MATEMATIKA DISKRIT BAB 2 RELASI
|
|
- Irwan Hermanto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB 2 RELASI Kalau kita mempunyai himpunan A ={Edi, Tini, Ali, Diah} dan himpunan B = {Jakarta, Bandung, Surabaya}, kemudian misalnya Edi bertempat tinggal di Bandung, Tini di Surabaya, Ali di Jakarta, dan Diah di Jakarta, maka kita dapat menuliskannya sebagai sebuah himpunan R = {(Edi, Bandung), (Tini, Surabaya), (Ali, Jakarta), (Diah, Jakarta)} R merupakan himpunan yang anggotanya merupakan pasangan terurut (ordered pair). Disini pada pasangan terurut (Diah, Jakarta), Diah merupakan komponen pertama dan Jakarta merupakan komponen kedua dari dari pasangan terurut tersebut. Himpunan R di atas merupakan sebuah relasi, yang dapat kita bentuk antara himpunan A dan B. kita dapat juga menuliskan R = {(x,y) l x bertempat tinggal di y, x ϵ B}. Dengan pendefinisian relasi x bertempat tinggal di y di atas jelas bagi kita bahwa penulisan (Diah, Jakarta) tidak boleh dibalik menjadi (Jakarta, Diah) yang kalau dibaca Jakarta bertempat tinggal di Diah. Itulah sebabnya pasangan tersebut dinamakan pasangan terurut, (a,b) (b,a). Relasi dapat pula terjadi di antara anggota sebuah himpunan A. sebagai contoh, himpunan A = {1,2,4,16}. Kemudian kita definisikan sebuah relasi R antara anggota A sebagi relasi x adalah kuadrat dari y. Dengan mudah kita peroleh R = {(1,1), (4,2),(16,4)}. Di sini komponen pertama maupun komponen kedua dari pasangan terurut adalah anggota himpunan A. Demikianlah, kalau kita mempunyai sebuah himpunan ataupun dua himpunan, kita dapat mendefinisikan sebuah relasi. Tentunya relasi tersebut bisa bermacam-macam sesuai kehendak kita.
2 1. Produk Cartesian Notasi-notasi yang digunakan dari produk cartesian : (a, b) pasangan terurut dari elemen a dan b; (a 1, a 2,, a n ) n-tuple dari elemen-elemen a 1,, a n ; A x B = {(a, b) : a Є A, b Є B} hasil kali himpuan A dan B; A 1, x A 2 x x A n atau hasil kali himpunan-himpunan A 1, A 2,, A n A 2 = A x A dan A n = A x A x x A (n faktor) Urutan elemen-elemen di (a, b) menimbulkan suatu perbedaan; dalam hal ini a adalah elemen pertama dan b adalah elemen kedua. Maka (a, b) (b, a), bila tidak demikian maka a = b. Sebaliknya (a, b) dan (b, a) mewakili himpunan yang sama. Dua pasangan terurut (a, b) dan (c, d) sama jika dan hanya jika a = c dan b = d n-tuple (a 1, a 2,, a n ) dan (b 1, b 2,, b n ) sama jika dan hanya jika a 1 = b 1, a 2 = b 2,, a n = b n Perwakilan dari R 2 = R x R sebagai titik-titik dalam bidang y b p(a,b) a x Setiap titik p dalam bidang mewakili sebuah pasangan terurut (a, b) dari bilangan real dan sebaliknya. Garis vertikal melalui P bertemu dengan sumbu x di a dan garis horisontalnya bertemu sumbu y di b. R 2 seringkali disebut sebagai bidang cartesian.
3 Contoh : 1. Tentukan x dan y jika (x, x 2y) = (6, -8) x = 6 x = 2; x 2y = -8 y = 5 2. Misalkan A = {1, 2, } dan B = {a, b}. Tentukan a. A x B dan b. B x A a. A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (, a), (, b)} b. B x A = {(a, 1), (a, 2), (a, ), (b, 1), (b, 2), (b, )} Latihan soal : 1. Tentukan x, y dan z jika (2x, x + y, x y -2z) = (4, -1, ) 2. Anggap A = {1, 2}. Tentukan a. A 2 dan b. A. Misalkan A = {1, 2} dan B = {a, b}. Tunjukkan apakah pernyataan di bawah ini sama dengan A x B a. E = {{1, a}, {1, b}, {2, a}, {2, b}} b. F = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)} c. G = {(1, a), (1, b), (2, a), (b, 2)} d. {(1, b), (2, a), (1, a), (2, b)} 4. Misalkan A = {pria, wanita} dan B = {kucing, anjing, ikan}. Tentukan : a. A x B dan b. B x A 5. Misalkan Y = {0, 1} dan Z = {1, 0}. Tentukan : a. Y x Z b. Z x Y c. apakah yang dapat kamu catat dari hasil Y x Z dan Z x Y? Untuk setiap pasangan terurut (a, b) dalam A x B, terdapat n(a) pilihan untuk a dan n(b) pilihan untuk b. Maka ada n(a).n(b) pasangan terurut. Sehingga n(a xb) = n(a).n(b). Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa jika A 1, A 2,, A m adalah himpunan berhingga maka : n(a 1 x A 2 x x A m ) = n(a 1 ) n(a 2 ) n(a m ) Contoh : 1. Misalkan A = {1, 2,,, 8, 9, 10} dan B = {a, b, c,, x, y, z}. Berapa banyak elemen dari A x B?
