BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program liier Program liier adalah suatu tekik peyelesaia optimal atas suatu problema keputusa dega cara meetuka terlebih dahulu fugsi tujua (memaksimalka atau memiimalka) da kedala-kedala yag ada ke dalam model matematik persamaa liier. Metode aalisis yag palig bagus utuk meyelesaika persoala alokasi sumber ialah metode program liier. Pokok pikira yag utama dalam megguaka program liier ialah merumuska masalah dega jelas dega megguaka sejumlah iformasi yag tersedia. Sesudah masalah terumuska dega baik, maka lagkah berikutya ialah meerjemahka masalah yag ada ke dalam model matematika. Program liier serig diguaka dalam meyelesaika problema-problema alokasi sumber daya, seperti dalam bidag maufacturig, pemasara, keuaga, persoalia, admiistrasi da lai sebagaiya. Betuk stadar dari permasalaha program liier adalah: a. Peulisa dalam betuk skalar utuk kasus maksimasi Maksimumka : f x 1, x 2,, x = Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c x (2.1) Dega kedala : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1 x = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2 x = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a m x = b Uiversitas Sumatera Utara

x 1, x 2,, x 0 Atau dapat juga ditulis dega megguaka lambag pejumlaha yaitu: Maksimumka : f x 1, x 2,, x = Z = Dega kedala: j =1 a ij x j = b i, i = 1, 2,, m x j 0, j = 1, 2,, Di maa c j, b i da a ij diketahui kosta. (2.2) Keteraga: c j = parameter yag dijadika kriteria optimisasi, atau koefisie peubah pegambila keputusa dalam fugsi tujua. Utuk kasus maksimasi c j meujukka keutuga atau peerimaa per uit, semetara dalam kasus miimasi c j meujukka biaya per uit. x j = peubah pegambila keputusa atau kegiata (yag igi dicari; yag tidak diketahui). Karea j = 1, 2,, berarti dalam hal ii terdapat variabel keputusa. a ij = koefisie tekologi peubah pegambila keputusa dalam kedala ke-i. b i = sumber daya yag terbatas, yag membatasi kegiata atau usaha yag bersagkuta; disebut juga kostata sebelah kaa dari kedala ke-i. Karea i = 1, 2,, m berarti dalam hal ii terdapat m jeis sumber daya. Z = Nilai skalar kriteria pegambila keputusa ilai fugsi tujua. b. Peulisa dalam betuk matriks utuk kasus maksimasi Maksimumka : Z = c T X (2.3) Dega kedala : AX = B da X 0 Uiversitas Sumatera Utara

Dimaa X = x 1 x 2 x, B = Da T meyataka traspose. b 1 b 2 b, c = c 1 c 2 c, A = a 11 a 21 a 12 a 22 a m1 a m2 a 1 a 2 a m 2.2 Asumsi-asumsi yag Harus Dipeuhi dalam Program Liier Ada beberapa asumsi yag harus dipeuhi dalam merumuska suatu problema keputusa ke dalam model matematik persamaa liier sehigga problema itu dapat dikataka absah mejadi suatu permasalaha program liier, yaitu: a. Asumsi Liierity (Liieritas) Asumsi ii meyataka bahwa fugsi tujua da semua kedala harus berbetuk liier. Dega kata lai, apabila suatu kedala melibatka dua variabel keputusa maka dalam diagram dimesi dua kedala tersebut aka berupa suatu garis lurus. Demikia juga apabila suatu kedala melibatka tiga variabel aka meghasilka suatu bidag datar da kedala yag melibatka variabel aka meghasilka hyperplae (betuk geometris yag rata) dalam ruag berdimesi. b. Asumsi Additivity (Aditivitas/ Peambaha) Asumsi ii meyataka bahwa ilai parameter suatu kriteria optimasi (koefisie variabel keputusa da fugsi tujua) merupaka jumlah dari idividu-idividu c j dalam program liier. Misalya, keutuga total Z yag merupaka variabel keputusa, sama dega jumlah keutuga yag diperoleh dari masig-masig kegiata (c j x j ). Da juga, seluruh sumber daya yag diguaka utuk semua kegiata harus sama dega jumlah sumber daya yag diguaka utuk masig-masig kegiata. c. Asumsi Proportioality (Proporsioalitas/ Kesebadiga) Asumsi ii meyataka bahwa jika variabel keputusa (x j ) megalami perubaha, maka dampak perubahaya aka meyebar dalam proporsi yag sama terhadap fugsi tujua Uiversitas Sumatera Utara

