1 Page 1 of 25
Himpunan Bilangan dan Fungsi Page 1 of 25 October 5, 2011
CONTENTS 1 Himpunan Bilangan 3 1.1 Himpunan Bilangan Asli.................................. 3 1.2 Himpuan Bilangan Cacah................................. 7 1.3 Himpuan Bilangan Bulat................................. 7 1.4 Himpuan Bilangan Rasional................................ 8 1.5 Himpunan Bilangan Irasional dan Himpunan Bilangan Riil................ 9 1.6 Perkembangan perhitungan π............................... 11 2 Perkalian Kartesius, Relasi dan Fungsi 15 2.1 Perkalian Kartesius.................................... 15 2.2 Relasi........................................... 17 2.3 Sifat-sifat Relasi...................................... 18 2.4 Fungsi........................................... 23 2.5 Jenis-Jenis Fungsi..................................... 24 Page 1 of 25
BAB 1 HIMPUNAN BILANGAN Page 2 of 25 Bilangan walaupun merupakan konsep yang sangat abstrak, namun penggunaannya tidak bisa dilepaskan dengan kehidupan manusia sejak dini. Untuk menggambarkan bilangan, kita menggunakan lambang bilangan (angka). Dalam kaitan dengan operasi hitung dan matematka umumnya, lambang bilangan yang kita pakai adalah lambang bilangan Hindu- Arab yang terdiri atas sembilan angka 0,1,2,...9. Selain itu, untuk menunjukkan tingkatan dan urutan ada lambang bilagan lain yang disebut lambang bilangan Romawi (i,ii,iii,iv,v...). Pada subbab ini akan dibahas beberapa himpunan bilangan yang penting. 1.1. Himpunan Bilangan Asli Bilangan Asli disebut juga bilangan Alam (Natural numbers). Bilangan ini merupakan bilangan yang kita kenal paling awal, ketika kita ingin menghitung banyaknya sesuatu
yang ada di sekuitar kita. Himpunan bilangan Asli N = {1, 2, 3, } Operasi hitung yang dapat dilakukan pada bilangan asli adalah penjumlahan dan perkalian dengan beberapa sifat berikut: Sifat 1 Bilangan asli tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian x, y N, x + y N x, y N, (x.y N) Sifat 2 Bilangan asli memenuhi sifat kumutatif dan assosiatif baik penjumlahan dan perkalian, yaitu: x, y N x + y = y + x x.y = y.x x, y, z N x + (y + z) = (x + y) + z x.(y.z) = (x.y).z Sifat 3 Bilangan asli memenuhi sifat distributif perkalian atas penjumlahan. x, y, z N (x + y)z = xz + yz Sifat 4 Bilangan asli memiliki unsur identitas perkalian tetapi tidak identitas penjumlahan. 1, x N x.1 = 1.x = x tetapi e N, x N x + e = e + x = x Page 3 of 25
Tetapi himpunan bilangan asli tidak memiliki beberapa sifat berikut: 1. Bilangan asli (kecuali 1) tidak memiliki invers baik penjumlahan maupun perkalian. x( 1) N, x N, x.x = 1 2. Bilangan asli tidak tertutup terhadap pengurangan dan pembagian. x, y N (x y) N dan x, y N (x/y) N Bilangan Asli dibedakan menjadi bilangan prima dan bilangan komposit. Bilangan prima 1 adalah bilangan yang hanya dapat dibagi bilangan itu sendiri dan 1. Bilangan 1 tidak termasuk bilangan prima. Sedangkan sisanya (termasuk 1) disebut bilangan komposit. Jadi 1. Himpunan bilangan Prima = P = {2, 3, 5, 7, 11, 13 } 2. Himpunan bilangan Komposit = N/P Page 4 of 25 Definisi 1.1.1. Pengurut bilangan asli k, dinotasikan k adalah bilangan asli berikutnya setelah bilagan asli k. Jadi k = k + 1. Ada suatu hasil dalam bilangan asli yang sangat terkenal yang disebut Postulat Peano yang mengatakan bahwa Untuk S N, berlaku [ ] (1 N) ( k S k S) (S = N) (1.1) 1 Teori tentang himpunan bilangan prima dapat dilihat pada beberapa sumber diantaranya Courant & Robbins [?, hal 21-31]