4 n(a) = 10 dan n(b) = 26. A x B = (10) (26) = 260 elemen 2. Misalkan A = {1, 2,, 6} dan B = {8, 9, 10}. Tentukan jumlah elemen dalam a) A x B b) B x A c) A 2 d) B 4 e) A x A x B f) B x A x B N(A) = 4 dan n(b) = a) n(a x B) = 4. = 12 d) n(b 4 ) = 4 = 81 b) n(b x A) =.4 = 12 e) n(a x A x B) = 4.4. = 48 c) n(a 2 ) = 4.4 =16 f) n(b x A x B) =.4. = 6. Diberikan A = {1, 2}, B = {x, y, z}, dan C = {, 4}. Tentukan A x B x C dan n(a x B x C) x 4 1 y z 4 4 x 4 2 y z 4 4 A x B x C terdiri dari semua triple terurut (a, b, c) dimana a Є A, b Є B dan c Є C. Elemen- elemen dari A x B X C terdiri dari 12 triple terurut. N(A x B x C) = n(a) x n(b) x n(c) = 12 A x B x C = {(1, x, ),(1, x, 4),(1, y, ), (1, y, 4), (1, z, ), (1, z, 4), (2, x, ), (2, x, 4), (2, y, ), (2, y, 4), (2, z, ), (2, z, 4)}
5 Latihan soal : 1. Setiap pelemparan sebuah uang logam akan menghasilkan muka atau belakang. Misalkan C = {H, T} menyatakan himpunan yang dihasilkan. Tentukan C, n(c ) dan sebutkan wakil dari C. 2. Misalkan S = {a, b, c}, T = {b, c, d}, dan W = {a, d}. Bentuklah diagram pohon S x T x W kemudian tentukanlah S x T x W.. Diberikan himpunan A = {1, 2}, B = {a, b, c}, C = {c, d}. Tentukan a) (A x B) (A x C) dan b) A x (B C) 4. Misalkan A = {a, b}, B = {1, 2}, C = {2, }. Tentukan a) (A x B)U(A x C) dan b) A x (B U C) 2. Penyajian Lain Sebuah relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, yaitu : 1. Himpunan pasangan terurut dalam bentuk pendaftaran (tabulasi), P = {(Ami, 1), (Budi, ), (Candra, 2), (Dita, 1)} 2. Himpunan pasangan terurut dalam bentuk pencirian, P = {(x,y) : x berusia y, dimana x Є M dan y Є N}. Diagram panah, M Ami Budi Candra Dita p N 1 2
6 4. Diagram koordinat atau grafik relasi, 2 1 Ami Budi Chandra Dita 4. Matriks relasi, P = [ ] 5. Bentuk graf berarah (digraf) Ami 1 Budi Chandra 2 Dita Latihan soal : 1. Diketahui A = {1, 2,, 4} dan B = {x, y, z} yang didefinisikan oleh : R ={(1, y), (1, z), (, y), (4, x), (4, z)} Buatlah diagram panah dan tentukan matriks M yang mewakili R
7 2. Misalkan T adalah relasi dari A = {1, 2,, 4, 5} ke B = {merah, putih, biru, hijau} didefinisikan oleh T = {(1, merah), (2, biru), (, biru), (4, hijau)} a. Gambarlah diagram panah relasi T b. Tentukan domain dan range dari T c. Tentukan matriks M yang mewakili T. Misalkan A = {1, 2,, 4, 6} dan misalkan R adalah relasi pada A yang didefinisikan x membagi y, dituliskan dengan xiy. R = {(1, 1), (1, 2), (1, ), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6),(, ), (, 6), (6, 6)} a. Gambarlah graph berarah R b. Tentukan matriks M dari relasi R 4. Misalkan R adalah relasi pada A = {1, 2,, 4, 5} yang diterangkan oleh graph berarah berikut : a. Tulislah R sebagai himpunan pasangan terurut b. Tentukan setiap subset dari A berikut : E = {a : a R 2}, F = {a : a R }, G = {a : 2 R a}, dan H = {a : R a} 5. Gambar berikut menunjukkan grafik dari relasi S yang didefinisikan persamaan y = x 2. a. Tentukan domain dan range dari S b. Tentukan persamaan yang menunjukkan relasi invers S -1 c. Gambarkan grafik dari S -1
8 y y = x 2 x. Relasi Invers Sebuah relasi biner (relasi) dari suatu himpunan A ke himpunan B adalah suatu subset R dari A x B. Misalkan a Є A dan b Є B, ditulis : a R b atau a R b berarti (a, b) Є R atau (a, b) R Domain dari R adalah subset dari A terdiri dari elemen-elemen pertama dari pasangan terurut R, dan range dari R adalah subset dari B terdiri dari elemenelemen yang kedua. Invers dari R dinotasikan R -1 adalah relasi dari B ke A yang terdiri dari pasangan terurut yang berkebalikan dengan R; yaitu : R -1 = {(b, a): (a, b) Є R} Dengan kata lain b R -1 a jika dan hanya jika a R b Contoh : 1. Tentukan manakah dari pernyataan berikut yang merupakan relasi dari A = {a, b, c} ke B = {1, 2} a. R 1 = {(a, 1), (a, 2), (c, 2)} b. R 2 = {(a, 2), (b, 1)} c. R = {(c, 1), (c, 2),(c, )} d. R 4 = {(b, 2)} e. R 5 = Ø f. R 6 = A x B
9 Semua merupakan relasi dari A ke B karena semuanya adalah subset dari A x B. R 5 = Ø disebut relasi kosong dari A ke B, dan R 6 = A x B disebut relasi semesta dari A ke B 2. Tentukan invers dari setiap relasi pada soal no 1 diatas. -1 Tukarkan urutan pasangan terurut pada setiap relasi untuk mendapatkan R k a. R 1 = {(1, a), (2, a), (2, c)} b. R 2 = {(2, a), (1, b)} c. R = {(1, c), (2, c),(, c)} d. R 4 = {(2, b)} e. R 5 = Ø f. R 6 = B x A. Tentukan jumlah relasi dari A = (a, b, c} ke B = {1, 2} Terdapat *2 = 6 elemen dengan demikian m = 64 relasi dari A x B. Latihan soal : 1. Misalkan R adalah relasi dari A = {1, 2,, 4} didefinisikan oleh x lebih kecil dari y, maka R adalah relasi <. Tuliskan R sebagai himpunan pasangan terurut. 2. Tuliskan invers R -1 dari relasi R pada soal 1. Dapatkah R -1 diterangkan dengan kata-kata?. Misalkan R adalah relasi dari A = {1, 2,, 4} ke B = {x, y, z} didefinisikan oleh R = {(1, y), (1, z), (, y), (4, x), (4, z)} a. Tentukan domain dan range dari R b. Tentukan relasi invers R -1 dari R 4. Misalkan R adalah relasi terletak di dari himpunan kota-kota (X) ke himpunan negara (Y). Nyatakan setiap pernyataan berikut dengan kata-kata dan tentukan apakah pernyataannya benar atau salah : a. (Paris, Perancis) Є R c. (Washington, Kanada) Є R