(c j x j ) da juga pada kedalaya (a ij x j ). Misalya, apabila variabel keputusa diaikka dua kali. Maka secara proporsioal (seimbag da serasi) ilai-ilai fugsi tujua da kedalaya juga aka mejadi dua kali lipat. d. Asumsi Divisibility (Divisibilitas/ Pembagia) Asumsi ii meyataka bahwa ilai variabel keputusa (x j ) yag diperoleh tidak harus berupa bilaga bulat, artiya ilai variabel keputusa bisa diperoleh pada ilai pecaha. e. Asumsi Certaity (Determiistik/ Kepastia) Asumsi ii meghedaki bahwa semua parameter dalam program liier (c j, a ij da b i ) harus berilai tetap da diketahui atau ditetuka secara pasti. 2.3 Metode Simpleks Pada umumya permasalaha program liier dapat diselesaika dega megguaka metode grafik da metode simpleks. Kedua metode ii tetuya memiliki kebaika da kelemahaya. Aplikasi kedua metode ii tergatug atas problema yag dihadapi. Metode grafik diguaka apabila jumlah variabel keputusa haya dua da jumlah kedala dalam model sedikit (pada umumya tidak lebih dari 4 kedala). Apabila jumlah kedalaya bayak (> 4 kedala), maka aka sukar utuk melukiska garis kedalaya dalam grafik. Sehigga meskipu permasalaha program liier dapat diselesaika dega megguaka metode grafik, aka tetapi utuk permasalaha program liier dega lebih dari 3 variabel maka metode grafik ii tidak dapat diguaka. Oleh karea itu, pada tahu 1947 George Datzig megajuka satu metode yag palig berhasil utuk meyelesaika suatu permasalaha program liier, da metode itu diamaka metode simpleks da telah diperbaiki oleh beberapa ahli lai. Uiversitas Sumatera Utara

Metode simpleks adalah suatu metode yag secara sistematis dimulai dari suatu pemecaha dasar yag fisibel ke pemecaha dasar fisibel (feasible) laiya da ii dilakuka berulag-ulag (dega jumlah ulaga yag terbatas) sehigga akhirya tercapai suatu pemecaha dasar yag optimum da pada setiap step/ iterasi meghasilka suatu ilai dari fugsi tujua yag selalu lebih besar atau sama dari step-step sebelumya (Suprato, 1983). 2.3.1 Lagkah-lagkah Metode Simpleks Megubah betuk baku model program liier ke dalam betuk tabel aka memudahka proses perhituga simpleks. Lagkah-lagkah perhituga dalam algoritma simpleks adalah: a. Berdasarka betuk baku, tetuka solusi awal (iitial basic feasible solutio) dega meetapka -m variabel obasis sama dega ol. Di maa jumlah variabel da m bayakya kedala. b. Kemudia dipilih sebuah eterig variable (variabel yag masuk) di atara yag sedag mejadi variabel obasis, yag jika diaikka di atas ol, dapat memperbaiki ilai fugsi tujua. Apabila tidak ada maka berheti, berarti solusi sudah optimal. Jika tidak, maka lajutka ke lagkah c. c. Selajutya pilih sebuah leavig variable (variabel yag keluar) di atara yag sedag mejadi variabel basis yag harus mejadi obasis (ilaiya mejadi ol) ketika eterig variable mejadi variabel basis. d. Tetuka solusi yag baru dega membuat eterig variable da leavig variable mejadi obasis. Selajutya kembali ke lagkah b. Selajutya aka dijelaska lagkah-laghkah peyelesaia persoala yag formulasiya mempuyai betuk sebagai berikut: Maksimumka: Z = Dega kedala: (2.4) Uiversitas Sumatera Utara