Persamaan ( pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu himpunan bagian S dari N, berlaku 1 pada S dan untuk setiap k pada S maka pengurutnya (k ) juga pada S, maka S adalah himpunan seluruh bilangan asli. [ ] (n 1 N) ( (k > n 1 ) S k S) (S = {n 1, n 1 + 1, n 1 + 2, }) (1.2) Persamaan ( pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu himpunan bagian S dari N, berlaku n 1 pada S dan untuk setiap k > n 1 pada S maka pengurutnya (k ) juga pada S, maka S adalah himpunan bilangan asli mulai dari n 1, yaitu S = {n 1, n 1 + 1, n 1 + 2, }. Postulat Peano di atas menjadi dasar dari pembuktian dengan menggunakan induksi matematika, yang telah dibicarakan pada bab penalaran, yang dapat dirumuskan sebagai berikut: [ (P (1) ) ( k, P (k) P (k ) )] ( P (n), n N ) (1.3) Ada pengelompokan jenis himpunan yang kardinalnya terkait dengan himpunan bilangan Asli, yaitu himpunan terhitung dan himpunan tak terhitung. Page 5 of 25 Definisi 1.1.2. Himpunan dikatakan terhitung (denumerable) atau himpunan diskrit, jika himpunan tersebut kosong atau ekuivalen dengan sebagian atau seluruh himpunan bilangan Asli. Jika tidak demikian maka himpunan dikatakan himpunan takterhitung yang merupakan himpunan kontinu. Contoh 1.1.1. H = {1, 3, 5, },Himpunan bilangan Prima, himpunan Bilangan bulat adalah termasuk himpunan bilangan terhitung. Sedangkan H = {x 1 < x < 2, x R}, himpunan bilangann Rasional, himpunan bilangan Riil adalah himpunan tak terhitung.
1.2. Himpuan Bilangan Cacah Sebagaimana dikatakan sebelumnya bahwa Bilangan Asli tidak mempunyai identitas penjumlahan. Apabila himpunan bilangan Asli digabung dengan 0 sebagai unsur identitas penjumlahan, maka terbentuklah himpunan bilangan Cacah. Himpuan bilangan cacah disebut juga himpunan bilangan kardinal, karena bilangan cacah ini dipergunakan untuk mementukan kardinal suatu himpunan. Kardinal himpunan adalah 0. Jadi bilangan cacah atau bilangan kardinal mulai dari 0. Himpunan bilangan Cacah(C) = ( N {0} ) = {0, 1, 2, } Semua sifat operasi yang berlaku pada himpunan bilangan asli juga berlaku pada himpunan bilangan cacah. Beberapa sifat yang tidak berlaku pada himpunanbilangan asli (identitas penjumlahan, berlaku pada himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan cacah meskipun memiliki identitas penjumlahan dan perkalian tetapi tidak memiliki invers penjumlahan maupun invers perkalian. Sifat 5 Identitas Penjumlahan Tetapi 1.3. Himpuan Bilangan Bulat 0 C, c C, 0 + c = c + 0 = c c( 0) C, c C c + c = 0 Page 6 of 25 Apabila himpunan bilangan cacah digabung dengan himpunan inverse penjumlahannya, maka terbentuklah himpunan bilangan bulat, Z. Z = C { 1, 2, } = {, 2, 1, 0, 1, 2, }
Jadi himpunan pada bilangan semua unsur memiliki invers penjumlahan, tetapi bukan invers perkalian. Sifat 6 Invers Penjumlahan. c C, c C c + c = 0 Tetapi, c( 0) C, c C c.c = 1 1.4. Himpuan Bilangan Rasional Apabila himpunan bilangan bulat digabung dengan himpunan invers perkaliannya, maka terbentuklah himpunan bilangan Rasional, Q. Disamping itu bilangan rasional juga tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian (termasuk perkalian dengan inversdari unsur lainnya). Secara umum bilangan rasional didefinisika seperti pada definisi berikut ini. Page 7 of 25 Definisi 1.4.1. Bilangan rasional q adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan b 0. Dalam bentuk desimal q dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal berhingga atau pecahan desimal takhingga tapi berulang. Contoh 1.4.1. 1/5 = 0, 20 dan 1/3 = 0, 33333... = 0, 33 adalah bilangan-bilangan rasional Jadi pada himpunan bilangan Rasional, semua unsur memiliki invers penjumlahan, maupun invers perkalian. Sifat 7 Invers Perkalian x Q, x Q x + x = 0 dan x( 0) C, x Q c.c = 1