10 b. (moskow, Itali) Є R d. (London, Inggris) Є R 5. Misalkan A = {1, 2, } dan misalkan R = {(1, 1), (2, 1), (, 2), (1, )} adalah sebuah relasi dari A (yaitu sebuah relasi dari A ke A). Tentukan apakah setiap pernyataan berikut benar atau salah : a. 1 R 1 b. 1 R 2 c. 2 R d. 2 R 1 e. R 2 f. R 1 4. Komposisi Relasi Misalkan A, B dan C adalah himpunan-himpunan, dan misalkan R adalah sebuah relasi dari A ke B dan misalkan S adalah relasi dari B ke C. Jadi, R adalah subset dari A x B dan S adalah subset dari B x C. Maka R dan S akan memberikan suatu relasi dari A ke C yang dinyatakan dengan R ο S dan didefinisiskan : a(r ο S)c jika untuk sembarang b Є B kita dapatkan a R b dan b S c Dengan begitu, R ο S = {(a, c) : ada b Є B dimana (a, b) Є R dan (b, c) Є S} Misalkan A, B, C, dan D adalah himpunan. Anggap sebuah R adalah relasi dari A ke B, S adalah relasi dari B ke C dan T adalah relasi dari C ke D. Maka : (Rο S)ο T = R ο (S ο T) (hukum assosiatif) Contoh : 1. Misalkan A = {1, 2, }, B = {a, b, c} dan C = {x, y, z}. Perhatikan relasi R dari A ke B dan S dari B ke C berikut : R = {(1, b), (2, a), (2, c)} dan S = {(a, y), (b, x), (c, y), (c, z)} Tentukan relasi komposisi R ο S.
11 1 R a S x 2 b y c z A B C Gambarlah diagram panah dari R ke S seperti di atas. Ada panah dari 1 ke b yang diikuti panah dari b ke x. Maka 1(R ο S)x karena 1 R b dan b S x; dengan begitu (1, x) anggota dari R ο S. Dengan cara yang sama sebuah path dari 2 ke a dan path dari 2 ke c ke z. Maka (2, y) dan (2, z) juga anggota dari R ο S. Tidak ada pasangan lain yang menjadi anggota R ο S. Maka : R ο S = {(1, x), (2, y), (2, z)} 2. Perhatikan relasi R, S dan R ο S pada soal diatas. a) Tentukan matriks M R, M S dan M R ο S dari relasi masing-masing. b) Kalikan M R dan M S dan bandingkan M R dan M S dan bandinglan M R M S dengan M R ο S a. Matriks dari M R, M S dan M R ο S adalah : a b c x y z x y z M R = [ ], M S = [ ] M R ο S = [ ] b. Kalikan matriks M R dan M S kita dapatkan M R M S = [ ] Matriks M R ο S dan M R M S mempunyai entri bernilai 0 yang sama Latihan soal : 1. Misalkan A = {1, 2,, 4}, B = {a, b, c, d} dan C = {x, y, z}. Perhatikan relasi R dari A ke B dan S dari B ke C yang didefinisikan :
12 R = {(1, a), (2, d), (, a), (, b), (, d)} dan S = {(b, x), (b, z), (c, y), (d, z)}. Tentukan relasi komposisi R ο S 2. Gunakan matriks untuk menentukan komposisi R ο S dari relasi R dan S pada soal diatas. Misalkan A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, } dan C = {w, x, y, z}. Perhatikan relasi dari R dari A ke B dan S dari B ke C yang didefinisikan : R = {(a, ), (b, ), (c, 1), (c, ), (d, 2)} dan S = {(1, x), (2, y), (2, z)}. a) Gambarkan diagram panah untuk R dan S b) Tentukan relasi komposisi R ο S 5. Sifat Relasi Misalkan R adalah sebuah relasi pada sebuah himpunan A, maka : 1. R adalah Refleksif jika a R a untuk setiap a di A 2. R adalah Simetris jika a R b maka b R a. R adalah Antisimetris jika a R b dan b R a maka a = b 4. R adalah Transitif jika a R b dan b R c maka a R c Suatu himpunan A adalah : 1. Tidak refleksif jika ada a Є A sedemikian sehingga (a, a) bukan anggota R 2. Tidak simetris jika ada (a, b) di R sedemikian sehingga (b,a) bukan anggota R. Tidak transitif jika ada (a, b) dan (b, c) di R sedemikian sehingga (a, c) bukan anggota R 4. Tidak antisimetris jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) dan (b, a) anggota R Contoh : 1. Perhatikan 5 relasi dari himpunan A = {1, 2, } berikut, tentukan yang merupakan relasi refleksif, simetris, transitif, dan antisimetris : R = {(1, 1), (1, 2), (1, ), (, )} Ø = relasi kosong S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1) (2, 2), (, )} A x A = relasi semesta