j =1 a ij x j b i, x j 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, Perhituga simpleks yag lebih rici aka diteragka dega lagkah berikut: Lagkah 1 : Megubah fugsi tujua da fugsi kedala. Fugsi tujua diubah mejadi betuk implisit dega jala meggeser semua c j x j ke kiri. Fugsi kedala selai kedala oegatif diubah mejadi betuk persamaa dega meambahka variabel slack, yaitu suatu variabel yag mewakili tigkat pegaggura kapasitas yag merupaka batasa. Lagkah 2 : Metabulasika persamaa-persamaa yag diperoleh pada lagkah 1. Tabel 2.1 Betuk Umum Tabel Simplek Awal Basis C C 1 C 2.. C 0 0.. 0 Solusi x 1 x 2.. x S 1 S 2.. S m S 1 0 a 11 a 12.. a 1 1 0.. 0 b 1 S 2 0 a 21 a 22.. a 2 0 1.. 0 b 2.......................... S m 0 a m1 a m2.. a m 0 0.. 1 b m Z j C j C 1 C 2.. C m 0 0.. 0 0 Kolom baris meujukka variabel yag sedag mejadi basis yaitu S 1, S 2,, S m yag ilaiya ditujukka oleh kolom solusi. Secara tidak lagsug ii meujukka bahwa variabel obasis x 1, x 2,, x (yag tidak ditujukka pada kolom basis) sama dega ol. Uiversitas Sumatera Utara

Lagkah 3 : Meetuka eterig variable (variabel yag masuk). Tabel di atas memperlihatka bahwa pada baris Z j C j kolom x 1, x 2,, x ilaiya egatif. Utuk persoala dega fugsi maksimasi, baris Z j C j dapat diperbaiki dega meigkatka ilai x 1, x 2,, x pada baris Z j c j mejadi tidak egatif. Utuk itu pilihlah kolom pada baris Z j C j (termasuk kolom slack) yag mempuyai ilai egatif terbesar, selajutya kolom ii diguaka sebagai eterig variable. Jika ditemuka lebih dari satu ilai egatif agka terbesar pilihlah salah satu, sebalikya jika tidak ditemuka ilai egatif berarti solusi sudah optimal. Sebalikya utuk kasus miimasi, pilihlah kolom pada baris Z j C j yag ilaiya positif terbesar. Jika tidak ditemuka ilai positif berarti solusi sudah optimal. Da pada persoala di atas kolom x 2 merupaka eterig variable. Lagkah 4 : Meetuka leavig variable (variabel yag keluar). Leavig variable dipilih dari rasio yag ilaiya positif terkecil. Rasio diperoleh dega cara membagi ilai solusi dega koefisie pada kolom eterig ya. Rasio = ilai solusi koefisie kolom eterigya (2.5) Baris yag memiliki rasio yag ilaiya positif terkecil selajutya aka diguaka sebagai leavig variable. Jika tidak ada eleme yag ilaiya positif dalam kolom kuci (kolom eterig variable) ii, maka persoala tidak memiliki pemecaha. Kolom pada eterig variable diamaka eterig colum, da baris yag berhubuga dega leavig variable diamaka persamaa pivot. Eleme pada perpotoga eterig colum da persamaa pivot diamaka eleme pivot. Lagkah 5 : Meetuka persamaa pivot baru. Persamaa pivot baru = persamaa pivot lama eleme pivot (2.6) Uiversitas Sumatera Utara

Lagkah 6 : Meetuka persamaa-persamaa baru selai persamaa pivot baru. Persamaa baru = (Persamaa lama) (Koefisie kolom eterig x persamaa pivot baru) (2.7) Lagkah 7 : Lajutka perbaika-perbaika. Lakuka lagkah perbaika dega cara megulag lagkah 3 sampai lagkah 6 higga diperoleh hasil optimal. 2.3.2 Program QM Program QM adalah paket program komputer utuk meyelesaika persoala-persoala metode kuatitatif, maajeme sais atau riset operasi. Program QM juga adalah salah satu software yag dapat diguaka utuk membatu perhituga masalah program liier. Gambar 2.1 Tampila Semetara (Splash) dari Program QM Uiversitas Sumatera Utara