1.5. Himpunan Bilangan Irasional dan Himpunan Bilangan Riil U=R N C Z Q Gambar 1.1: Diagram Venn mengilustrasikan himpunan Bilangan Riil Dalam himpunan bilangan rasional persamaan x n = y untuk n 2 tidak memiliki penyelesaian. Pernyataan ini ekuivalen dengan pernyataan bahwa tidak ada bilangan rasional x sedemikian sehingga x n = 2. Dengan kata lain, n 2 bukan bilangan rasional. Bilangan-bilangan yang tidak rasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat (a/b), disebut bilangan irasional. Bilangan rasional selain merupaka bilangan akar ( n a) juga termasuk didalamnya adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal takhingga tapi tak berulang. Ada dua bilangan irasional yang sangat penting yaitu bilangan Euler e yang diperkenalkan Euler tahun 1748 dan bi- Page 8 of 25
langan Archimedes π. Bilangan e didefinisikan sebagai e = n=0 1 n = 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + dan pendekatan π diberikann oleh banyak matematisi diantaranya adalah John Wallis dengan rumus π 2 = ( ) 2n 2n 2n + 1 2n 1 n=1 (Courant & Robbins [?]) Gabungan antara himpunan bilangan Rasional dan himpunan bilangan Irasional disebut bilagan Riil R. Secara diagram struktur Himpunan Bilangan dapat digambarkan pada Gambar Sifat-sifat yang berlaku dalam himpunan bilangan dapat dirangkum seperti pada Tabel berikut. Page 9 of 25
No Sifat-sifat Operasi Himpunan Bilangan N C Z Q R 1 Identitas Penjumlahan (0), 0 + a = a + 0 = a 2 Identitas Perkalian(1), 1a = a1 = a 3 Kumutatif Penjumlahan a + b = b + a 4 Kumutatif Perkalian ab = ba 5 Asosiatif Penjumlahan (a+b)+c = a+ (b + c) 6 Asosiatif Perkalian (ab)c = a(bc) 7 Invers Penjumlahan a + ( a) = 0 8 Invers Perkalian a(1/a) = 1 9 Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan a(b + c) = ab + ac 10 Tertutup terhadap Operasi Invers Penjumlahan a + ( b) = c 11 Tertutup terhadap Operasi Invers Perkalian a(1/b) = c 12 Tertutup terhadap Operasi a b = c 1.6. Perkembangan perhitungan π Sejak zaman dahulu diketahui bahwa rasio luas lingkaran terhadap kuadrat jaraknya dan rasio keliling lingkaran dengan diameternya adalah konstan. Namun, pada awalnya belum diketahui bahwa kedua konstanta tersebut adalah sama. Buku-buku kuno menggunakan konstanta yang berbeda untuk kedua rasio tersebut. Perhitungan π menarik perhatian sejak zaman sebelum masehi (sekuitar 1650 SM, di Mesir Kuno digunakan pendekatan π = 3, 16.). Kalkulasi teoritis sepertinya dimulai oleh Page 10 of 25
Riil Rasional Q Irasional Bulat Z Pecah Cacah C Bulat Neg Asli N 0 Gambar 1.2: Diagram struktur mengilustrasikan pembagian himpunan Bilangan Riil Archimedes (287-212 SM) yang mendapatkan pendekatan 223/71 < π < 22/7. Sejak itu sampai sekarang banyak sekali para matematisi yang melakukan perhitungan baik secara analitik maupun dengan menggunakan komputer. Pada zaman modern sekarang akurasi perhitungan π sempat dijadikan salah satu tes untuk mengukur kecanggihan komputer maupun suatu algorithma. Beberapa hasil perhitungan π diberiikan pada Tabel Page 11 of 25
Tabel 1.1: Perhitungan π secara analitik Matematisi Waktu Desimal Nilai Rhind papyrus 2000 SM 1 3.16045 (= 4(8/9) 2 ) Archimedes 250 SM 3 3.1418 Aryabhata 499 4 3.1416 (= 62832/2000) Brahmagupta 640 1 3.1622 (= 10) Fibonacci 1220 3 3.141818 Madhava 1400 11 3.14159265359 Newton 1665 16 3.1415926535897932 Rutherford 1824 208 hanya 152 benar Shanks 1874 707 hanya 527 benar Page 12 of 25