13 T = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, )} R tidak refleksif karena 2 Є A tetapi (2, 2) R. T tidak refleksif karena (, ) T dan Ø tidak refleksif. Hanya S dan A x A yang refleksif. R tidak simetris karena (1, 2) Є R tetapi (2, 1) R, dengan cara yang sama T tidak simetris. S, Ø dan A x A yang simetris. T tidak transitif karena (1, 2) dan (2, ) anggota T, tetapi (1, ) bukan anggota T. Keempat relasi yang lain adalah transitif. S tidak antisimetris karena 1 2, dan (1, 2) dan (2, 1) anggota S. Dengan cara yang sama A x A tidak antisimetris. Ketiga relasi yang lain adalah antisimetris. 2. Misalkan R adalah relasi pada himpunan A = {1, 2,, 4} yang didefinisikan oleh : R = {(1, 1), (2, 2), (2, ),(, 2),(4, 2), (4, 4)}. Tunjukkan bahwa R : a) Tidak refleksif b) Tidak transitif c) Tidak simetris d) Tidak antisimetris a) R tidak refleksif karena Є A tetapi R, yaitu (, ) R b) R tidak transitif karena 4 R 2 dan 2 R tetapi 4 R, yaitu (4, 2) Є R dan (2, ) Є R tetapi (4, ) R c) R tidak simetris karena 4 R 2 tetapi 2 R 4, yaitu (4, 2) Є R tetapi (2, 4) R d) R tidak antisimetris karena 2 R dan R 2 tetapi 2 Latihan soal : 1. Berikan contoh dari relasi R pada A = {1, 2, } mempunyai sifat : a. R kedua-duanya simetris dan antisimetris b. R tidak kedua-duanya, simetris maupun antisimetris c. R transitif tetapi R U R -1 tidak transitif 2. Misalkan R, S, dan T adalah relasi pada A = {1, 2, } yang didefinisikan oleh : R = {(1, 1), (2, 2), (, )}
14 S = {(1, 2), (2, 1), (, )} T = {(1, 2), (2, ), (1, )} Tentukan yang mana relasi refleksif, simetris, antisimetris dan transitif?. Tiap pernyataan berikut mendefinisikan suatu relasi pada himpunan bilangan positif N R : x lebih besar dari y S : x + y = 10 T : x + 4y = 10 Tentukan manakah relasi yang refleksif, simetri, transitif, antisimetris. 4. Misalkan P(X) adalah kumpulan semua subset dari himpunan X dengan paling sedikit terdiri dari elemen. Setiap pernyataan berikut mendefinisikan sebuah relasi pada P(X) R : A B S : A saling asing dengan B T : A U B = X Tentukan manakah relasi di atas yang refleksif, simetris, antisimetris, dan transitif. 6. Partisi Sebuah partisi dari S adalah suatu koleksi P ={A i } dari subset-subset S yang tidak kosong sedemikian hingga : (i) Setiap elemen a dalam S anggota dari salah satu A i (ii) Himpunan-himpunan dari P adalah saling asing, yaitu jika A i A j maka A i A j =Ø Subset-subset dalam sebuah partisi disebut sel. Gambar berikut adalah diagram venn dari suatu partisi dari himpunan titik-titik dalam 5 sel. A 1 A 2 A A 4 A 5
15 Contoh : 1. Misalkan S = {1, 2,, 4, 5, 6}. Tunjukkan apakah setiap pernyataan berikut adalah sebuah partisi dari S : a. P 1 = {(1, 2, ), (1, 4, 5, 6)} c. P = {(1,, 5), (2, 4), (6)} b. P 2 = {(1, 2), (, 5, 6)} d. P 4 = {(1,, 5), (2, 4, 6, 7)) a. Bukan, karena 1 Є S anggota dari 2 sel b. Bukan, karena 4 Є S bukan anggota sel manapun c. P adalah sebuah partisi dari S d. Bukan, karena (2, 4, 6, 7) bukan subset dari S 2. Misalkan S = (merah, biru, hijau, kuning). Tunjukkan apakah setiap pernyataan berikut adalah sebuah partisi dari S : a. P 1 = {(merah), (biru, hijau)} b. P 2 = {(merah, biru, hijau, kuning)} c. P = { Ø, (merah, biru), (hijau, kuning)} a. Bukan, karena kuning bukan anggota sel manapun b. P 2 adalah partisi dari S yang hanya memiliki satu elemen yaitu S sendiri c. Bukan, karena Ø tidak bisa menjadi anggota sebuah partisi Latihan soal : 1. Misalkan S = {1, 2,..., 8, 9}. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut adalah sebuah partisi dari S. a. {(1,, 5), (2, 6), (5, 7, 9)} b. {(1,, 9), (2, 4, 6, 8), (5, 7, 9)} c. {(1,, 5), (2, 4, 6, 8), (7,9)} d. {(S)} 2. Misalkan X = {1, 2,..., 8, 9}. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut adalah sebuah partisi dari X.
16 a. {(1,, 6), (2, 8), (5, 7, 9)} b. {(1, 5, 7), (2, 4, 8, 9), (, 5, 6)} c. {(2, 4, 5, 8), (1, 9), (, 6, 7)} d. {(1, 2, 7), (, 5), (4, 6, 8, 9), (, 5)}. Tentukan semua partisi dari S = {1, 2, } 4. Tentukan semua partisi dari X = {a, b, c, d} 5. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut adalah sebuah partisi dari himpunan bilangan bulat positif N : a. {(n : b > 5), (n : x < 5)} b. {(n : x > 5), (0), (n : x < 0)} c. {(n : x 2 > 11), (n : x 2 < 11)} 7. Relasi Ekuivalen Sebuah relasi R pada suatu himpunan A disebut relasi ekuivalen jika refleksif, simetris dan transitif (persamaan biasa adalah bentuk relasi ekuivalen) Contoh : 1. Misalkan L adalah himpunan garis dalam bidang euclid, sedangkan R adalah relasi pada L yang didefinisikan oleh sejajar dengan (II). Tunjukkan bahwa R adalah relasi ekuivalen. Karena a = a untuk sembarang garis di L maka R adalah refleksif. Jika a II b dan b II c maka a II c; sehingga R adalah transitif, maka R adalah sebuah relasi ekuivalen. 2. Misalkan R adalah relasi pada himpunan N yang didefinisikan oleh = {(a, b) : a + b genap}. Apakah R adalah relasi ekuivalen?
