MATEMATIKA DASAR (Ekivalensi dan Kuantifikasi)

MATEMATIKA DASAR (Ekivalensi dan Kuantifikasi) Antonius Cahya Prihandoko Universitas Jember Indonesia Jember, 2015 Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 1 / 20

Outline 1 Ekivalensi 2 Tautologi dan Kontradiksi 3 Kuantifikasi Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 2 / 20

Ekivalensi Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 3 / 20

Ekivalensi Definisi Proposisi p dan q dikatakan ekivalen jika p memiliki nilai kebenaran yang sama dengan nilai kebenaran q In other words p ekivalen dengan q bila p q bernilai benar Catatan Dua proposisi yang ekivalen dikatakan sebagai dua proposisi yang berekivalensi logis Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 4 / 20

Ekivalensi Contoh suatu kondisional ekivalen dengan kontrapositifnya, atau secara notasi dituliskan: (p q) ( q p); sedangkan kondisional, (p q), tidak ekivalen dengan konversnya, (q p). Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 5 / 20

Ekivalensi Hukum De Morgan Sehubungan dengan proposisi-proposisi yang saling ekivalen, maka dengan mempergunakan tabel kebenaran dapat ditunjukkan bahwa: 1 (p q) ekivalen dengan ( p) ( q); 2 (p q) ekivalen dengan ( p) ( q). Ekivalensi tersebut akan memudahkan untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi maupun disjungsi. Contoh Negasi dari harga BBM naik atau subsidi dikurangi adalah harga BBM tidak naik dan subsidi tidak dikurangi ; Negasi dari gajinya dinaikkan dan rumahnya diperbaiki adalah gajinya tidak dinaikkan atau rumahnya tidak diperbaiki Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 6 / 20

Ekivalensi Tunjukkan bahwa pasangan proposisi berikut ekivalen 1 p q dan p q; 2 p ( q) dan (p q). Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 7 / 20

Ekivalensi Sifat-sifat proposisi yang ekivalen 1 p p 2 (p q) (q p) 3 [(p q) (q r)] (p r) catatan Karena p q bernilai benar hanya p ekivalen dengan q, maka p q dapat digunakan untuk menyatakan p q. Ada juga yang memberi arti simbol pada proposisi (p q) ((p q) (q p)) sebagai =. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 8 / 20

Tautologi dan Kontradiksi Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 9 / 20

Tautologi Definisi Tautologi adalah proposisi majemuk yang selalu benar apapun nilai kebenaran komponen-komponennya, dan dikatakan benar secara logika. Contoh (p q) p merupakan tautologi, sedangkan (p q) (p q) bukan merupakan tautologi. Selidiki dengan menggunakan tabel kebenaran! Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 10 / 20

Kontradiksi Definisi Kontradiksi adalah proposisi majemuk yang selalu salah apapun nilai kebenaran komponen-komponennya, dan dikatakan salah secara logika. Contoh p p merupakan tautologi, tetapi p p merupakan kontradiksi. Buktikan! Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 11 / 20

Latihan 1 Buktikan bahwa (p p) merupakan tautologi! 2 Apakah setiap dua tautologi berekivalensi secara logis? 3 Buktikan setiap pernyataan berikut: a. p (p p) b. p (p p) c. (p q) ( p q) (de Morgan s law) d. (p q) ( p q) (de Morgan s law) 4 Buktikan bahwa (p q) tidak ekivalen dengan (p q) 5 Buktikan bahwa (p q) (p q) merupakan kontradiksi. 6 Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology? a. p (p q) b. p (p q) c. p q) p d. p q) p e. q (p q) Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 12 / 20

Kuantifikasi Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 13 / 20

Kuantifikasi Definisi Kuantifikasi adalah proposisi yang menunjukkan suatu keberadaan dan biasanya menggunakan kata-kata semua, setiap, beberapa, ada. Kuantifikasi dikelompokkan ke dalam kuantifikasi universal dan kuantifikasi eksistensial. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 14 / 20

Kuantifikasi Universal Definisi Kuantifikasi universal merupakan suatu proposisi yang benar secara menyeluruh dalam suatu semesta pembicaraan. Kuantifikasi ini mempergunakan kata semua atau setiap. Proposisi yang mempergunakan kata semua atau setiap dapat dinyatakan sebagai suatu kondisional. Semua p adalah q dapat dinyatakan sebagai Jika p maka q. Contoh Semua bilangan genap habis dibagi dua dapat dinyatakan sebagai Jika bilangan genap maka habis dibagi dua ; Untuk setiap bilangan cacah a, a + 2 = 2 + a dapat dinyatakan sebagai Jika a bilangan cacah, maka a + 2 = 2 + a Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 15 / 20

Kuantifikasi Universal Catatan Kalimat yang dimulai dengan kata hanya dapat diganti dengan kalimat yang dimulai dengan kata semua asalkan subyek dan predikatnya harus saling dipertukarkan. Contoh Hanya mahasiswa yang mendapat nilai A yang diluluskan dapat diganti dengan Semua mahasiswa yang diluluskan mendapat nilai A. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 16 / 20

Kuantifikasi Eksistensial Definisi Proposisi ini dimaksudkan untuk menyatakan bahwa paling tidak ada satu unsur yang membuat proposisi itu benar. Proposisi semacam ini mempergunakan kata-kata beberapa atau ada. Proposisi berikut bernilai sama ada pemain basket yang bertubuh pendek; paling tidak ada seorang pemain basket yang bertubuh pendek; beberapa pemain basket bertubuh pendek. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 17 / 20

Negasi Kuantifikasi Aturan 1 semua P adalah Q negasinya beberapa P tidak Q 2 beberapa P adalah Q negasinya semua P tidak Q Contoh semua manusia tidak berekor negasinya beberapa manusia berekor ; beberapa mahasiswa mengisi daftar hadir negasinya semua mahasiswa tidak mengisi daftar hadir. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 18 / 20

Latihan 1 Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut ini. 1 Semua jenis ikan bertelur. 2 Beberapa astronot adalah warga Amerika. 3 Semua kelinci berwarna putih. 4 Semua kerbau mandi di sungai. 5 Hanya seekor ayam yang belum masuk ke kandang. 6 Tidak ada dua orang yang serupa. 7 Untuk beberapa orang, jika makan sambal maka akan sakit perut. 2 Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini ke dalam bentuk implikasi. 1 Manusia perlu makan untuk hidup. 2 Semua orang yang bercita-cita tinggi suka bekerja keras. 3 Tidak seorang manusiapun dapat terbang. 4 Agar dua buah segitiga sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian dalam kedua segitiga haruslah sama besar. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 19 / 20

TERIMA KASIH Selamat belajar dan sukses Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 20 / 20