2.4 Teori Himpua Crisp Da Teori Himpua Fuzzy Himpua Crisp A didefiisika oleh item-item yag ada pada himpua itu. Pada teori himpua Crisp, keberadaa suatu eleme pada suatu himpua A, haya aka memiliki dua kemugkia keaggotaa, yaitu mejadi aggota A atau tidak mejadi aggota A (Chak, 1998). Suatu ilai yag meujukka seberapa besar tigkat keaggotaa suatu eleme x dalam suatu himpua A, serig disebut dega ama ilai keaggotaa atau derajat keaggotaa, diotasika dega μ A x. Pada himpua Crisp, haya ada 2 ilai keaggotaa, yaitu μ A x = 1 utuk x mejadi aggota A, da μ A x = 0 utuk x buka aggota A. Teori himpua fuzzy yag ditemuka oleh Lotfi A. Zadeh pada tahu 1965 merupaka keragka matematis yag diguaka utuk mempresetasika ketidakpastia, ketidakjelasa, ketidaktepata, kekuraga iformasi, da kebeara parsial (Tettamazi, 2001). Himpua fuzzy didasarka pada gagasa utuk memperluas jagkaua fugsi karakteristik sedemikia higga fugsi tersebut aka mecakup bilaga real pada iterval 0, 1. Nilai keaggotaaya meujukka bahwa suatu item dalam semesta pembicaraa tidak haya berada pada 0 atau 1, amu juga ilai yag terletak diataraya. Dega kata lai, ilai kebeara suatu item tidak haya berilai bear atau salah. Nilai 0 meujukka salah, ilai 1 meujukka bear, da masih ada ilai-ilai yag terletak atara bear da salah. Meurut (Kusumadewi, 2002) Misalka dimiliki variabel umur yag dibagi mejadi 3 kategori, yaitu: MUDA umur < 35 tahu SETENGAH BAYA 35 tahu umur 55 tahu TUA umur > 55 tahu Dega megguaka pedekata himpua Crisp, amatlah tidak adil utuk meetapka ilai SETENGAH BAYA. Pedekata ii bisa saja dilakuka utuk hal-hal yag bersifat diskotiu. Misalka klasifikasi utuk umur 55 tahu da 56 tahu Uiversitas Sumatera Utara

sagatlah jauh berbeda, di maa umur 55 tahu termasuk dalam setegah baya, sedagka umur 56 tahu termasuk sudah tua. Demikia juga halya utuk klasifikasi muda da tua. Orag yag berumur 34 tahu dikataka muda, sedagka orag yag berumur 35 tahu sudah tidak muda lagi. Orag yag berumur 55 tahu termasuk stegah baya meurut pegklasifikasia, tetapi orag yag berumur 55 tahu lebih 1 hari sudah tidak setegah baya lagi tetapi sudah termasuk tua. 2.5 Fugsi Keaggotaa Trapezoidal (Trapesium) Fugsi keaggotaa (membership fuctio) adalah suatu kurva yag meujukka pemetaa titik-titik iput data ke dalam ilai keaggotaaya (serig juga disebut dega derajat keaggotaa) yag memiliki iterval atara 0 sampai 1. Atau dapat diotasika sebagai berikut : μ A : R 0, 1 Utuk x R maka µ A (x) adalah derajat keaggotaa x dalam A. Suatu fugsi keaggotaa himpua fuzzy disebut fugsi keaggotaa trapezoidal jika mempuyai empat buah parameter, yaitu a, b, c, d R dega a < b < c < d, da diyataka dega Trapesium x, a, b, c, d dega atura: x a b a 1 utuk b x c Trapesium x; a, b, c, d = d x d c utuk a x b (2.8) utuk c x d 0 utuk laiya berikut: Fugsi keaggotaa tersebut dapat juga diyataka dega formula sebagai Uiversitas Sumatera Utara

Trapesium x; a, b, c, d = max mi x a d x, 1, b a d c, 0 (2.9) 2.6 Fuzzy Liear Programmig (FLP) Dalam fuzzy liear programmig aka dicari suatu ilai Z yag merupaka fugsi objektif yag aka dioptimasika sedemikia higga tuduk pada batasa-batasa yag dimodelka dega megguaka himpua fuzzy. Betuk umum dari fuzzy liear programmig (FLP) utuk kasus maksimasi adalah: Maksimumka: Z = Dega kedala: j =1 cj x j (2.10) j =1 a ij x j b i, i = 1, 2,, m x j 0, j = 1, 2,, Di maa cj, a ij, da b i semuaya adalah bilaga fuzzy. Keteraga: Z = Fugsi tujua cj = Nilai kotribusi x j = Variabel keputusa a ij = Koefisie tekologi b i = Kostata sebelah kaa (sumber daya) 2.6.1 Program Liier Dega Koefisie Tekologi Berbetuk Bilaga Fuzzy Betuk umum dari program liier dega koefisie tekologi berbetuk bilaga fuzzy utuk kasus maksimasi adalah: Uiversitas Sumatera Utara