17 Ya. Untuk a Є N, a + a adalah genap; dan jika a + b genap maka b + a genap. Sehingga refleksif dan simetris. a R b jika dan hanya jika keduanya a dan b mempunyai jenis yang sama yaitu a dan b genap atau a dan b ganjil. Misalkan R = {(1, 1), (1, ), (, 1), (, )}. Apakah R adalah suatu relasi ekuivalen pada A = {1, 2, } dan B = {1, }? R adalah simetris dan transitif; tetapi R tidak ekuivalen pada A karena 2 R 2 sehingga R tidak refleksif pada A. Sebaliknya, R refleksif pada B sehingga R adalah relasi ekuivalen pada B Latihan Soal : 1. Misalkan S = {1, 2, }. Tuliskan relasi ekuivalen dari R pada S. 2. Misalkan R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (1, ), (, 1), (, )}. Apakah R adalah suatu relasi ekuivalen pada A = {1, 2,, 4}.. Misalkan R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. Apakah R adalah suatu relasi ekuivalen pada A = {1, 2} 8. Relasi N-Ary Hubungan antara elemen-elemen pada dua himpunan bahkan lebih sering kali terjadi. Sebagai contoh hubungan yang melibatkan nama mahasiswa, jurusan dan IPK. Contoh lain adalah nama kantor, alamat serta nomor telepon. Disini kita akan mempelajari hubungan pada dua himpunan atau lebih. Relasi ini sering disebut dengan Relasi n-ary yang sering direpresentasikan dengan database. Relasi ini membantu kita saat melakukan query data pada database. Definisi:
18 A 1, A a.. A n adalah himpunan. Sebuah relasi n-ary adalah himpunan bagian A 1 A a.. A n. Himpunan A 1, A a.. A n disebut domain dan n disebut derajat. Contoh : 1. Misalkan A = {1, 2,,..., 14, 15} dan R adalah relasi 4-ary pada A yang didefinisikan dengan : R = {(x, y, z, t): 4x + y + z 2 = t}. Tuliskan R sebagai himpunan dengan 4-tuple Kita hanya mempunyai x = 1, 2,. Maka : R = {(1, 1, 1, 8), (1, 1, 2, 11), (1, 2, 1, 11), (1, 2, 2, 14), (1,, 1, 14), (2, 1, 1, 12), (2, 1, 2, 15), (2, 2, 1, 15)} 2. Misalkan : NIM = { , , , , , } Nama = {Amir, Santi, Irwan, Ahmad, Cecep, Hamdan} MatKul = {Matematika Diskrit, Algoritma, Struktur Data, Arsitektur Komputer} Nilai = {A, B, C, D, E} Relasi MHS terdiri dari 4-tuple (NIM, Nama, MatKul, Nilai): MHS NIM Nama MatKul Nilai Satu contoh relasi yang bernama MHS adalah MHS = {( , Amir, Matematika Diskrit, A), ( , Amir, Arsitektur Komputer, B), ( , Santi, Arsitektur Komputer, D), ( , Irwan, Algoritma, C), ( , Irwan, Struktur Data C), ( , Irwan, Arsitektur Komputer, B), ( , Ahmad, Algoritma, E), ( , Cecep, Algoritma, A), ( , Cecep, Arsitektur Komputer, B), ( , Hamdan, Matematika Diskrit, B),
19 ( , Hamdan, Algoritma, A, B), ( , Hamdan, Struktur Data, C), ( , Hamdan, Ars. Komputer, B)} Relasi MHS di atas juga dapat ditulis dalam bentuk Tabel: NIM Nama MatKul Nilai Amir Matematika Diskrit A Amir Arsitektur Komputer B Santi Algoritma D Irwan Algoritma C Irwan Struktur Data C Irwan Arsitektur Komputer B Ahmad Algoritma E Cecep Algoritma B Cecep Arsitektur Komputer B Hamdan Matematika Diskrit B Hamdan Algoritma A Hamdan Struktur Data C Hamdan Arsitektur Komputer B Latihan Soal : 1. Misalkan A = {1, 2,,..., 12} dan R adalah relasi -ary pada A yang didefinisikan dengan : R = {(x, y, z): x + y 2 = z}. Tuliskan R sebagai himpunan dengan -tuple 2. Misalkan A = {1, 2,,..., 15} dan R adalah relasi 4-ary pada A yang didefinisikan dengan : R = {(x, y, z, t): x 2 + 2y + 5z = t}. Tuliskan R sebagai himpunan dengan 4-tuple
BAB 2 RELASI. 1. Produk Cartesian
BAB 2 RELASI 1. Produk Cartesian Notasi-notasi yang digunakan dari produk cartesian : (a, b) pasangan terurut dari elemen a dan b; (a 1, a 2,, a n ) n-tuple dari elemen-elemen a 1,, a n ; A x B = {(a,
Lebih terperinciPERKALIAN CARTESIAN DAN RELASI
RELASI Anggota sebuah himpunan dapat dihubungkan dengan anggota himpunan lain atau dengan anggota himpunan yang sama. Hubungan tersebut dinamakan relasi. Contoh Misalkan M = {Ami, Budi, Candra, Dita} dan
Lebih terperinciMATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1
RELASI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI Apa itu Relasi? Relasi ( hubungan ) himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. RELASI R : A B, artinya R relasi dari himpunan A ke
Lebih terperinciRelasi Adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan
Relasi dan Fungsi Relasi Adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut.
Lebih terperinci2. Matrix, Relation and Function. Discrete Mathematics 1
2. Matrix, Relation and Function Discrete Mathematics Discrete Mathematics. Set and Logic 2. Relation 3. Function 4. Induction 5. Boolean Algebra and Number Theory MID 6. Graf dan Tree/Pohon 7. Combinatorial
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI
RELASI MATEMATIKA DASAR PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI Apa itu Relasi? Relasi ( hubungan ) himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. RELASI R : A B, artinya R relasi dari
Lebih terperinciMatriks. Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom.
Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: Matriks bujursangkar adalah matriks yang berukuran
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT RELASI
MATEMATIKA DISKRIT RELASI Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh
Lebih terperinciRelasi dan Fungsi. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP
Relasi dan Fungsi Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP 2 Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m
Lebih terperinciDEFINISI. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).