Tabel 1.2: Perhitungan π dengan mesin Matematisi Waktu Desimal Mesin Ferguson 1947 710 Kalkulator Ferguson, Wrench 1947 808 Kalkulator Smith, Wrench 1949 1120 Kalkulator Reitwiesner dkk. 1949 2037 ENIAC Nicholson, Jeenel 1954 3092 NORAC Felton 1957 7480 PEGASUS Genuys 1958 10000 IBM 704 Felton 1958 10021 PEGASUS Guilloud 1959 16167 IBM 704 Shanks, Wrench 1961 100265 IBM 7090 Guilloud, Filliatre 1966 250000 IBM 7030 Guilloud, Dichampt 1967 500000 CDC 6600 Guilloud, Bouyer 1973 1001250 CDC 7600 Miyoshi, Kanada 1981 2000036 FACOM M-200 Guilloud 1982 2000050 Kanada, Yoshino, Tamura 1982 16777206 HITACHI M-280H Ushiro, Kanada 1983 10013395 HITACHI S-810/20 Gosper 1985 17526200 SYMBOLICS 3670 Bailey 1986 29360111 CRAY-2 Kanada, Tamura, Kubo 1987 134217700 NEC SX-2 Kanada, Tamura 1988 201326551 HITACHI S-820/80 Chudnovskys 1989 525229270 Kanada, Tamura 1989 536870898 Chudnovskys 1989 1011196691 Kanada, Tamura 1989 1073741799 Chudnovskys 1994 4044000000 Kanada, Tamura 1995 3221225466 Kanada 1995 6442450938 Kanada, Takahashi 1999 206158430000 HITACHI SR8000 Page 13 of 25
BAB 2 PERKALIAN KARTESIUS, RELASI DAN FUNGSI Page 14 of 25 Selain operasi himpunan yang telah dibicarakan sebelumnya, ada juga operasi himpunan yang disebut perkalian himpunan, yang disebut perkalian kartesius. 2.1. Perkalian Kartesius Definisi 2.1.1 (Operasi Perkalian). Perkalian (atau disebut juga perkalian kartesius) dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semua pasangan berurut unsur pertamanya berasal dari himpunan terkali dan unsur keduanya berasal dari himpunan pengali. A B = {(x, y) x A y B}
Contoh 2.1.1. Jika A = {1, 3, 5} dan B = {4, 5} maka 1. A B = {(1, 4), (1, 5), (3, 4), (3, 5), (5, 4), (5, 5)} 2. B A = {(4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} Hasil perkalian himpunan selain dinyatakan dengan himpunan pasangan terurut, dapat juga dinyatakan dengan grafik kartesius. seperti pada Gambar B 0 2 4 6 Page 15 of 25 0 2 4 6 A Gambar 2.1: Diagram katesius mengilustrasikan A B Teorema 2.1.1. Untuk sembarang A dan B, secara umum berlaku: 1. A B B A 2. A B B A
3. (A B) = (B A) A = B Definisi 2.1.2. A A = A 2 = {(a 1, a 2 ) a 1, a 2 A} (2.1a) A A... A = A }{{} n = {(a 1, a 2,..., a n ) a i A, i = 1, 2,..., n} (2.1b) n 2.2. Relasi Relasi atau hubungan antara dua himpunan merupakan himpunan bagian dari perkalian dua himpunan bersangkutan. Relasi dari himpunan A ke B dinotasikan dengan R A B atau R : A B. Ada tiga komponen yang harus dipenuhi oleh suatu relasi R : A B yaitu: 1. Adanya daerah definisi atau daerah asal yang disebut domin, yaitu himpuan A yang yang akan dihubungkan dengan suatu himpunan lain. 2. Adanya daerah kawan yang disebut kodomin, yaitu himpunan B yang menjadi kawan himpunan A. 3. Adanya aturan pengawanan antara himpunan asal A dan himpunan kawan B. Page 16 of 25 A B Gambar 2.2: Diagram panah untukrelasi A ke B, atau ARB
Bentuk aturan pengawanan dapat dilakukan dengan berbagai cara diantaranya adalah dengan mengguakan diagram panah, himpunan pasangan berurut. Jika pasangan berurut (x, y) merupakan ang-gota dari R maka dinotasikan dengan (x, y) R, jika tidak maka dinotasikan (x, y) R. Contoh 2.2.1. Misalkan R adalah relasi dari N ke N dengan aturan pengawanan atau R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), } R = {(x, y) y x; x, y N} Contoh 2.2.2. Misalkan R adalah relasi dari N ke N dengan aturan R(n) = 2n dapat dinyatakan dengan R = {(x, y) y = 2x, x N} Himpunan bagian dari himpunan kawan yang dipilih menjadi kawan disebut daerah hasil/ range dari R. Pada contoh diatas daerah hasil H R adalah himpunan bilangan bulat positif, yaitu H R = {2, 4, 6, }. 2.3. Sifat-sifat Relasi Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri dapat dibedakan menjadi beberapa jenis diantaranya dilihat dari banyaknya unsur yang berkawan kedirinya sendiri, kesimetrisan perkawanan. Berikut adalah definisi formal dari beberapa sifat relasi himpunan ke dirinya sendiri. Page 17 of 25 Definisi 2.3.1. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika x, (x, x) R