Maksimumka: Dega kedala: Z = (2.11) j =1 a ij x j b i, i = 1, 2,, m x j 0, j = 1, 2,, Utuk kasus program liier dega koefisie tekologi berbetuk bilaga fuzzy, terdapat beberapa asumsi yag harus dipeuhi, yaitu: Asumsi 1: Koefisie tekologi memeuhi syarat fugsi keaggotaa liier berikut: a ij dikataka berbetuk bilaga fuzzy apabila 1 jika x < a ij (2.12) μ aij x = a ij +d ij x d ij jika a ij x < a ij d ij 0 jika x a ij + d ij di maa x R da d ij > 0 utuk semua i = 1, 2,, m, j = 1, 2,,. Defuzzyfikasi adalah perubaha dari suatu besara fuzzy ke suatu besara umerik, sedagka fuzzyfikasi adalah perubaha dari besara umerik ke suatu besara fuzzy. Utuk medefuzzyfikasi permasalaha ii, pertama-tama fugsi objektif (tujua) harus diubah ke dalam kodisi fuzzy, yaitu dega meghitug batas bawah (Z l ) da batas atas (Z u ) dari ilai optimal awal. Batas-batas dari ilai optimal ii aka diperoleh dega meyelesaika permasalaha program liier stadar berikut: Maksimumka: Z 1 = Dega kedala: (2.13) j =1 a ij x j b i, i = 1, 2,, m Uiversitas Sumatera Utara

x j 0, j = 1, 2,, Da juga Maksimumka: Z 2 = Dega kedala: (2.14) j =1 a ij + d ij x j b i, i = 1, 2,, m x j 0, j = 1, 2,, Dari persamaa di atas, ilai dari fugsi objektif (tujua) berada di atara Z 1 da Z 2 di maa ilai koefisie tekologi megalami perubaha di atara a ij da a ij + d ij. Dega ilai batas bawah Z l = mi Z 1, Z 2 da ilai batas atas Z u = max Z 1, Z 2. Asumsi 2: Permasalaha liier crisp yaitu persamaa Z 1 da Z 2 di atas memiliki ilai optimal yag terbatas. Pada kasus ii ilai optimal dari himpua fuzzy G, di maa merupaka himpua bagia dari R, dalam buku Klir da Yua didefiisika sebagai: 0 jika < Z l (2.15) μ G x = j =1 C j x j Z l Z u Z l jika Z l 1 jika Z u < Z u Himpua fuzzy dari kedala ke-i, yaitu C i yag merupaka himpua bagia dari R m, didefiisika ke dalam persamaa: 0, b i < j =1 a ij x j (2.16) μ Ci x = b i j =1 a ij x j j =1 d ij x j, j =1 a ij x j b i < a ij + d ij x j 1, b i j =1 a ij + d ij x j j =1 Uiversitas Sumatera Utara

Dega megguaka defiisi keputusa fuzzy yag diperkealka oleh Bellma da Zadeh, maka terdapat: μ D x = mi μ G x, mi i μ Ci x (2.17) Utuk kasus ii keputusa fuzzy yag optimal adalah solusi dari permasalaha: max x 0 μ D x = max x 0 mi μ G x, mi i μ Ci x (2.18) Dega demikia betuk umum dari program liier dega koefisie tekologi berbetuk bilaga fuzzy mejadi permasalaha optimisasi: Maksimumka: Z = λ (2.19) Dega kedala: μ G x λ μ Ci x λ, i = 1, 2,, m x 0, 0 λ 1 Dega megguaka persamaa (2.15) da (2.16), permasalaha di atas dapat ditulis ke dalam betuk: Maksimumka: Dega kedala: Z = λ (2.20) λ Z u Z l + Z l 0 j =1 a ij + λd ij x j b i 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, x j 0, 0 λ 1 Dega catata kedala dalam permasalaha ii megadug atura cross product yaitu λx j adalah okoveks. Oleh Karea itu solusi dari permasalaha ii memerluka Uiversitas Sumatera Utara