BAB 3 RELASI DEFINISI Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah
Lebih terperinciMatriks, Relasi, dan Fungsi
Matriks, Relasi, dan Fungsi 2 Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: mn m m n n a a a a
Lebih terperinciAdri Priadana ilkomadri.com. Relasi
Adri Priadana ilkomadri.com Relasi Relasi Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur yang disebut relasi. Relasi antara himpunan A dan B disebut relasi biner,
Lebih terperinciMatriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1:
MATRIKS & RELASI Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemenelemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: A = a a M a 2 m a a a 2 22 M m 2
Lebih terperinciMatematika Diskret (Relasi dan Fungsi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Matematika Diskret (Relasi dan Fungsi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi
Lebih terperinciRelasi. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).
Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk
Lebih terperinciKALKULUS (Relasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
KALKULUS (Relasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang
Lebih terperinciRelasi. Oleh Cipta Wahyudi
Relasi Oleh Cipta Wahyudi Definisi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh
Lebih terperinciMatematika Diskret. Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara RELASI. Pemodelan dan Simulasi
Matematika Diskret Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara Pemodelan dan Simulasi RELASI 1 9/26/2017 Hasil Kali Kartesian Hasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan
Lebih terperinciBAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan
BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciMatriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1:
MATRIKS & RELASI Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemenelemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: A a a a 2 m a a a 2 22 m2 a a a
Lebih terperinciR = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323) }
Pertemuan 9 Relasi Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b
Lebih terperinciDefinisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}.
RELASI A. Pendahuluan Definisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}. Apabila (a, b) R, maka a dihubungkan dengan b oleh relasi R, ditulis a R
Lebih terperinciRELASI SMTS 1101 / 3SKS
RELASI SMTS 0 / 3SKS LOGIKA MATEMATIKA Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 6 DAFTAR ISI Cover pokok bahasan... 6 Daftar isi... 7 Judul Pokok Bahasan... 8 5.. Pengantar... 8 5.2. Kompetensi... 8 5.3. Uraian
Lebih terperinciMatriks, Relasi, dan Fungsi Teknik Neurofuzzy
Matriks, Relasi, dan Fungsi Teknik Neurofuzzy Dosen Andi Hasad, S.T., M.Kom. Center for Information & Communication Technology Electrical Department, Engineering Faculty, UNISMA, Bekasi Email : andihasad@yahoo.com
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 2
Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B didefinisikan sebagai cara pengawanan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. ilustrasi grafis dapat dilihat sebagai berikut: - Relasi Biner Relasi
Lebih terperinciK L P Q 1 2 10 2 2 4 13 4 3 8 18 8. Gambar 4.10 Gambar 4.11
B. Relasi Sebelum mendefinisikan produk Cartesius, terlebih dahulu Anda perlu mengenal pengertian pasangan terurut. Dalam sistem koordinat Cartesius dengan sumbu x dan sumbu y, kita mengetahui bahwa titik
Lebih terperinciPERTEMUAN Relasi dan Fungsi
4-1 PERTEMUAN 4 Nama Mata Kuliah : Matematika Diskrit (3 SKS) Nama Dosen Pengampu : Dr. Suparman E-mail : matdis@netcourrier.com HP : 081328201198 Judul Pokok Bahasan Tujuan Pembelajaran : 4. Relasi dan
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu
BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers
Lebih terperinciRELASI DAN FUNGSI. Nur Hasanah, M.Cs
RELASI DAN FUNGSI Nur Hasanah, M.Cs Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan
Lebih terperinciRELASI DAN FUNGSI. /Nurain Suryadinata, M.Pd
RELASI DAN FUNGSI Nama Mata Kuliah Kode Mata Kuliah/SKS Program Studi Semester Dosen Pengampu : Matematika Diskrit : MAT-365/ 3 sks : Pendidikan Matematika : VI (Enam) : Nego Linuhung, M.Pd /Nurain Suryadinata,
Lebih terperinciMatematika Diskrit 1
Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai
Lebih terperinciPENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinciBAB II RELASI & FUNGSI
BAB II RELASI & FUNGSI. Pengantar Pada bab telah dipelajari logika proposisi, Himpunan, beserta sifat-sifat yang berlaku yang mana teori tersebut mendasari pembahasan paba bab 2. Pada bab 2 ini dibahas
Lebih terperinciHIMPUNAN. A. Pendahuluan
HIMPUNAN A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (185-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan,
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN Penyajian Himpunan
TEORI HIMPUNAN 1.1. Penyajian Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Lebih terperinciRelasi & Fungsi. Kuliah Matematika Diskrit 20 April Pusat Pengembangan Pendidikan - Universitas Gadjah Mada
Relasi & Fungsi Kuliah Matematika Diskrit 20 April 2006 Hasil Kali Kartesian Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Hasil kali Kartesian A dengan B (simbol: A x B) adalah himpunan semua pasangan berurutan
Lebih terperinciDefinisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}.
Modul 2 RELASI A. Pendahuluan Definisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}. Apabila (a, b) R, maka a dihubungkan dengan b oleh relasi R, ditulis
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT MATEMATIKA DISKRIT
MATEMATIKA DISKRIT BAB I HIMPUNAN Huruf-huruf besar A, B, C,... menyatakan himpunan dan huruf-huruf kecil a, b, c,... menyatakan elemen-elemen atau anggota dari himpunan. Notasi himpunan : p Є A A B atau
Lebih terperinciHasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan terurut (a, b) untuk a A dan b B.
