LOGIKA PREDIKAT Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
Logika Predikat Seringkali kita harus memeriksa argumen yang berisi proposisi-proposisi yang berkenaan dengan kumpulan objek. Misalkan, memeriksa kebenaran dari proposisi Semua bilangan asli yang habis dibagi 4 adalah habis dibagi 2. Pada proposisi ini mengandung suatu pernyataan yang berkenaan dengan himpunan bilangan asli.
Logika Predikat. Misalkan ada rangkaian proposisi : Setiap manusia pasti mati. Karena Furlan adalah manusia maka dia pasti mati. Pada logika proporsional : p q r : setiap manusia pasti mati : Furlan adalah manusia : Furlan pasti mati Karena q anggota dari p maka struktur ini tidak dikenal dalam logika proposisi
Logika Predikat. Definisi 2.5 Suatu predikat (proposisi terbuka) adalah suatu pernyataan yang melibatkan peubah yang nilainya tidak ditentukan.
Logika Predikat. Misalnya : Predikat : P(x) : bilangan bulat x habis dibagi 3 dan 4. Proposisi : P(24) : 24 habis dibagi 3 dan 4. Peubah dalam predikat hanya bisa diganti oleh nilai yang merupakan anggota semesta pembicaraan.
Logika Predikat. Definisi 2.6 Himpunan nilai-nilai yang mungkin menggantikan peubah dalam suatu predikat disebut sebagai semesta bagi peubah tersebut.
Logika Predikat. Untuk menyatakan nilai-nilai apa saja yang akan menjadi peubah dalam suatu predikat, digunakan kata: semua, setiap, selalu, dll, disebut suku pengkuatifikasi umum, disimbolkan ada, terdapat, beberapa, minimal satu, dll, disebut suku pengkuatifikasi khusus, disimbolkan
Logika Predikat. Misalkan x [P(x)] = untuk setiap x berlaku P(x) x [P(x)] = ada x sehingga P(x) P(x) bisa berupa proposisi tunggal atau majemuk.
Logika Predikat. Contoh 1 Nyatakan dalam lambang logika predikat dari proposisi : a. Untuk semua bilangan bulat, jika habis dibagi 4 maka habis dibagi 2 b. Ada bilangan asli yang habis dibagi 3 dan 4. Jawab a. P(x) : x habis dibagi 4 Q(x) : x habis dibagi 2 x Z [P(x) Q(x)] b. P(x) : x habis dibagi 3 Q(x) : x habis dibagi 4 x N [P(x) Q(x)]
Logika Predikat. Contoh 2 Jika semesta dinyatakan U = {3,5,17,120}, x adalah peubah dalam U. Buatlah suatu logika predikat dengan menggunakan proposisi, P(x) = x > 2. Jawab x U [P(x)] = semua x di U adalah lebih besar 2 -[ x U (-P(x))] = tidak ada x di U yang tidak lebih besar 2 x U [P(x)] = ada x di U yang lebih besar 2 -[ x U (-P(x))] = tidak semua x di U adalah tidak lebih besar 2.
