 ( 1) 2. Seseorag aka meerima 10 kali pembayara tahua Rp. 5jt, pembayara pertama dilakuka sekarag. Berapakah ilai tuai da ilai akhir seluruh pembayara jika: a. Tigkat buga 5% pertahu b. Tigkat buga 8% pertahu 3. Hituglah ilai tuai da ilai akhir suatu auitas selama 10 tahu sebesar Rp. 100 pertahu, pembayara dituda selama 5th. Tigkat buga 8% pertahu. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 39
4. Seorag ayah meruh uag di bak utuk membiayai sekolah aakya selama 12th. Jika si aak meerima Rp. 1.000 tiap akhir tahu, pembayara pertama dilakuka pada akhir tahu ke eam dari sekarag da seluruh uag da bugaya habis dibayarka pada waktu pembayara yag ke 12 dilakuka, berapa bayakkah si ayah mearuh uagya di bak bila bak memberi buga 12% pertahu? 5. Sebuah rumah dibeli dega uag mukaa Rp. 2jt da cicila tiap akhir tahu sebesar Rp. 500.000,- selama 10th. Bila buga uag sebesar 5% pertahu, berapakah harga rumah tersebut bila dibeli tuai? 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 40