III Relasi Banyak hal yang dibicarakan berkaitan dengan relasi. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal istilah relasi bisnis, relasi pertemanan, relasi antara dosen-mahasiswa yang disebut perwalian
Lebih terperinciBahan kuliah Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Didin Astriani P, M.Stat. Fakultas Ilkmu Komputer Universitas Indo Global Mandiri
Bahan kuliah Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Didin Astriani P, M.Stat Fakultas Ilkmu Komputer Universitas Indo Global Mandiri 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek
Lebih terperinciRELASI FUNGSI. (Kajian tentang karakteristik, operasi, representasi fungsi)
Outline RELASI DAN FUNGSI (Kajian tentang karakteristik, operasi, representasi fungsi) Drs., M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika FKIP PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI. f : x y
. Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada
Lebih terperinciDiketahui : A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {1,2,3,5,6,12} C = {2,4,8,12,20} (A B) C = {1,3,5,6} {x x ϵ A dan x ϵ B} (B C) = {2,12}
KELAS A =========================================================================== 1. Diketahui A = {1,2,3,4,5,6,7}, B = {1,2,3,5,6,12}, dan C = {2,4,8,12,20}. Tentukan hasil dari operasi himpunan berikut
Lebih terperinci2.4 Relasi dan Fungsi
2.4 Relasi dan Fungsi Relasi dan fungsi adalah pokok dari matematika. Relasi menggambarkan hubungan sederhana antara dua himpunan. Sedangkan fungsi akan diterangkan pada bahasan berikutnya, sebagai suatu
Lebih terperinciHIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) EvanRamdan
HIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari benda atau objek yang berbeda dan didefiniskan secara jelas Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciBAB II RELASI DAN FUNGSI
9 BAB II RELASI DAN FUNGSI Dalam kehidupan nyata, senantiasa ada hubungan (relasi) antara dua hal atau unsur-unsur dalam suatu kelompok. Misalkan, hubungan antara suatu urusan dengan nomor telepon, antara
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN. A. Penyajian Himpunan
TEORI HIMPUNAN A. Penyajian Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Dalam
Lebih terperinciBAB 5 POSET dan LATTICE
BAB 5 POSET dan LATTICE 1. Himpunan Urut Parsial Suatu relasi R pada himpunan S dikatakan urut parsial pada S, jika R bersifat : 1. Refleksif, yaitu a R a, untuk setiap a Є s 2. Anti simetris, yaitu a
Lebih terperinciKode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit
8/29/24 Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 8/29/24 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/24 8/29/24 Relasi dan Fungsi Tujuan Mahasiswa memahami
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya
STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. Dosen: Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 01Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika
Modul ke: 01Fakultas FASILKOM LOGIKA MATEMATIKA Dosen: Program Studi Teknik Informatika Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Template Modul Himpunan 1 Tentang Abstrak Modul ini membahas pengertian himpunan, notasi-notasi,
Lebih terperinci1 P E N D A H U L U A N
1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat
Lebih terperinciRELASI. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
RELASI 1. Pasangan Berurutan 2. Fungsi Proposisi dan Kalimat Terbuka 3. Himpunan Jawaban dan Grafik Relasi 4. Jenis-jenis Relasi 5. Domain dan Range suatu Relasi Pasangan Berurutan (cartesian Product)
Lebih terperinciRELASI BINER. 1. Hasil Kali Cartes
RELASI BINER 1. Hasil Kali Cartes Definisi: Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan tak kosong. Hasil kali Cartes dari A dan B yang dilambangkan A x B adalah himpunan A x B = {(x, y) x є A, y є B} Contoh
Lebih terperinciHIMPUNAN. A. Pendahuluan
HIMPUNAN A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (185-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan,
Lebih terperincifungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
Lebih terperinciMAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciHIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma
HIMPUNAN MATEMATIKA Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Notasi Himpunan Cara menyatakan Himpunan Macam Himpunan Diagram Venn Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya
Lebih terperinciPERTEMUAN 5. Teori Himpunan
PERTEMUAN 5 Teori Himpunan Teori Himpunan Definisi 7: Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdfinisi dengan jelas Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Enumerasi artinya menuliskan semua elemen (anggota)
Lebih terperinciBAB 1 PENGANTAR. 1.1 Himpunan
BAB 1 PENGANTAR Bab ini menyajikan tentang materi pengantar untuk mata kuliah struktur Aljabar. Bab ini bertujuan untuk membantu mahasiswa untuk menyiapkan diri dalam menempuh matakuliah Struktur Aljabar.
Lebih terperinciBAB I PEMBAHASAN 1. PENGERTIAN RELASI
BAB I PEMBAHASAN 1. PENGERTIAN RELASI Misalkan relasi pada himpunan A dan B adalah dua himpunan sebarang, suatu relasi dari A ke B adalah himpunan bagian dari A x B yaitu pasangan terurut (a,b) dimana
Lebih terperinciPengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2
Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI. 1. Pengertian Fungsi. dengan satu dan hanya satu elemen B; f disebut fungsi dari A ke B, ditulis f : A
BAB 3 FUNGSI 1. Pengertian Fungsi Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua.
Lebih terperinciKode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan. Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit
Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 1 8/29/2014 Cakupan Himpunan Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/2014 1 Himpunan Tujuan Mahasiswa memahami konsep dasar
Lebih terperinciMatematika Komputasi RELASI. Gembong Edhi Setyawan
Matematika Komputasi RELASI Gembong Edhi Setyawan DEFINISI Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B Relasi Biner : Hubungan antara
Lebih terperinciDiberikan sebarang relasi R dari himpunan A ke B. Invers dari R yang dinotasikan dengan R adalah relasi dari B ke A sedemikian sehingga
Departent of Matheatics FMIPA UNS Lecture 3: Relation C A. Universal, Epty, and Equality Relations Diberikan sebarang hipunan A. Maka A A dan erupakan subset dari A A dan berturut-turut disebut relasi
Lebih terperinciTeori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Teori Himpunan Drs. Sukirman, M.Pd. M PENDAHULUAN odul ini memuat pembahasan teori himpunan dan himpunan bilangan bulat. Teori himpunan memuat notasi himpunan, relasi dan operasi dua himpunan atau
Lebih terperinciRelasi dan Fungsi. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Relasi Fungsi Daerah asal (domain) Daerah kawan (kodomain) Daerah hasil (range)
Bab Relasi dan Fungsi A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu: 1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap
Lebih terperinci1.1 Pengertian Himpunan. 1.2 Macam-macam Himpunan. 1.3 Relasi Antar Himpunan. 1.4 Diagram Himpunan. 1.5 Operasi pada Himpunan. 1.