Logika Predikat. Contoh 3 Tidak ada orangtua menginginkan anaknya menjadi penjahat Jawab Kalimat tersebut ekivalen dengan Jika x adalah orang tua maka x tidak ingin anaknya menjadi penjahat P(x) = x adalah orang tua Q(x) = x ingin anaknya menjadi penjahat x U [P(x) U = himpunan orang tua - Q(x)]
Negasi Logika Predikat Jika suatu logika predikat dibuat negasi/ingkarannya, maka tanda ingkaran itu akan berlaku pada suku kuantifikasi dan predikatnya. -[ x (P(x))] =(- x )[-P(x)] = x [-P(x)] -[ x (P(x))] =(- x )[-P(x)] = x [-P(x)]
Negasi Logika Predikat. Dari bentuk ingkaran ini diperoleh 4 dasar kesetaraan pada logika predikat yaitu : 1. Semua benar sama artinya dengan tidak ada yang salah x [P(x)] = -[ x (-P(x))] 2. Semua salah sama artinya dengan tidak ada yang benar x [-P(x)] = -[ x (P(x))] 3. Tidak semua benar sama artinya dengan ada yang salah -[ x (P(x))] = x [-P(x)] 4. Tidak semua salah sama artinya dengan ada yang benar -[ x (-P(x))] = x [P(x)]
Negasi Logika Predikat. Contoh 4 Buatlah ingkaran dari logika predikat berikut : a. x [P(x) Q(x)] b. x [ y [P(y) Q(x,y)] c. x y [ z (P(x) R(y,z)) (P(y) z R(x,z))] Jawab a. -[ x [P(x) Q(x)]] = -( x )(-(P(x) Q(x))) = x [-(-P(x) Q(x))] = x [P(x) -Q(x)]
Negasi Logika Predikat. Contoh 5 Buatlah ingkaran dari logika predikat berikut : a. x [P(x) Q(x)] b. x [ y [P(y) Q(x,y)] c. x y [ z (P(x) R(y,z)) (P(y) z R(x,z))] Jawab a. -[ x [P(x) Q(x)]]= -( x )(-(P(x) Q(x))) = x [-(-P(x) Q(x))] = x [P(x) -Q(x)]
Negasi Logika Predikat. b. -[ x [ y [P(y) Q(x,y)]] = -( x )[-( y P(y) Q(x,y))] = x [-(- y P(y) Q(x,y))] = x [ y P(y) -Q(x,y)] c. -[ x y [ z (P(x) R(y,z)) (P(y) z R(x,z))]] = -( x y )(-[ z (P(x) R(y,z)) (P(y) z R(x,z))]) = x y [-( z (-P(x) R(y,z))) -(P(y) z R(x,z))] = x y [ z (-(P(x) R(y,z))) (-P(y) -( z R(x,z)))] = x y [ z (P(x) -R(y,z)) (-P(y) z (-R(x,z)))]
Kesetaraan Logika Predikat 1. a. x y P(x,y) y x P(x,y) b. x y P(x,y) y x P(x,y) 2. a. x y P(x,y) y x P(x,y) b. x y P(x,y) y x P(x,y) 3. a. - x P(x) x [-P(x,y)] b. - x P(x) x [-P(x,y)] a. x P(x) - x [-P(x,y)] b. x P(x) - x [-P(x,y)]
Kesetaraan Logika Predikat. 4. a. x P(x) Q x [P(x) Q] b. x P(x) Q x [P(x) Q] 5. a. x P(x) Q x [P(x) Q] b. x P(x) Q x [P(x) Q]
Kesetaraan Logika Predikat. 6. a. x P(x) z Q(z) x z [P(x) Q(z)] b. x P(x) z Q(z) x z [P(x) Q(z)] c. x P(x) z Q(z) x z [P(x) Q(z)] d. x P(x) z Q(z) x z [P(x) Q(z)] 7. a. x P(x) z Q(z) x z [P(x) Q(z)] b. x P(x) z Q(z) x z [P(x) Q(z)] c. x P(x) z Q(z) x z [P(x) Q(z)] d. x P(x) z Q(z) x z [P(x) Q(z)]
Bentuk Normal Prenex Definisi Bentuk logika predikat dengan proposisi penyusunnya disebut normal prenex jika dan hanya jika bentuk tersebut hanya mengandung perangkai negasi, konjungsi dan disjungsi. Menggunakan semua aturan kesetaraan dan kesamaan logika proposisi dan logika predikat
Bentuk Normal Prenex. Contoh 6 Ubahlah bentuk x P(x) x Q(x) dalam bentuk normal prenex Penyelesaian x P(x) x Q(x) = -( x P(x)) x Q(x) = x (-P(x)) x Q(x) = x (-P(x)) Q(x))
Bentuk Normal Prenex. Soal Ubahlah bentuk x y ( z (P(x,z) P(y,z)) u Q(u,x,y)) dalam bentuk normal prenex