PERSAMAAN GERAK Posisi iik maeri dapa dinyaakan dengan sebuah VEKTOR, baik pada suau bidang daar maupun dalam bidang ruang. Vekor yang dipergunakan unuk menenukan posisi disebu VEKTOR POSISI yang diulis dalam Vekor sauan. VEKTOR SATUAN. / i / = / j / = / k / = 1 i adalah vekor sauan pada sumbu x. j adalah vekor sauan pada sumbyu y. k adalah vekor sauan pada sumbu z. POSISI TITIK MATERI PADA SUATU BIDANG DATAR. Posisi iik maeri ini dapa dinyaakan dengan : r = x i + y j Conoh : r = 5 i + 3 j
Panjang r diulis / r / = / 0A / / r / = 5 + 3 = 5 + 9 = 34 sauan POSISI TITIK MATERI PADA SUATU RUANG. Posisi iik maeri ini dapa dinyaakan dengan : r = x i + y j + z k Conoh : r = 4 i + 3 j + k Panjang vekor r diulis / r / / r / = 4 + 3 + = 16 + 9 + 4 = 9 sauan
KECEPATAN SUATU TITIK MATERI. Gerakan iik maeri secara keseluruhan dapa diamai jika posisinya seiap saa dikeahui. Seberapa cepa leak iik maeri iu berubah seiap saa disebu : KECEPATAN. PERHATIKAN. Tiik maeri yang bergerak dari A yang posisinya r 1 pada saa 1, ke iik B yang posisinya r pada saa. Vekor perpindahannya r = r r 1 dan selang waku yang dipergunakan iik maeri unuk bergerak dari A ke B adalah = 1 Kecepaan raa-raa didefinisikan : r v = = r r 1 1 Pada persamaan di aas ampak bahwa kecepaan raa-raa idak erganung pada linasan iik maeri, eapi erganung dari posisi awal ( r ) dan posisi akhir ( 1 r ). Jika ingin dikeahui kecepaan iik maeri pada suau saa misal saa iik maeri berada di anara A dan B, digunakan kecepaan sesaa. Kecepaan sesaa didefinisikan : Secara maemais diulis sebagai : v = dr Jadi kecepaan sesaa merupakan urunan perama dari posisi erhadap waku ()
Besarnya kecepaan disebu dengan laju Laju didefinisikan sebagai : dr / v/ = / / Laju dapa pula berari panjang linasan dibagi waku yang bersangkuan. Nilai dari komponen kecepaan sesaa dari suau iik maeri dapa diliha dari kemiringan grafik yang dibenuk oleh komponen posisi ( r ) erhadap waku ( ). Persamaan kecepaan sesaa dari grafik di samping di dapa : v 1 = g α 1 v = g α Makin besar deraja kemiringannya makin besar pula harga kecepaannya. Posisi dari suau iik maeri yang bergerak merupakan fungsi waku, oleh karena iu, vekor posisi r dapa diulis sebagai r = r ( ) arinya r merupakan fungsi waku ( ). Kecepaan iik maeri pada sebuah bidang daar/ruang dapa diulis : v X dx dy = Y v = Z v = dz X, Y, Z merupakan fungsi dari waku. Sebaliknya unuk menenukan posisi iik maeri jika dikeahui fungsi kecepaannya maka dapa diselesaikan dengan INTEGRAL ( kebalikan dari deferensial ). ( ) v dx dx ( ) dx = ( ) ( ) = v. ( ) ( ) = v.
Conoh : v () = + 5 m/de ( ) = ( ). X v maka persamaan posisi iik maeri ersebu adalah... r = r = v + 5 + 5 + C meer Dengan C adalah suau konsana. Harga C dicari dengan suau syara baas erenu, misalnya : = 0 r () = 0 maka harga C dapa dihiung C = 0 PERCEPATAN Kecepaan iik maeri dapa berubah-ubah seiap saa baik besar, aau arah, aaupun kedua-duanya yang disebabkan oleh karena adanya percepaan yang dialami oleh iik maeri ersebu. Jika pada saa 1 kecepaan v 1 dan pada saa kecepaannya v, percepaan raa-raanya dalam selang waku = - 1 didefinisikan sebagai : v a = = v v 1 1 Percepaan sesaanya : L i m a = 0 ( ) v ( ) = dv dv d dr d r a = = = Percepaan merupakan uunan perama dari kecepaan erhadap waku () aau urunan kedua dari posisi erhadap waku (). Kecepaan sesaa dari suau iik maeri dapa diliha dari kemiringan komponen grafik kecepaan (v) erhadap waku ().