I. HIMPUNAN 1.1 Pengertian Himpunan 1.2 Macam-macam Himpunan 1.3 Relasi Antar Himpunan 1.4 Diagram Himpunan 1.5 Operasi pada Himpunan 1.6 Aljabar Himpunan Pengertian Himpunan 1. Apa yang dimaksud dengan
Lebih terperinciHIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI
Kegiatan Belajar Mengajar 4 HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI Zainuddin Akina Kegiatan belajar mengajar 4 ini akan membahas tentang himpunan, relasi, dan fungsi.. Kegiatan belajar mengajar 4 ini mencakup 3 pokok
Lebih terperinciBAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut
BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.
Lebih terperinciRelasi dan Fungsi. Bab. Relasi Fungsi Daerah asal (domain) Daerah kawan (kodomain) Daerah hasil (range) A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Bab Relasi dan Fungsi A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu: 1. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab, konsisten
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.
BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan
Lebih terperinci1.2 PENULISAN HIMPUNAN
BAB I HIMPUNAN 1.1 PENGERTIAN Definisi : Himpunan adalah kumpulan benda atau hal hal lain yang telah terdefinisi secara jelas. Benda atau hal hal lain tersebut disebut elemen atau unsure atau anggota himpunan.
Lebih terperinciUlang Kaji Konsep Matematika
Ulang Kaji Konsep Matematika Teori Bahasa dan Automata Viska Mutiawani - Informatika FMIPA Unsyiah 1 Ulang Kaji Konsep Matematika Set / himpunan Fungsi Relasi Graf Teknik pembuktian Viska Mutiawani - Informatika
Lebih terperinciLogika Matematika Himpunan
Modul ke: Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi dasar himpunan. Fakultas ILMU KOMPUTER Tedjo Nugroho, ST. MT Program Studi Sistem Informasi www.mercubuana.ac.id
Lebih terperinciPENDAHULUAN. 1. Himpunan
PENDAHULUAN 1. Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya
Lebih terperinci9.1 RELATIONS AND THEIR PROPERTIES
CHAPTER 9 RELATION 9. RELATIONS AND THEIR PROPERTIES 2 Relasi Hubungan antar anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antar anggota
Lebih terperinciHIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com
HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com Definisi Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class
Lebih terperinciOleh : Winda Aprianti
Oleh : Winda Aprianti Relasi Definisi Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu (relasi biner). Relasi biner R antara
Lebih terperinci22 Matematika Diskrit
.. Relasi Ekivalen Definisi : Sebuah relasi pada sebuah himpunan A disebut relasi ekivalen jika dan hanya jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Dua elemen yang dihubungkan dengan
Lebih terperinciDASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING
DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:
Lebih terperinciBAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan
BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciHimpunan, Dan Fungsi. Ira Prasetyaningrum,M.T
Himpunan, Dan Fungsi Ira Prasetyaningrum,M.T Materi Matematika 1 Himpunan dan fungsi Matrik Limit dan kekontinuan Differensial Trigonometri Integral Bilangan Komplek Peraturan Di Kelas Mahasiswa Maksimal
Lebih terperinci: SRI ESTI TRISNO SAMI
MATEMATIKA DISKRIT By : SRI ESTI TRISNO SAMI 082334051324 Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Seymour Lipschutz dan Marc Lars Lipson, Matematika Diskkrit Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company,
Lebih terperinciHimpunan. Nur Hasanah, M.Cs
Himpunan Nur Hasanah, M.Cs 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B ={2, 4, 6, 8, 10}. C = {kucing, a, Amir,
Lebih terperinciH I M P U N A N. A. Pendahuluan
H I M P U N A N A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (1845-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman. Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciFungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( )
Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan/ mengkaitkan/ menugaskan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam
Lebih terperinciBAB II MODEL KOMPUTASI FINITE STATE MACHINE. Pada Bab II akan dibahas teori dasar matematika yang digunakan
BAB II MODEL KOMPUTASI FINITE STATE MACHINE Pada Bab II akan dibahas teori dasar matematika yang digunakan dalam pemodelan sistem kontrol elevator ini, yaitu mengenai himpunan, relasi, fungsi, teori graf
Lebih terperinci: SRI ESTI TRISNO SAMI
MATEMATIKA DISKRIT By : SRI ESTI TRISNO SAMI 08125218506 / 082334051324 Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Seymour Lipschutz dan Marc Lars Lipson, Matematika Diskkrit Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill
Lebih terperinciContoh:A= { a, e, i, o, u }; S=U = himpunan semua huruf
HIMPUNAN Definisi: himpunan (set) adalah kumpulan obyek-obyek tidak urut (unordered) dan terdefinisi dengan jelas Obyek dalam himpunan disebut elemen atau anggota (member) Himpunan yang tidak berisi obyek
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Teori Himpunan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 25, 2015 Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yang terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik dimaksudkan bahwa untuk sebarang
Lebih terperinciTUGAS HIMPUNAN DAN FUNGSI OLEH ARNASARI MERDEKAWATI HADI EKA REZEKI AMALIA DIAH RAHMAWATI HANIYAH MATKOM II A
TUGAS HIMPUNAN DAN FUNGSI OLEH ARNASARI MERDEKAWATI HADI 06320003 EKA REZEKI AMALIA 06320004 DIAH RAHMAWATI 06320027 HANIYAH 06320029 MATKOM II A JURUSAN MATEMATIKA DAN KOMPUTASI FAKULTAS KEGURUAN DAN
Lebih terperinci1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q.
Diskusi Kelompok (I) Waktu: 100 menit Selasa, 23 September 2008 Pengajar: Hilda Assiyatun, Djoko Suprijanto 1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q. (a) Mahasiswa perlu membawakan
Lebih terperinciTeori Himpunan Ole l h h : H anu n n u g n N. P r P asetyo
Teori Himpunan Oleh : Hanung N. Prasetyo Meski sekilas berbeda, akan kita lihat bahwa logika matematika dan teori himpunan berhubungan sangat erat. Matematika Diskrit Kuliah-2 2 Definisi: himpunan (set)
Lebih terperinci