peyelesaia khusus yag diadopsi dari peyelesaia permasalaha optimisasi okoveks. 2.6.2 Program Liier Dega Koefisie Tekologi Da Kostata Sebelah Kaa Berbetuk Bilaga Fuzzy Betuk umum dari program liier dega koefisie tekologi da kostata sebelah kaa berbetuk bilaga fuzzy utuk kasus maksimasi adalah: Maksimumka: Z = Dega kedala: (2.21) j =1 a ij x j b i, i = 1, 2,, m x j 0, j = 1, 2,, Utuk kasus program liier dega koefisie tekologi da kostata sebelah kaa berbetuk bilaga fuzzy, terdapat beberapa asumsi yag harus dipeuhi, yaitu: Asumsi 1: Koefisie tekologi a ij da kostata sebelah kaa b i dikataka berbetuk bilaga fuzzy apabila memeuhi syarat fugsi keaggotaa liier berikut: 1 jika x < a ij (2.22) μ aij x = a ij +d ij x d ij jika a ij x < a ij + d ij 0 jika x a ij + d ij Da juga Uiversitas Sumatera Utara

1 jika x < b i (2.23) μ bi x = b i +p i x d ij jika b i x < b i + p i 0 jika x b i + p i Di maa x R. Utuk medefuzzyfikasi permasalaha ii, pertama-tama aka dicari ilai optimal dari batas atas Z u da batas bawah Z l permasalaha tersebut. Nilai batas-batas tersebut aka diperoleh dega meyelesaika permasalaha program liier stadar, dega megasumsika bahwa batas-batas tersebut memiliki ilai optimal yag terbatas. Utuk Z 1, persamaaya adalah: Maksimumka: Z 1 = Dega kedala: (2.24) j =1 a ij + d ij x j b i, i = 1, 2,, m x j 0, j = 1, 2,, Utuk Z 2, persamaaya adalah: Maksimumka: Z 2 = Dega kedala: (2.25) j =1 a ij x j b i + p i, i = 1, 2,, m x j 0, j = 1, 2,, Utuk Z 3, persamaaya adalah: Maksimumka: Z 3 = Dega kedala: (2.26) j =1 a ij + d ij x j b i + p i, i = 1, 2,, m Uiversitas Sumatera Utara

x j 0, j = 1, 2,, Da utuk Z 4, persamaaya adalah: Maksimumka: Z 4 = Dega kedala: (2.27) j =1 a ij x j b i, i = 1, 2,, m x j 0, j = 1, 2,, Maka batas bawah Z l = mi Z 1, Z 2, Z 3, Z 4 da batas atas Z u = max Z 1, Z 2, Z 3, Z 4. Nilai dari fugsi objektif berada di atara batas bawah da batas atas semetara ilai koefisie tekologi berada di atara a ij da a ij + d ij, da ilai kostata sebelah kaa berada di atara b i da b i + p i. Asumsi 2: Nilai optimal himpua fuzzy G, didefiisika sebagai: 0 jika < Z l (2.28) μ G x = j =1 C j x j Z l Z u Z l jika Z l < Z u 1 jika Z u Himpua fuzzy dega kedala ke-i yaitu C i yag merupaka himpua bagia dari R didefiisika ke dalam: μ Ci x = 0, b i < j =1 a ij x j (2.29) b i j =1 a ij x j j =1 d ij x j, j =1 a ij x j b i a ij x j + p i j =1 1, b i j =1 a ij + d ij x j + p i Dega megguaka metode defuzzyfikasi, permasalaha direduksi mejadi: Maksimumka: Z = λ (2.30) Uiversitas Sumatera Utara

Dega kedala: λ Z u Z l + Z l 0 j =1 a ij + λd ij x j + λp i b i 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, x j 0, 0 λ 1 Dega catata seperti pada kasus program liier dega koefisie tekologi berupa bilaga fuzzy. Uiversitas Sumatera Utara