dari grafik di samping besar percepaan sesaa : a 1 = g α 1 a = g α Percepaan dalam arah masing-masing sumbu dalam bidang/ruang dapa diuliskan sebagai : a a a X Y Z dv X d x = = dv Y d y = = dv Z d z = = Sebaliknya unuk menenukan kecepaan dari grafik fungsi percepaan erhadap waku dengan cara menginegralkan : v = v0 + a( ) 0
KESIMPULAN : Posisi iik maeri, kecepaan dan percepaan merupakan besaran vekor, sehingga dapa dinyaakan dengan VEKTOR SATUAN. POSISI r = x i+ y j+ z k KECEPATAN v = v i+ v j+ v k X Y dx dy dz v = i+ j+ k Z PERCEPATAN a = a i+ a j+ a k X Y dvx dvy dvz a = i+ j+ k a i+ j+ d X d Y d Z = k Z
CONTOH 1. CONTOH SOAL. (akan dibahas di kelas) Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dengan posisi : _ x = 3 4 16. Carilah kedudukan benda pada saa = 3 deik. 3. Hiunglah perpindahan/pergeseran selama 3 deik perama. 4. Hiunglah kecepaan raa-raa selama deik perama. 5. Hiunglah kecepaan raa-raa selama deik kedua. 6. Hiunglah kecepaan pada saa = deik. 7. Hiunglah percepaan raa-raa selama deik keiga. 8. Hiunglah percepaan pada saa = 3 deik. 9. Hiunglah kecepaan dan percepaan pada saa benda di x = 0 10. carilah kedudukan benda pada saa kecepaannya NOL. 11. Carilah kedudukan benda pada saa kecepaannya maksimum 1. Hiunglah selang waku benda bergerak ke kiri. 13. Hiunglah selang waku benda bergerak ke kanan. 14. Hiunglah waku yang dibuuhkan benda unuk kembali ke empa semula seelah bergerak. 15. Carilah kedudukan benda saa benda epa berbalik arah. 16. Carilah kledudukan benda pada saa percepaannya 10 m/s 17. Carilah kedudukan benda pada saa kecepaannya 11 m/s 18. Hiunglah panjang linasan yang diempuh selama 3 deik perama. CONTOH. Suau benda bergerak dengan vekor percepaan sebagai beriku : Y 5 a 0 3 X
Pada saa = 0 v x =, v y = 0 dan r x =, r y = 4. Hiunglah kelajuan raa-raa deik perama. 3. Hiunglah kelajuan pada saa = deik. 4. Hiunglah pergeseran pada saa deik perama. 5. Hiunglah kecepaan raa-raa deik kedua. 6. Hiunglah kecepaan pada saa = 4 deik. 7. Carilah posisi iik pada deik kedua. CONTOH 3. Suau benda bergerak sepanjang sumbu-x dengan grafik fungsi percepaan erhadap waku sebagai beriku : a(m/s ) 6 0 6 (s) Pada saa = 0, v = 0 dan x = 0. Carilah kedudukan benda pada saa = 3 deik. 3. Hiunglah perpindahan selama 3 deik perama. 4. Hiunglah kecepaan raa-raa selama deik kedua. 5. Hiunglah kecepaan pada saa = deik. 6. Hiunglah kecepaan pada saa benda kembali ke iik asal seelah bergerak. 7. Carilah kedudukan benda pada saa jkecepaannya maksimum. 8. Hiunglah selang waku benda bergerak ke kiri. 9. Hiunglah selang waku benda bergerak ke kanan. 10. Carilah kedudukan benda pada saa benda epa berbalik arah. 11. Hiunglah panjang linasan yang diempuh selama 3 deik perama.
CONTOH 4. Suau benda bergerak sepanjang sumbu x dengan percepaan sebesar : A = x + 4 pada saa x = 0 v = 4 m/s. Hiunglah kecepaannya pada x = 4 meer. CONTOH 5. a(m/s ) 6 4 0 4 7 (s) Suau benda bergerak sepanjang sumbu x dengan grafik percepaan erhadap waku seperi grafik di aas. Pada saa = 0, v = m/s dan x = 10 m.. Hiunglah kecepan raa-raa pada selang waku = 3 deik dan = 6 deik. 3. Hiunglah jarak yang diempuh = 0 hingga deik ke lima. TUGAS SOAL-SOAL 1. Sebuah parikel bergerak searah dengan sumbu x, percepaannya a = 5 + 4 (a dalam m/s dan dalam deik). Mula-mula parikel ersebu erleak pada x = 10 meer dengan kecepaan 6 m/deik. Tenukanlah : a. Posisi parikel pada = 4 deik. b. Kecepaan parikel pada = 5 deik. c. Posisi parikel pada saa kecepaannya 1 m/deik. d. Kecepaan parikel pada saa percepaannya 0 m/s.
. Suau benda bergerak sepanjang sumbu-x mengikui persamaan x = 3 + 5-5 dengan x dalam meer dan dalam deik. a. Tenukan persaman kecepaan dan persamaan percepaan. b. Tenukan posisi, kecepaan dan percepaan pada = s. c. Tenukan kecepaan raa-raa sera percepaan raa-raa anara = s dan = 3 s. 3. Benda dengan kecepaan awal nol dipercepa dengan a x = 3 m/s dan a y = -4 m/s selama periode deik. Carilah besar dan arah v pada akhir dari waku iu. 4. Gerakan sebuah parikel merupakan fungsi posisi yang dinyaakan dengan persamaan a = 4x + 3 (a dalam m/de dan x dalam meer) pada saa x = 0 kecepaannya m/deik. Tenukan kecepaan parikel ersebu pada saa x = 6 m 5. Suau benda bergerak sepanjang sumbu x dengan : r = 1 4 3 6 + 10 + 6 Dimana posisi benda ersebu pada saa kecepannya maksimum. 6. Suau benda mempunyai vecor posisi : = 3 4 r x dan r = ( +1) y Tenukan persamaan kecepaan pada saa perlajuannya sauan. 7. a (m/s ) 6 (s) 3 6 1 Benda bergerak sepanjang sumbu x menuru grafik percepaan seperi di aas. Pada saa = 0, v = 0 dan r = 0. carilah posisi benda pada saa deik ke-9
8. a(m/s ) 4 A B 4 (s) Benda A dan B bergerak sepanjang sumbu x, menuru grafik percepaan di aas, keduanya berangka bersamaan dan dari empa yang sama menuju arah yang sama, pada saa = 0, v = 0 dan r = 0, kapan dan dimana A dan B beremu kembali. ----o0o---o0o---o0o---o0o----