Definisi 2.3.2. Relasi R dikatakan bersifat non-refleksif jika x, (x, x) R Definisi 2.3.3. Relasi R dikatakan bersifat irrefleksif jika x, (x, x) R Definisi 2.3.4. Relasi R dikatakan bersifat simetrik jika x, y (x, y) R (y, x) R Definisi 2.3.5. Relasi R dikatakan bersifat non-simetrik jika x, y (x, y) R (y, x) R Definisi 2.3.6. Relasi R dikatakan bersifat asimetrik jika x, y (x, y) R (y, x) R Definisi 2.3.7. Relasi R dikatakan bersifat transitif jika [ ] x, y, z (x, y) R (y, z) R (x, z) R Definisi 2.3.8. Relasi yang sekaligus bersifat reflektif, simetrik dan transitif disebut relasi ekuivalensi. Page 18 of 25 Contoh 2.3.1. Berikut adalah beberapa contoh relasi yang merupakan relasi refleksif. 1. Relasi sama dengan (=) pada himpunan bilangan riil. x, x = x yaitu (xrx)
2. Relasi kongruensi pada himpunan segitiga. 3. Relasi faktor dari, pada himpunan bilangan bulat selai 0. x, x faktor dari x yaitu (xrx) 4. Relasi mirip pada himpunan manusia. Setiap orang mirip dirinya sendiri. Contoh 2.3.2. Berikut adalah beberapa contoh relasi non-reflektif. 1. Relasi faktor dari pada himpunan semua bilangan bulat. (Ada 0 tidak dapat dibagi 0) 2. Relasi mencintai pada himpunan manusia. Ada orang yang tidak mencintai dirinya sendiri. Contoh 2.3.3. Berikut adalah beberapa contoh relasi irreflektif. 1. Relasi tidak sama pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan yang tidak sama dengan dirinya sendiri. 2. Relasi kurang dari pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan yag kurang dari dirinya sendiri. 3. Relasi lebih gemuk pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang lebih gemuk dari dirinya sendiri. 4. Relasi lebih cantik pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang lebih cantik dari dirinya sendiri. Contoh 2.3.4. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat simetrik. 1. Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil. Page 19 of 25 2. Relasi kongruensi pada himpunan segitiga. 3. Relasi kenal dengan (pernah berkenalan) pada himpunan manusia
Contoh 2.3.5. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-simetrik. i Relasi lebih besar atau sama dengan pada himpunan bilangan riil. ii Relasi mencintai pada himpunan manusia Contoh 2.3.6. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat asimetrik. i Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil. ii Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia iii Relasi lebih tua pada himpunan manusia Contoh 2.3.7. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat transitif. i Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil. ii Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia iii Relasi lebih tua pada himpunan manusia Page 20 of 25 Definisi 2.3.9. Relasi R dikatakan bersifat non-transitif jika [ ] x, y, z (x, y) R (y, z) R (x, z) R Contoh 2.3.8. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-transitif. i Relasi berpotongan pada himpunan. ii Relasi mengenal pada himpunan manusia
Definisi 2.3.10. Relasi R dikatakan bersifat intransitif jika [ ] x, y, z (x, y) R (y, z) R (x, z) R Gambar 2.3: Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke A Secara grafik, dalam bentuk diagram panah, beberapa jenis relasi dari A ke A digambarkan dalam Gambar Contoh 2.3.9. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat ekuivalensi. i Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil. ii Relasi kongruensi pada himbunan segitiga. iii Relasi kesejajaran pada himbunan garis. Page 21 of 25 iv Relasi sama tinggi pada himpunan manusia. v Relasi sama berat pada himpunan manusia.